专题09 二倍角公式的简单应用-北师大版《数学》拓展模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题09 二倍角公式的简单应用 一、知识梳理 （一）二倍角核心公式 1.正弦二倍角公式 变形： 2.余弦二倍角公式 变形： 3. 3.正切二倍角公式 （二）公式使用要点 1. 角的倍数关系：看清与、与的二倍关联，灵活正反用公式； 2. 符号判断：已知角所在象限，先判断正负，再代入二倍角求值； 3. 化简思路：遇平方余弦优先用降幂，遇优先逆用升幂。 2、 题型精练 题型1 给值求二倍角三角函数 【典例 1】已知，是第二象限角，求 答案： 分析：本题考查同角三角函数基本关系、二倍角正弦 / 余弦 / 正切公式，先根据象限判断符号求出，再依次计算三个二倍角函数。 详解：为第二象限角， 题型2 结合三角形、两角和差综合求值 【典例 1】在中，已知，求 答案： 分析：本题考查三角形内角范围、二倍角余弦公式，三角形内角，直接代入余弦二倍角公式计算。 详解： 【典例 2】已知，求 (1)；(2) 答案：(1)；(2) 分析：本题考查二倍角正切公式、二倍角余弦齐次式化简，第一问直接用正切二倍角，第二问构造齐次式转化为计算。 详解：(1) (2) 三、知识检测 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查二倍角的余弦公式知识点.利用二倍角的余弦公式即可得解. 详解：. 故选：B. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查二倍角的正弦公式知识点.根据二倍角的正弦公式计算. 详解：. 故选：C. 3．化简（    ） A．1 B．2 C． D． 答案：B 分析：本题考查诱导公式五、六、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式知识点.由二倍角的正余弦公式结合诱导公式进行化简即可得解. 详解：. 故选：B. 4．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的正弦公式知识点.将条件平方后展开，结合平方关系及二倍角正弦公式求解即可. 详解：， 解得. 故选：C. 5．（   ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查二倍角的余弦公式知识点.根据二倍角的余弦公式求解即可. 详解：． 故选：C. 6．的值为（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查二倍角的余弦公式知识点.利用三角函数的倍角公式即可得解. 详解：. 故选：B. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查二倍角的余弦公式知识点.由余弦函数的二倍角公式计算即可. 详解：， . 故选：B. 8．若，则的值是（   ） A． B． C． D．0 答案：A 分析：本题考查由条件等式求正、余弦、二倍角的余弦公式知识点.根据题意，结合同角三角函数的平方关系及余弦的二倍角公式，即可求解. 详解：因为， 所以. 故选：A. 二、填空题 9．已知，，则的终边在第______象限（填“一”“二”“三”或“四”） 答案：一 分析：本题考查由三角函数式的符号确定角的范围或象限、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式知识点.由二倍角公式求出，的值，再判断的终边在第几象限即可. 详解： ，且， 的终边在第一象限或第二象限； ，且， 的终边在第一象限或第四象限； 综上，的终边在第一象限. 故答案为：一. 10．已知，则_________. 答案： 分析：本题考查二倍角的余弦公式知识点.应用二倍角的余弦公式即可求解的值 详解：. 故答案为:. 11．已知，则_______. 答案：. 分析：本题考查二倍角的正切公式知识点.，故角是角的二倍，由二倍角公式即可求解. 详解:， ∴. 故答案为：.. 12．化简：__________. 答案： 分析：本题考查正、余弦齐次式的计算、二倍角的余弦公式知识点.根据三角函数的倍角公式化简求解即可. 详解：由可得， 原式. 故答案为:. 三、解答题 13．已知，是第二象限角，求，和的值． 答案： 分析：本题考查三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、给值求值型问题知识点.根据同角三角函数的基本关系式与二倍角公式求解即可； 详解：因为是第二象限角， 所以， 于是，有， ． 又因为， 所以． 14. 已知,求的值. 答案： 分析：本题考查sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的正弦公式知识点.因为，所以需要将平方，才能得到. 详解： 解得，所以. 15．已知且为锐角，求的值． 答案： 分析：本题考查sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的正弦公式知识点.利用三角函数的平方关系与二倍角公式的关系，构建等式求解. 详解：∵，∴， ∵为锐角，∴，即， ∴. 16．在△中，已知，求的值． 答案： 分析：本题考查二倍角的余弦公式知识点.根据三角形内角的范围确定的正负，再代二倍角的余弦公式求解即可. 详解：在△ABC中，，则， 由可得：. 17．已知，且，求，，的值． 答案：. 分析：本题考查已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式知识点.根据同角三角函数基本关系式及二倍角公式即可得解. 详解：因为，所以， 利用公式可得 ， ， . 18．已知． (1)求的值； (2)求的值． 答案：(1) (2) 分析：本题考查已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式知识点.（1）根据同角三角函数的商数关系得出的值，再由二倍角的正切公式求值即可. （2）根据二倍角的余弦公式和两角和的余弦公式等化简即可. 详解：（1）由，得 所以， 所以. （2） 由（1）知， 所以上式. 19． 证明： 答案：见详解 分析：本题考查利用二倍角公式由左到右化简知识点. 详解：左边= =右边 20．已知，且角为第三象限角.求： (1)和的值； (2)的值. 答案：(1) (2) 分析：本题考查已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式知识点.（1）根据同角三角函数的平方关系求出的值，再由两角差的余弦公式求值即可. （2）根据诱导公式和二倍角的余弦公式求值即可. 详解：（1），且角为第三象限角， . （2） 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 专题09二倍角公式的简单应用 一、知识梳理 (一)二倍角核心公式 1.正弦二倍角公式 sin2 a=2sin a cosa 1 变形：sin acosa= 2 sin2a 2.余弦二倍角公式 cos2 a=cos2a-sin2a=2 cos2a-1=1-2 sin2a 1-cos2a ,_1+c0s2a 变形：sina= -cos d= 3.正切二倍角公式 tan2a=2tana 1-tano (二)公式使用要点 1. 角的倍数关系：看清2α与0、Q与9的二倍关联，灵活正反用公式： 2.符号判断：已知角所在象限，先判断sic、cos正负，再代入二倍角求值： 3.化简思路：遇平方余弦优先用cos2o降幂，遇sin a cosa优先逆用sin2c升幂。 二、题型精练 题型1给值求二倍角三角函数 【典例1】已知cosa=- ,a是第二象限角，求sin2a、cos2a、tan2a 4 11 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 题型2结合三角形、两角和差综合求值 【典例1】在△ABC中，已知cosA 4,求c0s2A 【典例2】已知tano=2,求(1)tan2o:(2)cos2o 三、知识检测 一、单选题 1.若sina= 3,则cos2a=() A. 7 B.o c. 7 D. 、8 9 2.已知 inacosa= 8,则sin2a=() 5 5 5 √5 A.4 B.8 C.4 D.8 cos25°-sin25° 3.化简sin40°cos40°() 22 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com A.1 B.2 c D.-1 1 4.己知sina+csa=2,则sin2a等于（） B c. D.-4 5.1-2sin2 8=() 1 √2 A司 B.2 C.2 D. 2 6.1-2sin215°的值为() 5 1 1 A.2 B.2 c. 2 D.2 7.已知sing=1 125,则cosa=（) 3 23 2v6 2W6 A.25 B.25 C.5 D.5 8.若a=i2,则cosa-sina的值是（） 3 √2 A.2 B.2 C.2 D.0 二、填空题 9尼知im6=号，c0s0- 3 5,则29的终边在第」 象限（填“一”“二”“三” 或“四”) 10.已知simg=1 123,则cosa= 33 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com _1 11. 已知ta 23,则tana=一 (1-cos2a)sin 2a 12.化简：2cos2 asin2a 三、解答题 4 13.已知sina=5,a是第二象限角，求in2a'cos2a和an2a的值. 14.已知sina-cosa= 3求sin2c的值 44 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 3 15.已知sin2a=4且a为锐角，求sina+cosu的值. 16在A48C中已知os4=号求的堂 55 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 17.已知osa= 13,且(2π 求sin2a,cos2a,tan2a的值. 18.已知sin号-2cos5=0 2 (I)求tanx的值； cos 2x (2)求cos 4+r小sin(π+)的值. 5π 66 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 19.证明： sin2a-cos2+1=sin2a. 1+tana 3 20.已知sina=-),且角a为第三象限角求： π (①cosa和cosa 4的值： (n2a (2- 的值 77 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 88 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！