第一章 第4节 一元二次函数与一元二次不等式（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

主题一第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 名师点拨 当且仅当b=ka, 掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、 45 x= 重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法· 5 即 时，(*)式中右边等号成立， 跟踪训练 y、 85 设a=(1,-2),b=(x,y),若x2+y2=16,则a·b 的最大值为 x--45 6, 解析：a=(1,一2)，b=(x,y), 时，(*)式中左边等号成立， .a·b=x-2y 8⑤ 5 由柯西不等式的向量形式可得 [12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2, 当x=4 85时， 5 即5×16≥(x-2y)2, a·b的最大值为4√5. .-4√5≤x-2y≤4W5,(*) 答案：4⑤ 第4节一元二次函数与一元二次不等式 ★[课程标准] 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 复盘>必备知识 学生用书P13 打通教材强基固本 必备知识掌握 …重要结论· 1.简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系 1.一元二次不等式的概念 (1)一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次 (1)x->0等价于(.x-a)(x-b)>0. x-b 数是2的不等式叫作一元二次不等式 (2)使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的 (2)x-a<0等价于(x-a)(x-b)<0. x-b 集合叫作这个一元二次不等式的解集 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方 (3)二a≥0等价于{x-a)x-b)≥0， x-b 1x-b≠0. 程的关系 (4)二G<0等价于a)(x-b)≤0， x-6b (x-b≠0. 判别式 △>0 △=0 △0 2.不等式a.x2十b.x+c>0(<0)恒成立的条件要结合 △=b2-4ac 其对应的函数图象决定 (1)不等式ax2十b.x十c>0对任意实数x恒成立台 二次函数 y (a=b=0 或a>0, y=ax2+bx+c 2 1c>0 1△<0. (a>0)的图象 0 (2)不等式ax2+b.x十c<0对任意实数x恒成立台 (a=b=0 或a<0, 有两相等实 1c<0 1△<0. 一元二次方程 有两相异实 3.关注点 ax2+bx+c=0 根 没有 x1,x2 根x1=x2= (1)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记 (a>0)的根 (x1<x2) b 实数根 2a a=0时的情形， (2)当△<0时，不等式a.x2十b.x十c>0(a≠0)的解集 ax+bx+c 为R还是，要注意区别 {x|x<x1, 0(a>0)的 b 解集 或x>x2} xx≠ 2a R 自主诊断查验 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 ax2+bx+c< (aa<x 打“/”，错误的打“X” 0(a>0)的 2 x2} (1)若不等式a.x2+b.x十c<0的解集为(x1,x2),则 解集 必有a>0. () ·19 高考总复习数学(BS) (2)若不等式ax2十bx+c>0的解集是(-∞，x1) U(.x2,十∞)，则方程a.x2+bx十c=0的两个根是 3.(忽视不等式性质致误)不等式2的解集是 x1和x2 ( ) (3)若方程a.x2+b.x十c=0(a≠0)没有实数根，则不 A.(-∞，-5)U(-2,+∞) 等式ax2十bx十c>0的解集为R. ( B.(-o∞，-5]U(-2,+o∞) (4)不等式a.x2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是 C.(-∞，-5)U[-2,+∞) a<0且△=b2-4ac≤0. D.(-∞，-5]U[-2,+∞) (5)若二次函数y=a.x2十bx十c的图象开口向下， 则不等式a.x2十b.x十c<0的解集一定不是空集. 好新儿不我可化为吊司发荐0， ( 解得x≤-5或x>-2, 答案：(1)/(2)/(3)×(4)X(5)/ 所以原不等式的解集为(-∞，一5]U(一2，十∞).] ◆[小题查验] 4.(BSD必修第一册P39习题1-4A组T24,改编)若 1.不等式-x2-2x十3<0的解集为 不等式a.x2+b.x十2>0的解集为 A.{x-3<x<1} B.{x|-1<x3 -名<x<号}则a-6的值是 -2 C.{xx<-3或x>1}D.{x|x<-1或x>3} A.-10 B.-14 C.10 D.14 解析：C[不等式变形为x2+2x一3>0，方程x2十 2x-3=0有两个根，即-3和1，则x2十2x-3>0 解析：A[因为x1= 合，=号是方程ax+ba+2 的解集为{xx<一3或x>1},即不等式-x2-2x +3<0的解集为{xx<-3或x>1}.] (a-6+2=0, 4 2 2.若关于x的不等式ax2-6.x十a2<0的解集是 =0的两个根，所以 解得a=~12, (1,m),则m= ) ++2=0， {b=-2. .9 3 A.2 B.3 C.4 D.5 所以a-b=-10.] 解析：A[根据不等式与方程之间的关系知1为 5.(忽视m为零的讨论)不等式mx2+m.x+10对一切 方程a.x2-6x十a2=0的一个根，即a2十a-6=0, x∈R恒成立，则实数m的取值范围是 解得a=2或a=-3,当a=2时，不等式ax2-6x 解析：当m=0时，1>0，不等式恒成立，当m≠0时， 十a2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a=-3时， m>0, 得0m<4.综上，0≤m<4. 不等式ax2-6.x十a2<0的解集是(-∞，-3)U △=m2-4m<0, (1,十∞)，不符合要求，舍去.故m=2.] 答案：[0,4) 跃升>关键能力 学生用书P14 题型突破素养提升 题型1{ 一元二次不等式的解法 解得-<<1或1K≤. ●[命题点1]不含参数的一元二次不等式的解法 [答案]D [典例1](1)已知集合A={x|x2-2x+3≥0}，B (3)不等式|x十√2|<x(x+2√2)的解集为() {女ez0},则anB= A.(-∞，-3√2)U(2√2，+o∞) A.{x|-2<x≤3} B.{-1,0,1,2,3} B.(-∞，-2-2)U(2-√2，+∞) C.{-2,-1,1,2,3} D.R [解析]解不等式x2-2x+3≥0，x2-2.x十3 C.(-∞，2-√2)U(2+√2，十∞) =(x-1D2+2>0,x∈R,解不等式≤0，得-2 D.(-∞，-2+√2)U(2+√2，+o∞) x十2 [解析]当x≥一√2时，x十√2<x(x十2√2)，可得 <x≤3，B={-1,0,1,2,3},A∩B={-1,0,1,2,3. x2+(2√2-1)x-√2>0， [答案]B (2不等式≥2的解来是 所以x>2-√2或x<-1-√2， ( 又x≥-√2，所以x>2一√2； a-3] B【23] 当x<-√2时，-x-2<x(x十2√2)，可得x2十 c[21u1] 1j0a,3 (22+1)x+√2>0，解得x<-√2-2或x>1-√2， 又x<-√2，所以x<一2-2；综上，不等式x十 [解析] 不￥式可化为22,3≤0 (x-1)2 √2|<x(x十2√2)的解集为(-o∞，-2-√2)U(2 即2x+1)x3）≤0， √2，十∞). (x-1) [答案]B ·20· 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 题后反思 方法指导 解一元二次不等式的4个步骤 解含参数的一元二次不等式的步骤 把不等式变形为二次项系数大于零 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于 的标准形式 0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二 判一计算对应方程的判别式 次项系数为正的形式； (2)判断方程根的个数，讨论判别式△与0的关系； 求出对应的一元二次方程的根，或根据 (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个 判别式说明方程有没有实根 根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式 的解集 写 利用“大于取两边，小于取中间”或结合 图象写出不等式的解集 [口诀助读] 求解含参数一元二次不等式的分类口诀 [口诀助解] 含参二次不等式，有无实根判别式； 求解不含参数的一元二次不等式口诀 或为负，或为零，配方法，解自明； 函数方程不等式，图象交点是标志： 若为正，求两根，两种题型要区分； 首项系数先化正，判别式，符号定； 首项系数无参数，根的大小定胜负； 若为正，记口诀，小于中间大于侧； 首项系数含参数，先论系数零正负； 或为负，或为零，配方观察解自明. 系数化一是旨要，负数变换不等号： [命题点2]含参数的一元二次不等式 [命题点3]三个二次之间的关系 [典例2]设函数f(x)=a.x2+(1-a)x十a-2(a∈R). (1)若不等式f(x)≥一2对一切实数x恒成立，求 [典例3](1)若不等式a.x2十bx十c>0的解集为 a的取值范围； {x|-1<x<2},则不等式a(x2+1)+b(x-1)+ c>2a.x的解集是 ( (2)解关于x的不等式f(x)<a-1. ) [解](1)f(x)≥-2对一切实数x恒成立，等价 A.{x|0<x<3} B.{xx<0或x>3} 于Hx∈R,a.x2+(1-a)x十a≥0恒成立 C.{x|1<x<3} D.{x|-1<x<3} 当a=0时，不等式可化为x≥0，不满足题意 [解析]由a(.x2+1)十b(.x-1)+c>2ax, 当a≠0，有≥0，即>0， 整理得a.x十(b-2a)x十(a十c-b)>0, ① △≤0,1 13a2+2a-1≥0， 又不等式a.x+bx十c>0的解集为{x|-1<x<2}, 解得a≥号，所以a的取值范周是[哈+】 (-1)+2=-6, b一1， a 所以a<0,且 即a ② (2)依题意，f(x)<a-1等价于a.x2+(1-a)x-1 (-1)×2=C =-2, 0, a 当a=0时，不等式可化为x<1,所以不等式的解 集为{xx<1}. 将①两边同险以“得：2+（任-）：十 当a>0时，不等式化为(a.x十1)(x-1)<0,此时 ③ 1，所以不等式的解集为{-日<} 0 将②代入③得：x2-3x<0,解得0<x<3. 当a<0时，不等式化为(a.x十1)(.x-1)<0, [答案]A ①当a=-1时，一合=1，不等式的解集为d≠1： (2)(多选)不等式x2十ax十b≤0(a,b∈R)的解集 为{xx1≤x≤x2},且x1十x2≤2.以下结论错 回当-1<a<0时，-}>1，不等式的解桑 误的是 A.|a+2b|≥2 B.|a+2b|≤2 为{>-或x<}: C.lal≥1 D.b≤1 a [解析]因为不等式x2十ax十b≤0(a,b∈R)的 ③当a<-1时，-1 <1,不等式的解集 解集为{xx1≤x≤x2}, 为{xx>1或x<-1}: 则x1,x2是方程x2十a:x十b=0的两个实数根， a了 x1x2=b,又因为x1+|x2≤2， 综上，当a<一1时，原不等式的解集 不妨令a=-1,b=0,则x1=0,x2=1,但a十2b 为{女x>1或x<-} =1,故A不成立，符合题意；令a=2,b=1,则x =x2=-1,但|a十2b|=4,故B不成立，符合题 当a=-1时，原不等式的解集为{xx≠1}； 意；令a=0,b=-1,则x1=-1,x2=1,但a= 当-1<a<0时，原不等式的解集 为{>-或<： 0黄C不成主：将参题本6=≤产八 |x1+x2 当a=0时，原不等式的解集为{x|x<1}; ≤1，故D成立，不符合题意. 2 当a>0时，原不等式的解果为{红一日<心} [答案]ABC ·21 高考总复习数学(BS) 方法指导 题型2（与一元二次不等式有关的恒成立问题 一元二次不等式与韦达定理及判别式结合问题思路 ●[命题点1]在实数R上的恒成立 (1)牢记二次函数的基本性质. [典例1] (2)含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换。 若一元二次不等式2张：十x-一冬<0对 :跟踪训练 一切实数x都成立，则k的取值范围为 ( A.(-3,0] B.[-3,0) 1.（多选)已知关于x的不等式a.x2+b.x+c>0的解 C.[-3,0] D.(-3,0) 集是{x|1<x<3},则 ( ) [解析]2kx2十kx- A.a<0 <0对一切实数x都成立， 8 B.a+b+c=0 因为2kx2十kx- <0是一元二次不等式，所 P C.4a+2b+c<0 以k卡0. D.不等式cx2-bx十a<0的解集是{xx<-1 2k<0, 则必有 或>一 } 1△=k2-4×2kX 解析：ABD[由题意可知，1,3是方程a.x2十bx十c 解得-3<k<0, b [答案]D =4, a b=-4a, ●[命题点2]在给定区间上的恒成立问题 =0的两个根，且a<0, C=3, (c=-3a, [典例2] 若关于：的不等武。，，于>1对任 由以上可知a<0,故A正确；当x=1时，代入方程 意的x∈(0,2)恒成立，则实数k的取值范围为 可得a十b十c=0,故B正确；因为1<2<3，不等式 [解析]由题意知：kx十2x2一x3>0, ax2十bx十c>0的解集是{x|1<x<3},故将x=2 即k>x2-2x对任意的x∈(0,2)恒成立， 代入不等式左边为4a十2b十c>0,故C错误；原不 .k≥0， 等式可变为3ax2十4ax十a<0,且a<0,约分可得 当x∈(0,2)， 10-x3 3+u+1>0,解桑为{红<-1成>-号} x+2x2-x>1, 得kx十2.x2-x3<10-x3, 故D正确.] 即2x2十k.x-10<0对任意的x∈(0,2)恒成立，即 2.已知关于x的不等式a.x2-(3a+1)x十3<0. (1)当a=-2时，解此不等式； k<10-2x=10-2x对任意的x∈(0,2)恒成立， (2)当a>0时，解此不等式. 令f(=10-2x,f(x)在(0,2)上单调递减，所以 解：(1)当a=-2时，不等式-2x2+5.x+3<0, f(x)>f(2)=1,所以k≤1， 整理得(2x十1)(x-3)>0,解得x<-号或>3， .0≤k≤1. [答案][0,1] 当a=一2时，原不等式解集为{<-是或>3} 卜[命题点3]给定参数范围的恒成立问题 (2)当a>0时，不等式a.x2-(3a+1)x+3<0, [典例3]已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)x 整理得-3(e-0。 +4一2a>0恒成立，则x的取值范围为() A.(-o∞，2)U(3,+©∞) 当a=号时，}=3，此时不子式无解： B.(-o∞，1)U(2,十∞) C.(-∞，1)U(3,+∞) 当0<a<3时，>3，解得3<< D.(1,3) [解析]把不等式的左端看成关于a的一次函数， 记f(a)=(.x-2)a十x2-4.x+4, 3 a 则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立， 综上，当a=3时，解集为： 所以f(-1)=x2-5x+6>0, 且f(1)=x2-3x十2>0即可，解不等式组 当0<号时，为{3<} -5x+6>0得<1或>3. 当>时解为日< x2-3x+2>0, [答案]C ·22 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 规律总结 (0<x<1),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时 恒成立问题求解思路 预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润=（出 (1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范 厂价一投入成本)×年销售量. 围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的 (2)一元二次不等式在x∈[a,b]上恒成立确定参 比例x的关系式； 数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值， (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投 让最小值大于等于0，从而求参数的范围. 入成本增加的比例x应在什么范围内？ (3)一元二次不等式对于参数m∈[a,b]恒成立确定x [解](1)由题意得y-[12(1+0.75x)-10(1+ 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围， x)]×10000×(1+0.6x)(0<x<1), 就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 整理得y=-6000x2十2000x十20000(0<x<1). 跟踪训练 (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必 1.（多选)若不等式sin”x-asin x十2≥0对任意的x 须有二(12-10)X10000>0, 10<x<1, ∈（0，]恒成立，则实数a可能是 ( ) -6000.x2+2000x>0, 多 0<x<1, 解得0<x< 3 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：ABC[设1=smx,x(0,引4∈0，l. 所以授入成本罐加的比制应在(0，)范因内 则不等式sin2x-asin x+2≥0对任意x∈ 方法指导 （0,]恒成立， 求解不等式应用题的四个步骤 阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量， 即转化为不等式t2-at十2≥0在t∈(0,1]上恒成立， 第1步 找准不等关系 即转化为4≤十2=1+2在1（0,1]上恒成立. t 第2步 引出数学符号，将文字信息转化为符号语言，用 由对勾函：知y=1十2在(0,1]上单调道减y 不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 1 =3,∴.a≤3.] 解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中 第3步 自变量的实际意义 2.若命题“3a∈[-1,3]，ax2-(2a-1)x十3-a<0” 为假命题，则实数x的取值范围为 第4步 回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的 A.[-1,4] 结 &o,] 跟踪训练 c.[-1.ouI号4 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售 出100件.若售价降低x成(1成=10%)，售出商 n[-1.ou(管4 品数量就增加x成要求售价不能低于成本价。 解析：C[命题“3a∈[-1,3]，ax2-(2a-1)x+ (1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间 3一a<0”为假命题，其否定为真命题， 的函数关系式y=f(x),并写出定义域； 即“Va∈[-1,3]，a.x2-(2a-1)x+3-a≥0”为真 (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元， 命题.令g(a)=a.x2-2a.x+x十3-a 求x的取值范围. =(x2-2x-1)a十x+3≥0， 解：(1)由题意，得 则{（1D20即{+3x+4≥0， 1g(3)≥0， {3.x2-5.x≥0， y= oo1-)10o(1+ -1≤x≤4， 因为售价不能低于成本价， 解得 25或x≤0， 所以实数x的取值范围为 3 所以100个1-) 80≥0. [-1,]U[4小 所以y=f(x)=40(10-x)(25十4x),定义域为 x∈[0,2]. 题型3 一元二次不等式的实际应用 (2)由题意得40(10-x)(25十4.x)≥10260，化简得 [典例]某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为 10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000 8x-30x+13≤0，解得号<x≤. 辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度 增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x 所以x的取债范国足合2] ·23·