1.2 数和数制（2.二进制数的运算） (课件) 《计算机原理》(电工版第五版) 【上好课】

数和数制（2.二进制数的运算） 计 算 机 原 理 -第3课时- (电工版第五版) 学习目标 1 2 3 知识目标 技能目标 素养目标 牢固掌握二进制算术运算（加、减、乘、除）的规则和步骤； 理解二进制逻辑运算（与、或、非、异或）的定义和真值表； 能精准完成二进制数的加减乘除竖式计算； 能根据真值表完成逻辑运算； 能运用移位运算进行简单的乘除2计算。 培养严谨的运算规范和计算思维； 体会计算机"用简单规则完成复杂运算"的设计思想。 目录 二进制算术运算规则 二进制逻辑运算详解 本章总结与应用实践 教学引入 核心追问：我们日常数数 0-9 有十种状态，但灯只有两种状态，这种只有 0、1 的计数就是二进制，今天就用开灯关灯的逻辑，学二进制加减乘除。 知识讲授 01 逻辑运算 计算机进行判断与控制的基础，仅关注二进制位的“真(1)/假(0)”逻辑关系，无算术运算的进位/借位。核心包括与(AND)、或(OR)、非(NOT)、异或(XOR)，是数字电路、程序逻辑判断和数据加密的底层支撑。 二进制的算数运算 第一部分 知识讲授 二进制加法：逢二进一 知识讲授 二进制数的算数运算 知识讲授 二进制数算数运算的特点 知识讲授 二进制加减法 知识讲授 二进制加法：逢二进一 01 核心法则：从“逢十进一”到“逢二进一” 二进制加法是计算机运算的基础，其核心规则是：当某一位的相加结果为2时，本位保留0，并向高位进1（即“逢二进一”）。这与我们熟悉的十进制加法逻辑一致，只是进位的阈值从10变成了2。 基础运算规则速查 0 + 0 = 0　　0 + 1 = 1 1 + 0 = 1　　1 + 1 = 10 (本位0，进1) ★ 关键提醒：1+1=10 中的“10”是二进制数，而非十进制的“十”。 实战演练：计算 101B + 11B 1 0 1 + 1 1 -------- 1 0 0 0 解析：从右至左逐位相加，最低位1+1=10，本位留0进1；次低位0+1+进位1=10，再留0进1；最高位1+进位1=10，最终结果为1000。 知识讲授 二进制减法流程 知识讲授 二进制减法：借一当二 01 核心逻辑：从“借一当十”到“借一当二” 二进制减法遵循与十进制相同的借位逻辑，唯一区别是基数为2。当低位数值小于减数时，需向高位“借1当2”，将本位数值补为2后再进行减法运算。 基础运算法则：0-0=0，1-1=0，1-0=1；若遇 0-1 则触发借位，变为 2-1=1。运算前需确认被减数 ≥ 减数。 ▍计算演示：1101B - 101B 1 1 0 1 - 1 0 1 ---------- 1 0 0 0 逐位解析：借位的处理细节 1.第1位(最右)：1 - 1 = 0，无借位。 2.第2位：0 - 1 不够减，向高位借1当2，2 - 1 = 1。 3.第3位：原数为1，被借走1后剩0，0 - 0 = 0。 4.第4位：1 - 0 = 1，直接相减。 最终结果为二进制 1000，对应十进制的 8。 背诵记忆 序号 名称 核心说明与记忆要点 01 加法·逢二进一 核心法则为“逢二进一”，基础运算：0+0=0，0+1=1，1+1=10。记忆要点：只要本位相加结果满2，就向高位进1，本位保留余数0，这是二进制加法的底层逻辑。 02 减法·借一当二 核心是“借一当二”，当低位0减1不够时，向高位借1则本位变为2，计算得2-1=1。记忆：借位后高位数值需减1，避免遗漏借位导致结果错误，这是减法运算的关键细节。 03 关键·进借位传递 低位运算产生的进位或借位，必须参与高位的运算，不可丢弃或忽略。这是保证多位数二进制算术运算结果正确的核心前提，也是初学者最容易出现计算失误的环节。 课堂演练 二进制算术运算 01 加法：逢二进一，进位传递 例题：10110110B + 11011001B = ? 竖式演算： ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ (进位标记) 1 0 1 1 0 1 1 0 + 1 1 0 1 1 0 0 1 ——————————————— 1 1 0 0 0 1 1 1 1 结果：110001111B （十进制对应 207） 02 减法：借一当二，连续借位 例题：11011001B - 10010111B = ? 竖式演算： 1 1 0 1 1 0 0 1 - 1 0 0 1 0 1 1 1 ——————————————— 0 1 0 0 0 0 1 0 结果：01000010B （十进制对应 66） 💡 运算关键点：加法中，低位产生的进位必须参与高位的求和计算，切勿遗漏；减法中，若本位数字小于减数，需向高位借1当2，若高位为0则需连续向更高位借位。建议通过多组竖式练习强化进位与借位的直观理解。 师生互动 01 讨论题：二进制运算的“边界危机” 计算机的寄存器拥有固定的位数（如8位），这就像一个容量有限的容器。如果两个8位二进制数相加，结果需要第9位才能完整表示，这多出的一位会去向何方？这种“溢出”会导致计算结果出现怎样的偏差？现代CPU又是如何感知并记录这一现象的？ 💡 核心概念：溢出 (Overflow) 当运算结果超出数据类型的表示范围时，超出的高位会被直接截断，导致数值“回绕”（如 255 + 1 = 0）。CPU会通过专用的状态标志位（如OF标志）记录溢出事件，供程序判断处理。 第二部分 逻辑运算 知识讲授 逻辑运算符 知识讲授 逻辑乘（与运算 AND） 与运算遵循“全1为1，否则为0”的铁律，是数字逻辑的基础。它如同串联电路，只有所有开关闭合（条件满足），电路才会导通（结果为真）。在编程与硬件设计中，常用于位屏蔽、状态检测与条件判断，是处理二进制数据的核心工具。 知识讲授 逻辑加（或运算 OR） 或运算是数字逻辑中基础的二元运算，符号为∨或OR，核心规则是“有1为1，全0为0”。 它可类比为并联电路，只要有一个开关闭合电路即通；在编程与硬件设计中，常用于对二进制位进行置位操作，是构建复杂逻辑判断的基础单元。 知识讲授 逻辑非 (NOT) 符号： NOT 核心规则：执行“按位取反”操作，输入0则输出1，输入1则输出0，是最基础的逻辑反转运算。 关键特点：属于一元运算，仅需一个操作数即可完成计算，是构建数字电路逻辑反转、状态切换的核心基础。 逻辑非（与运算 AND） 知识讲授 逻辑异或 (XOR) 符号： XOR 核心规则：两个输入相同时输出0，不同时输出1，常被理解为“不考虑进位的二进制加法”（半加运算）。 典型应用：广泛用于数据加密解密、数值是否相等的快速比较、特定位翻转，以及奇偶校验码的生成与校验场景。 逻辑异或 (XOR) 背诵记忆 序号 核心名称 说明与记忆要点 01 逻辑与（∧） 运算规则：全1出1，有0出0。记忆技巧：类比串联电路，只有所有开关都闭合（为1），电路才导通（结果为1），任意一个断开则电路不通。 02 逻辑或（∨） 运算规则：有1出1，全0出0。记忆技巧：类比并联电路，只要有任意一个开关闭合（为1），电路就导通（结果为1），只有全部开关断开时结果才为0。 03 逻辑非（¬） 运算规则：0变1，1变0，属于单目运算。记忆技巧：相当于电路中的反相器，输入和输出状态完全相反，是逻辑运算中最基础的取反操作，优先级高于与、或运算。 04 逻辑异或（⊕） 运算规则：相同为0，不同为1。记忆技巧：等同于“不进位的二进制加法”，也可记为“相同排斥，不同相容”，广泛应用于数据校验、加密解密及数字电路的奇偶检测场景。 知识讲授 逻辑运算公式 课堂练习 逻辑运算：与（AND）和或（OR） 01. 逻辑与 (AND / ∧) —— “有0出0，全1出1” 题目：X = 01100110B，Y = 11110000B，求 X ∧ Y X: 0 1 1 0 0 1 1 0 ∧ Y: 1 1 1 1 0 0 0 0 ———————————— 结果: 0 1 1 0 0 0 0 0 (0x60) 💡 应用技巧：利用全0位“屏蔽”数据。如上例中，Y的低四位为0，直接将结果低四位清零，保留高四位。 02. 逻辑或 (OR / ∨) —— “有1出1，全0出0” 题目：X = 00110101B，Y = 00001111B，求 X ∨ Y X: 0 0 1 1 0 1 0 1 ∨ Y: 0 0 0 0 1 1 1 1 ———————————— 结果: 0 0 1 1 1 1 1 1 (0x3F) 💡 应用技巧：利用全1位“置位”数据。如上例中，Y的低四位为1，直接将结果低四位全部置1，常用于开启某些状态位。 核心总结：逻辑运算在计算机中是按“位”独立进行的，没有进位或借位。它是底层硬件控制、数据掩码处理和状态标志判断的基础运算。 知识讲授 逻辑运算：异或与非 01 逻辑异或 (XOR) 运算 例题：计算 10110110B ⊕ 11110000B 的结果 竖式演算过程： X: 1 0 1 1 0 1 1 0 ⊕ Y: 1 1 1 1 0 0 0 0 —————————————— 0 1 0 0 0 1 1 0 （结果：0x46） ✦ 运算规则：同位数值相同得 0，不同得 1 02 逻辑非 (NOT) 运算 例题：对 X = 11000011B 进行按位取反 演算过程： 原数 X: 1 1 0 0 0 0 1 1 取反 ¬X: 0 0 1 1 1 1 0 0 —————————————— 结果：00111100B （即 0x3C） ✦ 运算规则：逐位取反，1 变 0，0 变 1 💡 核心总结：逻辑运算均为按“位”独立进行，各位之间互不影响。异或运算常用于数据加密、校验及特定位翻转；逻辑非运算是最基础的状态取反操作，广泛应用于计算机底层的逻辑控制与状态切换中。 师生互动 01 核心议题：为何0.1无法被二进制“精准捕捉”？ 十进制中的0.1看似简单，却在二进制世界中引发了“无限循环”的难题。这不仅是进制转换的趣味现象，更是计算机浮点数计算产生精度误差的根本原因。今天我们就来拆解这个隐藏在计算机底层的逻辑陷阱。 01 / 动手演算：乘2顺取整 0.1 × 2 = 0.2 (取0) → 0.2 × 2 = 0.4 (取0) 0.4 × 2 = 0.8 (取0) → 0.8 × 2 = 1.6 (取1) 0.6 × 2 = 1.2 (取1) → 循环往复... 结果：0.0001100110011...(无限循环) 02 / 本质原因：进制局限 十进制小数 0.1 = 1/10。由于分母 10 包含因子 5，无法转化为 2 的幂次分之一，因此无法用有限位的二进制小数精确表示，如同十进制中 1/3 无法精确表示一样。 03 / 现实影响：精度陷阱 计算机只能存储近似值，导致 0.1 + 0.2 ≠ 0.3。在金融结算、航天计算等对精度要求极高的场景中，必须使用 BigDecimal 等高精度类型或十进制浮点数库来规避误差累积。 课堂练习 单选题 1、十进制小数0.6879转换为二进制小数，采用「乘2顺取整法」，第一次乘2取整得到的整数是？ A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】根据“乘2顺取整法”的规则，将十进制小数0.6879与2相乘，计算结果为1.3758，取该结果的整数部分即为1，这就是第一次乘2取整得到的整数，因此本题的正确答案是B选项。 预习与思考 01 追问：二进制为何不适合人类日常计算？ “既然二进制运算规则只有简单的加减，为什么我们日常记数、算账不用它？” 💡 思考方向：对比同样数值下二进制与十进制的位数长度差异；从人类的视觉可读性与大脑记忆负担角度分析其局限性。 📖 下章前瞻：字符与汉字的编码奥秘 数字在计算机中以二进制存储，那我们输入的字母、汉字、符号又是如何被机器“读懂”的？ 下一章，我们将深入探索ASCII码、Unicode（UTF-8）等编码规则，揭开字符在计算机底层的存储真相，理解从“符号”到“数字”的转换逻辑。 知识拓展| BCD码：二进制编码的十进制 01 核心定义与编码规则 • 本质：用4位二进制数表示1位十进制数（0-9），最常用8421码。 • 示例：十进制 25 → 拆分为 2 和 5 → 对应 0010 和 0101 → 组合为 0010 0101。 02 技术优劣势对比 • 优势：保留十进制直观性，便于直接进行十进制算术运算，无需复杂转换。 • 劣势：4位二进制可表16种状态，仅用10种，存储效率略低于纯二进制。 💡 关键价值：在金融结算、工业计数等对十进制精度敏感的场景中，BCD码能有效避免二进制转换带来的精度丢失问题，是平衡易用性与准确性的重要技术。 应用背景与需求 在处理大量十进制数据（如金融报表、银行账目、统计数据）时，若使用纯二进制存储，频繁的进制转换不仅效率低，还可能产生精度误差。BCD码通过“按位编码”的方式，既兼容了二进制的硬件处理特性，又保留了十进制的直观与精准。 知识小结 课后任务 课后巩固练习： 完成以下二进制算术运算： ① 1101 + 1001 = ② 1110 - 0111 = ③ 1011 × 0101 = 2. 完成以下二进制逻辑运算： ① 1010 ∧ 1100 = ② 1010 ∨ 1100 = ③ ¬1101 = 3. 完成以下移位运算： ① 0011 << 2 = ② 1100 >> 2 = 谢谢观看 THANKS Lavf59.14.100 Lavf59.14.100 $