第二章 平面向量（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本试卷为中职数学《拓展模块一上册》第二章平面向量B卷（能力提升卷），紧扣教材核心考点，通过分层题型训练知识整合与应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |是非选择|10/30|向量基本概念（相反向量、零向量）、充要条件判断|基础概念辨析，强化抽象能力| |单项选择|8/40|坐标运算、模与夹角、共线向量|结合几何图形（如三点共线），考查空间观念| |填空|6/30|数乘运算、数量积、垂直判定|聚焦运算细节，培养运算能力| |解答题|6/50|向量表示、夹角余弦值、综合应用（三角形中点）|分层设问，结合实际情境，发展推理意识与应用意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （B卷·能力提升卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的选A，错的选B） 1．化简：． ( ) 【答案】错误 【分析】根据向量的线性运算法则即可判断． 【详解】． 故答案为：错误． 2．非零向量与方向相同． ( ) 【答案】错误 【分析】根据零向量的方向任意即可判断. 【详解】若，则， 此时非零向量与方向不同， 故答案为：错误. 3．若，则． ( ) 【答案】错误 【分析】由向量的概念即可作出判断. 【详解】因为向量是一个既有大小又有方向的量，两个向量的模可以比较大小，而两个向量不能比较大小. 故答案为：错误. 4．若两个非零向量，且，则. ( ) 【答案】正确 【分析】根据平面向量的性质即可得解. 【详解】两个非零向量，且，则， 故答案为：正确. 5．的充要条件是且． ( ) 【答案】错误 【分析】根据充分条件与必要条件的定义及平面向量的相关概念即可得解. 【详解】若，则与方向相同，模长相等， 但当且时，与方向相同或相反，模长相等， 所以的充要条件不是且， 故答案为：错误. 6．在所在平面内，若点满足，则四边形是平行四边形． ( ) 【答案】正确 【分析】根据向量加法加减法运算和向量共线的概念，即可求解. 【详解】在所在平面内，因为点满足， 所以，即且， 故四边形是平行四边形. 故答案为：正确. 7．已知向量，若，则. ( ) 【答案】错误 【分析】根据题意，结合向量平行的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故答案为：错误. 8．设向量，，且，则. ( ) 【答案】错误 【分析】根据向量内积运算性质及内积的坐标表示求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，所以， 所以，所以或. 故答案为：错误. 9．已知向量，，且，则 ( ) 【答案】正确 【分析】根据向量垂直的性质以及向量的运算求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，所以. 所以，所以， 所以. 故答案为：正确. 10．已知为等边三角形的中心，则. ( ) 【答案】正确 【分析】延长可得为中线，再根据中心的性质也为重心，求解即可. 【详解】等边三角形如图所示， ∵为等边的中心， ∴为等边边的中线， ∴， ∵也为等边的重心， ∴， ∴， ∴. 故答案为：正确. 二、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 11．下列说法正确的是（ ） A．若，方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．零向量与任意向量平行 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据零向量的定义，可判断C的正误；根据共线向量的定义，可判断D的正误. 选项A：若，方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误； 选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误； 选项C：由零向量的定义可知零向量与任意向量平行，故C正确； 选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误. 12．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量减法的坐标运算规则计算. 【详解】已知向量，， 则. 故选：C. 13．已知，则（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示和模的坐标表示求值即可. 【详解】已知， 则， 所以， 故选：C. 14．已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量夹角的公式求值即可. 【详解】已知， 则， 因为，所以， 故选：D. 15．已知向量，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】向量，则，则. 故选：C. 16．在中，D为中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量运算的平行四边形法则即可求解. 【详解】平行四边形如图，    则. 故选：A. 17．如图所示，A，B，C，三点共线，且，O是直线外任意一点，若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法以及减法的几何运算求解即可. 【详解】因为A，B，C三点共线，且，所以， 所以，即， 化简得. 故选：A. 18．已知向量，共线，且，，则的最大值（   ） A．17 B．19 C．21 D．23 【答案】A 【分析】根据向量共线，以及向量的模求解即可. 【详解】因为向量，共线，且，， 当与方向相反时，有最大值为. 故选：A. 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 19．已知平面向量 ，根据向量数乘与加减运算法则，计算________. 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为平面向量 ，则， 所以. 故答案为： 20．若平面向量，，与的夹角为，则________. 【答案】3 【分析】根据向量内积的定义即可求解. 【详解】因为向量，，与的夹角为， 所以. 故答案为：3. 21．若向量，，，且，则________． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，，，则, 所以，解得. 故答案为：. 22．已知四边形为正方形，若为单位向量，则该正方形的边长为_________________. 【答案】 【分析】根据题意，结合向量的加法，及向量的模，即可求解. 【详解】因为，设该正方形的边长为， 则，即， 解得，所以该正方形的边长为， 故答案为：. 23．已知平面向量，，且，则_____． 【答案】 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，及向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以， 解得. 故答案为：. 24．若为任一非零向量，为单位向量，下列各式： （1）；    （2）；    （3）；      （4）； （5）若是与同向的单位向量，则． 其中正确的是________．（填序号） 【答案】（3） 【分析】根据向量的定义以及共线向量、向量的模求解即可. 【详解】对(1)，不一定有； 对(2)，与方向不一定相同或相反； 对(3)，非零向量的模必大于0，即； 对(4)，向量的模非负,错误； 对(5)，与向不一定相同．综上可知(3)正确． 故答案为：（3） 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25．已知向量. (1)求的值; (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)5；(2) 【解析】解：(1)因为,所以; (2)由(1)知, 所以. 26．已知向量,向量. (1)求向量的坐标; (2)若,求实数k的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】解：(1)因为,所以， . (2)因为,所以,即，解得. 27．已知中，，，M为的中点，N为上靠近B的三等分点． (1)，表示向量，； (2)说明与的关系． 【答案】(1)， (2)向量与向量方向相同，且的长度为长度的 【分析】（1）根据向量的线性运算，即可求解， （2）根据，即可根据数乘运算的性质求解. （1）∵四边形是平行四边形， ． 为的中点，， ． 为上靠近B的三等分点，， ． （2）由（1）知， 向量与向量方向相同，且的长度为长度的． 28．已知向量， (1)求； (2)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算求解即可. （2）根据向量平行的坐标表示及向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以， ， 又因为， 所以，解得：. 29．已知平面向量，满足，，． (1)若，求； (2)若，求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示求出，再由向量模的坐标表示求值即可. （2）根据向量垂直的坐标表示求出，再由向量夹角的坐标表示求值即可. 【详解】（1）已知，，， 因为，所以，解得， 故，故， 所以. （2）因为，故， 而，故， 解得，故， 故. 30．已知向量与满足：，，且． (1)求与的夹角 (2)求与的夹角的余弦值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示求出，再利用向量夹角公式求解. （2）利用向量数量积的运算律及向量夹角公式求解. （1）由，，得，解得， 又，因此，而， 所以与的夹角. （2）由（1）得， ， ， 所以与的夹角的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （B卷·能力提升卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的选A，错的选B） 1．化简：． ( ) 2．非零向量与方向相同． ( ) 3．若，则． ( ) 4．若两个非零向量，且，则. ( ) 5．的充要条件是且． ( ) 6．在所在平面内，若点满足，则四边形是平行四边形． ( ) 7．已知向量，若，则. ( ) 8．设向量，，且，则. ( ) 9．已知向量，，且，则 ( ) 10．已知为等边三角形的中心，则. ( ) 二、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 11．下列说法正确的是（ ） A．若，方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．零向量与任意向量平行 D．共线向量是在同一条直线上的向量 12．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 13．已知，则（   ） A． B．5 C． D． 14．已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 15．已知向量，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 16．在中，D为中点，，则（   ） A． B． C． D． 17．如图所示，A，B，C，三点共线，且，O是直线外任意一点，若，，则（   ）    A． B． C． D． 18．已知向量，共线，且，，则的最大值（   ） A．17 B．19 C．21 D．23 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 19．已知平面向量 ，根据向量数乘与加减运算法则，计算________. 20．若平面向量，，与的夹角为，则________. 21．若向量，，，且，则________． 22．已知四边形为正方形，若为单位向量，则该正方形的边长为_________________. 23．已知平面向量，，且，则_____． 24．若为任一非零向量，为单位向量，下列各式： （1）；    （2）；    （3）；      （4）； （5）若是与同向的单位向量，则． 其中正确的是________．（填序号） 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25．已知向量. (1)求的值; (2)求向量与夹角的余弦值. 26．已知向量,向量. (1)求向量的坐标; (2)若,求实数k的值. 27．已知中，，，M为的中点，N为上靠近B的三等分点． (1)，表示向量，； (2)说明与的关系． 28．已知向量， (1)求； (2)若，求实数k的值. 29．已知平面向量，满足，，． (1)若，求； (2)若，求与夹角的余弦值． 30．已知向量与满足：，，且． (1)求与的夹角 (2)求与的夹角的余弦值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $