3. 实验：电池电动势和内阻的测量（举一反三讲义）物理人教版必修第三册

本讲义聚焦电池电动势和内阻的测量这一核心实验，系统梳理伏安法（基于闭合电路欧姆定律，通过U-I图像与计算法处理数据）及安阻法、伏阻法（利用电阻箱改变外阻，结合图像分析）的实验原理、器材、步骤、数据处理与误差分析，构建完整实验学习支架。 资料以科学探究为核心，通过伏安法U-I图像绘制、误差分析（如电压表分流影响）培养科学思维，结合例题变式及课后分层作业强化物理观念应用。课中辅助教师实验教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升实验操作与数据分析能力。

3. 实验：电池电动势和内阻的测量 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲）+课后作业】 模块二 知识精讲 情景导入 知识归纳 【知识点1 伏安法测量电池电动势和内阻】 1、实验目的：测量电源电动势和内阻，深入理解闭合电路的欧姆定律。 2、实验原理：闭合电路的欧姆定律，由E＝U＋Ir知，改变外电路的阻值可测出多组U、I的值，通过图像可求出E、r的值。 3、实验器材：电池、电压表、电流表、滑动变阻器、开关、导线、坐标纸和刻度尺。 4、实验步骤 （1）电流表用0.6 A的量程，电压表用3 V的量程，按实验原理图连接好电路。 （2）把滑动变阻器的滑片移到最左端（使阻值最大的一端）。 （3）闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据（I1，U1）。用同样的方法再测量几组I、U值，填入表格中。 实验序号 1 2 3 4 5 6 I/A I1 I2 I3 I4 I5 I6 U /V U1 U2 U3 U4 U5 U6 （4）断开开关，拆除电路，整理好器材。 5、数据处理：电池电动势和内阻的求解方法 （1）作图法，如下图所示，以U为纵轴，I为横轴建立平面直角坐标系，将记录的电压、电流的数据，在直角坐标图上描点，过这些点作一条直线。将直线延长，则可根据纵轴截距求出电动势，根据斜率大小求出内电阻，即。 （2）计算法：由闭合电路的欧姆定律得E＝U1＋I1r，E＝U2＋I2r可解得E＝，r＝。 可以利用U、I的值多求几组E、r的值，算出它们的平均值。 6、误差分析 （1）偶然误差 ①电表读数不准和电表线性不良引起的误差。 ②U－I图像时描点不准确造成误差。 ③测量过程中通电时间过长或电流过大，都会引起E、r变化。 系统误差：主要原因是未考虑电压表的分流作用，使得电流表上读出的数值比实际的总电流(即流过电源的电流)要小一些。理论上E＝U＋（IV＋IA）r，U越大，电流表的读数与总电流的偏差就越大 【例1】在“测量干电池的电动势和内阻”实验中： (1)部分连线如图甲所示，导线a端应连接到________(选填“A”“B”“C”或“D”)接线柱上。正确连接后，某次测量中电压表指针位置如图乙所示，其示数为________ V。 (2)测得的7组数据已标在如图丙所示U－I坐标系上，用作图法求干电池的电动势E＝________ V和内阻r＝________ Ω。(计算结果均保留两位小数) 【答案】（1） B　1.20　 （2）1.50　1.04 【详解】（1）电压表测量的电压应为滑动变阻器接入电路中电阻丝两端的电压，开关应能控制电路，所以导线a端应连接到B处；干电池电动势约为1.5 V，电压表选择0～3 V量程，分度值为0.1 V，题图乙中电压表读数为1.20 V； （2）作出U－I图像如图所示 根据闭合电路欧姆定律U＝E－Ir 可知U－I图像纵轴截距为干电池的电动势， 可得E＝1.50 V U－I图像斜率的绝对值等于干电池的内阻 r＝ Ω≈1.04 Ω。 【变式1—1】请根据以下内容，完成下面问题。 某同学测定电池组的电动势和内阻，实验电路如图（a）所示。 (1)根据实验电路图，图（b）所示的实物电路中，导线P端应当连接在接线柱________（填“①”或“②”）上。 (2)某次测量中，电流表量程为0~0.6A，指针见图（c），其读数为________A (3)该同学将实验测量的数据反映在的图中，由此图线，可求出电池的电动势__________V（保留到小数点后两位），当电源短路时，电流___________A（保留到小数点后一位）。 【答案】(1)② (2)0.52 (3) 1.48/1.47/1.49 2.1/2.2 【详解】（1）根据实验电路图，因电压表要测量路端电压，则图（b）所示的实物电路中，导线P端应当连接在接线柱②上； （2）依题意，电流表量程为0~0.6A，最小刻度为0.02A，则读数为0.52A； （3）图像的纵截距为电池的电动势，由图可知，电池的电动势 根据闭合电路欧姆定律可知图像的表达式为，则图像的斜率为电池的内电阻 可得短路电流 【变式1—2】某实验小组通过如图甲所示的实验电路来“测量一节干电池的电动势和内电阻”，根据测得的数据作出了如图乙所示的U-Ⅰ图线，下列说法正确的是（　　） A．实验误差来源于电压表分流 B．实验误差来源于电流表分压 C．干电池内阻的测量值为3Ω D．干电池电动势的测量值偏大 【答案】A 【详解】ABD．由图甲可知，因电压表的分流作用，电流的测量值小于流过电源的真实值，当外电路短路时电流的测量值等于真实值，修正后的U-Ⅰ图像如图所示 可知电池电动势的测量值小于真实值，故A正确，BD错误； C．由图乙可知，干电池内阻的测量值为 故C错误。 故选A。 【变式1—3】某学习小组利用以下器材测量两节新干电池串联的总电动势和总内阻： A、新干电池2节：每节电池电动势略大于，内阻约 B、电压表：量程，内阻约 C、电压表：量程，内阻约 D、电流表：量程，内阻为 E、滑动变阻器：规格 F、不同规格的定值电阻若干、开关、导线。 (1)图a为学习小组设计的电路图，为了使测量结果尽可能准确，应选用电压表 （选填“”或“”）。 (2)将滑动变阻器的滑片置于合适位置后，闭合开关，开始测量。由于电池组的内阻较小，导致移动滑动变阻器的滑片时， （选填“电压表”或“电流表”）无法有效读取多个数据。 (3)学习小组对实验进行改进如图b：将一个阻值为的定值电阻串联在电路中。闭合开关，记录数据，并描绘出图线（图c）。由图线可得，两节干电池串联的总电动势 ，总内阻 。（结果均保留2位小数） 【答案】(1)V1 (2)电压表 (3)3.10 0.94 【详解】（1）题意知电源总电动势约为3V，为了使测量结果尽可能准确，应选用电压表。 （2）由于电源内阻较小，所以电源内阻分压小，故路端电压变化幅度小，即电压表变化小，则电压表无法有效读取多个数据。 （3）[1][2]补全图像如下 根据闭合电路欧姆定律有 结合图c可知纵截距 斜率 解得 【知识点2 安阻法或伏阻法测量电池电动势和内阻】 【实验原理】由E＝IR＋Ir知，改变电阻箱的阻值，测出多组I、R的值，通过图像就可求出E、r的值。 【实验器材】电池、电流表、电阻箱、开关、导线。 【数据处理】 （1）图像法： ①由E＝I(R＋r)得：＝R＋，－R图像的斜率k＝，纵轴截距为(如下图所示) ②由E＝I(R＋r)得：R＝E·－r，R－图像的斜率k＝E，纵轴截距为－r(如下图所示) （2）计算法：记录测量的几组数据，由解方程组求得E，r。 2、伏阻法测量电池电动势和内阻 【实验原理】由E＝U＋Ir＝U＋r知，改变电阻箱阻值，测出多组U、R值，通过公式或图像可求出E、r。 【实验器材】电池、电压表、电阻箱、开关、导线。 【数据处理】 （1）图像法：由E＝U＋r得：＝＋·.故－图像的斜率k＝，纵轴截距为 (如下图所示) （2）计算法：记录测量的几组数据，由解方程组求得E，r。 【例2】某同学利用如图所示的电路测定干电池的电动势和内电阻，在是否可忽略电流表内阻这种情况下，以电阻箱读数R为横坐标，电流表读数的倒数为纵坐标。下图中实线代表电流表内阻可忽略的情况，虚线代表电流表内阻不可忽略的情况，这四幅图中，能正确反映相关物理量之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若不考虑电流表的内阻则 则 考虑电流表的内阻 则 两种情况斜率相同，截矩不同，电流表内阻不可忽略时截矩大，虚线在实线的上方。 故选B。 【变式2—1】某实验小组欲测量某一型号电源的电动势和内阻，实验室提供的实验器材如下： A．待测电源 B．电流表（量程为，内阻） C．定值电阻 D．定值电阻 E．定值电阻 F．电阻箱（阻值范围为） G．开关、导线若干 实验步骤如下： （1）实验时需要把电流表的量程改装为，定值电阻应选 （选填“”或“”）。 （2）根据电路图甲连接电路，连接前开关断开。 （3）闭合开关，适当调节电阻箱，并记下电阻箱的阻值及对应电流表的示数，然后断开开关。 （4）重复（3）的操作，得到多组的数据。 （5）以为横轴，为纵轴，建立平面直角坐标系，作出的图像如图乙所示，则待测电源的电动势 V，内阻 （结果均保留两位有效数字）。 （6）若不考虑偶然误差，上述测量值与真实值相比： ， （均填“>”“<”或“=”）。 【答案】 12 2.1 = = 【详解】（1）[1]电流表扩大量程，量程扩大10倍，则并联的电阻为电流表内阻的九分之一，故应选择； （5）[2][3]由图甲 得 由图乙斜率、截距得， 解得 （6）[4][5]本实验已经考虑了电流表的内阻，根据第（5）的计算过程，得出电源电动势和内阻的测量值和真实值均相等。 【变式2—2】用如图甲所示的电路测量电源的电动势和内阻，电流表A为理想电表，改变电阻箱R的阻值，测得多组数据，根据测得数据描绘的图线如图乙所示。将该电源、电阻箱R、表笔a和b与量程为10mA、内阻为50Ω的毫安表连成如图丙所示的电路，将毫安表改装成欧姆表，下列说法正确的是 A．电源电动势，内电阻 B．甲图中，当电阻箱R接入电路的阻值为时，电源的输出功率为12W C．丙图中，表笔a和b短接，当电阻箱R接入电路的阻值为时，毫安表满偏 D．丙图中，欧姆调零后，表笔a和b间接入阻值为的电阻，毫安表的示数为4mA 【答案】D 【详解】A．由闭合电路欧姆定律得 化简得 结合图线可得，电源电动势为 内电阻为 A错误； B．甲图中，当电阻箱R接入电路的阻值为时，流过电源的电流和电源的输出功率为 B错误； C．丙图中，表笔a和b短接，由闭合电路欧姆定律得 解得 C错误； D．丙图中，欧姆调零后，由闭合电路欧姆定律得 解得 D正确。 故选D。 【变式2—3】某课外活动小组利用铜片、锌片和橙子制成一个水果电池，他们想测量该水果电池的电动势E和内阻r。 (1)将多用电表的选择开关拨至直流电压2.5V挡，将红、黑表笔与铜、锌片直接接触，多用电表的表盘指针位置如图甲所示，其电压的示数为 V，这样测定的结果和电动势相比 （选填“偏大”、“偏小”或“相同”）。 (2)有以下实验器材可供选择： A．电流表A1（量程0~100µA，内阻为100Ω） B．电流表A2（量程0~600µA，内阻不计） C．电压表V（量程0~3V，内阻约为15kΩ） D．定值定阻R0（阻值9900Ω） E．电阻箱R（阻值可调范围0~9999Ω） F．滑动变阻器R1（阻值变化范围0~20Ω） G．滑动变阻器R2（阻值变化范围0~5kΩ） H．开关和导线若干 ①小明同学选用了其中的一些器材，设计了图乙所示的电路进一步测定电动势和内电阻。滑动变阻器应选择 （选填“R1”或“R2”）。正确连接电路，闭合开关，调节滑动变阻器，获得电流表A1和A2的多组I1和I2数据，并作出I1-I2图像如图丙所示，该水果电池的电动势E= V，内阻r = Ω。（计算结果均保留两位有效数字） ②从提供的实验器材中选择合适的器材，在相应方框中再画出一种测定该水果电池的电动势和内阻的电路图 、 。 【答案】(1) 0.85 偏小 (2) R2 0.95 1.0×103 【详解】（1）[1]由于多用电表为直流电压2.5V挡，所以每一小格为0.05V，所以图示读数为 [2]由于多用电表测量的是电源两端的电压，即路端电压，其小于电源电动势，所以这样测定的结果和电动势相比偏小。 （2）[1]由于水果电池内阻较大，所以滑动变阻器应选择阻值较大的R2方便实验调节； [2][3]根据闭合电路欧姆定律可得 变形整理可得 结合图像可得， 联立解得， [4][5]根据测定电源电动势和内阻的实验原理可知，可以采用伏阻法进行测量，但由于现有电压表量程太大，需要用电流表A1和定值电阻串联改装电压表，电路如图所示 同时也可以采用安阻法进行测量，电流表选用量程较大的A2，电路如图所示 【例3】如图甲、乙是利用电压表（可看作理想电表）和电阻箱测定电池的电动势和内电阻的原理图及实验数据图像，可得电动势和内电阻分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据 可得 由图乙知，图像斜率 截距 解得 故选D。 【变式3—1】实验小组用如图1所示的电路来测量电源的电动势E和内阻r以及定值电阻的阻值。图1中的电压表为理想电压表，现把电阻箱调到最大值，闭合开关，调节电阻箱的阻值，读出电压表的示数U，改变电阻箱的阻值R，测得多组U与R对应值；再断开开关，调节电阻箱的阻值，读出电压表的示数U，改变电阻箱的阻值R，测得多组U与R对应值，以为纵轴、为横轴建立直角坐标系，在该坐标系中画出图像，得到的甲、乙两条图线如图2所示，回答下列问题： (1)按照图1所示的实验原理电路图在下列方框中完成实物图连线。 (2)闭合、断开，对应图2中的倾斜直线 （选填“甲”或“乙”），理论上甲、乙两条倾斜直线的交点 （选填“在”或“不在”）横轴上。 (3)若图线乙的纵截距为，则电源的内阻 ，若甲与乙的斜率之比为n，则与r的比值为 。 【答案】(1) (2)甲 在 (3) 【详解】（1）根据电路图可得实物连接图如图所示 （2）[1]闭合开关、，由闭合电路欧姆定律可得 则有 闭合开关，断开，同理可得 甲的斜率小于乙，则对应倾斜直线甲，对应倾斜直线乙； [2]根据计算可知两条图线与横轴的交点坐标均为，可知理论上甲、乙两条倾斜直线的交点在横轴上。 （3）[1]根据 其图线纵截距为 可得 [2]根据题意有 可得 【变式3—2】某同学在实验室利用如图甲所示的电路测量某电源的电动势和内阻。根据实验数据绘出的图像与如乙图所示的图线类似，其中为电阻箱读数，为电压表读数。请根据已学习的电学知识分析出正确的选项（　　） A．电源的电动势大小为、内阻大小为 B．电源的电动势大小为、内阻大小为 C．电源的电动势大小为、内阻大小为 D．电源的电动势大小为、内阻大小为 【答案】B 【详解】根据闭合电路欧姆定律可得 整理得 由题图乙可知 解得 故选B。 【变式3—3】因电动汽车充电比燃烧汽油更便宜，故电动汽车更受到市场的欢迎。某兴趣小组为了测量某电动汽车上安装的电池的电动势（）和内阻（），利用实验室现有器材进行了如下实验。 (1)实验室只有一个量程为100V、内阻为的电压表，现把此电压表改装成量程为400V的电压表，需串联一个阻值为 的电阻，然后再测量电池的电动势和内阻。 (2)该兴趣小组将电阻箱和改装后的电压表（电压表的表盘没有改变，示数记为）连接成如图甲所示的电路，来测量该电池的电动势和内阻，根据电阻箱接入电路的阻值和电压表的示数作出图像，如图乙所示，则该电池的电动势 V、内阻 。（结果保留三位有效数字） (3)由实验可知，电池电动势的测量值 （选填“大于”“等于”或“小于”）真实值；内阻的测量值 （选填“大于”“等于”或“小于”）真实值。 【答案】(1)15 (2)360 9.00 (3)等于 等于 【详解】（1）根据电表改装原理可知，将小量程电压表改装成大量程电压表需要串联较大电阻，根据欧姆定律可知该串联电阻阻值为 代入题中数据，解得 （2）[1][2]根据闭合电路欧姆定律可得 整理可得 结合图像可得， 联立解得， （3）[1][2]由于电压表内阻已知，理论上可以精确计算出电池电动势及内阻，则在理论上测量值和真实值大小相等，故电池电动势的测量值等于真实值；内阻的测量值等于真实值 模块三 课后作业 一、单选题 1.测定电源的电动势和内阻”的实验中，下列注意事项中错误的是（  ） A．应选用旧的干电池作为被测电源，以使电压表示数的变化比较明显 B．应选用内阻较小的电压表和电流表 C．移动变阻器的触头时，不能使滑动变阻器短路造成电流表过载 D．根据实验记录的数据作U–I图象时，应通过尽可能多的点画一条直线，并使不在直线上的点大致均匀分布在直线两侧 【答案】B 【详解】A．旧干电池内阻较大，故应选用旧的干电池作为被测电源，以使电压表读数变化明显，故A正确； B．应选用内阻较小的电流表和内阻较大的电压表，以避免电流表和电压表自身阻值的影响，减小实验误差，故B错误； C．移动滑动变阻器的滑片时，不能使滑动变阻器短路造成电流表过载而发生危险，故C正确； D．作图时，应通过尽可能多的点画一条直线并使不在直线上的点大致均匀分布在直线两侧，这样作图误差最小，故D正确； 本题选择错误的，故选B． 2．为了测定电池的电动势和内阻，现有待测电池、开关和导线，为了达到测定目的，还需要的仪器是（　　） A．一个电流表和一个滑动变阻器 B．一个电压表和一个滑动变阻器 C．一个电流表和一个定值电阻 D．一个电压表和一个电阻箱 【答案】D 【详解】测定电池内阻和电动势，采用电压表、电流表和滑动变阻器，或电阻箱和电流表，或电阻箱和电压表，然后通过图像求解或联立解方程组求解，故选D，ABC错误。 故选D 。 3．测定一节蓄电池的内阻r比较小，为了实验的方便，电路中串联了一个定值电阻R0。采用如图所示电路测量电动势和内阻，产生系统误差的主要原因是（　　） A．电压表的分流作用 B．电流表的分流作用 C．电流表的分压作用 D．电压表的分压作用 【答案】A 【详解】由电路图可知，根据闭合电路欧姆定律解得由于电压表的分流作用造成电流表读数总是比实际的电路总电流小，从而造成实验误差，故A正确，B、C、D错误。故选A。 4．某同学利用实验器材设计了如图所示的测量电路，电阻R的阻值以及电源的电动势和内阻均未知，电压表左端的接线位置待定。不管接哪个接线柱，都可以通过改变滑动变阻器接入电路的阻值，获得多组数据，描绘出关系图像（U、I分别为电压表和电流表的示数）。下列说法正确的是（　　） A．若接a，利用该电路可测量电阻R的阻值，且测量值偏大 B．若接a，利用该电路可测量电源的电动势和内阻，且内阻测量值偏大 C．若接b，利用该电路可测量电阻R的阻值，且测量值偏大 D．若接b，利用该电路可测量电源的电动势和内阻，且电动势测量值偏大 【答案】C 【详解】A．若接a，此时电压表并联在滑动变阻器和定值电阻两端，电压表测量滑动变阻器和定值电阻两端的电压，无法测出定值电阻阻值，故A错误； B．若接a，电压表测量滑动变阻器和定值电阻两端的电压，即电源路端电压，根据作出的图象可求电源电动势和内阻，且测量值均偏小，故B错误； C．若接b，此时电压表并联在定值电阻两端，电压表测量定值电阻两端的电压，根据欧姆定律可求出定值电阻的阻值，但由于电流表分压作用，测量值会偏大，故C正确； D．若接b，电压表并联在定值电阻两端，滑动变阻器视为电源内阻的一部分，作出的图象无法可得到电源的电动势和内阻，故D错误。故选C。 5．如图所示的“测定电池的电动势和内阻”的实物连线图中，有一根线连接的是错误的，这根错误的线是（ ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【详解】图中c导线的下端不应该与电源的负极相连，而应该连接到电键的右端，这样电键就能控制整个电路了故选C。 6．某同学在测量电源电动势和内阻时，按如图所示的甲、乙两种电路分别连接实验器材，测量记录实验数据，并根据所测实验数据在丙图中作出两条图线与。实验各环节均正确。下列说法正确的是（　　） A．根据甲电路实验数据作出的是图线 B．由图线可得出电源电动势的测量值为，内阻的测量值为 C．采用甲电路测量的电源电动势更准确些，采用乙电路测量的电源内阻更准确些 D．b图线对应的实验误差主要是由于电压表的分流引起的 【答案】D 【详解】ACD．甲电路实验误差是由于电压表分流引起，流经电源的电流比电流表测得的电流大E测＝E真<E真，r测＝<r真故电动势和内阻的测量值均小于实际值。乙电路实验误差是由于电流表分压引起E测＝E真，r测＝r＋RA>r真电动势的测量值等于实际值，内阻测量值大于真实值。根据甲电路实验数据作出的是图线，采用乙电路测量的电源电动势更准确些。因为电压表内阻比电源内阻大的多，电流表内阻和电源内阻相差不多，采用甲电路测量的电源内阻更准确些，故AC错误，D正确； B．由图线可得出电源电动势的测量值为纵轴截距，为，内阻的测量值故B错误。故选D。 7．某实验小组在测量电源电动势和内阻的实验中，采用如图甲所示的电路进行实验，待测电源的电动势约2V，内阻约。（　　） A．在闭合开关S前，滑动变阻器滑片应置于端 B．这个实验的系统误差是由于电流表分压造成的 C．电源的内阻为 D．为了让实验误差更小，同量程的电压表，应该选择内阻更大的那一个 【答案】D 【详解】A．在闭合开关S前，为防止烧坏电表，滑动变阻器滑片应置于a端，A错误； C．根据闭合电路的欧姆定律整理得可知图像的斜率大小表示电源的内阻大小，有，C错误； BD．根据电路图分析，电流表测的是滑动变阻器的电流不是干路电流，未计入电压表支路的电流，所以误差主要是电压表的分流作用。电压表与滑动变阻器并联，根据并联电路分流特点，电阻越大，分流越小，故为了让实验误差更小，同量程的电压表，应该选择内阻更大的那一个，B错误，D正确。故选D。 8．如图甲、乙是利用电压表（可看作理想电表）和电阻箱测定电池的电动势和内电阻的原理图及实验数据图像，可得电动势和内电阻分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据可得由图乙知，图像斜率截距解得，故选D。 9．某同学用电流传感器和电阻箱测量电源的电动势和内阻，电路如图甲所示。实验测得电阻R以及相对应的电流I的多组数据，得到如图乙所示的图线。该同学在处理实验数据时，误将电阻箱阻值作为外电路总电阻的阻值，漏算了，下列说法正确的是（　　） A．该电源的电动势为1V B．该电源的内阻为2Ω C．内阻的测量值偏小 D．电动势的测量值偏大 【答案】A 【详解】AB．根据题意，由闭合回路欧姆定律有整理可得结合图像可得，即该电源的内阻故A正确，B错误； CD．结合上述分析可知，若漏算了图像斜率不变，则电动势的测量值和真实值相比是相同的，内阻的测量值偏大，故CD错误。故选A。 10．某同学利用如图甲所示电路测量电池a的电动势Ea和内阻ra，实验时多次改变电阻箱的阻值，记录电阻箱阻值R，用电压传感器（可视为理想电表）测得路端电压U，并在计算机上显示出如图乙所示的关系图线a，重复上述实验方法测量电池b的电动势Eb和内阻rb，得到图乙中的图线b。由图线可知（　　）　 A．Ea=Eb B．Ea > Eb C．ra= rb D．ra > rb 【答案】C 【详解】根据闭合电路欧姆定律有变形得令图线与纵轴截距为y，图线与横轴的截距为-x，则有，解得，根据图乙可知，图像a与纵轴的截距大于图像b与纵轴的截距，而图像a与横轴的截距等于图像b与横轴轴的截距，可知Ea <Eb，ra= rb故选C。 二、填空题 11．用图甲所示的电路。测定一节旧干电池的电动势和内阻。 (1)闭合开关前，滑动变阻器的滑片P应位于电阻R 端（左/右）； (2)通过多次测量并记录对应的电流表示数I和电压表示数U，利用这些数据在图中画出了图线。由图像可以得出，此干电池的电动势 V，内阻 Ω； (3)引起该实验的系统误差的主要原因是 。 A．由于电流表的分流作用造成电流表读数总是比电源实际输出的电流小 B．由于电压表的分流作用造成电流表读数总是比电源实际输出的电流小 C．由于电流表的分压作用造成电压表读数总是比路端电压小 D．由于电流表的分压作用造成电压表读数总是比路端电压大 【答案】(1)左(2) 1.45 1.3(3)B 【详解】（1）为保护电路，实验开始前应将滑动变阻器阻值调至最大，故打在最左侧。 （2）[1][2]由闭合回路欧姆定律可知U=E-Ir根据U-I图线的纵截距和图像与I轴交点坐标可以得出E=1.45V， （3）该实验要求同时测出路端电压和干路电流，故造成误差的原因是电压表的分流作用造成电流表读数总是比电源实际输出的电流小，故选B。 12．小李设计了图甲所示的实验电路，利用该电路测量电源的电动势和内阻。电路中的各个器材元件的参数为∶电池组、电流表（量程0~0.6A，内阻）、电阻箱、定值电阻、开关及导线若干。 (1)请完善实验步骤： A．闭合开关前，调节电阻箱至 （填“最大值”或“最小值”）； B．闭合开关，调节电阻箱，得到一系列电阻值和电流的数据； C．断开开关，整理实验器材。 (2)根据实验原理，写出以为自变量，为因变量的函数表达式 （用表示）。 (3)图乙是根据实验数据绘出的图像，则电源电动势 V，内阻 。（结果均保留两位有效数字） (4)本实验电源电动势的测量值 （填“大于”、“小于”或“等于”）真实值。 【答案】(1)最大值(2)(3) 3.0 1.6(4)等于 【详解】（1）为了保证电路的安全，闭合开关前，调节电阻箱至最大值； （2）由闭合电路欧姆定律变形得 （3） [1][2]图象纵轴截距与电源电动势的乘积代表，图象斜率为，即解得由解得 （4）由上分析可知，电动势等于图象斜率的倒数，所以本实验电源电动势的测量值等于真实值。 13．利用电压表、电阻箱可以测量电源电动势和内电阻，图1和图2分别是本实验的电路图和实物连线图。定值电阻为保护电阻，防止电阻箱调整过程中有可能造成的电源短路。 (1)请根据电路图把实物连线图补充完整 。 (2)实验过程中，每次改变电阻箱阻值，电压表都有一个相应的读数，利用图像法处理这些实验数据就可以得到电源电动势和电源内阻，根据闭合电路欧姆定律，若以为纵坐标、 （填“”“”或“”）为横坐标，根据实验数据在坐标系描点、连线，就能使作出的图像为一条直线。 (3)测得（2）中所得到的直线纵截距，斜率，则被测电源电动势 ；已知，则内电阻 。（结果均保留2位有效数字） (4)由于电压表的分流作用，使得该实验中存在系统误差，导致电动势的测量值 （填“偏大”或“偏小”）。 【答案】(1)见解析(2)(3) 3.0 0.75(4)偏小 【详解】（1）电路连线如图 （2）由电路可知解得即应该做图像可得到一条直线； （3）[1][2]由题意可知，解得E=3.0V，r=0.75Ω （4）若考虑电压表内阻，则实际R0+r的测量值为 即内阻测量值偏小。 14．某学习小组通过查阅资料了解到，将铜、锌电极插入水果中所构成的水果电池，电动势在1V左右，内电阻在几百至上千欧，于是他们用橙子和金属电极做了两个水果电池并串联成电池组，测量其总电动势和总内阻。 (1)首先用多用电表直流2.5V挡粗测水果电池的电动势，如图1所示，读数为 V； (2)然后用伏安法精确测量水果电池的电动势和内阻，器材有：电压表，电流表，滑动变阻器，开关及导线若干。在图2所示电路图中，比较合理的是 （填“甲”或“乙”），请按此将图3电路连接完成 。 (3)连接好电路后，闭合开关，调节滑动变阻器的滑片，记录电压表和电流表的读数，作图像如图4所示，则水果电池总电动势 ，总内阻 （此空保留2位有效数字）。 【答案】(1)1.60/1.61/1.62 (2) 乙 (3) 【详解】（1）多用电表直流2.5V挡最小刻度为0.05V，则读数为1.60V； （2）[1][2]在图2所示电路图中，因电流表内阻远小于水果电池的内阻，可知比较合理的是乙，按此将图3电路连接完成如图； （3）[1][2]根据U=E-IR由图像可知水果电池总电动势1.94V总内阻 15．某实验小组在“测定干电池的电动势和内阻”的实验中，实验器材如下： A．被测干电池（电动势约为1.5V，内阻约为1Ω） B．电流表A（量程0~0.6A，内阻约为0.1Ω） C．电流表（量程0~10mA，内阻为10Ω） D．定值电阻（阻值为150Ω） E.定值电阻（阻值为1000Ω） F.滑动变阻器R G.开关S、导线若干 (1)因无电压表，故需用电流表 和定值电阻 改装电压表（均选填器材前面的序号字母）； (2)将实验电路画在方框中，并标出器材代号 ； (3)利用实验测得的数据做出图像，如图所示，其中为示数，I为A示数，由图像可知电源的电动势 内阻 Ω。（均保留2位有效数字） 【答案】(1) C D (2)见解析 (3) 1.4 1.2 【详解】（1）因电流表A内阻未知和量程较大，故选用mA，即用C，根据 可得若定值电阻用，可将电流表改装为量程为1.6V的电压表；故选用D； （2）实验电路如图 根据闭合电路欧姆定律有整理得其中由图像及上式可知，斜率为纵截距为，联立解得 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3. 实验：电池电动势和内阻的测量 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲）+课后作业】 模块二 知识精讲 情景导入 知识归纳 【知识点1 伏安法测量电池电动势和内阻】 1、实验目的：测量电源电动势和内阻，深入理解闭合电路的欧姆定律。 2、实验原理：闭合电路的欧姆定律，由E＝U＋Ir知，改变外电路的阻值可测出多组U、I的值，通过图像可求出E、r的值。 3、实验器材：电池、电压表、电流表、滑动变阻器、开关、导线、坐标纸和刻度尺。 4、实验步骤 （1）电流表用0.6 A的量程，电压表用3 V的量程，按实验原理图连接好电路。 （2）把滑动变阻器的滑片移到最左端（使阻值最大的一端）。 （3）闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据（I1，U1）。用同样的方法再测量几组I、U值，填入表格中。 实验序号 1 2 3 4 5 6 I/A I1 I2 I3 I4 I5 I6 U /V U1 U2 U3 U4 U5 U6 （4）断开开关，拆除电路，整理好器材。 5、数据处理：电池电动势和内阻的求解方法 （1）作图法，如下图所示，以U为纵轴，I为横轴建立平面直角坐标系，将记录的电压、电流的数据，在直角坐标图上描点，过这些点作一条直线。将直线延长，则可根据纵轴截距求出电动势，根据斜率大小求出内电阻，即。 （2）计算法：由闭合电路的欧姆定律得E＝U1＋I1r，E＝U2＋I2r可解得E＝，r＝。 可以利用U、I的值多求几组E、r的值，算出它们的平均值。 6、误差分析 （1）偶然误差 ①电表读数不准和电表线性不良引起的误差。 ②U－I图像时描点不准确造成误差。 ③测量过程中通电时间过长或电流过大，都会引起E、r变化。 系统误差：主要原因是未考虑电压表的分流作用，使得电流表上读出的数值比实际的总电流(即流过电源的电流)要小一些。理论上E＝U＋（IV＋IA）r，U越大，电流表的读数与总电流的偏差就越大 【例1】在“测量干电池的电动势和内阻”实验中： (1)部分连线如图甲所示，导线a端应连接到________(选填“A”“B”“C”或“D”)接线柱上。正确连接后，某次测量中电压表指针位置如图乙所示，其示数为________ V。 (2)测得的7组数据已标在如图丙所示U－I坐标系上，用作图法求干电池的电动势E＝________ V和内阻r＝________ Ω。(计算结果均保留两位小数) 【变式1—1】请根据以下内容，完成下面问题。 某同学测定电池组的电动势和内阻，实验电路如图（a）所示。 (1)根据实验电路图，图（b）所示的实物电路中，导线P端应当连接在接线柱________（填“①”或“②”）上。 (2)某次测量中，电流表量程为0~0.6A，指针见图（c），其读数为________A (3)该同学将实验测量的数据反映在的图中，由此图线，可求出电池的电动势__________V（保留到小数点后两位），当电源短路时，电流___________A（保留到小数点后一位）。 【变式1—2】某实验小组通过如图甲所示的实验电路来“测量一节干电池的电动势和内电阻”，根据测得的数据作出了如图乙所示的U-Ⅰ图线，下列说法正确的是（　　） A．实验误差来源于电压表分流 B．实验误差来源于电流表分压 C．干电池内阻的测量值为3Ω D．干电池电动势的测量值偏大 【变式1—3】某学习小组利用以下器材测量两节新干电池串联的总电动势和总内阻： A、新干电池2节：每节电池电动势略大于，内阻约 B、电压表：量程，内阻约 C、电压表：量程，内阻约 D、电流表：量程，内阻为 E、滑动变阻器：规格 F、不同规格的定值电阻若干、开关、导线。 (1)图a为学习小组设计的电路图，为了使测量结果尽可能准确，应选用电压表 （选填“”或“”）。 (2)将滑动变阻器的滑片置于合适位置后，闭合开关，开始测量。由于电池组的内阻较小，导致移动滑动变阻器的滑片时， （选填“电压表”或“电流表”）无法有效读取多个数据。 (3)学习小组对实验进行改进如图b：将一个阻值为的定值电阻串联在电路中。闭合开关，记录数据，并描绘出图线（图c）。由图线可得，两节干电池串联的总电动势 ，总内阻 。（结果均保留2位小数） 【知识点2 安阻法或伏阻法测量电池电动势和内阻】 【实验原理】由E＝IR＋Ir知，改变电阻箱的阻值，测出多组I、R的值，通过图像就可求出E、r的值。 【实验器材】电池、电流表、电阻箱、开关、导线。 【数据处理】 （1）图像法： ①由E＝I(R＋r)得：＝R＋，－R图像的斜率k＝，纵轴截距为(如下图所示) ②由E＝I(R＋r)得：R＝E·－r，R－图像的斜率k＝E，纵轴截距为－r(如下图所示) （2）计算法：记录测量的几组数据，由解方程组求得E，r。 2、伏阻法测量电池电动势和内阻 【实验原理】由E＝U＋Ir＝U＋r知，改变电阻箱阻值，测出多组U、R值，通过公式或图像可求出E、r。 【实验器材】电池、电压表、电阻箱、开关、导线。 【数据处理】 （1）图像法：由E＝U＋r得：＝＋·.故－图像的斜率k＝，纵轴截距为 (如下图所示) （2）计算法：记录测量的几组数据，由解方程组求得E，r。 【例2】某同学利用如图所示的电路测定干电池的电动势和内电阻，在是否可忽略电流表内阻这种情况下，以电阻箱读数R为横坐标，电流表读数的倒数为纵坐标。下图中实线代表电流表内阻可忽略的情况，虚线代表电流表内阻不可忽略的情况，这四幅图中，能正确反映相关物理量之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【变式2—1】某实验小组欲测量某一型号电源的电动势和内阻，实验室提供的实验器材如下： A．待测电源 B．电流表（量程为，内阻） C．定值电阻 D．定值电阻 E．定值电阻 F．电阻箱（阻值范围为） G．开关、导线若干 实验步骤如下： （1）实验时需要把电流表的量程改装为，定值电阻应选 （选填“”或“”）。 （2）根据电路图甲连接电路，连接前开关断开。 （3）闭合开关，适当调节电阻箱，并记下电阻箱的阻值及对应电流表的示数，然后断开开关。 （4）重复（3）的操作，得到多组的数据。 （5）以为横轴，为纵轴，建立平面直角坐标系，作出的图像如图乙所示，则待测电源的电动势 V，内阻 （结果均保留两位有效数字）。 （6）若不考虑偶然误差，上述测量值与真实值相比： ， （均填“>”“<”或“=”）。 【变式2—2】用如图甲所示的电路测量电源的电动势和内阻，电流表A为理想电表，改变电阻箱R的阻值，测得多组数据，根据测得数据描绘的图线如图乙所示。将该电源、电阻箱R、表笔a和b与量程为10mA、内阻为50Ω的毫安表连成如图丙所示的电路，将毫安表改装成欧姆表，下列说法正确的是 A．电源电动势，内电阻 B．甲图中，当电阻箱R接入电路的阻值为时，电源的输出功率为12W C．丙图中，表笔a和b短接，当电阻箱R接入电路的阻值为时，毫安表满偏 D．丙图中，欧姆调零后，表笔a和b间接入阻值为的电阻，毫安表的示数为4mA 【变式2—3】某课外活动小组利用铜片、锌片和橙子制成一个水果电池，他们想测量该水果电池的电动势E和内阻r。 (1)将多用电表的选择开关拨至直流电压2.5V挡，将红、黑表笔与铜、锌片直接接触，多用电表的表盘指针位置如图甲所示，其电压的示数为 V，这样测定的结果和电动势相比 （选填“偏大”、“偏小”或“相同”）。 (2)有以下实验器材可供选择： A．电流表A1（量程0~100µA，内阻为100Ω） B．电流表A2（量程0~600µA，内阻不计） C．电压表V（量程0~3V，内阻约为15kΩ） D．定值定阻R0（阻值9900Ω） E．电阻箱R（阻值可调范围0~9999Ω） F．滑动变阻器R1（阻值变化范围0~20Ω） G．滑动变阻器R2（阻值变化范围0~5kΩ） H．开关和导线若干 ①小明同学选用了其中的一些器材，设计了图乙所示的电路进一步测定电动势和内电阻。滑动变阻器应选择 （选填“R1”或“R2”）。正确连接电路，闭合开关，调节滑动变阻器，获得电流表A1和A2的多组I1和I2数据，并作出I1-I2图像如图丙所示，该水果电池的电动势E= V，内阻r = Ω。（计算结果均保留两位有效数字） ②从提供的实验器材中选择合适的器材，在相应方框中再画出一种测定该水果电池的电动势和内阻的电路图 、 。 【例3】如图甲、乙是利用电压表（可看作理想电表）和电阻箱测定电池的电动势和内电阻的原理图及实验数据图像，可得电动势和内电阻分别是（　　） A． B． C． D． 【变式3—1】实验小组用如图1所示的电路来测量电源的电动势E和内阻r以及定值电阻的阻值。图1中的电压表为理想电压表，现把电阻箱调到最大值，闭合开关，调节电阻箱的阻值，读出电压表的示数U，改变电阻箱的阻值R，测得多组U与R对应值；再断开开关，调节电阻箱的阻值，读出电压表的示数U，改变电阻箱的阻值R，测得多组U与R对应值，以为纵轴、为横轴建立直角坐标系，在该坐标系中画出图像，得到的甲、乙两条图线如图2所示，回答下列问题： (1)按照图1所示的实验原理电路图在下列方框中完成实物图连线。 (2)闭合、断开，对应图2中的倾斜直线 （选填“甲”或“乙”），理论上甲、乙两条倾斜直线的交点 （选填“在”或“不在”）横轴上。 (3)若图线乙的纵截距为，则电源的内阻 ，若甲与乙的斜率之比为n，则与r的比值为 。 【变式3—2】某同学在实验室利用如图甲所示的电路测量某电源的电动势和内阻。根据实验数据绘出的图像与如乙图所示的图线类似，其中为电阻箱读数，为电压表读数。请根据已学习的电学知识分析出正确的选项（　　） A．电源的电动势大小为、内阻大小为 B．电源的电动势大小为、内阻大小为 C．电源的电动势大小为、内阻大小为 D．电源的电动势大小为、内阻大小为 【变式3—3】因电动汽车充电比燃烧汽油更便宜，故电动汽车更受到市场的欢迎。某兴趣小组为了测量某电动汽车上安装的电池的电动势（）和内阻（），利用实验室现有器材进行了如下实验。 (1)实验室只有一个量程为100V、内阻为的电压表，现把此电压表改装成量程为400V的电压表，需串联一个阻值为 的电阻，然后再测量电池的电动势和内阻。 (2)该兴趣小组将电阻箱和改装后的电压表（电压表的表盘没有改变，示数记为）连接成如图甲所示的电路，来测量该电池的电动势和内阻，根据电阻箱接入电路的阻值和电压表的示数作出图像，如图乙所示，则该电池的电动势 V、内阻 。（结果保留三位有效数字） (3)由实验可知，电池电动势的测量值 （选填“大于”“等于”或“小于”）真实值；内阻的测量值 （选填“大于”“等于”或“小于”）真实值。 模块三 课后作业 一、单选题 1.测定电源的电动势和内阻”的实验中，下列注意事项中错误的是（  ） A．应选用旧的干电池作为被测电源，以使电压表示数的变化比较明显 B．应选用内阻较小的电压表和电流表 C．移动变阻器的触头时，不能使滑动变阻器短路造成电流表过载 D．根据实验记录的数据作U–I图象时，应通过尽可能多的点画一条直线，并使不在直线上的点大致均匀分布在直线两侧 2．为了测定电池的电动势和内阻，现有待测电池、开关和导线，为了达到测定目的，还需要的仪器是（　　） A．一个电流表和一个滑动变阻器 B．一个电压表和一个滑动变阻器 C．一个电流表和一个定值电阻 D．一个电压表和一个电阻箱 3．测定一节蓄电池的内阻r比较小，为了实验的方便，电路中串联了一个定值电阻R0。采用如图所示电路测量电动势和内阻，产生系统误差的主要原因是（　　） A．电压表的分流作用 B．电流表的分流作用 C．电流表的分压作用 D．电压表的分压作用 4．某同学利用实验器材设计了如图所示的测量电路，电阻R的阻值以及电源的电动势和内阻均未知，电压表左端的接线位置待定。不管接哪个接线柱，都可以通过改变滑动变阻器接入电路的阻值，获得多组数据，描绘出关系图像（U、I分别为电压表和电流表的示数）。下列说法正确的是（　　） A．若接a，利用该电路可测量电阻R的阻值，且测量值偏大 B．若接a，利用该电路可测量电源的电动势和内阻，且内阻测量值偏大 C．若接b，利用该电路可测量电阻R的阻值，且测量值偏大 D．若接b，利用该电路可测量电源的电动势和内阻，且电动势测量值偏大 5．如图所示的“测定电池的电动势和内阻”的实物连线图中，有一根线连接的是错误的，这根错误的线是（ ） A．a B．b C．c D．d 6．某同学在测量电源电动势和内阻时，按如图所示的甲、乙两种电路分别连接实验器材，测量记录实验数据，并根据所测实验数据在丙图中作出两条图线与。实验各环节均正确。下列说法正确的是（　　） A．根据甲电路实验数据作出的是图线 B．由图线可得出电源电动势的测量值为，内阻的测量值为 C．采用甲电路测量的电源电动势更准确些，采用乙电路测量的电源内阻更准确些 D．b图线对应的实验误差主要是由于电压表的分流引起的 7．某实验小组在测量电源电动势和内阻的实验中，采用如图甲所示的电路进行实验，待测电源的电动势约2V，内阻约。（　　） A．在闭合开关S前，滑动变阻器滑片应置于端 B．这个实验的系统误差是由于电流表分压造成的 C．电源的内阻为 D．为了让实验误差更小，同量程的电压表，应该选择内阻更大的那一个 8．如图甲、乙是利用电压表（可看作理想电表）和电阻箱测定电池的电动势和内电阻的原理图及实验数据图像，可得电动势和内电阻分别是（　　） A． B． C． D． 9．某同学用电流传感器和电阻箱测量电源的电动势和内阻，电路如图甲所示。实验测得电阻R以及相对应的电流I的多组数据，得到如图乙所示的图线。该同学在处理实验数据时，误将电阻箱阻值作为外电路总电阻的阻值，漏算了，下列说法正确的是（　　） A．该电源的电动势为1V B．该电源的内阻为2Ω C．内阻的测量值偏小 D．电动势的测量值偏大 10．某同学利用如图甲所示电路测量电池a的电动势Ea和内阻ra，实验时多次改变电阻箱的阻值，记录电阻箱阻值R，用电压传感器（可视为理想电表）测得路端电压U，并在计算机上显示出如图乙所示的关系图线a，重复上述实验方法测量电池b的电动势Eb和内阻rb，得到图乙中的图线b。由图线可知（　　）　 A．Ea=Eb B．Ea > Eb C．ra= rb D．ra > rb 二、填空题 11．用图甲所示的电路。测定一节旧干电池的电动势和内阻。 (1)闭合开关前，滑动变阻器的滑片P应位于电阻R 端（左/右）； (2)通过多次测量并记录对应的电流表示数I和电压表示数U，利用这些数据在图中画出了图线。由图像可以得出，此干电池的电动势 V，内阻 Ω； (3)引起该实验的系统误差的主要原因是 。 A．由于电流表的分流作用造成电流表读数总是比电源实际输出的电流小 B．由于电压表的分流作用造成电流表读数总是比电源实际输出的电流小 C．由于电流表的分压作用造成电压表读数总是比路端电压小 D．由于电流表的分压作用造成电压表读数总是比路端电压大 12．小李设计了图甲所示的实验电路，利用该电路测量电源的电动势和内阻。电路中的各个器材元件的参数为∶电池组、电流表（量程0~0.6A，内阻）、电阻箱、定值电阻、开关及导线若干。 (1)请完善实验步骤： A．闭合开关前，调节电阻箱至 （填“最大值”或“最小值”）； B．闭合开关，调节电阻箱，得到一系列电阻值和电流的数据； C．断开开关，整理实验器材。 (2)根据实验原理，写出以为自变量，为因变量的函数表达式 （用表示）。 (3)图乙是根据实验数据绘出的图像，则电源电动势 V，内阻 。（结果均保留两位有效数字） (4)本实验电源电动势的测量值 （填“大于”、“小于”或“等于”）真实值。 13．利用电压表、电阻箱可以测量电源电动势和内电阻，图1和图2分别是本实验的电路图和实物连线图。定值电阻为保护电阻，防止电阻箱调整过程中有可能造成的电源短路。 (1)请根据电路图把实物连线图补充完整 。 (2)实验过程中，每次改变电阻箱阻值，电压表都有一个相应的读数，利用图像法处理这些实验数据就可以得到电源电动势和电源内阻，根据闭合电路欧姆定律，若以为纵坐标、 （填“”“”或“”）为横坐标，根据实验数据在坐标系描点、连线，就能使作出的图像为一条直线。 (3)测得（2）中所得到的直线纵截距，斜率，则被测电源电动势 ；已知，则内电阻 。（结果均保留2位有效数字） (4)由于电压表的分流作用，使得该实验中存在系统误差，导致电动势的测量值 （填“偏大”或“偏小”）。 14．某学习小组通过查阅资料了解到，将铜、锌电极插入水果中所构成的水果电池，电动势在1V左右，内电阻在几百至上千欧，于是他们用橙子和金属电极做了两个水果电池并串联成电池组，测量其总电动势和总内阻。 (1)首先用多用电表直流2.5V挡粗测水果电池的电动势，如图1所示，读数为 V； (2)然后用伏安法精确测量水果电池的电动势和内阻，器材有：电压表，电流表，滑动变阻器，开关及导线若干。在图2所示电路图中，比较合理的是 （填“甲”或“乙”），请按此将图3电路连接完成 。 (3)连接好电路后，闭合开关，调节滑动变阻器的滑片，记录电压表和电流表的读数，作图像如图4所示，则水果电池总电动势 ，总内阻 （此空保留2位有效数字）。 15．某实验小组在“测定干电池的电动势和内阻”的实验中，实验器材如下： A．被测干电池（电动势约为1.5V，内阻约为1Ω） B．电流表A（量程0~0.6A，内阻约为0.1Ω） C．电流表（量程0~10mA，内阻为10Ω） D．定值电阻（阻值为150Ω） E.定值电阻（阻值为1000Ω） F.滑动变阻器R G.开关S、导线若干 (1)因无电压表，故需用电流表 和定值电阻 改装电压表（均选填器材前面的序号字母）； (2)将实验电路画在方框中，并标出器材代号 ； (3)利用实验测得的数据做出图像，如图所示，其中为示数，I为A示数，由图像可知电源的电动势 内阻 Ω。（均保留2位有效数字） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $