3.1.1椭圆及其标准方程同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从椭圆定义、标准方程等基础概念到轨迹问题、曲线综合应用，适配新授课知识巩固与思维提升，培养数学推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|椭圆定义、标准方程、焦点位置判断|单选（1-5）、填空（10-11）聚焦a,b,c关系，夯实概念理解| |提升层|轨迹方程、参数范围、距离最值|单选（6-7）、填空（12-13）结合二次函数与椭圆定义，提升应用能力| |综合层|曲线综合、分类讨论|多选（8-9）、解答（16）融合半圆与椭圆，培养数学思维的严谨性|

3.1.1椭圆及其标准方程 同步练习（附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 2．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 7．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 8．若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 9．若曲线由半圆和半椭圆组成，若直线与交于两点（在的左侧），，则（    ） A． B．的最大值为 C．存在，使得四边形是平行四边形 D．面积的最大值为 三、填空题 10．已知点为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点到该椭圆的另一个焦点的距离为_____________． 11．已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为__________. 12．已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是______． 13．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______． 四、解答题 14．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，长轴长是短轴长的倍； (2)焦点在轴上，且经过两点、. 15．已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，.求椭圆的方程. 16．根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 《3.1.1 椭圆及其标准方程 同步练习（附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C C B B A BD 题号 9 答案 ACD 1．B 【知识点】求平面两点间的距离、椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 【分析】设，结合点在椭圆上利用两点距离公式得，根据二次函数性质求解最值即可. 【详解】设点P的坐标为，其中，由，可得， 又由， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：B 2．A 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】借助椭圆定义可得，再借助两点间距离公式计算即可得. 【详解】如图，取椭圆右焦点，则， 则由椭圆定义可知， 则， 当且仅当、、三点共线，且在之间时取等， 故的最大值为. 故选：A. 3．C 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以解得，即实数的取值范围为． 4．C 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】根据椭圆焦点所在的轴联立不等式，即可求解. 【详解】由题意得，解得. 5．B 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 6．B 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】根据过点，得出，结合，可得，即可得出椭圆方程. 【详解】因为椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，， 则，所以椭圆方程为. 故选：B 7．A 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】设点，由题意，因为是的中点，且轴，则有，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，因为是的中点，且轴，则有，如图： 又在圆上，将代入其中可得 ，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A. 8．BD 【知识点】利用椭圆定义求方程、椭圆上点到焦点的距离及最值 【详解】椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，则，， 且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则， 即，解得， ，故选项BD正确. 9．ACD 【知识点】基本不等式求和的最小值、椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】利用椭圆和圆的对称性，结合椭圆的定义、圆的性质、基本不等式、三角形面积公式逐一判断即可. 【详解】因为曲线由半圆和半椭圆组成， 所以曲线关于横轴对称，不妨研究当时的情况. A：由椭圆的标准方程可知， 所以是椭圆的焦点， 于是有，所以本选项结论正确； B：显然，所以是直角三角形，且， 所以，当且仅当时，取等号，即，此时，显然重合，不符合题意， 即，所以本选项说法不正确； C：当时， 由. 当时， 由. 假设四边形是平行四边形，因为， 所以， 即，舍去，所以存在，使得四边形是平行四边形，所以本选项说法正确； D：的面积为，当且仅当时取等号，即， 所以当时，面积的最大值为，所以本选项说法正确. 10．4 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值 【详解】由题意可知椭圆的长轴长， 由于点到该椭圆的一个焦点的距离为2， 根据椭圆的定义得点到该椭圆的另一个焦点的距离为4. 11． 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 【分析】根据题意可得：点在以，为焦点，且长轴长，焦距的椭圆上，不含长轴上的两顶点，从而根据椭圆的几何性质，即可求解． 【详解】在△中，，， 点在以，为焦点，且长轴长，焦距的椭圆上，不含长轴上的两顶点， ，，短半轴，又的中点为该椭圆的中心， 的最小值为． 故答案为： 12．30 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据定义，再利用求解即可. 【详解】由椭圆的定义得，， 则，又点在椭圆内部，， 所以， 即，当点在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为30. 故答案为：30. 13． 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】利用方程表示焦点在y轴上的椭圆建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的椭圆， 所以，解得. 故答案为： 14．(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设椭圆的方程为，将点、的坐标代入椭圆的方程，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出椭圆的标准方程. 【详解】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为， 所以由题设有，解得，故椭圆的标准方程为. （2）根据题意可设椭圆的方程为， 将点、的坐标代入椭圆方程得，解得， 故椭圆的标准方程为. 15． 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】由题意，由，得，结合，可得答案. 【详解】依题意，椭圆的半焦距，由，得， 解得，，所以椭圆的方程为. 16．(1)或 (2) 【知识点】利用椭圆定义求方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）先用椭圆的定义求出长半轴，结合通径公式算出，分焦点在x、y轴两种情况写方程; （2）设椭圆一般式，代入两点坐标解方程组，直接得到标准方程. 【详解】（1）设椭圆的标准方程是或， 则由题意知.  . 在方程中令得， 在方程中令得， 因为过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点， 所以.  . 即椭圆的标准方程为或. （2）设经过两点的椭圆的一般方程为，代入A、B得 ∴所求椭圆方程为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $