2.1向量的概念（练习）高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》【上好课】（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学《平面向量》同步练，以“概念辨析-图形应用-综合拓展”分层，通过基础题巩固向量核心概念，综合题提升几何直观与推理能力，适配新授课“基础+适度提升”需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|向量基本概念（零向量、相等/相反向量、向量判断）|单选题辨析核心概念（如零向量方向与大小），填空题计算模长（正方形、正三角形中向量模），夯实基础认知| |提升层|几何图形中的向量关系（平行四边形、正六边形、正方形）|解答题结合图形找共线/相等向量（如三角形中点、正方形对角线交点问题），培养空间观念与推理意识|

高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》 第二章 平面向量 2.1向量的概念 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．零向量没有大小 C．零向量大小为0 D．零向量方向唯一 2．某人从起点O经过A到点B的位移用向量表示（    ） A． B． C． D． 3．如果两个向量大小相等方向相反，则这两个向量是（    ） A．相等向量 B．相反向量 C．零向量 D．无法判断 4．下列量中：温度、加速度、频率、长度，其中向量有（   ） A．温度 B．加速度 C．频率 D．长度 5．如图，在平行四边形中，下列说法错误的是（    ）    A．与共线 B．与相等 C．与平行 D．与的模相等 6．在正六边形中，设，则下列向量中与不共线的是（   ）    A． B． C． D． 7．下列说法中，正确的是（ ） A．模为的向量与任意向量共线 B．单位向量只有一个 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 8．下列说法中正确的是（ ） A．时间能称为向量 B．所有单位向量都是相等向量 C．模为0的向量与任一非零向量平行 D．若，则 9．下列选项中为向量的是（    ） A．身高 B．路程 C．速度 D．时间 10．下列说法正确的是（    ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．向量能比较大小 二、填空题 11．如图所示，若正方形的边长为1，则＝______.      12．如图所示，在正三角形中，P、Q、R分别是、、的中点，则与向量相等的向量是________． 13．图中，一个小方格的边长为1个单位长度，所有向量的起点和终点都在格点上，求图中向量的模. _____________；_____________；_______；_____________；_____________. 14．如图以方格中的格点（各线段的交点）为起点和终点的向量中． (1)与相等的向量有___________； (2)与共线的向量有___________． 三、解答题 15．如图所示，的三边均不相等，分别是的中点. (1)写出与共线的向量. (2)写出与的模相等的向量. (3)写出与相等的向量. 16．如图，四边形和都是平行四边形，在每两点所确定的向量中： (1)写出与相等的向量； (2)写出与共线的向量． 17．如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形． (1)写出与相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)向量与是否相等？ 一、单选题 1．在矩形中，下列关系式不成立的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则图中与相等的向量（    ）    A． B． C． D． 3．下列说法中正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．相等向量的起点必须相同 D．共线向量不一定是相反向量 4．下列说法正确的是（    ） A．所有单位向量都是相等向量 B．零向量的模为0且没有方向 C．两个向量不能比较大小，但是它们的模可以比较大小 D．向量的模都是正实数 5．如图所示，在正六边形中，与向量相等的向量个数为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 6．下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 7．下列说法正确的是（   ） ①两个单位向量一定是相等向量     ②零向量与任一向量共线 ③若向量，，则     ④两个平行向量的模可以不同 A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 8．如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 9．已知分别为各边的中点，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量相等的向量. 10．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 11．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出： (1)与相等的向量； (2)与长度相等的向量； (3)与共线的向量. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》 第二章 平面向量 2.1向量的概念 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．零向量没有大小 C．零向量大小为0 D．零向量方向唯一 【答案】C 【分析】根据零向量的概念求解即可. 【详解】零向量的长度为0，方向不确定，为任意方向， 所以选项ABD错误，选项C正确. 故选：C. 2．某人从起点O经过A到点B的位移用向量表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的定义求解即可. 【详解】位移是从起点直接指向终点的有向线段， 某人从起点经过到点，起点，终点， 则位移向量就表示为. 故选：B. 3．如果两个向量大小相等方向相反，则这两个向量是（    ） A．相等向量 B．相反向量 C．零向量 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据相反向量的概念求解即可. 【详解】如果两个向量大小相等方向相反，则这两个向量是相反向量. 故选：B. 4．下列量中：温度、加速度、频率、长度，其中向量有（   ） A．温度 B．加速度 C．频率 D．长度 【答案】B 【分析】根据向量的定义判断. 【详解】温度、频率、长度，它们只有大小，没有方向，所以不是向量； 加速度既有大小又有方向，是向量， 故选：B. 5．如图，在平行四边形中，下列说法错误的是（    ）    A．与共线 B．与相等 C．与平行 D．与的模相等 【答案】B 【分析】根据向量的概念结合平行四边形的性质求解即可. 【详解】A选项，与共线，故A选项正确； B选项，与相等，故B选项错误； C选项，与平行，故C选项正确； D选项，与的模相等，故D选项正确. 故选：B. 6．在正六边形中，设，则下列向量中与不共线的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线向量的概念可判断结果. 【详解】在正六边形中，四边形，都是平行四边形， 所以，与共线，与不共线， 又因为三点共线，所以与共线. 故选：C 7．下列说法中，正确的是（ ） A．模为的向量与任意向量共线 B．单位向量只有一个 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 【答案】A 【分析】根据零向量的定义可判断A选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用向量的定义可判断D选项. 对A，模为的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故A正确； 对B，单位向量的模为，但方向为任意方向，故B错误； 对C，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故C错误； 对D，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故D错误． 故选：A． 8．下列说法中正确的是（ ） A．时间能称为向量 B．所有单位向量都是相等向量 C．模为0的向量与任一非零向量平行 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量的概念判断A；根据相等向量的定义判断BD；根据平行向量的定义判断C. 时间只有大小，没有方向，不是向量，故A错误； 所有单位向量的模都为，但方向不一定相同，所以不一定是相等向量，故B错误； 模为0的向量是零向量，零向量与任何一个非零向量平行，故C正确； 相等向量要求大小和方向都相同，故D错误． 故选：C． 9．下列选项中为向量的是（    ） A．身高 B．路程 C．速度 D．时间 【答案】C 【分析】根据向量既有大小又有方向逐项分析即可. 【详解】身高只有大小没有方向不是向量，故A错误， 路程只有大小没有方向不是向量，故B错误， 速度既有大小又有方向是向量，故C正确， 时间只有大小没有方向不是向量，故D错误， 故选：C. 10．下列说法正确的是（    ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．向量能比较大小 【答案】C 【分析】对每个选项所涉及的向量基本概念进行分析即可. 【详解】选项A：零向量的模为0，0不是正实数，故A选项错误； 选项B：单位向量是指模等于1的向量，不同方向的单位向量是不同的， 所以单位向量有无数个，而不是只有一个，故B选项错误； 选项C：向量的大小即向量的模，它只与向量的长度有关，与向量的方向无关，故C选项正确； 选项D：向量既有大小又有方向，则向量不能比较大小，故D选项错误. 故选：C. 二、填空题 11．如图所示，若正方形的边长为1，则＝______.      【答案】 【分析】求模长就是线段长,只需要将线段的长度求出来易得答案. 【详解】因为正方形的边长为1,所以, 所以. 故答案为:. 12．如图所示，在正三角形中，P、Q、R分别是、、的中点，则与向量相等的向量是________． 【答案】， 【分析】利用相等向量的定义找到与相等的向量即可. 【详解】因为P、Q、R分别是、、的中点，所以，， 因为方向相同，大小相等的向量为相等向量，所以与相等的向量为，. 故答案为：，. 13．图中，一个小方格的边长为1个单位长度，所有向量的起点和终点都在格点上，求图中向量的模. _____________；_____________；_______；_____________；_____________. 【答案】 4 4 【分析】根据向量模长的定义计算可得答案. 【详解】；；；；. 故答案为：①；②；③4；④4；⑤. 14．如图以方格中的格点（各线段的交点）为起点和终点的向量中． (1)与相等的向量有___________； (2)与共线的向量有___________． 【答案】(1)、 (2)、、 【分析】（1）根据相等向量的定义求解； （2）根据共线向量的定义求解. （1）由向量相等的定义可得，与相等的向量有、； （2）由共线向量的定义可得，与共线的向量有、、. 三、解答题 15．如图所示，的三边均不相等，分别是的中点. (1)写出与共线的向量. (2)写出与的模相等的向量. (3)写出与相等的向量. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据共线向量的定义结合已知条件求解即可. （2）根据已知条件写出与长度相等的向量即可. （3）根据相等向量的定义结合已知条件求解即可. 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 所以与共线的向量有，. （2）因为分别是的中点， 所以，且的三边均不相等， 所以与的模相等的向量为. （3）由（2）可知，与相等的向量有. 16．如图，四边形和都是平行四边形，在每两点所确定的向量中： (1)写出与相等的向量； (2)写出与共线的向量． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量相等的定义求解. （2）根据向量共线的定义求解即可. 【详解】（1）因为四边形和都是平行四边形， 所以，所以． 故与相等的向量为． （2）与共线的向量共有7个，分别是． 17．如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形． (1)写出与相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)向量与是否相等？ 【答案】(1)，， (2)，，，，，，，， (3)不相等 【分析】（1）根据向量相等的定义结合图象判断即可； （2）根据共线向量的定义结合图象判断即可； （3）根据向量相等的定义判断. （1）与相等的向量：，，． （2）与共线的向量：，，，，，，，，． （3）向量与不相等．因为与的方向相反，所以它们不相等． 一、单选题 1．在矩形中，下列关系式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用矩形的特性结合共线向量的定义可求. 【详解】因为为矩形，则对边平行， 与为对边，则，与为对边，则，， 与为对角线，对角线相交，则不成立. 故选：D. 2．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则图中与相等的向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相等向量的定义即可得解. 【详解】方向相同，大小相等的向量叫做相等向量. 由图可知，与相等的向量是. 故选：D. 3．下列说法中正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．相等向量的起点必须相同 D．共线向量不一定是相反向量 【答案】D 【分析】根据零向量，相等向量，单位向量，共线向量的概念逐个分析即可. 【详解】零向量的方向是任意的，故A错误， 单位向量长度均为1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，故B错误， 相等向量的起点不一定相同，故C错误， 共线向量的方向相同或相反，故D正确， 故选：D. 4．下列说法正确的是（    ） A．所有单位向量都是相等向量 B．零向量的模为0且没有方向 C．两个向量不能比较大小，但是它们的模可以比较大小 D．向量的模都是正实数 【答案】C 【分析】根据向量基本概念分析每个选项. 【详解】选项A：单位向量是模等于1的向量；相等向量不仅模相等，方向也必须相同， 所以单位向量不一定是相等向量，该选项错误； 选项B：零向量的模为0，方向是任意的，并非没有方向，该选项错误； 选项C：向量既有大小又有方向，所以向量不能直接比较大小； 而向量的模是一个实数，所以两个向量的模可以比较大小，该选项正确； 选项D：零向量的模为0，0不是正实数，所以并不是所有向量的模都是正实数，该选项错误， 故选：C. 5．如图所示，在正六边形中，与向量相等的向量个数为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据相等向量的概念，即可求解. 【详解】方向相同，模相等的两个向量是相等向量， 故在正六边形中，与向量相等的向量为和， 所以与向量相等的向量个数为3， 故选：B 6．下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【答案】C 【分析】根据题意，结合单位向量、相等向量、零向量、共线向量、相反向量的概念，即可判断求解. 【详解】因为单位向量的长度都为1，但是方向可能不同，故不一定相等，故选项A错误； 因为任一非零向量与它的相反向量长度相等、方向相反，故不相等， 但零向量的相反向量仍是零向量，故零向量与它的相反向量相等，故选项B错误； 因为模为零的向量是零向量，零向量与任一向量平行，故选项C正确； 因为模相等的两个共线向量的方向可能相同或相反，故不一定是相同的向量，故选项D错误； 故选：C. 7．下列说法正确的是（   ） ①两个单位向量一定是相等向量     ②零向量与任一向量共线 ③若向量，，则     ④两个平行向量的模可以不同 A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据单位向量的概念，向量模的定义，以及向量共线的性质，即可求解. 【详解】①错误：单位向量模长均为 1，但方向可不同，而相等向量需方向相同且模长相等，故两个单位向量不一定是相等向量， ②正确：零向量与任一向量共线， ③错误：若为零向量，与可以是任意不共线的向量，此时且，但与不一定共线， ④正确：平行向量只要求方向相同或相反，与模长无关，因此模长可以不同， 故正确的说法为②④. 故选：B. 8．如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的方向、大小以及正六边形的性质求解即可. 【详解】设正六边形的边长为，依次分析各选项： 对于A，由正六边形的性质可得与平行且相等，则有，故A正确； 对于B，由正六边形的性质可得与平行，即，故B正确； 对于C，在正六边形中，与均过中心，则有，即有，故C正确； 对于D，在正六边形中，，则，故D错误． 故选：D. 二、解答题 9．已知分别为各边的中点，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量相等的向量. 【答案】；；． 【分析】根据相等向量的定义，结合三角形中位线定理，即可求解. 【详解】∵分别为各边的中点， ∴，，，，，， ∴； ； ． 10．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆 【分析】（1）（2）根据相等向量与向量模的几何意义，画出向量，即可得解； 【详解】（1）解：根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等． 图如下所示： （2） 解：由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆． 【点睛】 11．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出： (1)与相等的向量； (2)与长度相等的向量； (3)与共线的向量. 【答案】(1) (2)，，，，，， (3)，， 【分析】（1）根据向量相等的定义即可求解. （2）根据正方形的性质即可求解. （3）根据向量共线的性质即可求解. 【详解】（1）画出图形，如图所示． 易知，，所以与相等的向量为. （2）由O是正方形ABCD对角线的交点，可知， 所以与长度相等的向量为，，，，，，. （3）由图可知，，所以与共线的向量为，，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $