奥数培优专题14 掷一掷——概率的初步认识（讲义）2026-2027学年五年级上册数学（人教版）

本讲义聚焦小学数学“掷一掷——概率的初步认识”核心知识点，系统梳理两个骰子点数和的枚举、统计规律、公平游戏设计、生活应用及枚举法解题五大考点，构建“枚举列举—统计验证—规律归纳—应用设计—拓展解题”的完整体系，前承可能性基础概念，后启概率统计深入学习，为学生提供从具体操作到抽象思维的学习支架。 资料特色在于知识体系表格化呈现（知识模块、核心内容等对应表）和解题方法口诀化记忆（列表枚举法等技巧口诀），通过典型例题分层解构（基础到奥数型）培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理意识）。如用列表法枚举点数和组合，发展枚举思想；设计三人公平游戏，体现模型意识。课中辅助教师系统授课，课后通过分层精练和精准解析帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题十四 掷一掷——概率的初步认识 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：两个骰子点数之和的所有可能情况（列表法） 3 考点二：点数之和出现频率的统计与规律发现 5 考点三：利用可能性设计公平游戏 6 考点四：概率思想在生活中的应用 8 考点五：简单概率问题的枚举法 9 第三部分 易错避坑指南 11 易错点 1：枚举组合时重复或遗漏 11 易错点 2：将试验频率等同于理论概率 11 易错点 3：设计公平游戏时，只看点数和大小，不看组合数 11 易错点 4：认为概率小的事件不可能发生，概率大的事件一定发生 11 易错点 5：计算可能性时，总结果数算错 12 第四部分 分层进阶专题精练 13 一、基础夯实篇（8 题） 13 二、能力进阶篇（7 题） 13 三、思维跃迁篇（5 题） 14 第五部分 精准解析 15 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版五年级上册第四单元 “可能性” 的实践探究核心内容，围绕两个骰子掷出后的点数和规律展开，涵盖点数和的枚举、频率统计与规律发现、公平游戏设计、生活概率应用、枚举法解题五大考点，建立 “枚举列举 — 统计验证 — 规律归纳 — 应用设计 — 拓展解题” 的完整概率探究体系，掌握列表枚举、频率统计、规律归纳、公平设计等核心方法，深化随机观念与统计探究能力，为后续概率统计学习奠定实践基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 两个骰子点数之和的所有可能情况 用列表法枚举两个骰子点数和的全部组合，确定和的取值范围与组合数 列表枚举法、组合计数法 枚举时遗漏或重复组合，误判点数和的取值范围 点数之和出现频率的统计与规律发现 通过试验统计点数和的出现次数，对比理论概率，发现中间数出现频率更高的规律 试验统计法、频率对比法 将试验频率等同于理论概率，忽略试验的随机性波动 利用可能性设计公平游戏 基于点数和的可能性大小，设计双方获胜机会均等的游戏规则 公平设计法、规则验证法 只看点数和的大小，忽略对应组合数多少，导致规则不公平 概率思想在生活中的应用 用掷一掷的概率规律解释生活中的抽奖、游戏、决策等场景的概率问题 生活建模法、概率解释法 将生活中的随机事件当成必然事件，忽略概率的随机性 简单概率问题的枚举法 用列表、枚举的方法解决简单的两步随机事件概率问题，计算事件发生的可能性大小 枚举分析法、占比计算法 枚举时遗漏组合，导致可能性计算错误 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 列表枚举法 点数和组合枚举题 列表展示两个骰子所有点数组合→计算对应点数和→统计每种和的组合数 两个骰子点数列，行列交叉算和数，组合数量不重复 试验统计法 频率统计规律题 重复掷骰子试验→记录每次点数和→统计各类和的出现次数 多掷几次记次数，频率高低看次数，试验越多越准 公平设计法 游戏规则设计题 列举双方获胜的点数和→统计对应组合数→验证可能性是否相等 组合数量要相等，双方机会才公平，规则设计要严谨 枚举分析法 简单概率计算题 列举所有可能的结果→统计符合要求的结果数→计算占比得可能性 所有结果全列出，符合要求数清楚，相除得到可能性 规律归纳法 点数和规律探究题 对比不同点数和的组合数→观察数量分布→归纳出现频率的规律 中间数组合多，出现次数多，规律归纳要结合组合数 三、奥数思维提升 1. 枚举思想：随机事件的穷尽与计数 核心要点：对于两步随机事件（如掷两个骰子），通过列表、枚举的方式，把所有可能出现的结果全部列出来，再统计符合要求的结果数量，就能准确计算事件发生的可能性。穷尽所有可能、不重复不遗漏，是解决概率问题最基础也最核心的枚举思想。 示例：掷两个骰子，点数和为 7 的可能性有多大？先列表枚举所有 36 种等可能结果，数出和为 7 的组合有 6 种，就能算出可能性是 =。通过枚举穷尽所有结果，就能精准计算概率，避免遗漏或重复。 2. 统计思想：试验频率与理论概率的对应 核心要点：理论上的概率是固定不变的，但实际试验中得到的频率会围绕理论概率上下波动；试验次数越少，波动越大；试验次数越多，频率越接近理论概率。通过大量重复试验，用频率估计概率，是统计思想在概率探究中的核心应用。 示例：掷两个骰子，理论上点数和为 7 的概率是 。实际掷 10 次，可能只出现 1 次，频率和理论值有偏差；但掷 1000 次，出现和为 7 的次数会非常接近 167 次，频率几乎和理论概率完全一致。 3. 公平性思想：等可能性下的规则设计 核心要点：公平的游戏规则，本质是让双方获胜的可能性大小完全相等。在掷骰子游戏中，不同点数和对应的组合数量不同，出现的可能性也不同，只有让双方对应的组合数量相等，才能保证游戏公平，这是公平性思想在游戏设计中的核心应用。 示例：掷两个骰子，规则是 “和为奇数甲赢，和为偶数乙赢”，奇数和与偶数和的组合数各有 18 种，可能性相等，游戏公平；但如果规则是 “和大于 7 甲赢，和小于 7 乙赢”，大于 7 的组合有 15 种，小于 7 的组合有 15 种，也公平；但如果只按点数大小定胜负，就会出现可能性不等的情况。 4. 极限思想：频率随试验次数趋近于概率 核心要点：掷骰子试验中，点数和的出现频率会随着试验次数的不断增加，波动逐渐减小，越来越接近它真实的理论概率。试验次数越少，结果的偶然性越大；试验次数越多，结果越稳定，逐渐收敛到理论概率，体现了极限思想在概率探究中的应用。 示例：掷两个骰子，点数和为 6 的理论概率是 ≈13.89%。掷 10 次，出现频率可能是 20%，偏差很大；掷 100 次，频率可能是 14%，偏差缩小；掷 10000 次，频率会无限接近 13.89%，误差几乎可以忽略。 5. 建模思想：掷骰子问题的通用模型 核心要点：所有掷两个骰子的概率问题，都可以抽象成 “36 种等可能结果” 的通用模型，无论是计算点数和的可能性、设计游戏规则，还是解决生活中的类似概率问题，都可以套用这个模型，先确定总结果数，再统计符合要求的结果数，就能快速求解，体现数学建模的普适价值。 示例：计算 “掷两个骰子，点数和是 5 的倍数的可能性”，套用通用模型，先列出所有 36 种结果，数出和为 5、10 的组合共 7 种，就能算出可能性是 ，无需每次都重新推导基础逻辑。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：两个骰子点数之和的所有可能情况（列表法） 典型例题 1（基础型）—— 点数和的取值范围 题目：掷两个完全相同的骰子，点数之和最小是多少？最大是多少？一共有多少种不同的点数和？ 思路点拨： ① 骰子的点数最小是 1，两个骰子最小点数和：1+1=2； ② 骰子的点数最大是 6，两个骰子最大点数和：6+6=12； ③ 点数和的取值范围是 2 到 12，一共有 11 种不同的点数和。 【答案】最小是 2，最大是 12，一共有 11 种不同的点数和 【知识点睛】两个骰子的点数和取值范围是 2~12，共 11 种可能，不存在 1 和 13 及以上的点数和。 典型例题 2（提高型）—— 列表枚举所有组合 题目：用列表法列出掷两个骰子，点数和为 7 的所有组合，一共有多少种？ 思路点拨： ① 列表展示第一个骰子的 1-6 点，对应第二个骰子的点数，使和为 7； ② 组合分别是：(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)； ③ 数出一共有 6 种不同的组合。 【答案】6 种 【知识点睛】列表枚举时要做到不重复、不遗漏，两个骰子是不同的，(1,6) 和 (6,1) 是两种不同的组合。 典型例题 3（奥数型）—— 组合数与可能性计算 题目：掷两个骰子，一共有多少种等可能的结果？点数和为 7 的可能性是多少？ 思路点拨： ① 第一个骰子有 6 种可能，第二个骰子也有 6 种可能，总结果数：6×6=36 种； ② 点数和为 7 的组合有 6 种； ③ 可能性 = 符合要求的结果数 ÷ 总结果数，即 6÷36=。 【答案】36 种等可能结果；可能性是 【知识点睛】掷两个骰子总共有 36 种等可能的结果，计算可能性时，总结果数是固定的 36 种。 考点二：点数之和出现频率的统计与规律发现 典型例题 1（基础型）—— 试验频率统计 题目：小明掷两个骰子 20 次，记录的点数和如下：7、6、8、7、5、7、9、6、7、8、4、7、10、6、7、8、5、7、6、9。统计点数和为 7 的出现次数是多少？频率是多少？ 思路点拨： ① 逐个数出数据中点数和为 7 的次数，一共出现了 7 次； ② 频率 = 出现次数 ÷ 总试验次数，即 7÷20=0.35； ③ 因此出现次数是 7 次，频率是 0.35。 【答案】出现 7 次，频率是 0.35 【知识点睛】频率是试验中实际出现的次数与总试验次数的比值，和理论概率可能存在偏差。 典型例题 2（提高型）—— 点数和的规律发现 题目：对比掷两个骰子，不同点数和的组合数量：和为 2 有 1 种，和为 3 有 2 种，和为 4 有 3 种，和为 5 有 4 种，和为 6 有 5 种，和为 7 有 6 种，和为 8 有 5 种…… 你发现了什么规律？ 思路点拨： ① 观察组合数量变化：从和为 2 到和为 7，组合数量依次增加 1；从和为 7 到和为 12，组合数量依次减少 1； ② 点数和越接近中间数 7，对应的组合数量越多，出现的可能性越大； ③ 点数和为 7 的组合数量最多，出现的可能性最大。 【答案】规律：点数和越接近 7，组合数量越多，出现可能性越大；和为 7 的组合数量最多，可能性最大 【知识点睛】两个骰子的点数和，中间数 7 的可能性最大，向两边依次递减，呈现对称分布的规律。 典型例题 3（奥数型）—— 频率与概率的关系 题目：小红和小明都在做掷两个骰子的试验，小红掷了 10 次，点数和为 7 的出现了 1 次；小明掷了 1000 次，点数和为 7 的出现了 168 次。两人的试验结果和理论概率 的偏差分别是多少？说明了什么？ 思路点拨： ① 小红的频率：1÷10=0.1，和理论概率 ≈0.1667 的偏差约 0.0667； ② 小明的频率：168÷1000=0.168，和理论概率的偏差约 0.0013； ③ 说明试验次数越多，频率越接近理论概率，偏差越小。 【答案】小红的偏差约 0.0667，小明的偏差约 0.0013；说明试验次数越多，频率越接近理论概率 【知识点睛】试验频率随试验次数增加逐渐趋近于理论概率，这是概率的统计定义核心规律。 考点三：利用可能性设计公平游戏 典型例题 1（基础型）—— 公平性判断 题目：掷两个骰子，规则是：点数和大于 7 甲赢，点数和小于 7 乙赢，点数和等于 7 重来。这个游戏公平吗？为什么？ 思路点拨： ① 先数出组合数：点数和大于 7 的组合有 15 种，点数和小于 7 的组合也有 15 种； ② 甲和乙获胜的可能性都是 ，可能性相等； ③ 因此游戏是公平的。 【答案】公平；因为甲和乙获胜的组合数都是 15 种，可能性大小相等 【知识点睛】判断游戏公平性，核心是看双方获胜的可能性是否相等，和总结果数无关。 典型例题 2（提高型）—— 不公平规则修改 题目：掷两个骰子，原规则是：点数和为奇数甲赢，点数和为偶数乙赢。这个游戏公平吗？如果不公平，请修改成公平的规则。 思路点拨： ① 先数组合数：点数和为奇数的组合有 18 种，点数和为偶数的组合也有 18 种； ② 双方获胜可能性相等，原规则是公平的； ③ 若规则修改为 “点数和大于 6 甲赢，点数和小于 6 乙赢”，大于 6 的组合有 21 种，小于 6 的组合有 10 种，不公平，可修改为 “点数和大于 7 甲赢，点数和小于 7 乙赢”，实现公平。 【答案】原规则公平；修改示例：点数和大于 7 甲赢，点数和小于 7 乙赢，点数和等于 7 重来（合理即可） 【知识点睛】设计公平游戏的核心，是让双方获胜对应的组合数量相等，保证等可能性。 典型例题 3（奥数型）—— 多规则公平设计 题目：用掷两个骰子的结果，设计一个三人玩的公平游戏，说明规则和理由。 思路点拨： ① 总共有 36 种等可能结果，要让三人获胜的可能性相等，每人需对应 12 种结果； ② 若简单按点数和分段（2-5、6-8、9-12），对应组合数为 10 种、16 种、10 种，数量不等，规则不公平； ③ 调整思路：按点数和除以 3 的余数分类，可实现组合数均分； ④ 最终规则：点数和除以 3 余 0 甲赢，余 1 乙赢，余 2 丙赢； ⑤ 验证：每种余数对应的组合数都是 12 种，三人获胜可能性相等，游戏公平。 【答案】规则：点数和除以 3 余 0 甲赢，余 1 乙赢，余 2 丙赢；理由：每种余数对应的组合数都是 12 种，三人获胜可能性相等，游戏公平 【知识点睛】多人公平游戏设计，要让每个人对应的结果数量相等，保证等可能性。 考点四：概率思想在生活中的应用 典型例题 1（基础型）—— 抽奖概率判断 题目：超市抽奖活动，掷两个骰子，点数和为 12 中一等奖，点数和为 11 中二等奖，点数和为 10 中三等奖。中一等奖的可能性大吗？为什么？ 思路点拨： ① 点数和为 12 的组合只有 1 种，总结果数 36 种； ② 中一等奖的可能性是 ，概率非常小； ③ 因此中一等奖的可能性很小。 【答案】可能性很小；因为点数和为 12 的组合只有 1 种，中奖概率是 ，概率极低 【知识点睛】生活中的抽奖活动，高奖项对应的结果组合数极少，中奖概率极低，理性看待抽奖。 典型例题 2（提高型）—— 游戏决策判断 题目：甲乙两人玩掷骰子游戏，规则是：掷两个骰子，点数和大于 7 甲赢，点数和小于 7 乙赢。玩 100 次，谁赢的次数可能更多？ 思路点拨： ① 点数和大于 7 和小于 7 的组合数都是 15 种，双方获胜的可能性相等； ② 理论上两人赢的次数应该接近，没有明显的偏向性； ③ 实际试验中，可能会有小范围的波动，但长期来看两人赢的次数会非常接近。 【答案】两人赢的次数会非常接近，没有谁有明显优势 【知识点睛】公平游戏中，双方获胜的可能性相等，长期试验下赢的次数会趋于一致。 典型例题 3（奥数型）—— 生活概率决策 题目：商场推出两种促销活动：活动 A：掷两个骰子，点数和为 7 免单；活动 B：掷两个骰子，点数和为 6 或 8 免单。选哪种活动免单的可能性更大？ 思路点拨： ① 活动 A 中，点数和为 7 的组合有 6 种，免单概率 =； ② 活动 B 中，点数和为 6 的组合有 5 种，和为 8 的组合有 5 种，共 10 种，免单概率 =； ③ ＞，因此选活动 B 免单的可能性更大。 【答案】选活动 B 免单的可能性更大 【知识点睛】生活中的概率决策，要先计算不同方案的概率大小，再选择最优方案。 考点五：简单概率问题的枚举法 典型例题 1（基础型）—— 基础枚举计算 题目：同时掷两个骰子，求点数和是偶数的可能性是多少？ 思路点拨： ① 先枚举所有 36 种等可能结果； ② 数出点数和为偶数的组合有 18 种； ③ 可能性 = 18÷36=。 【答案】 【知识点睛】两个骰子点数和为奇数、偶数的组合数各占一半，可能性都是 。 典型例题 2（提高型）—— 条件概率枚举 题目：掷两个骰子，已知点数和是偶数，求点数和为 8 的可能性是多少？ 思路点拨： ① 先确定总条件：点数和为偶数，对应的结果有 18 种； ② 其中点数和为 8 的组合有 5 种； ③ 可能性 = 5÷18=。 【答案】 【知识点睛】条件概率的计算，要先确定条件对应的总结果数，再统计符合要求的结果数。 典型例题 3（奥数型）—— 多事件枚举计算 题目：掷两个骰子，求点数和是 3 的倍数，且点数差为 1 的可能性是多少？ 思路点拨： ① 先列出所有点数和是 3 的倍数的组合：和为 3、6、9、12，共 2+5+4+1=12 种； ② 再从其中找出点数差为 1 的组合：(1,2)、(2,1)、(2,3)、(3,2)、(4,5)、(5,4)、(5,6)、(6,5)，共 8 种； ③ 可能性 = 8÷36=。 【答案】 【知识点睛】多条件概率计算，先满足第一个条件，再在其中筛选符合第二个条件的结果，最后计算可能性。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：枚举组合时重复或遗漏 错误示例：计算点数和为 7 的组合，只数出 (1,6)、(2,5)、(3,4)，漏掉了 (4,3)、(5,2)、(6,1)，导致组合数算成 3 种。 正确分析：两个骰子是独立的，第一个骰子 1 点、第二个 6 点，和第一个 6 点、第二个 1 点，是两种完全不同的组合，必须全部枚举。 修正方法：用列表法枚举，固定第一个骰子的点数，依次对应第二个骰子的点数，按顺序枚举，不重复不遗漏。 易错点 2：将试验频率等同于理论概率 错误示例：掷 10 次骰子，点数和为 7 出现了 2 次，就认为点数和为 7 的概率是 =，和理论值 不符。 正确分析：试验频率是实际结果，受偶然性影响，只有试验次数足够多时，频率才会接近理论概率，少量试验的频率不能代表真实概率。 修正方法：区分理论概率和试验频率，理论概率是固定不变的，试验频率会随试验次数变化，只能用大量试验的频率估计概率。 易错点 3：设计公平游戏时，只看点数和大小，不看组合数 错误示例：设计游戏规则 “点数和大于 6 甲赢，点数和小于 6 乙赢”，认为大于 6 的点数更多，规则公平，实际大于 6 的组合有 21 种，小于 6 的只有 10 种，规则不公平。 正确分析：游戏公平的核心是双方获胜的组合数量相等，不是点数和的数值大小，数值大不代表组合数多。 修正方法：设计规则前，先分别数出双方获胜对应的组合数，确认数量相等，再确定规则。 易错点 4：认为概率小的事件不可能发生，概率大的事件一定发生 错误示例：认为点数和为 12 的概率只有 ，不可能出现，连续掷了几次没出现，就认为永远不会出现。 正确分析：概率再小的事件也有可能发生，只是发生的可能性低；概率再大的事件也有可能不发生，单次试验的结果是随机的。 修正方法：区分可能性大小和必然性，概率描述的是发生的可能性，不是必然结果。 易错点 5：计算可能性时，总结果数算错 错误示例：计算掷两个骰子的可能性，总结果数算成 11 种（只看点数和的种类），导致可能性计算错误。 正确分析：计算概率时，总结果数是所有等可能的基本事件数，掷两个骰子总共有 36 种等可能的结果，不是 11 种。 修正方法：先确定所有等可能的基本结果数，再统计符合要求的结果数，两者相除得到可能性。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8 题） 1. 掷两个骰子，点数和最小是________，最大是________，一共有______种不同的点数和。 2. 掷两个骰子，总共有______种等可能的结果。 3. 判断：点数和为 7 的组合数量最多，出现的可能性最大。（ ） 4. 掷两个骰子，点数和为偶数的可能性是________。 5. 判断：掷 10 次骰子，点数和为 7 一定会出现至少 1 次。（ ） 6. 掷两个骰子，点数和为 5 的组合有________种，可能性是________。 7. 游戏公平的核心是双方获胜的______相等。 8. 掷两个骰子，点数和大于 7 的组合有________种，点数和小于 7 的组合有______种。 二、能力进阶篇（7 题） 9. 用列表法列出掷两个骰子，点数和为 6 的所有组合，一共有多少种？ 10. 掷两个骰子，求点数和是 3 的倍数的可能性是多少？ 11. 掷两个骰子，规则是：点数和为奇数甲赢，点数和为偶数乙赢。这个游戏公平吗？为什么？ 12. 小明掷两个骰子 30 次，统计得到点数和为 7 的出现了 8 次，点数和为 6 的出现了 5 次。哪种情况的频率更高？ 13. 判断：试验次数越多，得到的频率越接近理论概率。（ ） 14. 掷两个骰子，点数和为 12 的可能性是多少？这个事件是确定事件还是不确定事件？ 15. 设计一个掷两个骰子的公平游戏规则，两人玩，说明理由。 三、思维跃迁篇（5 题） 16. 掷两个骰子，求点数和大于 5 且小于 10 的可能性是多少？ 17. 甲乙两人玩掷骰子游戏，规则是：掷两个骰子，点数和为质数甲赢，点数和为合数乙赢。这个游戏公平吗？谁赢的可能性更大？ 18. 掷两个骰子，已知第一个骰子掷出了 3，求两个骰子点数和为 7 的可能性是多少？ 19. 商场抽奖活动，掷两个骰子，点数和为 11 中一等奖，点数和为 10 中二等奖，点数和为 9 中三等奖。中一等奖和二等奖的总可能性是多少？ 20. 掷两个骰子，求点数差为 1 的可能性是多少？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】2；12；11 思路点拨： ① 两个骰子最小点数和 1+1=2，最大 6+6=12； ② 点数和取值 2~12，共 11 种不同结果。 【知识点睛】两个骰子点数和的取值范围。 2. 【答案】36 思路点拨： ① 第一个骰子 6 种可能，第二个骰子 6 种可能，总结果数 6×6=36 种。 【知识点睛】掷两个骰子的总等可能结果数。 3. 【答案】 思路点拨： ① 点数和为 7 的组合有 6 种，是所有点数和中组合数量最多的，因此可能性最大。 【知识点睛】点数和的组合数量分布规律。 4. 【答案】 思路点拨： ① 点数和为偶数的组合有 18 种，总结果 36 种； ② 可能性 = 18÷36=。 【知识点睛】奇偶点数和的可能性计算。 5. 【答案】 思路点拨： ① 点数和为 7 是不确定事件，掷 10 次可能出现也可能不出现，没有必然性。 【知识点睛】随机事件的不确定性。 6. 【答案】4； 思路点拨： ① 点数和为 5 的组合：(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，共 4 种； ② 可能性 = 4÷36=。 【知识点睛】特定点数和的组合数与可能性计算。 7. 【答案】可能性 思路点拨： ① 游戏公平的核心是双方获胜的可能性大小相等，即等可能性。 【知识点睛】游戏公平性的核心判定标准。 8. 【答案】15；15 思路点拨： ① 点数和大于 7 的组合：和为 8、9、10、11、12，共 5+4+3+2+1=15 种； ② 点数和小于 7 的组合：和为 2、3、4、5、6，共 1+2+3+4+5=15 种。 【知识点睛】点数和的组合数量统计。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】组合有 (1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)，共 5 种 思路点拨： ① 固定第一个骰子点数，依次对应第二个骰子点数，使和为 6； ② 按顺序枚举，不重复不遗漏，共 5 种组合。 【知识点睛】列表枚举法的应用。 10. 【答案】 思路点拨： ① 点数和为 3 的倍数的组合：和为 3、6、9、12，共 2+5+4+1=12 种； ② 可能性 = 12÷36=。 【知识点睛】特定条件的可能性计算。 11. 【答案】公平；理由：点数和为奇数的组合有 18 种，点数和为偶数的组合有 18 种，双方获胜的可能性相等，因此游戏公平。 思路点拨： ① 分别统计奇数和与偶数和的组合数； ② 组合数相等，可能性相等，游戏公平。 【知识点睛】游戏公平性的判断。 12. 【答案】点数和为 7 的频率更高 思路点拨： ① 点数和为 7 的频率：8÷30≈0.267； ② 点数和为 6 的频率：5÷30≈0.167； ③ 0.267＞0.167，因此点数和为 7 的频率更高。 【知识点睛】频率的计算与对比。 13. 【答案】 思路点拨： ① 试验次数越多，随机波动越小，频率越接近理论概率，这是概率的统计定义。 【知识点睛】频率与试验次数的关系。 14. 【答案】可能性是；是不确定事件 思路点拨： ① 点数和为 12 的组合只有 1 种，可能性 = 1÷36=； ② 可能发生也可能不发生，属于不确定事件。 【知识点睛】小概率事件的属性判断。 15. 【答案】示例：掷两个骰子，点数和大于 7 甲赢，点数和小于 7 乙赢，点数和等于 7 重来。理由：双方获胜的组合数都是 15 种，可能性相等，游戏公平。 思路点拨： ① 设计规则需保证双方获胜的组合数量相等； ② 验证组合数相等，即可保证公平。 【知识点睛】公平游戏规则的设计。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】 思路点拨： ① 点数和大于 5 且小于 10，即和为 6、7、8、9； ② 对应组合数：和为 6 有 5 种、和为 7 有 6 种、和为 8 有 5 种、和为 9 有 4 种，总计种； ③ 可能性 = 。 【知识点睛】区间范围类概率计算，需先明确端点是否包含，再准确统计对应组合数。 17. 【答案】不公平；乙赢的可能性更大 思路点拨： ① 点数和为质数的组合：和为 2、3、5、7、11，共 1+2+4+6+2=15 种； ② 点数和为合数的组合：总组合 36 种，减去 15 种质数和，再减去和为 1（不存在），共 21 种； ③ 21＞15，乙赢的可能性更大，游戏不公平。 【知识点睛】质数与合数的概率计算与公平性判断。 18. 【答案】 思路点拨： ① 已知第一个骰子掷出 3，第二个骰子需要掷出 4，才能使和为 7； ② 第二个骰子有 6 种等可能结果，符合要求的只有 1 种； ③ 可能性 = 1÷6=。 【知识点睛】条件概率的计算，固定一个变量后，只看另一个变量的可能性。 19. 【答案】 思路点拨： ① 一等奖（和为 11）组合 2 种，二等奖（和为 10）组合 3 种； ② 总中奖组合数 2+3=5 种； ③ 可能性 = 5÷36=。 【知识点睛】多奖项总概率计算，将符合条件的组合数相加后，再除以总结果数即可。 20. 【答案】 思路点拨： ① 点数差为 1 的组合：(1,2)、(2,1)、(2,3)、(3,2)、(3,4)、(4,3)、(4,5)、(5,4)、(5,6)、(6,5)，共 10 种； ② 可能性 = 10÷36=。 【知识点睛】特殊条件的组合枚举与可能性计算。 1 学科网（北京）股份有限公司 $