3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（第2课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系，通过巴金日出描写引入，将海平面与太阳抽象为直线与圆，结合知识回顾中点与圆的位置关系作为支架，引导学生迁移探究。 其亮点在于以生活实例和动手操作为起点，培养数学眼光，如操作思考让学生画图观察公共点变化发展几何直观。通过推理推导d与r关系体现数学思维，如利用Rt△论证相交时d＜r。例题结合45°角求距离等具体问题，培养应用意识，总结表格助力学生系统理解，教师可高效教学。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（2） 第三章 圆 学 习 目 标 1 2 通过生活实例感知直线与圆的三种位置关系，能依据公共点个数区分相交、相切、相离． 掌握圆心到直线距离d与圆半径r的数量关系判定直线与圆位置关系：相交⇔d＜r；相切⇔d＝r；相离⇔d＞r． 3 理解切线、切点的定义． 知识回顾 点与圆有哪几种位置关系？设点到圆心的距离为d，圆的半径为r， 如何用 d 和 r 的数量关系来判断点与圆的位置关系？ 点与圆的位置关系 d 与 r 的数量关系 ● 点 P 在圆上 点 P 在圆内 点 P 在圆外 r d d＝r d＜r d＞r 情境引入 转眼间天边出现了一道红霞．过了一会儿，在那个地方出现了太阳的小半边脸．太阳好像负着重荷似的一步一步，慢慢地努力上升，到了最后，终于冲破了云霞，完全跳出了海面． ——巴金 如果把海平面看成一条直线，太阳看成一个圆，在日出过程中，二者会出现几种位置关系？ 操作思考 1．在纸上画一个圆（⊙O）； 2．直尺边缘看作一条直线，平行移动直尺，观察直线与圆的位置关系怎样变化？ 直线穿过圆， 2 个公共点． 直线只接触圆一点， 1 个公共点． 直线和圆无接触， 0 个公共点． 可以发现，直线与圆的位置关系可以分为三种：有两个公共点、一个公共点和没有公共点． 获取新知 ● O l ● O ● O l l (1) (2) (3) 当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交． 当直线与圆有唯一公共点时，我们称直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个公共点叫作切点． 当直线与圆没有公共点时，我们称直线与圆相离． 新知探究 利用圆心与点的距离可以判断这个点与圆的位置关系，是否也可以利用圆心到直线的距离来判断这条直线与圆的位置关系？ 如图，过圆心作OD⊥l，垂足为D，记圆心O到直线 l 的距离为d，则 d＝OD． 圆的半径为 r，下面分三种情况讨论： ● O l ● O ● O l l r r r D D D d d d (1) (2) (3) 新知探究 ● O l ● O ● O l l r r r D D D d d d A (1) (2) (3) 1．如图(1)，直线 l 与⊙O相交．设A，B为交点，连接OA，则OA＝r． 在Rt△ADO中，OD＜r，即 d＜r． B 反过来，如果 d＜r，则点D在圆内，过点D的任意直线都与圆相交， 所以直线 l 与⊙O相交． 新知探究 ● O ● O l l r D D d d (1) (2) (3) ● O l r D d A B 2．如图(2)，直线 l 与⊙O相切．设 C 为切点，OC＝r， 因为直线 l 上除点 C 外的任意一点P都在圆外，OP＞r． 所以 OC 就是圆心 O 到直线 l 的距离，即点 C 与点 D 重合．所以 d＝r． (C) P 反过来，如果 d＝r，则点D是⊙O与 l 的一个公共点． 因为圆心 O 到直线 l 上其他点的距离都比 OD 大， 所以其余点都在圆外，即⊙O与直线 l 只有一个公共点， 所以直线 l 与⊙O相切． 新知探究 ● O ● O l l r D D d d (1) (2) (3) ● O l r D d A B 3．如图(3)，当直线 l 与⊙O相离时，d 与 r 有什么关系？ 反过来成立吗？请与同学讨论． (C) P 当直线 l 与⊙O相离时，d＞r． 反过来，d＞r时，直线整体在圆外，无公共点． 新知归纳 ● O ● O l l r D D d d (1) (2) (3) ● O l r D d A B (C) P 如果⊙O的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，那么 直线 l 和⊙O相交 ⇔ d＜r； 直线 l 和⊙O相切 ⇔ d＝r； 直线 l 和⊙O相离 ⇔ d＞r． 位置关系 数量关系 新知巩固 填表： 直线与圆的位置关系 公共点个数 圆心到直线的距离d 与半径r的关系 相交 相切 相离 2 1 0 d＜r d＝r d＞r D A B O 4 C · d＝2 例题讲解 例2 已知∠BAC＝45°，点O在射线 AC 上，AO＝4，以点O为圆心，r为半径画圆. 根据下列 r 的值，判断AB所在直线与⊙O的位置关系： (1) r＝2 (2) r＝2 (3) r＝3 解：如图，过点O作OD⊥AB，垂足为D． 在Rt△AOD中，∠A＝45°， ∴∠AOD＝∠A， ∴ OD＝AD． ∵ OD2＋AD2 ＝AO2 ，AO＝4， ∴ 2OD2＝16，∴ OD＝2， 即圆心O到AB所在直线的距离d＝2． D A B O 4 C · d＝2 例题讲解 例2 已知∠BAC＝45°，点O在射线 AC 上，AO＝4，以点O为圆心，r为半径画圆. 根据下列 r 的值，判断AB所在直线与⊙O的位置关系： (1) r＝2 (2) r＝2 (3) r＝3 (1)当r＝2时，d ＞r，AB 所在直线与⊙O相离； (2)当r＝2时，d＝r，AB 所在直线与⊙O相切； (3)当r＝3时，d＜r，AB 所在直线与⊙O相交． 归纳总结 判断直线与圆位置关系的一般步骤： 1．过圆心作目标直线的垂线，计算垂线段的长 度（d）； 2．找到（求出）圆半径 r； 3．比较 d 与 r 大小，判定直线与圆的位置关系． 新知巩固 1．已知 ⊙O 的直径为 8，圆心 O 到直线 l 的距离为 5．直线 l 与 ⊙O 有怎样的位置关系？圆心 O 到直线 l 的距离为 4 或 3 呢？ 解：因为 ⊙O 的直径为 8，所以半径 r＝4．因为圆心 O 到直线 l 的距 离为5，5＞4，所以直线 l 与 ⊙O 相离． 若圆心 O 到直线 l 的距离为4，4＝4，所以直线 l 与 ⊙O 相切． 若圆心 O 到直线 l 的距离为3，3＜4，所以直线 l 与 ⊙O 相交． 新知巩固 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心， r 为半径画圆. 根据下列 r 的值，判断圆与AB所在直线的位置关系： (1) r＝2； (2) r＝2.4； (3) r＝3． A B C D 解：过C作CD⊥AB，垂足为D． 在Rt△ABC中， 由勾股定理，得AB＝＝＝5， d＝CD＝＝＝2.4． (1) 当r＝2时，d ＞r，⊙C与直线AB相离； (2) 当r＝2.4时，d＝r，⊙C与直线AB相切； (3) 当r＝3时，d＜r，⊙C与直线AB相交． 能力提升 1．已知∠MAN＝30°，点B，C分别在射线AM，AN上，AB＝4．判断当 BC 的长 满足什么条件时， （1）用直尺和圆规可以作出两个△ABC； （2）用直尺和圆规只能作出一个△ABC； （3）用直尺和圆规不能作出△ABC． 解：如图，过点B作BO⊥AN，垂足为O． ∵在Rt△ABO中，∠MAN＝30°，∴BO＝×AB＝×4＝2． O A B N M （1）当2＜BC＜4时，用直尺和圆规可以作出两个△ABC； （2）BC＝2或BC≥4时，用直尺和圆规只能作出一个△ABC； （3）当BC＜2时，满足条件的△ABC不存在． C C 能力提升 2．如图，⊙O的半径为2 ，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝2 ，AC＝4．如果以点 O 为圆心作一个与 AC 相切的圆，那么这个圆的半径是多少？它与 AB 所在直线有怎样的位置关系？ ● O A C B D E 解：连接OA，过O作OD⊥AC，垂足为D． 在Rt△AOD中， OA＝2， AD＝＝2． 则OD＝＝＝2， 即以点O为圆心，与AC相切的圆的半径r为2． 过O作OE⊥AB，垂足为E． 在Rt△AOE中， OA＝2， AE＝＝． 则OE＝＝＝， 由OE＞r可得所作圆与直线AB相离． 归纳总结 直线与圆的 位置关系 相 交 相 切 相 离 图形 公共点个数 公共点名称 直线名称 圆心到直线的距离 d与半径r的关系 ● O 2 d r d＜r ● O d r 1 d＝r d r d＞r 切点 切线 0 判定直线与圆的位置关系： （1）由直线与圆的公共点的个数来判断； （2）由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断． 位置关系 数量关系 公共点个数 ● O 课堂小结 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（2） 直线与圆的三种位置关系：相交(2点)、相切(1点)、相离(0点) 判定方法：① 由直线与圆的公共点的个数来判断； ② 相交⇔d＜r；相切⇔d＝r；相离⇔d＞r 解题关键：作垂线求距离，常用勾股定理、面积法计算垂线段长度 感谢聆听！ $