6.3.3 余角和补角 教学设计 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“余角和补角”核心知识，涵盖定义、数量关系及性质。通过复习角的比较、运算、角平分线等旧知，结合三角尺中锐角和为90°的观察，搭建新旧知识支架，自然导入新课。 此资料以“观察—探究—归纳”为主线，用三角尺直观感知培养几何直观，三种语言表达定义强化符号意识，性质探究通过自主推理发展推理能力，例题结合角平分线体现模型意识。助力学生提升逻辑表达与解题能力，为教师提供规范教学流程与实用资源。

6.3.3 余角和补角 一、教学目标 1.经历观察、计算、图形辨析的探究过程，理解余角、补角的定义，熟练掌握互余、互补对应的角度数量关系． 2.熟记同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等的性质，能结合角平分线知识综合完成角度计算与几何推理． 3.梳理角度推理中的常见易错点，规范几何推理步骤与书写格式，提升几何逻辑表达的严谨性． 二、教学重点及难点 重点：余角、补角的定义与数量关系；余角、补角的性质，结合角平分线进行角度计算． 难点：灵活运用余角、补角性质完成几何推理，规避角度换算、推理逻辑易错点，规范完整的几何证明书写． 三、教学过程 【新知导入】 1. 复习回顾： 教师提问学生前两节课学习了哪些角的相关知识？引导学生回顾： ①角的比较：度量法、叠合法；②角的运算：角的和与差； ③角平分线：把角分成两个相等的角的射线． 2. 问题引入：在几何学习中，我们经常研究特殊的数量关系．90°和180°是两个非常特殊的角度，它们有什么特殊之处呢？ 3. 观察思考：展示一副三角尺，让学生说出各个角的度数（30°、60°、90°和45°、45°、90°）．提问：每块三角尺中，除直角外的两个锐角相加等于多少度？ 学生计算：30°+60°=90°，45°+45°=90°． 4. 引出课题：像这样两个角的和等于90°或180°的情况，就是我们今天要学习的——余角和补角． 设计意图：通过复习旧知，建立知识间的联系，为新知学习做好铺垫；从学生熟悉的三角尺入手，直观感知两个角的和为90°的特殊关系，降低学习门槛；以问题引发学生思考，激发探究欲望，自然导入新课．体现了从具体到抽象的认知规律． 【探究新知】 探究：余角和补角的概念. 1. 余角的定义 教师板书余角的定义：一般地，如图，如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角． 文字语言：∠1 是 ∠2 的余角或 ∠2 是 ∠1 的余角． 符号语言：若∠1+∠2=90°，则∠1 与∠2 互余；∠1 的余角 = 90°−∠1． 【学生活动】同桌互说，举例说出任意锐角的余角． 概念辨析： ①“互为”是什么意思？（两个角相互依存，不能单独说某个角是余角） ②互余的两个角一定有公共顶点或公共边吗？（不一定，只看数量关系，与位置无关） 设计意图：通过归纳定义，培养学生的抽象概括能力；用三种数学语言表达概念，培养学生的符号意识与转换能力． 2. 补角的定义 类比学习：类比余角的定义，让学生尝试描述补角的定义． 教师板书补角的定义：一般地，如图，如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角． 文字语言：∠3是∠4的补角（或∠4是∠3的补角） 符号语言：∠3 = 180°−∠4，∠4 = 180°−∠3． 对比总结：引导学生对比余角和补角的异同，加深记忆． 设计意图：采用类比教学法，让学生自主迁移学习补角概念，培养学生的类比迁移能力与自主学习能力；通过对比总结，帮助学生区分余角和补角，避免概念混淆，构建系统化的知识结构． 3. 概念深化与注意事项 （1）教师强调要点： ①无论是互余还是互补，都是描述两个角之间的关系，是成对出现的； ②互余、互补描述的是数量关系，与两个角的位置无关； ③只有锐角才有余角，补角可以是锐角、直角或钝角的补角． （2）快速口答： ①30°角的余角是____，补角是____． ②70°角的余角是____，补角是____． ③一个角的补角一定比它的余角大多少度？ 【探究新知】 探究：余角和补角的性质. 1. 余角的性质 教师提出问题：思考——如果∠1与∠2互余，∠1与∠3也互余，那么∠2和∠3的大小有什么关系？为什么？ 【学生活动】让学生独立思考后，尝试写出推理过程． 规范板书： 解：∠2 = ∠3，理由如下： ∵∠1与∠2互余（已知） ∴∠2 = 90°−∠1（余角的定义） ∵∠1与∠3互余（已知） ∴∠3 = 90°−∠1（余角的定义） ∴∠2 = ∠3（等量代换） 教师归纳性质：同角的余角相等． 拓展延伸：如果是两个相等的角，它们的余角相等吗？引出“等角的余角相等”． 统一表述：同角（等角）的余角相等． 设计意图：通过问题引导学生自主探究，培养学生的逻辑推理能力；规范板书推理过程，为学生提供书写范例，培养规范的几何推理习惯；从“同角”拓展到“等角”，深化对性质的理解；让学生经历"猜想—验证—归纳"的探究过程，体会数学研究的方法． 2. 补角的性质 类比探究：类比余角性质的研究方法，让学生自主探究补角的性质． 教师提问：思考，∠1与∠2互补，∠1与∠3也互补，∠2和∠3相等吗？ 【学生活动】学生板演：请学生上台写出推理过程，其他同学评价修正． 教师归纳性质：同角（等角）的补角相等． 对比记忆：将余角性质与补角性质放在一起对比，帮助学生记忆． 设计意图：采用类比探究的方式，让学生自主推导补角性质，进一步培养学生的推理能力与自主学习能力；通过学生板演与互评，调动学生的参与积极性，及时发现并纠正书写中的问题；对比记忆帮助学生构建知识体系，加深理解与记忆． 3. 相关拓展 ①同角与等角的区别：同角是同一个角，等角是度数相等的角；同角一定是等角，但等角不一定是同角； ②锐角的补角为180°−这个锐角，余角为90°−这个锐角，所以锐角的补角比它的余角大90°； （引导学生验证：设锐角为x°，补角180°−x，余角90°−x，差为90°） ③多个等角的余角（或补角）也全部相等，性质不局限于两个角的情况． 设计意图：通过辨析同角与等角，澄清学生的概念模糊点；推导锐角的补角比余角大90°的结论，拓展学生的知识面，同时培养学生的代数验证方法． 【典型例题】 例 4 如图，点 在同一条直线上，射线 和射线 分别平分 和 ．图中哪些角互为余角？ 教师点拨：互为余角的两个角的和是 ，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角． 解：因为点 在同一条直线上，所以 和 互为补角． 又因为射线 和射线 分别平分 和 ，所以 所以， 和 互为余角． 同理， 和 和 和 也互为余角． 设计意图：依托平角与角平分线的已有知识铺垫，让学生借助互补关系推导两角和为 90°，深化余角概念的理解与应用，训练从图形中挖掘隐含条件、梳理角度数量关系的识图与推理能力，帮助学生建立补角、角平分线、余角知识的联动解题思维，规范几何推理分析思路． 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知． 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.余角的定义：一般地，如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角． 2.补角的定义：一般地，如图，如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角． 3余角、补角的核心性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等，可用于角度推理计算． 4.综合解题方法：能结合角平分线的角度平分特征，联动余补角的数量关系完成复杂角度求解． 学科网（北京）股份有限公司 $