第二章 平面向量（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学《数学 基础模块下册》第二章平面向量B卷（能力提升），紧扣教材核心考点，通过文化情境（赵爽弦图、蜂巢结构）与几何问题设计，适配单元复习，提升知识整合与应用能力，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|15/45|向量共线、数量积、几何意义|第12题蜂巢结构渗透文化传承，第15题赵爽弦图考查向量运算，体现数学观察现实世界| |填空题|5/15|三点共线、向量模与夹角|第18题用基底表示向量，强化几何直观与抽象能力| |解答题|4/40|坐标运算、基底表示、综合应用|第24题平面四边形中点问题，需推理与运算结合，培养逻辑思维与问题解决能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．下列命题正确的是（ ） A．与共线，与共线，则与也共线； B．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； C．向量与不共线，则与都是非零向量； D．有相同起点的两个非零向量不平行． 3．已知向量，，，则（    ） A．6 B． C． D． 4．四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状是（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 5．已知平面向量，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（    ） A．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．若向量满足且同向，则 C．若三点满足则三点共线 D．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为 8．已知平面向量，满足，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，的单位向量的坐标是（    ）      A． B． C． D． 10．已知，，. (1)求与的夹角； (2)若，求实数的值； (3)设，，若与共线，求实数的值. 11．在中，点M为AC上的点，且，若，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 12．古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（    ） A． B． C． D． 13．设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是（    ） A． B． C． D． 14．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 15．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则_________． 17．已知向量满足，且与的夹角为，则______，______． 18．如图所示，已知，则用、表示为__________．    19．已知向量，，且与垂直，则实数___________. 20．如图，在四边形中，，，，，，则___________；设，则____________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知向量，. (1)求； (2)若，求的值. 22．在平面直角坐标系中，已知，，，. (1)若，求m的值； (2)若，求的值. 23．已知向量. (1)求向量与的坐标. (2)求与的值. 24．如图，在平面四边形ABCD中，，分别是的中点，为线段上一点（除端点外），且，设. (1)若，以为基底表示向量与； (2)求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数乘公式和模的公式代入即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以. 故选：D 2．下列命题正确的是（ ） A．与共线，与共线，则与也共线； B．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； C．向量与不共线，则与都是非零向量； D．有相同起点的两个非零向量不平行． 【答案】C 【分析】利用共线向量、相等向量、零向量的定义可判断. 【详解】对于A：当是零向量时，与不一定共线，故选项A错误； 对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误； 对于C：因为与任何向量都是共线向量，所以选项C正确； 对于D：平行向量可能在同一条直线上且共起点，故选项D错误． 故选：C. 3．已知向量，，，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】运用向量垂直的坐标表示列式求解即可. 【详解】∵，∴，即，解得， 故选：D． 4．四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状是（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】根据向量平行判断四边形形状. 【详解】由知， 即四边形对边平行且不相等， 故四边形ABCD为梯形． 故选:B. 5．已知平面向量，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量平行、垂直的坐标表示，依次分析选项是否成立，综合可得答案． 【详解】对于A，，， 则不成立，则A错误； 对于B，， 因为，则B错误； 对于C，向量，，则， 则有，即，C正确； 对于D，，， 因为，则与平行不成立，D错误； 故选：C. 6．已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例排除ABD，利用向量相等与加法的几何意义判断C，从而得解. 【详解】A：当，且时，，，故A不成立； B：当，且时，，故B不成立； C：因为与方向相反，则与方向相同， 所以，故C成立； D：当，且时，，故D不成立. 故选：C. 7．下列说法正确的是（    ） A．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．若向量满足且同向，则 C．若三点满足则三点共线 D．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为 【答案】A 【分析】根据象限角的概念判断A，利用向量的定义以及共线定理判断B,C，利用任意角的定义判断D. 【详解】因为斜三角形的内角是锐角或钝角， 且锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，所以A正确； 因为两个向量不能比较大小，所以B错误； 由可得， 根据向量的共线定理可知，三点不共线，所以C错误； 将钟表的分针拨快10分钟，则顺时针旋转了， 所以分针转过的角的弧度数为，所以D错误， 故选:A. 8．已知平面向量，满足，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量内积的运算法则以及垂直关系的向量表示即可得解. 【详解】 故选:. 9．如图所示，的单位向量的坐标是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量坐标的线性运算，即可求解. 【详解】由图得， 则的单位向量为. 故选：B. 10．已知，，. (1)求与的夹角； (2)若，求实数的值； (3)设，，若与共线，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由向量的内积公式和向量的模求向量的夹角即可； （2）将平方结合向量的模和夹角即可得解； （3）利用平行向量基本定理即可得解. 【详解】（1）因为，，且， 即， 所以， 解得，即与的夹角为. （2）由（1）知，. 因为，则， 所以， 即，解得或， 所以的值为或. （3）由（1）可得不共线，且，， 则必存在实数，使得，则， 即，解得， 所以. 11．在中，点M为AC上的点，且，若，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合平面向量的线性运算即可得解. 【详解】因为， ，所以， 所以， 又因为，所以， 故. 故选：. 12．古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坐标法，建立如图所示的平面直角坐标系，表示出各点坐标，利用坐标运算结合平面向量基本定理即可得解. 【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 设，则，，，，， 所以， ，. 设，则， 解得，所以. 故选：B. 13．设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的差坐标等于终点的坐标减去起点的坐标及模长公式和三角函数求最值即可. 【详解】， 因为， 则| （当取最小值时，最大）. 故选：C. 14．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算即可求解. 【详解】对A，，故A不正确， 对B，D，连接AC，如下图示，因为E，F分别为线段AD，CD的中点， 所以G是的中线交点，则， 所以 ， 连接交于，同理可得， ， ，所以，故B，D不正确， 对C，，故C正确. 故选：C. 15．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答. 【详解】因为 ，，， 所以 ， 所以，所以. 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则_________． 【答案】6 【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量的坐标表示计算作答. 【详解】因，，则， 又，且A，B，D三点共线，即，因此，解得， 所以. 故答案为：6 17．已知向量满足，且与的夹角为，则______，______． 【答案】 【分析】由数量积公式结合求解即可. 【详解】 故答案为：， 18．如图所示，已知，则用、表示为__________．    【答案】 【分析】根据向量加法、减法、及数乘运算法则求解. 【详解】， ， ， ， ． 故答案为：. 19．已知向量，，且与垂直，则实数___________. 【答案】或 【分析】根据向量垂直的性质列方程求解即可. 【详解】因为与垂直， 所以， 所以， 所以， 所以或， 故答案为：或. 20．如图，在四边形中，，，，，，则___________；设，则____________. 【答案】 0 6 【分析】根据题意和余弦定理求得，利用平面向量的数量积求出，进而可得，即；以A为原点，以AB为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求出的坐标，根据列出方程组，解之即可求出. 【详解】因为， 所以， 所以，又， 所以， 得，故， 所以， 则，即； 以A为原点，以AB为x轴，y轴建立如图平面直角坐标系， 则， 所以，， 又， 所以，解得，所以. 故答案为：0；. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知向量，. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示可求解； （2）根据向量线性运算的坐标表示及垂直的坐标表示，列式可求解； 【详解】（1）由题意，可得 ， 所以. （2）由题意，可得 ， . 因为， 所以， 即， 解得. 22．在平面直角坐标系中，已知，，，. (1)若，求m的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题目中点的坐标可得向量坐标，利用向量垂直建立数量积为零的方程，可得答案； （2）由题目中点的坐标可得向量坐标，利用向量线性运算建立方程组，可得答案. 【详解】（1）由题知，，， 因为，所以， 即，解得. （2），，， 因为， 即， 所以，解得， 则. 23．已知向量. (1)求向量与的坐标. (2)求与的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示求值即可. （2）根据向量内积与向量的模的坐标表示求值即可. 【详解】（1）已知向量， 则， . （2）， 则， ， 则. 24．如图，在平面四边形ABCD中，，分别是的中点，为线段上一点（除端点外），且，设. (1)若，以为基底表示向量与； (2)求的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由向量的线性运算可求得向量与； （2）先表示向量，再运用向量数量积的定义和运算律可求得，从而可求得取值范围. 【详解】（1）依题意，， 所以 ； 由，得 所以. （2）由（1）知，， 依题意，， 由，，得， 因此 ， 显然，则，即， 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $