第五章 一元一次方程 基础卷 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 初中数学一元一次方程单元基础卷，覆盖概念、解法及实际应用，通过情境化问题与分层设计，适配单元复习，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程定义、解法、等式变形、实际应用（新能源车企交付）、规律探究（图案、程序计算）|结合科技热点（新能源车企），考查数学眼光（几何直观：月历、九宫格）| |填空题|5/15|方程解、同解问题、代数式与x取值无关、几何面积（长方形拼图）|突出抽象能力（代数式无关性），体现数学思维（推理运算）| |解答题|8/75|解方程、错题辨析、商场优惠、数轴动点、新定义（定解方程）、绝对值综合|分层设计：基础（解方程）→综合（数轴动点）→创新（定解方程），培养模型意识与应用意识，契合真题命题趋势|

第五章 一元一次方程 基础卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程中，是一元一次方程的为（    ） A． B． C． D． 2．方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．下列等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．若关于的方程的解是整数，则整数的值有（　　） A．4个 B．8个 C．12个 D．16个 6．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，若组成的图案中有2029个灰色小正方形，则这个图案是 （    ） A．第504个 B．第505个 C．第506个 D．第507个 7．按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值为．若输出的值为，则输入的值是（    ） A． B． C．或 D．或 8．如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（　　） A． B． C． D． 9．如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（   ） A．125 B．110 C．75 D．60 10．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其的值为（   ） A．2 B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．若，则整式的值为______． 12．已知是方程的解，则的值是______． 13．关于的方程与的解相同，则_____． 14．若代数式的值与字母x的取值无关，则代数式的值为______． 15．如图所示，在长方形中放入8个完全相同的小长方形，若，则图中阴影部分面积之和为____________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解方程： (1) (2) 17．已知是关于y的一元一次方程． (1)求a，b的值； (2)若是方程的解，求的值． 18．下面是小明同学错题本上的一道题，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母，得：  第一步 去括号，得：  第二步 移项，得：  第三步 合并同类项，得：  第四步 两边都除以9，得：  第五步 (1)以上解题过程中，小明从第______步开始出错，错误的原因是______； (2)请解出该方程正确的解． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．某学校计划购买30张办公桌和若干个书架，现从甲、乙两家商场了解到：同型号的产品价格相同，办公桌每张160元，书架每个60元，甲商场的优惠政策为每买一张办公桌赠送一个书架，乙商场的优惠政策为所有商品八折出售．设该学校购买个书架． (1)若到同一家商场购买所有办公桌和书架，分别求出到甲商场和乙商场所需费用；（用含x的式子表示） (2)若只到其中一家商场购买所有办公桌和书架，求当购买多少个书架时，两家商场所需费用相同？ 20．数轴上的定点A，B表示的数分别是a，b，且满足． (1) ________，________；A，B间的距离为________； (2)数轴上一点C距点A 7个单位长度，其表示的数c满足．求点B，C之间的距离． 21．数轴上两点A，B对应的数分别是a，b，已知a，b满足．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1) ， ，并在数轴上标出A，B两点； (2)【解决问题】问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？ 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．规定关于的一元一次方程的解为，则称该方程是定解方程， 例如：的解为，则该方程就是定解方程； (1)若关于的一元一次方程是定解方程，则的值为______； (2)若关于的一元一次方程是定解方程，它的解为，求，的值； (3)若关于的一元一次方程和都是定解方程，求代数式的值． 23．数学探究：点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a、b，A、B 两点之间的距离表示为，在数轴上 A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x与3两点之间的距离表示 ，结合上面的理解，若，则 ． (2)当 时，代数式； (3)的最大值为 ． (4)若点A表示的数1，点B与点A的距离是5，且点 B 在点 A 的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要求解过程） ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D A D D A A A C 11． 12． 13．1 14．9 15．6 16．(1)； (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先移项、合并同类项，再将系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号运算，然后移项、合并同类项，再将系数化为1即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项得 系数化为1得； （2）解： 去分母得 去括号得 移项、合并同类项得 系数化为1得． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及代数式求值等知识，理解一元一次方程中的“一元”和“一次”的意义是解答本题的关键． （1）根据一元一次方程的定义列出关于a，b的方程，解出a、b； （2）将（1）中a的值代入关于x的方程求出m的值，再将a、b、m的值代入所求等式即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）把代入方程，得， 解得， 原式． 18．(1)一；1漏乘10 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法步骤是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：以上解题过程中，小明从第一步开始出错，错误的原因是1漏乘10． 故答案为：一；1漏乘10． （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 19．(1)甲商场所需费用为：元，乙商场购买需费用为：元． (2)70个 【分析】本题主要考查用字母表示数量关系，一元一次方程的运用，理解题意，列出相应的代数式是解题关键． （1）根据数量关系列式即可； （2）根据题意将（1）中两个代数式组成方程求解即可． 【详解】（1）解：到甲商场购买所需费用为：（元）， 到乙商场购买需费用为：（元）． （2）由题意，得：， 解得：． 答：当购买70个书架时，两家商场购买所需费用相同． 20．(1)6， ，10 (2)3 【分析】本题考查数轴上的点与绝对值的关系和平方与绝对值的非负性，注意距离与数轴上的点的区别是解题的关键． （1）根据平方与绝对值的非负性即可求出a，b，再求两点的距离即可； （2）根据题意判断c的符号，结合与点A距离7个单位长度即可解答． 【详解】（1）解： ∵，， ∴，解得， ，解得， ∴； （2）解：由（1）可知． 因为，所以或，所以或． 因为点C距点A 7个单位长度， 所以或， 又因为，所以点C在数轴上表示的数为 所以点B，C之间的距离为． 21．(1)；8；图见解析 (2)秒或3秒 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上表示有理数，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）根据非负数的性质可得，，即可求解； （2）设运动时间为t秒，则，，，再根据题意分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，8； 在数轴上标出A、B两点，如图所示： （2）解：设运动时间为t秒，根据P，Q的运动， 则，，， 分两种情况： 当点P在点Q的左侧时， 解得， 当点P在点Q的右侧时， 解得， ∴点P运动秒或3秒时与点Q相距3个单位长度． 22．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、代数式求值等知识点，理解定解方程的定义是解题的关键． （1）根据定解方程的概念列式求解即可； （2）根据a是方程的解得到关于a、b的一个方程，再反而不好根据定解方程的概念列式得到关于a、b的一个等式，然后联立两方程求解即可； （3）根据定解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算求解即可． 【详解】（1）解：解方程可得：， ∵关于的一元一次方程是定解方程， ∴，解得：． （2）解：解方程可得：， ∵关于的一元一次方程是定解方程，它的解为， ∴①， ∵关于的一元一次方程是定解方程， ∴②， ①②联立得∶解得：． （3）解：∵关于的一元一次方程和都是定解方程， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ． 23．(1)；1或5 (2)0或7 (3)8 (4)2 秒或 3 秒 【分析】本题考查了数轴和绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据绝对值的定义即可求解； （2）根据x的取值范围取绝对值，分①当时；②当时；③当时，三种情况进行讨论求解即可； （3）根据绝对值的性质分类讨论，可得答案； （4）设运动x秒后，根据题意求得点B表示的数为6，得到x秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，则，整理求解即可． 【详解】（1）解：x与3之间的距离表示为：， 若，则， 或， 故答案为：；1或5； （2）解：分以下三种情况讨论： ①当时，， 解得：； ②当时，， 此时方程无解； ③当时，原方程可化为：， 解得：， 综上可得x的值为0或7． 故答案为：0或7； （3）解：当时，，， ∴， 当时，，， ∴， ∴，即； 当时，，， ∴， 综上可知：当时，取最大值，最大值为8， 故答案为：8； （4）解：设运动x秒后， 由题意可得：点B表示的数为：， 由题意可得x秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， 则， ∴， ∴或， 解得：或， ∴运动2秒或3秒后． 答案第6页，共8页 答案第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $