第三章 热点强化课2 函数中的构造问题（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) [热点强化课2]函数中的构造问题 学生用书P6 近几年高考数学客观题压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的取值范围，这类试题具有结构 独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解决导数问题的基本方法，以下对在处理导数问题时构造函 数的规律方法进行归类总结，并举例说明。 题型1 加减型 [解析]令x=0,则2f(0)+0>0,∴.f(0)>0,则 A错误； [例1]定义在R上的可导函数f(x)满足f(x)< 令g(x)=x2f(x),则g'(x)-2xf(x)十x2f(x), 2,若f(m)-f(1-2m)≥6m-2,则m的取值范 当x>0时，由2f(x)+xf（x)>0, 围是 ( .2.xf(x)十x2f(x)>0,则g(x)在(0，十o∞)上单 A.(-∞，-1] B(-,】 调递增， 又因为偶函数f(x)的定义域为R, C.[-1,+o∞) D片+ g(x)=x2f(x)为偶函数，g(x)在(0，十o∞)上单 [解析]令g(x)=f(x)一2x,则g'(x)=f(x) 调递增， 2<0,则g(x)在R上单调递减，又f(m)-f(1- .g(-3)=g(3)>g(1),9f(-3)>f(1),故B错误； 2m)≥6m-2等价于f(m)-2m≥f(1-2m)-2(1 .g(2)>g(-1),4f(2)>f(-1),故C正确； -2m),即g(m)≥g(1-2m),由单调性得m≤1一 由题意，不妨假设f(x)=c>0(c为常数)符合题 意，此时f(1)=f(2)=c,故D错误. 2m,解得m≤号 [答案]C [答案]B [例4]已知函数f(x十1)为定义域在R上的偶函 [例2]已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)是 数，且当x≥1时，函数f(x)满足xf(x)十2f(x) 函数f(x)的导函数且在[0，十o∞)上f'(x)<1,若 f(2026-m)-f(m)≥2026-2m,则实数m的取 -0=则1e)<1的解架是（） 值范围为 A.(-o∞，2-√)U(We,+oo)B.(2-We) A.[-1013,1013] C.(-∞，2-e)U(e,+o∞)D.(2-e,e) B.[1013,+∞) [解析]由题可知，当x≥1时，[xf(x)]'=n C.(-∞，-1013] D.(-o∞，-1013]U[1013,+∞) 令g(x)=xfx),则f(.x)=8) [解析]设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f(x)-1, f'(r)=g()-2zg(x)_Inz-2g(x) 又x∈[0，十o∞)上，f(x)<1,则g'(x)<0,即函数 g(x)在x∈[0，+o∞)上单调递减， 令ax)=1ax-2g(x.N(x)=子-2g'（x) 又f(x)是定义在R上的奇函数，则函数g(x)为R 上的奇函数，故g(x)在R上单调递减， =1-2In x 又f(2026-m)-f(m)≥2026-2m, 令h(x)=0,解得x=√E.可知函数h(x)在(，十o∞) ∴.f(2026-m)-(2026-m)≥f(m)-m, 上单调递减，在(1√)上单调递增. 即g(2026-m)≥g(m), 可得2026-m≤m,解得m≥1013. 又h()=ln√-2g(We)=0,所以h(x)≤0， [答案]B f'(x)≤0，所以函数f(.x)在[1，十∞)上单调递减， 方法指导 1ef)K1,可化为f)<0=f6.又画数 在求解抽象函数不等式中，若已知条件出现f'(x) f(x)关于x=1对称， >k或f'(x)≤k,可构造函数g(x)=f(x)一kx. 故|x-1>1W-1|,x-1<1-√或x-1>√-1，所 题型2 加乘型 以不等式的解集为(-∞，2-√)U(W,十∞) [例3]已知偶函数f(x)的定义域为R,导函数为 [答案]A f'(x),若对任意x∈[0，十∞)，都有2f(x)十 方法指导 xf'(x)>0恒成立，则下列结论正确的是( 1.出现f(x)十f(x)>0(<0),构造g(x)=e·f(x); A.f(0)<0 B.9f(-3)<f(1) 2.出现f(x)十kf(x)>0(<0),构造g(x)=er· C.4f(2)>f(-1) D.f(1)<f(2) f(x): ·86 主题二第三章导数及其应用 3.出现子(x)f(x>k(<k),构造g(x) 方法指导 =e[f(x)-k]; 1.出现x·f'(x)-f(x)>0(<0),构造g(x) 4.出现f(x)1nx十f>0(<0),构造g(x) =f(x) In f) 2.出现x·f'(x)-kf(x)>0(<0),构造g(x) 题型3 减除型 =f(x) [例5]若定义在R上的函数f(x)的导函数为 3.出现'(x)-f(x)>0(<0),构造g（x) f(x),且满足f'(x)>f(x),f(2024)=e224,则 不等式f(传n小证的解集为 ( -2 A.(0,eso72) B.(0,e2o24) 4.出现f(x)-kf(x)>0(<0),构造g(x) C.(e2024,+oo) D.(eso72,十o∞) f(x) e [解析] 由是可设F)=1,因为了(r) 题型4〔 三角函数型 f(x)>0F(x)=f(D)e'-f(x)e [例7]奇函数f(x)定义域为（一π，0）U(0,π)，其 =f(x)-f2>o. 导函数是f'(x).当0<x<π时，有f'(.x)sinx f(x)cosx<0,则关于x的不等式f(x)< 所以函数F(x)在R上单调递增，又F(2024) f(2024)_ Ef()inx的解集为 e202 1,不等式f(行nx)版可转化为 A(任 ∠1 c.（-车0u(o,)D.(-o(x ∴F(3 n<1=F202).所以号nx<2024 [解标]令F(x)=,因为当0<x<元时，有 sinx 解得0<e,所以不等式f(行nx近的解 f'(x)sin x-f(x)cos<0, 所以当0<x<π时， 集为(0，e6072). [答案]A ()=()sin af(r)cos sin'x [例6]己知f(x)是定义在R上的函数f(x)的导 数，且f(x)一f(x)<0,则下列不等式一定成立 所以函教F(x)=f在(0，)上为单调递减函教， sin x 的是 所以当0<x<π时，关于x的不等式f(x)< A.e3f(-2)>f(1) B.f(-2)<e3f1) C.ef(1)<f(2) D.f(1)<ef(2) Ef)simx可化为f< 即F(x)< [解析]设g(x)=f, sin 则g'(x)=f(x)-fx e F()所以>> 因为f(x)-f(x)<0,所以g'(x)>0,则g(x)在 当一π<x<0时，0<一x<π，则关于x的不等式 R上单调递增. 因为-2<1，所以g(-2)<g(1),即-2)< e-2 frK()mr可化为f sin x sin f1D,所以ef(-2)<f(1),则A错误； 因为f(一2)，f(1)的大小不能确定，所以f(一2)， 即f(x)、 e3f(1)的大小不能确定，则B错误； sin(-) sin 因为1<2，所以g(1)<g(2,则<f2),所以 e e2 ef(1)<f(2),则C正确； 因为画数f(x)为奇函数，故二)> ,也 sin(-x) 因为f(1),f(2)的大小不能确定，所以f(1), sin ef(2)不能确定，则D错误. [答案]C ·87… 高考总复习数学(BS) 所以一 4 <x<0.综上，原不等式的解集 对于A选项，：e<,则f(e)>f(x),即1>血π， π (-ou( 所以π>elnr,A错误； [答案]D 对于B选项，：e<π，则f()>f(x2),即1> [例8]定义在R上的连续函数f(x)的导函数为 2n元，所以2>2eln元，B正确； f'(x),且cos af'(x)<(cosx+sinx)f(x)成立， 则下列各式一定成立的是 ( ) 对于C选项，0<√乐<e,则f(√尔)<f(e), A.f(0)=0 B.f(0)<0 即ln医=lnx<1， C.f(π)>0 D.f()=0 所以0<elnπ<2√尔，所以e21nπ<4π，C错误； [解析]由题可得cos af(.x)-sin af(x)< 对于D选项，π>e>e,则f(π2)<f(e2),即 cos xf(.x),所以(cos af(x)'<cos xf(x), In x2 2In xIn e2 设g(x)=cosx·f(x) e =。专，所以x>e1nx,D错误. e [答案]B ()-(cos zf())'-cos af(a). [例10]已知a=e.1-1,b 27c=ln1.1,则 所以g(x)在R上单调道减，且g()=0, A.b<a<c B.c<a<b 由g0)>g()>g),可得f0)>0> f(π) e C.c<b<a D.b<c<a 所以f(0)>0,f(π)>0，所以选项A,B错误，选项 解析：D[设f(x)=e-x-1,f'(x)=e-1, C正确；把x= 至代入'()<(eosx十sinx x∈(-∞，0)时，f(x)<0,f(x)为单调递减， x∈(0，十∞)时，f(x)>0,f(x)为单调递增，所以 fx),可得f八 π f(x)≥f(0)=0,f(0.1)>0,即e.1-1>0.1. >0,所以选项D错误， [答案]C 设g)=ln-x+1g)=-1=, 方法指导 x∈(0,1)时，g'(x)>0,g(x)为单调递增， 1.出现sinx·f(x)十cosx·f(x)>0 (<0), x∈(1，十o∞)时，g'(x)<0,g(x)为单调递减， 构造g(x)=f(x)·sinx. 所以g(x)≤g(1)=0,g(1.1)<0, 2.出现cosx·f(x)-sinx·f(x)>0(<0), 即1n1.1<0.1,所以a>c. 构造g(x)=f(x)·cosx. 设A()=nx十1D-千2k()= 3.出现sinx·f'(x)-cosx·f(x)>0 (0) 4 构造g(x)= f(x) (x+2)2 (x+1)(.x+2) 2>0,h(x)为单调递增， sin x 4.出现cosx·f(x)+sinx·f(x)>0 (<0), 所以(0.1)>h(0)=0,所以1n1.1≥号子 构造g(x)=f(x) 即c>b.] cos x 方法指导 题型5〔 比较大小中的同型构造 结合题目特征，发掘题中所给结构式的相似性，并 [例9]下列结论正确的是 进行等价变形，构造函数，利用函数单调性比较函 A.<eln B.x2>2eln 数值的大小，是比较大小很重要的方法： C.e21n2π>4π D.2<e2In 题型6( 函数零点问题中同型构造 [解析] 构造函数f(x)=血工，其中x>0, 工例11]在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、 则f(x)=1-lnx 形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为 同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于α 当0<x<e时，f(x)>0,此时函数f(x)单调 的方程ae=e和关于b的方程b(lnb-2)=ex- 递增， (a,b,入∈R)可化为同构方程，则入= 当x>e时，f(x)<0,此时函数f(x)单调递减， In(ab)= ·88 主题二第三章导数及其应用 [解析]对ae=e两边取自然对数得lna十a=6,① 2.结合指数运算和对数运算的法则，掌握下述结论 对b(lnb-2)=e-1两边取自然对数得lnb十ln(lnb (其中x>0): 2)=3x-1,即lnb-2+ln(1nb-2)=3x-3.② (1)xe'=e"+in;x++In x=In(xe"), 因为方程①，②为两个同构方程，所以3入一3=6，解 (2)g=etx-hx=l x 得=3.设fx)=1nx+x(x>0),则f(x)=1十 (3)x'e'=e2h ;x+2In x=In(x'e'), 1>0, 所以函数f(x)在(0，十∞)上单调递增，所以方程 f(x)=6的解只有一个，所以a=lnb-2, 题型7〔 双元构造 所以ab=(1nb-2)b=b(1nb-2)=e3x31=e,故 [例13]对于任意x1,x2∈[1，十o∞)，当x2>x1时， In(ab)=In e8=8. 恒有aln<2(x,-x1)成立，则实数a的取值范 [答案]38 围是 [例12]已知函数f(x)=xe-2a(1nx十x)有两个 A.(-,0] B.(-o∞，1] 零点，则a的最小整数值为 ( C.(-∞，2] D.(-∞，3] A.0 B.1 C.2 D.3 [解析]对于任意x1,x2∈[1，十∞)，当x2>x1 [解析]f(x)=xe-2a(lnx+x) =e+In:-2a(In x+x), 时，恒有aln2<2(x2-1)成立， 设1=x十血xx>0.=1+是>0，即画数在 即alnx2-2x2<alnx1-2x1成立， f(x)=aln x-2x,..f(2)<f(), (0,十∞)上单调递增，易得t∈R,于是问题等价于函 .f(x)在[1，十∞)上单调递减， 数g(t)=e-2at在R上有两个零点，g'(t)=e-2a, .f(x)=4-2≤0在[1，十o∞)上恒成立， 若a≤0，则g'(t)>0,函数g(t)在R上单调递增， .a≤2x在[1，十o∞)上恒成立， 至多有1个零点，不合题意，舍去； 当x≥1,2x≥2， 若a>0,则x∈(-∞，ln2a)时，g'(t)<0,g(t)单调递 .实数a的取值范围为（一o∞，2]. 减，x∈(ln2a,十o∞)时，g'(t)>0,g(t)单调递增 [答案]C 因为函数g(t)在R上有两个零点，所以g(t)min 方法指导 g(In2a)-2a(1-In2a)<0-a>. 双元，可以借助相同结构来构造对应“统二函数” [例14]若对于任意的0<x1<x2<a,都有 而g(0)=1>0, 限定t>1,记p(t)=e-t,9'(t)=e-1>0,即o(t) x2lnx1一ln2>2,则a的最大值为 ( x1一x2 在(1，十c∞)上单调递增，于是9(t)=e-t>p(1) A.1 B.e c D =。-1>0pe>:期≥2时e>号→>听比 [解析]，0<x1<x2<a,.x1-x2<0,.x2lnx 时x0)≥片-2al=:-8,周为>管所以 -xnx<2(1-,血4-ln<22 8a>4e>1,于是t>8a时，g(t)>0. 血+2血+2，通教f)-n+2在 综上，当>时，有两个交点a的最小整数值为2 定义域(0，a)上单调递增， [答案]C .f(x)=1-nx+22=-ln,-1≥0在(0，a) 方法指导 上恒成立，由-lnx-1≥0，解得0<≤，故a的 1.如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特征， 则a,b可视为方程f(x)=0的两个根或函数y 最大值是 e =f(x)的两个零点. [答案]C ·89·