专题08 二倍角的正弦余弦和正切-北师大版《数学》拓展模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 专题08 二倍角的正弦、余弦和正切 一、知识梳理 (一)二倍角核心公式 1.正弦二倍角公式 sin2a=2sin acosa 变形：sin a cosa= -sin2a 2.余弦二倍角公式 cos2 a=cos2a-sin2q=2 cos2a-1=1-2 sin2a 变形：sin'a=1-cos2 2 ,cos2a=1+cos2a 3.正切二倍角公式 tan2a=2tan a 1-tana 限制条件：a子受+k,2号+k,k∈Z(保证ana、tan2a有点义) 2 二、题型精练 题型1直接应用二倍角公式求值 【典例1】己知sinc= 求sim2c 【典例2】已知cosa 3 求c0s2c 11 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 【典例3】已知tanc=2,求tan2c 题型2逆用二倍角公式化简、特殊角求值 【典例1】化简2sin15°cos15 【典例2】化简1-2sin220° 题型3sina±cosa与sin2a互化 【典例1】己知sina+cosa 5,求sin2a 题型4正切齐次式结合二倍角计算 in2a 【典例1】已知tano=3,求 sin a-cosa 22 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 三、知识检测 一、单选题 1.若a=合则ca-ma的信是() √5 √2 A.2 B.2 c. D.0 2.化简cosa-sina的结果是()· A.cos2a B.sin2a C.2sin2a D 2cos 2a 3.1-2sin215°的值为() 5 5 1 A. B.2 C. 2 D.2 4.2cos222.5°-1的值为() A. 1 2 √2 B.2 C.2 D.2 5,sin75°cos75°=(） A分 B.4 C.2 D.4 6.己知sina+cosa=2,则sin2a等于（) 33 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com A B C.-4 D. 4 7.计算1-2sin222.5°的结果等于() 1 √2 5 A.2 B.2 C.3 D.2 8.2cos2π」 s21的值等于() A分 √5 √2 B.2 C. 2 D.2 5 sina cosa= 9.已知 8,则sin2a=() 5 5 5 5 A.4 B.8 C.4 D.8 10.已知tana=- ,则sin2a+cosa的值为() 10 A.3 B.3 D.±3 11.以下函数的周期为π的是（) A.y=sinx+》 3 B.y=2si 2x-4到 C.y=2sin22x D.y=cos22x 12已知sn2十a3.则cos-2的值为（】 5 1 1 A 3 B.9 c.9 D.3 44 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 二、填空题 13.填空题： (2)cos75°cosl5°+sin75°sinl5°= (3) (4)tan75°= tan165 (5)1-tam215° √2 ina+cosa= (6)已知 2,则cos4a= 14.计算sin15°cosl5°的值为 15.计算2sin15°cos15°= 1 cos2a=- 16.已知 2, 则cosa= 17.填空题 (1)sin95°sin25-cos95°cos25°= (2)sin195°= √5-tanl5 (3)1+√3tanl5 w合 12 三、解答题 55 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 18已知角为第三象限角，smu=片，求n2acos2a和n2u的位 5 0ama=3.月（2'“， sin- 求cos2a,sin2a及2的值. 20.已知0<a< 2.sina=3 66 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com (1)求cosa的值： π ②求ma-6)的值 (3)求tan2a的值 4 21.已知c0sa= ,且角为第二象限角求： cos 2a (1)气2 的值： 2 tan2a 4的值. 77 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 22.求下列各式的值： eos号-sn受 2； (2os20·c0s40.c0s80 88 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专题08 二倍角的正弦、余弦和正切 一、知识梳理 （一）二倍角核心公式 1.正弦二倍角公式 变形： 2.余弦二倍角公式 变形： 3.正切二倍角公式 限制条件：，（保证有意义） 2、 题型精练 题型1 直接应用二倍角公式求值 【典例 1】已知，，求 答案： 分析：本题考查同角三角函数平方关系、二倍角正弦公式 详解：， 由 【典例 2】已知，求 答案： 分析：本题考查二倍角余弦公式 详解： 【典例 3】已知，求 答案： 分析：本题考查二倍角正切公式 详解： 题型2 逆用二倍角公式化简、特殊角求值 【典例 1】化简 答案： 分析：本题考查逆用二倍角正弦公式、特殊角三角函数值 详解： 逆用，原式 【典例 2】化简 答案： 分析：本题考查逆用二倍角余弦公式 详解： 由，原式 题型3 sinα±cosα与sin2α互化 【典例 1】已知，求 答案： 分析：本题考查和的关系、二倍角正弦公式 详解：两边平方： ， 题型4 正切齐次式结合二倍角计算 【典例 1】已知，求 答案： 分析：本题考查正、余弦齐次式的计算、二倍角正弦公式、同角商数关系 详解：原式，分子分母同除以 ，分母带负号，结果 3、 知识检测 一、单选题 1．若，则的值是（   ） A． B． C． D．0 答案:A 分析: 本题考查由条件等式求正、余弦、二倍角的余弦公式知识点.根据题意，结合同角三角函数的平方关系及余弦的二倍角公式，即可求解. 详解:因为， 所以. 故选：A. 2．化简的结果是（    ）. A． B． C． D． 答案:A 分析: 本题考查三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的余弦公式知识点.利用平方差公式、二倍角公式及同角三角函数的平方关系即可求解. 详解:∵同角三角函数的平方关系：，二倍角公式：， ∴. 故选：A. 3．的值为（    ） A． B． C． D． 答案:B 分析: 本题考查二倍角的余弦公式知识点.利用三角函数的倍角公式即可得解. 详解:. 故选：B. 4．的值为（    ） A． B． C． D． 答案:C 分析: 本题考查二倍角的余弦公式知识点.由余弦二倍角公式计算即可. 详解:. 故选:C. 5．（   ） A． B． C． D． 答案:B 分析: 本题考查二倍角的正弦公式知识点.根据二倍角的正弦公式求值即可. 详解: ， 故选：B. 6．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 答案:C 分析: 本题考查sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的正弦公式知识点.将条件平方后展开，结合平方关系及二倍角正弦公式求解即可. 详解:， 解得. 故选：C. 7．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 答案:B 分析: 本题考查二倍角的余弦公式知识点.由二倍角公式把所求式子化即可得到答案. 详解:因为，所以. 故选：B. 8．的值等于（   ） A． B． C． D． 答案:B 分析: 本题考查二倍角的余弦公式知识点.根据二倍角余弦公式求解即可. 详解:． 故选：B. 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 答案:C 分析: 本题考查二倍角的正弦公式知识点.根据二倍角的正弦公式计算. 详解:. 故选：C. 10．已知，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 答案:B 分析: 本题考查正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式知识点.利用同角三角函数关系和二倍角正弦公式先将分式转化成正、余弦齐次式，再化简之后代入易得答案. 详解:因为， 所以原式. 故选：B． 11．以下函数的周期为的是（    ） A． B． C． D． 答案:B 分析: 本题考查求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式知识点.利用三角函数的周期性，结合倍角公式即可得解. 详解:对于A，函数周期为； 对于B，函周期为； 对于C，函数周期为； 对于D，函数，周期为. 故选：B． 12．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 答案:C 分析: 本题考查三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式知识点.根据三角函数的诱导公式以及二倍角的余弦公式求解即可. 详解:因为， 所以． 故选：C. 二、填空题 13．填空题： （1）______________； （2）______________； （3）______________； （4）______________； （5）______________； （6）已知，则______________． 答案: 分析: 本题考查sinα±cosα和sinα·cosα的关系、诱导公式五、六、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式知识点.（1）先应用诱导公式化简，应用两角和的余弦公式计算即可. （2）逆用两角差的余弦公式求解即可. （3）先应用诱导公式化简，再应用两角和的正弦公式计算即可. （4）应用两角和正切公式计算即可. （5）先应用诱导公式化简，再逆用二倍角的正切公式求解即可. （6）先应用与关系求解，再应用二倍角的余弦公式求解即可. 详解:（1）. （2）. （3）. （4）. （5） （6）， 所以. 故答案为：; ; ; ; ; . 14．计算的值为________． 答案:/0.25 分析: 本题考查求特殊角的三角函数值、二倍角的正弦公式知识点.根据题意结合二倍角的正弦公式即可得解. 详解:， 故答案为：. 15．计算________． 答案:/0.5 分析: 本题考查二倍角的正弦公式知识点.利用正弦二倍角公式可求. 详解:； 故答案为：. 16．已知，，则____ 答案: 分析: 本题考查二倍角的余弦公式知识点.根据二倍角余弦公式即可求解. 详解:解：， . ， ， . 故答案为：. 17．填空题： （1）______________； （2）______________； （3）______________； （4）______________． 答案: /0.5 1 分析: 本题考查逆用和、差角的余弦公式化简、求值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、二倍角的余弦公式知识点.由两角和差公式,诱导公式,二倍角公式即可得解. 详解:（1） . （2） . 所以. （3）. （4） 故答案为:.,,1,. 三、解答题 18．已知角为第三象限角，，求、和的值. 答案:，， 分析: 本题考查已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式知识点.先由同角的三角函数的平方关系和商数关系求解和的值，再由正弦，余弦和正切的二倍角公式求解即可. 详解:角为第三象限角，， ，， ， ， （用解答亦可）. 19．已知，且，求，及的值． 答案:，， 分析: 本题考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式知识点.根据平方关系求出角的余弦值，再套用二倍角的正弦、余弦公式计算即可. 详解:因为，所以， ， ， 又因为， 且，， 所以. 综上，，，. 20．已知，. (1)求的值； (2)求的值 (3)求的值 答案:(1) (2) (3) 分析: 本题考查已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、二倍角的正切公式知识点.（1）由同角的三角函数的平方关系求解即可. （2）由两角差的正弦公式求解即可. （3）先计算出的值，再应用正切的二倍角公式计算即可. 详解:（1）因为，， 所以. （2） . （3）， . 21．已知，且角为第二象限角.求： (1)的值； (2)的值. 答案:(1) (2) 分析: 本题考查已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式知识点.（1）先由同角的三角函数的平方关系求解的值，再由诱导公式和正弦的二倍角公式即可求解. （2）先应用余弦的二倍角公式求解的值，再由同角的三角函数的商数关系求解的值，再由两角和的正切公式求解即可. 详解:（1），且角为第二象限角， ， . （2）， ， . 22．求值 答案: 分析: 本题考查平方关系、诱导公式二、三、四、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式知识点.（1）根据余弦的二倍角公式结合同角三角函数的基本关系即可求解. 详解:（1） ． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $