综合测试卷（三）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本专项通过AB卷分层训练与综合卷实战模拟，系统整合数列、概率、向量等核心知识，以题载知，培养运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |章节巩固|AB卷覆盖核心考点|基础题重概念辨析，提升题跨知整合|从概念生成到关系推导，构建知识网络| |综合应用|4份综合卷含统计、机械应用等|解答题融实际情境，选择填空考高频考点|从单一知识到多模块综合，体现应用拓展|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．的展开式中第4项是（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（    ） A．84 B．120 C．126 D．210 4．数列中，，，则（   ） A． B． C． D．3 5．我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积.如图的半径为1，用圆的内接正六边形近似估计，则的面积近似为，若我们运用割圆术的思想进一步得到圆的内接正二十四边形，以此估计，的面积近似为（    ） A． B． C． D． 6．若从黑桃1，2，3，4，5五张扑克牌中一次抽取2张牌，则“点数之和为6”的概率是（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．26 C．56 D．42 8．随着我国经济水平的提升，旅游收入持续增长，且国内旅游的旅游量最大，潜力最深，基础性最强，下图为连续9年我国国内旅游总收入统计图：   假设每年国内旅游总收入(单位：万亿元)与年份代号线性相关，且满足 ，则估计第10年国内旅游总收入约为（    ） A．5.97万亿元 B．6.07万亿元 C．6.17万亿元 D．6.37万亿元 9．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 10．数列，，，，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 11．在中，内角所对的边分别是.若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．已知数列满足，则（ ） A．11 B．9 C．8 D．7 13．若等差数列的前项和，则它的通项公式为（   ） A． B． C． D． 14．已知，且，则等于（   ） A． B． C． D．－ 15．如图，在一个7行8列的数表中，第行第列的元素为，其中，则该数表中所有无重复的元素之和为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．在中，，，，则____________. 17．某县不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点.每年来该县参观旅游的人数不胜数.其中，石林和白鹭湖被称为该县的两张名片.为合理配置旅游资源，现对已游览的游客进行随机问卷调查.假设不再去白鹭湖记1分，继续去白鹭湖记2分.每位游客去白鹭湖的概率均为，且游客之间的选择意愿相互独立，在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为，则数列的通项公式为____________. 18．从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加某项活动，则甲、乙两人中仅有一人入选的概率为_______． 19．的展开式中的系数为___________用数字作答. 20．已知某学校食堂午餐提供5种荤菜和7种素菜，小明打算随机购买3个菜，则既有素菜又有荤菜的概率是______． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．身高体重指数（）这个概念，是由19世纪中期的比利时通才凯特勒最先提出，它的计算公式如下：身高体重指数（）=体重（）÷身高（m）的平方.成人的数值低于18.5，则体重过轻，在则正常；在为过重，在为肥胖，不低于32为非常肥胖，且专家指出最理想的体重指数是22.某科研小组设计了一套方案；并在两类人群中进行对比实验，其中科学饮食组采用科学饮食方案，对照组采用随意饮食方案.半年后，分别在两组中各随机选取100人，都分布在内，按分成5组进行统计：，，，，.统计后分别制成如下的频率分布直方图.      (1)求a，b，并估计科学饮食组的80%分位数（结果精确到小数点后两位）； (2)现采用分层抽样的方法从对照组选取的100人中抽取25人，再从这25人中随机抽取2人，记其中“肥胖”（不含非常肥胖）的人数为X，求X的分布列与数学期望. 22．已知，，，，求的值. 23．已知函数． (1)求函数的最小正周期： (2)求函数的最大值，并求取最大值时x的集合． 24．机械装置中，有一长度为14cm的摇杆绕固定点做圆周运动，以为原点建立坐标系，摇杆初始与轴负半轴重合. (1)当摇杆顺时针旋转时，求摇杆端点的坐标. (2)若摇杆从该位置继续顺时针旋转，求此时摇杆端点相对于轴正半轴的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．的展开式中第4项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式，结合题意即可求解． 【详解】由题意，的展开式中第4项是． 故选：B． 2．若，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据即可求解. 【详解】若，则， 所以,解得. 故选:C. 3．（    ） A．84 B．120 C．126 D．210 【答案】D 【分析】根据组合数的性质即可求解. 【详解】因为， 所以． 故选：D 4．数列中，，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义先判断数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式易得答案. 【详解】因为数列中，，， 所以， 所以数列是等比数列， 所以. 故选：C. 5．我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积.如图的半径为1，用圆的内接正六边形近似估计，则的面积近似为，若我们运用割圆术的思想进一步得到圆的内接正二十四边形，以此估计，的面积近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得圆内接正二十四边形的面积，由此求得的面积的近似值. 【详解】， 圆内接正二十四边形的面积为. 故选：C 6．若从黑桃1，2，3，4，5五张扑克牌中一次抽取2张牌，则“点数之和为6”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合组合数及古典概型求概率公式计算即可. 【详解】从五张扑克牌中一次抽取2张牌，抽取总数为， “点数之和为6”只有“1，5”和“2，4”两种可能， ∴. 故选：B. 7．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．26 C．56 D．42 【答案】D 【分析】先通过求出，再利用求解即可. 【详解】设等差数列的公差为 由已知， 则 ， 得， . 故选：D. 8．随着我国经济水平的提升，旅游收入持续增长，且国内旅游的旅游量最大，潜力最深，基础性最强，下图为连续9年我国国内旅游总收入统计图：   假设每年国内旅游总收入(单位：万亿元)与年份代号线性相关，且满足 ，则估计第10年国内旅游总收入约为（    ） A．5.97万亿元 B．6.07万亿元 C．6.17万亿元 D．6.37万亿元 【答案】C 【分析】先计算出样本中心点，即可求出的值，再将代入回归直线方程即可求解. 【详解】由题意可知，， ， 因为经过点， 则有，解得， 则， 将代入回归方程可得，万亿元. 故选：C. 9．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量垂直的坐标表示求得，再利用余弦函数的倍角公式即可得解. 【详解】，， ，则， 整理得，解得或（舍去）， . 故选：B. 10．数列，，，，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意对比选项解答即可. 【详解】因为数列，，，，… 所以通项公式一定有，所以选项错误， 又因为数列第一项是，所以， 故选：. 11．在中，内角所对的边分别是.若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合余弦定理化简可得，结合正弦定理边角互化，及两角和的正弦公式，可得，继而求得角A的大小，继而求解. 【详解】因为在中，， 又， 所以，化简得， 即， 又因为， 所以， 因为，所以，所以， 即，因为，所以， 所以或. 因为，所以角为锐角，且. 若，则，不符合题意，因此， 此时. 故选：A. 12．已知数列满足，则（ ） A．11 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】根据数列的递推式依次赋值计算求得，再代入计算即得. 因为，且， 所以，，，， 则. 故选：A. 13．若等差数列的前项和，则它的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据与的关系求解即可； 【详解】因为，所以当时，； 当时，： 经检验，当时，，符合上式， 所以. 故选：B 14．已知，且，则等于（   ） A． B． C． D．－ 【答案】D 【分析】先由同角三角函数的平方关系求解的值，再根据两角和的余弦公式求解即可. 【详解】∵，且， ∴， ∴. 故选：D. 15．如图，在一个7行8列的数表中，第行第列的元素为，其中，则该数表中所有无重复的元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，从而得到只有及两数是没有重复的，进而求解即可． 【详解】由已知有， 故在7行8列的数表中，只有第1行第1列及第7行第8列两数是没有重复的， 则． 故选：B． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．在中，，，，则____________. 【答案】/ 【分析】先由余弦定理求出角A的余弦值，再利用向量的内积公式进行求解即可. 【详解】， 所以. 故答案为：. 17．某县不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点.每年来该县参观旅游的人数不胜数.其中，石林和白鹭湖被称为该县的两张名片.为合理配置旅游资源，现对已游览的游客进行随机问卷调查.假设不再去白鹭湖记1分，继续去白鹭湖记2分.每位游客去白鹭湖的概率均为，且游客之间的选择意愿相互独立，在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为，则数列的通项公式为____________. 【答案】 【分析】由题意可知，即，利用构造法可证得是以为公比，以为首项的等比数列，结合等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意知，已调查过的累计得分恰为n分的概率为， 得不到n分的情况只有先得分，再得2分，概率为，又， 所以，即， 得，又， 所以是以为公比，以为首项的等比数列， 故，得. 故答案为： 18．从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加某项活动，则甲、乙两人中仅有一人入选的概率为_______． 【答案】 【分析】根据题意利用古典概型和组合数即可得解. 【详解】从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加某项活动有种选法； 当甲入选乙不入选有种选法； 当甲不入选乙入选有种选法； 所以概率为. 故答案为：. 19．的展开式中的系数为___________用数字作答. 【答案】 【分析】首先写出二项展开式的通项公式，再分别令求系数即可， 【详解】， 且的通项为， 令，则的系数为； 令，则的系数为， 所以的系数为. 故答案为：. 20．已知某学校食堂午餐提供5种荤菜和7种素菜，小明打算随机购买3个菜，则既有素菜又有荤菜的概率是______． 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式，结合分步乘法计数原理和组合数的计算，求解即可. 【详解】从5种荤菜和7种素菜中随机购买3个菜共有种可能； 既有素菜又有荤菜包含一荤两素和两荤一素： 一荤两素的有种可能； 两荤一素的有种可能， 所以既有素菜又有荤菜共有种可能， 所以既有素菜又有荤菜的概率是， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．身高体重指数（）这个概念，是由19世纪中期的比利时通才凯特勒最先提出，它的计算公式如下：身高体重指数（）=体重（）÷身高（m）的平方.成人的数值低于18.5，则体重过轻，在则正常；在为过重，在为肥胖，不低于32为非常肥胖，且专家指出最理想的体重指数是22.某科研小组设计了一套方案；并在两类人群中进行对比实验，其中科学饮食组采用科学饮食方案，对照组采用随意饮食方案.半年后，分别在两组中各随机选取100人，都分布在内，按分成5组进行统计：，，，，.统计后分别制成如下的频率分布直方图.      (1)求a，b，并估计科学饮食组的80%分位数（结果精确到小数点后两位）； (2)现采用分层抽样的方法从对照组选取的100人中抽取25人，再从这25人中随机抽取2人，记其中“肥胖”（不含非常肥胖）的人数为X，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1)，，； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质及百分位数的求法计算即可； （2）根据分层抽样的抽样方法先确定抽取的肥胖人数与非肥胖人数，再利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， ， 由图象计算可得科学饮食组前三个区间所占频率为， 前四个区间所占频率为， 所以80%分位数在区间内，不妨设为， 所以； （2）根据对照组的频率分布直方图可知在区间内的人数有人， 非肥胖的人数为人， 可取， 所以， 分布列如下： 0 1 2 所以. 22．已知，，，，求的值. 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系和两角和正弦公式易得答案. 【详解】因为，， 所以， 因为，， 所以， 所以. 23．已知函数． (1)求函数的最小正周期： (2)求函数的最大值，并求取最大值时x的集合． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据二倍角的正、余弦公式及两角和的正弦公式，结合题意化简函数为正弦型函数，利用正弦型函数的周期公式即可得解； （2）根据正弦型函数的图像和性质，结合题意，即可得解． 【详解】（1） 所以函数的最小正周期； （2）由（1）得， 所以当时，取最大值，即， 此时，，，即，， 所以函数取最大值时x的集合为． 24．机械装置中，有一长度为14cm的摇杆绕固定点做圆周运动，以为原点建立坐标系，摇杆初始与轴负半轴重合. (1)当摇杆顺时针旋转时，求摇杆端点的坐标. (2)若摇杆从该位置继续顺时针旋转，求此时摇杆端点相对于轴正半轴的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分析摇杆顺时针旋转后与轴正半轴的夹角，再根据正弦函数与余弦函数的定义，即可求解. （2）先分析摇杆从该位置继续顺时针旋转后与轴正半轴重合，即可求解. 【详解】（1）设半径，当摇杆从轴负半轴（初始角为）顺时针旋转时， 摇杆与轴正半轴的夹角， 又，，，， 则，， 所以点坐标为. （2）若摇杆从位置继续顺时针旋转，此时摇杆与轴正半轴重合， 根据余弦定义，， 即摇杆端点相对于轴正半轴的余弦值为1. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $