第1章 1.1 集合（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 [复习策略一教师专享] 1.全面系统复习，深化理解知识本质 (3)不等式的性质，基本不等式求最值. (1)理解集合、空集、子集的定义，会根据具体条件求 (4)一元二次不等式及其综合应用. 集合的子集的个数；掌握交集、并集、补集等集合 3重视数学思想方法的应用 的运算. 集合、常用逻辑用语、不等式问题中蕴含着非常丰 (2)理解命题真假的判断，理解充分条件、必要条件、 富的数学思想和数学文化，这也是高考对该部分特 充要条件的含义及判断，能准确地对含有一个量 别重视考查的原因之一·集合与其他知识的交汇、 词的命题进行否定 充要条件的判断、基本不等式求最值等都是常见的 (3)掌握不等式的性质.能用基本不等式解决简单的 考查角度.在复习中一定要特别重视这些知识间的 最大值或最小值问题， 相互联系，注重数形结合思想的应用. (4)从函数观点看一元二次不等式，掌握一元二次不 (1)数形结合思想：在解决集合问题时，重视Venn图 等式与相应函数、方程的联系. 的使用，当集合与不等式结合时，重视数轴的 2.熟练掌握解决以下问题的方法和规律 使用. (1)集合元素特征的理解，集合的交集、并集、补集的 (2)分类讨论、整合思想：在集合、充要条件、含参数的 运算. 不等式、基本不等式求最值等问题中，若出现参 (2)命题的真假判断，充分条件、必要条件、充要条件 的判断问题. 数，应对参数进行分类讨论. §1.1 集合 ★[考试要求] 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系. 3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn 图表示集合间的基本关系和基本运算， 复盘，必备知识 学生用书P1 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 2.集合的基本关系 1.集合与元素 (1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性， 任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 为集合B的子集，记作AB(或B2A). 庄表示 (2)真子集：如果集合A三B,但存在元素x∈B,且 (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法， xA,就称集合A是集合B的真子集，记作A军B (4)常见数集的记法 (或B星A). 非负整数集 正整 有理 集合 整数集 实数集 (3)相等：若A二B,且B二A,则A=B. (或自然数集) 数集 数集 (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为心. N(或 符号 N R 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真 Q N.) 子集 高考总复习数学 3.集合的基本运算 自主诊断查验 表示 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/”或“×”） 集合语言 图形语言 记法 运算 (1)集合{x∈Nx3=x},用列举法表示为{-1,0,1}. (×) (2){xy=x2+1}={yy=x2+1}={(.x,y)ly=x2+1. 并集 {xx∈A, AUB (×) 或x∈B} (3)若1∈{x2,x},则x=-1或x=1 (X) (4)对任意集合A,B,都有(A∩B)二(AUB).(√) 2.已知集合A={xx2-2x-3≤0}，B={x|0<x≤4}， {xx∈A, 交集 A∩B 则AUB= 且x∈B} A.[-1,4] B.(0,3] C.(-1,0]U(1,4] D.[-1,0]U(1,4] {xx∈U, 解析：A[A={xx2-2x-3≤0}={x-1≤x≤ 补集 CuA 且x庄A} 3},故AUB=[-1,4].] 3.(2025·全国一卷)已知全集U={xx是小于9的 正整数}，集合A=1,3,5},则CA中元素的个 知识拓展用活 数为 1.交集与并集的转化 A.0 B.3 (CA)(CB)=C(AUB),(CA)U(CB)= C.5 D.8 Cu(A∩B). 解析：C [8-3=5,选C.] 2.子集个数 4.[多选]已知集合A,B均为R的子集，若A∩B= 若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数 心，则 为2”，真子集的个数为2”-1，非空真子集的个数为 A.A三CRB B.CRACB 2"-2. C.AUB=R D.CRA)U(CB)=R 3.元素个数 解析：AD[如图所示，根据图 用card(A)表示有限集合A中元素的个数.对任意 象可得A二CRB,故A正确；由 两个有限集合A,B,有card(AUB)=card(A)+ 于B CRA,故B错误；AUB□ card(B)-card(A∩B) R,故C错误，(CRA)U(CRB)=CR(A∩B)=R.] 跃升，关键能力 学生用书P2 核心考点分类突破 题型1 集合的含义与表示 选项D中，M是二次函数y=x2一1，x∈R的所有 [例1] (1)[多选]下列各组中M,P表示不同集合 y组成的集合，而集合P是二次函数y=x2-1, 的是 ( ) x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P. A.M={3,-1},P={(3,-1)} [答案] ABD B.M={(3,1)},P={(1,3)} C.M={yly=x2+1,x∈R,P={xlx=t+1,t∈R} (2)已知a,bR,若{1 {a2,a十b,0},则 D.M=(yly=x2-1,xER),P=((x,y)ly=x2-1, a2027+b227 xER [解析]由已知得a≠0，则么=0，所以b=0, [解析]选项A中，M={3,一1}是数集，P={(3, -1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P; 于是a2=1,即a=1或a=-1, 选项B中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M≠P； 又由集合中元素的互异性知a-1应舍去，故a 选项C中，M=(yly=x2+1,x∈R}=[1,+o∞)，P =-1,所以a2027+b2027=(-1)2027十02027=-1. ={xx=t2+1,t∈R}=[1,+∞)，故M=P; [答案]-1 ·2· 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 规律方法 规律方法 解决集合概念问题的一般思路 根据两集合的关系求参数的方法 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必 后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示 须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 时，注意弄清其元素表示的意义是什么. (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条 (2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有 件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化 字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集 为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来 合中元素的互异性相矛盾. 直观解决这类问题. 1跟踪训练 1.已知集合U={(x,y)x2+y2≤1，x∈Z,y∈Z},则 日跟踪训练 集合U中的元素的个数为 1.设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A□ A.3 B.4 C.5 D.6 B,则a= ( 解析：C[当x=-1时，y=0;当x=0时，y= A.2 B.1 c号 D.-1 -1,0,1；当x=1时，y=0.所以U={(-1,0), (0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)},共有5个元素.] 解析：B[因为A三B,若a-2=0,解得a=2,此 2.已知集合A={12,a2+4a,a-2},且-3∈A,则a 时A={0,-2},B={1,0,2},不符合题意；若2a一 2=0,解得a=1,此时A={0,-1},B=1,-1, 解析：因为-3∈A,所以-3=a2+4a或-3=a 0,符合题意；若一a=1,解得a=-1,此时A={0, -2. 1},B={1,-3,-4},不符合题意；若-a=a-2, 若-3=a2十4a,解得a=-1或a=-3. 当a=-1时，a2十4a=a-2=-3,不满足集合中 解得a=1,符合题意：若-a=2a-2,解得a=号， 元素的互异性，故舍去； 不符合题意；综上所述，a=l.] 当a=-3时，集合A=(12,-3,一5}，满足题意， 2.已知集合A={x|(x+1)(x-6)≤0}，B={xm 故a=-3成立. 1≤x≤2m十1}.若B二A,则实数m的取值范围为 若一3=a一2，解得a=-1,由上述讨论可知，不满 足题意，故舍去. 解析：A={x|-1≤x≤6}，若B三A,则当B= 综上所述，a=一3. 时，有m-1>2m十1，即m<-2,符合题意；当B≠ 答案：-3 [m-1≤2m+1, 题型2 集合间的基本关系 0时，有{m-1≥-1， 解得0≤m<号.综上，实 [例2](1)已知集合A={x|y=ln(x+3)},B= 2m+1≤6， {xx≥2}，则下列结论正确的是 数m的取值范国是{m m<-2,或0≤m≤2} 5 A.A=B B.A∩B=0 C.A∈B D.BCA 答案：m [解析]因为A={x|x>-3},B={x|x≥2}，结 m<-2,或0m≤号} 合数轴可得：B二A. 题型3 集合的基本运算 [答案]D [角度1]集合的交集、并、补运算 (2)已知集合A={x2x-1>5},B={x|(x-a)(x [例3-1门 (1)(2025·全国二卷)已知集合A= 一a十1)≥0}，若AUB=R,则a的取值范围是 {-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=( A.[4,+∞) B.[3,十o∞) A.{0,1,2》 B.{1,2,8} C.(-∞，4] D.(-∞，3] C.{2,8} D.{0,1} [解析]由题意可得A={xx>3},B=[a,十∞) [解析]x3=x,即x3-x=0,所以x(x十1)(x-1) U(-∞，a-1]. =0,解得x=0,-1或1，即B={0,1,-1},所以 因为AUB=R,所以a-1≥3，即a≥4. A∩B={0,1}. [答案]A [答案]D ·3· 高考总复习数学 (2)(2025·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5},集 [解析]用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳 合A=1,3},B={2,3,5},则C(AUB)=( ) 的学生所占比例之间的关系如图，设既喜欢足球又 A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} 喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x,则 C.2,4} D.{4} (60%-x)+(82%-x)十x=96%,解得x=46%. [解析]本题考查集合运算A={1,3},B={2,3, 5},AUB={1,2,3,5} 足球 游泳 60%-x 82%-x ..C(AUB)=(4). [答案]D [答案] C ●[角度2幻利用集合的运算求参数 规律方法 [例3-2](1)[多选]已知A=《x|x2十x-6=0}, 集合的基本运算的关注点 B={x|m.x+1=0},且AUB=A,则m的值可 (1)看元素组成.从研究集合中元素的构成入手是 能为 ) 解决集合运算问题的前提. A.- 3 B吉 (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系 C.0 n-司 并进行运算，可使问题简单明了，易于解决. (3)注意数形结合的应用，常用的数形结合形式有 [解析]由题意知A={xx2十x-6=0}, 数轴、坐标系和Venn图. 由x2十x一6=0，解得x=2或x=-3, 所以A={2,-3}, 跟踪训练 因为AUB=A,所以B三A, 1.[多选]已知集合A={xx2-2.x>0},B={.x|1<x 当B=心时，m=0,满足题意； <3},则 当B≠时，B={}: A.(CRA)UB={x0≤x<3} B.(CRA)∩B={x|1<x<2} -=2或-1=-3 m C.A∩B={x|2<x<3} 解=一或=司 DA∩B是{x|2<x<5}的真子集 解析：ACD[由x2-2x>0,得x<0或x>2, 综上m=0或-号或 所以A={xx<0或x>2}, [答案]BCD 所以CRA={x0≤x≤2}， (2)设集合A={xx<a2},B={xx>a},若A∩ 对于A,因为B={x1<x<3},所以(CRA)UB= (C.B)=A,则实数a的取值范围为 ( {x|0≤x<3},所以A正确； A.[0,1] B.[0,1) 对于B,因为B={x|1<x<3},所以(CRA)∩B= C.(0,1) D.(-o∞，0]U[1,+o∞) {x|1<x≤2}，所以B错误； [解析]因为B={xx>a}, 对于C,因为A={x|x<0或x>2},B={x|1<x 所以CRB={x|x≤a}, <3},所以A∩B={x2<x<3},所以C正确： 又A∩(CRB)=A,所以A三CRB, 对于D,因为A∩B={x|2<x<3},所以A∩B是 又A={xx<a2},所以a2≤a, {x2<x<5}的真子集，所以D正确.] 解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0,1]. 2.若集合A={x|-1<x<2},B={x|-2<x<a}, [答案]A 若A三B,则实数a的取值范围是 [角度3]集合中数学模型的构造与应用 [例3一3幻某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 A.(-2,1) B.(-1,2) 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球， C.[1,+∞) D.[2,+o∞) 82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游 解析：D[集合A={x|-1<x<2},B={x|-2< 泳的学生数占该校学生总数的比例是 ( x<a},若A三B A.62% B.56%C.46% D.42% 则2≤a,即a的取值范围是[2，十o∞).] ·4· 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 3.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究 (26-6-x) 小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数 A数学 学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同 B 时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理 15-4-6④ C化学 物理 和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小 /(13-4-x) 组的有 人 由全班共36名同学可得(26-6-x)+6十(15一4 解析：设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合 -6)+4+(13-4-x)+x=36, 分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x 解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人 人，由题意可得如图所示的Venn图. 答案：8 培优拓展① 集合的新定义问题 学生用书P4 与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题，这 类试题的特点是：通过给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成某种推理证明，或在新的运算 法则下进行运算.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.解决此类题的关键是理解问题中的新 概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题目中的条件，设法进行套用， [典例]已知集合A1,A2满足A={xx∈A1,或 名师点拨 x∈A2},则称A1,A2为集合A的一种分拆，并规 集合新定义问题的“3定” 定：当且仅当A1=A2时，(A1,A2)与(A2,A1)为集 (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举 合A的同一种分拆，则集合A={1,2,3}的不同分 法写出所有元素. 拆的种数是 ( ) (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合 A.27 B.26 的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的 C.9 D.8 基本运算问题，或转化为数的有关运算问题. [解析]①当A1=心时，A2=(1,2,3},只有1种 (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法 分拆； 或描述法写出所求集合中的所有元素、 ②当A1是单元素集合时（有三种可能），则A2必须 日跟踪训练 包含除该元素之外的两个元素，也可能包含三个元 [多选]定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做 素，有2种情况（如A1=《1}时，A2={2,3}或A2= 集合A的幂集，记为P(A),用n(A)表示有限集A的 {1,2,3}),所以当A1是单元素集合时有6种分拆； 元素个数，给出下列命题，其中正确的命题是() ③当A1是含两个元素的集合时（有三种可能），则 A.存在集合A,使得n[P(A)]=5 A2必须包含除这两个元素之外的另一个元素，还 B.若A三B,则P(A)三P(B) 可能包含A1中的一个或两个元素，有4种情况（如 C.若A∩B=必，则P(A)∩P(B)=必 A1=(1,2}时，A2=(3}或A2={1,3}或A2={2,3} D.若n(A)-n(B)=2,则n[P(A)]=4×n[P(B)] 或A2={1,2,3}),所以当A1是含两个元素的集合 解析：BD[对于A,设n(A)=m,则A的子集个 时有12种分拆； 数为2m,故n[P(A)]=2",显然2m=5无非负整数 解，故A错误； ④当A1是含三个元素的集合时（只有一种可能）， 对于B,若A三B,则A的所有子集都是B的子集， 则A2可能含零个、一个、两个或三个元素，有23种 故P(A)三P(B),故B正确； 情况（即A1={1,2,3}时，A2可以是集合{1,2,3} 对于C,若A∩B=心，则A,B的公共子集只有空 的任意一个子集)，所以当A,是含三个元素的集合 集⑦，故P(A)∩P(B)={},故C错误； 时，有23=8种分拆. 对于D,若n(A)-n(B)=2,不妨设n(A)=m, 故集合A={1,2,3}的不同分拆的种数是1十6十12 则n(B)=m-2, +8=27. .n[P(A)]=2m,n[P(B)]=2m2,显然n[P(A)] [答案]A =4×nLP(B)],故D正确.] ·5