第三章 圆锥曲线（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣高教版中职数学教材第三章圆锥曲线，B卷能力提升型单元卷，60分钟100分，通过文化素材与实际问题设计，强化知识整合与解题能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/45|抛物线焦点准线距离（题1）、双曲线离心率与渐近线（题2、5）、椭圆定义应用（题3）|结合《九章算术》文化素材（题13），考查轨迹问题（题10），体现数学眼光与推理能力| |填空题|5/15|双曲线标准方程（题16）、抛物线准线（题17）、椭圆离心率（题18）|设置弦长计算（题19），强化运算能力与几何直观| |解答题|4/40|双曲线方程求解（题21）、中点弦问题（题22）、椭圆方程应用（题23）、隧道抛物拱形建模（题24）|实际情境建模（题24），综合考查模型观念与应用意识，贴合真题命题趋势|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第三章 圆锥曲线 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列抛物线中，焦点到准线的距离为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线方程化为标准方程，求出的值即可. 【详解】即，则，得，则焦点到准线的距离为，故A正确； 即，则，得，则焦点到准线的距离为，故B错误； 即，则，得，则焦点到准线的距离为4，故C错误； 即，则，得，则焦点到准线的距离为2，故D错误. 故选：A. 2．已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析由离心率可得出、的等量关系，由此可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】设双曲线的标准方程为，则该双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线的离心率为，则，则， 因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 3．已知△的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】设椭圆的另外一个焦点为， 由椭圆方程知：， ∵，， ∴， ∴△的周长为. 故选：D. 4．双曲线的焦距为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线方程确定参数，即可得焦距. 【详解】由题设，故焦距为. 故选：A 5．若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线渐近线方程，结合双曲线之间的关系以及离心率公式即可解得. 【详解】双曲线的渐近线方程是， ，， 双曲线的离心率是. 故选：C 6．已知椭圆与双曲线的离心率之积为2，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆，双曲线的离心率公式，渐近线方程，结合题意即可求解. 【详解】由题意得，椭圆的离心率为，设双曲线的焦距为， 因为椭圆与双曲线的离心率之积为2，所以，即， 则，所以双曲线的渐近线方程为． 故选：D. 7．已知双曲线的左右焦点分别是，B是虚轴的一个端点，，则双曲线的离心率是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出双曲线的焦点以及虚轴端点，再结合题意以及离心率求解即可. 【详解】双曲线的左右焦点分别是，虚轴端点. 因为，根据对称性，则，进而， 进而，又因为，所以，进而. 故选：C. 8．已知椭圆内有一点，过点的弦恰好以为中点，那么这条弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由过点的直线按斜率是否存在分类讨论，当存在时，由点差法求出，再写出直线方程即可. 【详解】当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，垂直轴， 此时点不是弦的中点，不符合题意， 当过点的直线斜率存在时，设弦的端点为， 代入椭圆方程可得，两式相减得， 因式分解得， 因为点是弦的中点，所以， 可得，且存在，， 则， 所以直线方程为，即. 故选：B. 9．抛物线上一点到抛物线的焦点的距离为5，且点在第一象限，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线方程得出焦点坐标与准线方程，设出，结合题意列出，即可得解. 【详解】抛物线，则焦点在轴正半轴上，且， 所以焦点坐标为，准线方程为， 设，， 点到抛物线的焦点的距离为5，所以点到抛物线的准线的距离为5， 则，解得， 所以，解得或（舍）， 所以点， 故选：. 10．已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（ ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质，结合图分析点P到，的距离之差可知. 【详解】 定点，，则， 由题意及图可知，，， 因为分别为的中点，所以， 所以. 故点的轨迹是以，为焦点，2为实轴长的双曲线. 故选：A. 11．双曲线的离心率是方程的一个根，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的方程及性质，离心率公式即可得解. 【详解】方程. 因为双曲线的离心率大于，所以双曲线的离心率为. 因为双曲线，所以. 则. 则. . 解得. 故选：. 12．若动圆与定圆外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设动圆的圆心为，根据相切条件表示半径，利用动圆与圆相外切，列方程，化简得到动圆圆心的轨迹方程即可. 【详解】设动圆圆心坐标为， 定圆的圆心为，半径是2， 因为两圆相外切，所以①， 因为动圆与直线相切，所以②， 联立①②，整理得，即. 故选：B. 13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，联立直线与抛物线结合韦达定理和向量垂直求出b的值，进而求出直线恒过定点. 【详解】设直线的方程为， 由，得，此时， 由根与系数的关系可得. 由，恰好是的“勾’“股”（O为坐标原点）， 可得，所以，即， 所以. 又， 所以， 即，解得或（舍去）， 所以直线l的方程为，恒过点. 故选：D. 14．已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，为抛物线C上一点，且，若为锐角三角形，则（   ） A． B．1 C．8 D．16 【答案】C 【分析】将点代入抛物线方程中，再利用焦半径公式求出值，分类讨论，利用三个内角均为锐角，则三个向量的数量积均大于零即可得解. 【详解】    如图所示，抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，为抛物线C上一点， 将代入抛物线方程中得， 由焦半径公式得，则， 解得或， 当时，，则，， 因为为锐角三角形， ， ， ， 则为钝角，故不符题意； 当时，，则，， ， ， ， 三个角都是锐角，符合题意， 所以， 故选：. 15．如图过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于A、B、C、D，则（ ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义表示和，联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理求解. 【详解】在抛物线中，，则，焦点，准线. 圆的圆心为，半径，此圆的圆心就是抛物线的焦点. 设，，则，， ，， 设过焦点的直线方程为： 联立直线方程与抛物线方程，可得：，所以， 又因为，，则，， 所以. 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若双曲线的对称轴为坐标轴，离心率为，且过点，则该双曲线的标准方程为__________． 【答案】 【分析】由题意得，设，代入即可得解. 【详解】由题意，所以， 所以不妨设双曲线的方程为， 将点代入得，解得， 所以该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 17．抛物线的准线方程是__________. 【答案】 【分析】先把抛物线方程化成标准方程，求得，进而求得抛物线的标准方程． 【详解】依题意知抛物线标准方程为，所以，所以， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 18．已知椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，，且直线PA恰好经过OB中点，则该椭圆的离心率为______． 【答案】 【分析】根据题意和直线的截距式方程可得直线PA方程，联立椭圆方程消去得出的方程，解方程进而得出点P的坐标，由两直线垂直可得，利用两点求直线斜率的公式列出方程，解之即可. 【详解】因为OB中点，直线PA恰好经过OB中点， 所以直线PA方程为，联立， 消去x得，得， 从而得到，所以， 因为，所以，即， 得，所以椭圆得离心率为． 故答案为： 19．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，直线被抛物线C截得的弦长为8，则抛物线C的准线方程为___． 【答案】 【详解】由题意得， ，消x可得， ， 设，则， 故 ，∴，则准线方程为， 故答案为： 20．过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于两点，O为坐标原点，若 ，则的面积为_______． 【答案】/ 【分析】根据题意，结合抛物线的定义，求出点A的坐标，继而求出直线的斜率和方程，将直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理，求出焦点弦的长度，结合原点到直线的距离，代入即可求出三角形的面积. 【详解】 因为抛物线方程为， 所以焦点，准线方程为， 因为， 所以点A到准线的距离为3，设， 则，所以， 所以，， 所以点， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 所以，即， 所以， 所以焦点弦， 又原点O到直线的距离， 所以的面积为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，的最小值为，求双曲线C的标准方程. 【答案】 【分析】设，由及得，，再结合即可解决问题. 【详解】设， 由，所以①， 又点在上，所以，即②， 由①②得：③， 又E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，的最小值为， 所以④，又⑤， 联立③④⑤解得：， 所以双曲线C的标准方程为： 22．已知直线过点，交双曲线于两点，且M为线段的中点，求直线的方程. 【答案】 【分析】根据题意，结合双曲线方程，及中点坐标公式，利用点差法，即可求得直线的斜率，继而求解. 【详解】设交点，， ∵在双曲线上， ∴， ②-①得，即③， 又∵为中点, ∴，，代入③得： ， ∴， ∴直线方程为，即. 23．求适合下列条件的椭圆方程 (1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2； (2)一个焦点坐标为，短轴长为2； (3)离心率为，短轴长为4. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据长轴确定的值，再由焦距确定的值，最后由的关系求出写出椭圆方程即可. （2）根据短轴确定的值，再由焦点确定的值，最后由的关系求出写出椭圆方程即可. （3）根据短轴确定的值，再由离心率的关系求出的值，写出椭圆方程即可. 【详解】（1）已知焦点在轴上， 设椭圆方程为 由长轴长为4，焦距为2，得， 解得，所以， 则椭圆方程为. （2）已知焦点坐标为， 则设椭圆方程为，， 由短轴长为2，得， ， 所以椭圆方程为. （3）由离心率为，得， 则，， 由短轴长为4，得， 所以，解得， 所以椭圆方程为或. 24．已知一隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1米，跨度为2米，建立适当的平面直角坐标系，求相应坐标系下此拱形的抛物线方程． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线方程，由拱高是1米，跨度为2米，得到点的坐标，代入抛物线方程求解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系：    设抛物线方程为， 由题意得，抛物线过点， 代入抛物线方程解得， 所以抛物线方程为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第三章 圆锥曲线 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列抛物线中，焦点到准线的距离为的是（    ） A． B． C． D． 2．已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知△的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的焦距为（ ） A． B． C． D． 5．若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 6．已知椭圆与双曲线的离心率之积为2，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左右焦点分别是，B是虚轴的一个端点，，则双曲线的离心率是（    ）. A． B． C． D． 8．已知椭圆内有一点，过点的弦恰好以为中点，那么这条弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 9．抛物线上一点到抛物线的焦点的距离为5，且点在第一象限，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（ ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线 11．双曲线的离心率是方程的一个根，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 12．若动圆与定圆外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 14．已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，为抛物线C上一点，且，若为锐角三角形，则（   ） A． B．1 C．8 D．16 15．如图过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于A、B、C、D，则（ ） A．4 B．2 C．1 D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若双曲线的对称轴为坐标轴，离心率为，且过点，则该双曲线的标准方程为__________． 17．抛物线的准线方程是__________. 18．已知椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，，且直线PA恰好经过OB中点，则该椭圆的离心率为______． 19．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，直线被抛物线C截得的弦长为8，则抛物线C的准线方程为___． 20．过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于两点，O为坐标原点，若 ，则的面积为_______． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，的最小值为，求双曲线C的标准方程. 22．已知直线过点，交双曲线于两点，且M为线段的中点，求直线的方程. 23．求适合下列条件的椭圆方程 (1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2； (2)一个焦点坐标为，短轴长为2； (3)离心率为，短轴长为4. 24．已知一隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1米，跨度为2米，建立适当的平面直角坐标系，求相应坐标系下此拱形的抛物线方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $