综合测试卷（四）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材核心考点，采用AB卷分层巩固与综合测试卷实战模拟，系统构建知识网络，提升知识应用与应试能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|向量运算、复数象限判断等8题|基础计算与概念辨析|从向量、复数概念到充要条件推理，形成“概念-性质-应用”逻辑链| |几何|立体几何（异面直线成角）、解析几何（椭圆/双曲线/抛物线）12题|空间想象与曲线性质应用|从空间几何体到圆锥曲线，体现“空间形式-数量关系-实际模型”的几何直观与模型意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 题型结构要求和学考一致 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知向量，，则（  ） A．1 B． C．5 D． 2．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图所示，在矩形中，若，则（   ） A．3 B．5 C． D． 4．共轭双曲线与，有（    ） A．相同的离心率 B．公共焦点 C．公共顶点 D．公共渐近线 5．已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，实轴长为4，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，过抛物线上一点M(p，p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|FM|等于(　　) A．1∶ B．1∶ C．1∶2 D．1∶3 7．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（   ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（ ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过，两点的所有直线的方程为 D．直线的倾斜角的取值范围是 9．“”是“的解集是实数集”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知，，则“”是“，”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A． B． C． D． 13．在直三棱柱中，已知，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 14．已知a，b，c是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．，，则 C．若，，则 D．若，，则 15．已知为坐标原点，椭圆的左､右焦点分别是，离心率为.是椭圆上的点，的中点为，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．过平面外一点，可以作________条直线与平面平行. 17．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线的一部分．该桥的高度为米，跨径为米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为________米．（结果用，表示） 18．已知点P是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，分别是椭圆的左右焦点，为坐标原点，若点是的角平分线上的一点，且则的取值范围是__________. 19．已知双曲线的一条渐近线与直线：平行，则的离心率________. 20．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线及其准线从上到下依次交于A，B，C三点.令，则的值为__________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．指出下列命题中，是的什么条件： （l），； （2）两直线平行，同位角相等； （3）点在角的平分线上，点到角的两边所在直线的距离相等； （4）斜边相等，两直角三角形全等. 22．设椭圆的左、右焦点分别为，，点满足． (1)求椭圆的离心率； (2)设直线与椭圆相交于，两点，若直线与圆相交于，两点，且，求椭圆的方程． 23．已知抛物线， (1)求焦点坐标和准线方程； (2)若抛物线上一点横坐标为，求该点纵坐标． 24．已知焦点在轴上的双曲线，焦距为，点为焦点，双曲线上有一点，使得，点与两个焦点构成的三角形的周长为，求 (1)双曲线的标准方程 (2)的面积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 题型结构要求和学考一致 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知向量，，则（  ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据向量内积的坐标表示计算即可. 【详解】∵向量，， ∴. 故选：B. 2．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的四则运算化简复数，由几何意义得复平面内对应的点所在象限. 【详解】， 则在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D． 3．如图所示，在矩形中，若，则（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出的长度即可. 【详解】在矩形中，， 则， 所以， 故选：C. 4．共轭双曲线与，有（    ） A．相同的离心率 B．公共焦点 C．公共顶点 D．公共渐近线 【答案】D 【分析】根据双曲线的离心率、交点、顶点、渐近线等知识确定正确答案. 【详解】双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴上， 所以BC选项错误. 双曲线对应， 对应离心率为，渐近线方程为. 双曲线对应， 对应离心率为，渐近线方程为， 所以A选项错误，D选项正确. 故选：D 5．已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，实轴长为4，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线以及实轴的概念求解. 【详解】双曲线C 的一条渐近线方程为， 焦点到直线的距离为， 又因为实轴长为，所以， 所以C的方程为， 故选：D. 6．已知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，过抛物线上一点M(p，p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|FM|等于(　　) A．1∶ B．1∶ C．1∶2 D．1∶3 【答案】C 【详解】由题意知直线 方程为， 联立方程,得． 所以， 所以，故选C. 7．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义和余弦定理求出与，再根据三角形面积公式求解. 【详解】对于椭圆方程，可得，， 可得，那么， 根据椭圆的定义，得， 在中，由余弦定理得， 已知，， 代入可得， 又因为，所以，解得， 所以的面积. 故选：D.    8．下列说法正确的是（ ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过，两点的所有直线的方程为 D．直线的倾斜角的取值范围是 【答案】D 【分析】根据命题真假的判断，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案． 【详解】对A：当时，“直线与直线互相垂直”， 当直线与直线互相垂直，解得或， 故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故A错误； 对B：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为： ①经过原点的直线，②不经过原点，设直线在坐标轴上的截距为a， 设直线方程，所以，解得，即，故B错误； 对C：过，(且，) 两点的所有直线的方程，故C错误； 对D：直线的倾斜角，则， 由正切函数性质可知斜角的取值范围是，故D正确. 故选：D. 9．“”是“的解集是实数集”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件及充分必要条件即可得解. 【详解】当时，，显然成立； 当时，，解得， 故的解集是实数集等价于. 因此，“”是“的解集是实数集”的充分而不必要条件. 故选：A. 10．已知，，则“”是“，”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件，必要条件的概念求解即可. 【详解】由可知与同号，即，同为正数或同为负数，即由不能推出，，所以“”不是“，”的充分条件； 因为，，所以，即由，可以推出，所以“”是“，”的必要条件； 所以“”是“，”的必要不充分条件，故选项A正确. 故选：A. 11．若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线方程和椭圆方程后利用判别式可求的取值范围. 由可得， 故，故或， 故选：D. 12．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，据图并结合已知条件进行分析即可求解. 【详解】由题可知，，因为点在上， ， 又， ，解得. 故选：C． 13．在直三棱柱中，已知，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将异面直线与所成的角转化到三角形中，再求解即可. 【详解】   在直三棱柱中，平面，进而. 因为，平面，所以平面，进而. 因为，所以异面直线与所成的角为. 在中，，所以. 因为，解得. 故选：C. 14．已知a，b，c是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据线线、线面及面面的位置关系一一判断求解即得. 【详解】对A，若，，则可能平行、相交或异面，A错误； 对B，若，，则可能平行、相交或异面，B错误； 对C，若，，则可能、 或与相交，C错误； 对D，因为，，则，D正确； 故选：D. 15．已知为坐标原点，椭圆的左､右焦点分别是，离心率为.是椭圆上的点，的中点为，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由椭圆的定义和几何性质，求得椭圆的方程为，设，再由圆的切线长的性质，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为的中点为，所以， 所以， 又因为，所以，所以椭圆的方程为， 设，则，所以，其中， 连接，因为圆，可得圆心，半径为， 又因为为圆的切线，切点为，所以，且， 可得， 因为，所以当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．过平面外一点，可以作________条直线与平面平行. 【答案】无数 【分析】利用面面平行的性质即可得解. 【详解】如图，在平面外一点作一个平面与该平面平行， 此时，在所作平面内的所有过该点的直线都与该平面平行， 所以过平面外一点，可以作无数条直线与平面平行. 故答案为：无数. 17．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线的一部分．该桥的高度为米，跨径为米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为________米．（结果用，表示） 【答案】 【分析】以桥顶为坐标原点，建立直角坐标系，设该抛物线，代入点，即可求解. 【详解】如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系， 结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为． 故答案为：． 18．已知点P是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，分别是椭圆的左右焦点，为坐标原点，若点是的角平分线上的一点，且则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题意作图，根据三角形中位线可得，结合椭圆定义以及性质从而解得． 【详解】由题意作图如下，   点是的角平分线上的一点，且， 点是的中点， 设，则， 又点是的中点， ， 由椭圆的定义可知， ， 由于，且P与椭圆的四个顶点不重合， 故或， ． 故答案为：． 19．已知双曲线的一条渐近线与直线：平行，则的离心率________. 【答案】或 【分析】先由直线平行可得斜率，再分类讨论双曲线的焦点位置求解离心率即可. 【详解】∵双曲线的一条渐近线与直线：平行， ∴可知双曲线的渐近线斜率， 当双曲线焦点在x轴时，则有，即， 又有， 则离心率； 当双曲线焦点在y轴时，则有，即， 又有， 则离心率； 则的离心率为或. 故答案为：或. 20．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线及其准线从上到下依次交于A，B，C三点.令，则的值为__________. 【答案】2 【分析】设，由题意求出直线l的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求得，进而求出即可. 【详解】设，由得，， 则直线l的方程为，即， ，消去y得， ， 解得. 过点作准线的垂线，分别交准线于点， 则， 同理可得. 故答案为：2. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．指出下列命题中，是的什么条件： （l），； （2）两直线平行，同位角相等； （3）点在角的平分线上，点到角的两边所在直线的距离相等； （4）斜边相等，两直角三角形全等. 【答案】（1）充分不必要条件；（2）充要条件；（3）充分不必要条件；（4）必要不充分条件. 【分析】（1）利用集合的包含关系判断可得出结论； （2）利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论； （3）利用角平分线的性质和定义判断可得出结论； （4）利用全等三角形可判断可得出结论. 【详解】（1）由可得，因为，因此，是的充分不必要条件； （2）两直线平行，则同位角相等，反之，若同位角相等，则两直线平行， 因此，是的充要条件； （3）若点在角的平分线上，则点到角的两边所在直线的距离相等， 反之，若点到角的两边所在直线的距离相等，则该点在角的角平分线或该角的补角的平分线上， 故是的充分不必要条件； （4）若两个直角三角形的斜边相等，如三条边长分别为、、的直角三角形和三边边长分别为、、的直角三角形，这两个三角形不全等， 另一方面，若两个直角三角形全等，则这两个直角三角形的斜边相等. 因此，是的必要不充分条件. 22．设椭圆的左、右焦点分别为，，点满足． (1)求椭圆的离心率； (2)设直线与椭圆相交于，两点，若直线与圆相交于，两点，且，求椭圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出焦点坐标，根据两点之间的距离公式列出等式，结合椭圆的离心率公式即可解得. （2）根据前一问求出椭圆方程和直线方程，再将两者联立求解得出点的坐标，最后根据距离公式列出等量关系即可解得. 【详解】（1）设，， 因为，所以， 整理得，得（舍）或， 所以. （2）由（1）知，，可得椭圆方程为， 直线的方程为． ，两点的坐标满足方程组， 消去并整理，得，解得，. 得方程组的解，， 可设，，所以， 于是， 圆心到直线的距离， ，又因为， 所以，整理得． 得（舍）或，即， 所以椭圆方程为． 23．已知抛物线， (1)求焦点坐标和准线方程； (2)若抛物线上一点横坐标为，求该点纵坐标． 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为 (2)该点纵坐标为 【分析】（1）根据开口向左的抛物线标准方程的基本性质即可求解； （2）将已知横坐标代入方程即可求得纵坐标. 【详解】（1）抛物线符合开口向左的抛物线标准形式， 得，解得. 根据抛物线性质，其焦点位于x轴负半轴，焦点坐标为， 准线方程为. （2）将代入抛物线方程， 得，开平方得，即该点纵坐标为6或. 24．已知焦点在轴上的双曲线，焦距为，点为焦点，双曲线上有一点，使得，点与两个焦点构成的三角形的周长为，求 (1)双曲线的标准方程 (2)的面积 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于双曲线，我们需要用到双曲线的定义，以及双曲线中的关系来求解双曲线标准方程. （2）首先根据余弦定理求出，再根据三角形的面积公式求解. 【详解】（1）已知双曲线焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 焦距，则. 由双曲线的定义，已知，所以. 根据，可得. 所以双曲线的标准方程为. （2）已知点与两个焦点构成的三角形的周长为 14 ，即 ，又 ，所以. 由，联立 ，解得 . 根据余弦定理 ， 代入可得 . 则 . 所以的面积 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $