第二章 平面向量（A卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣高教版《数学拓展模块一上册》第二章平面向量，A卷能力提升型单元卷，覆盖向量共线、坐标运算、数量积等核心考点，适配单元复习，助力知识网络构建与解题能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |是非选择|10/30|向量概念、模长|辨析基础概念，培养抽象能力| |单项选择|8/40|共线向量、坐标表示|结合图形情境，发展几何直观| |填空|6/30|单位向量、中点坐标|考查运算准确性，强化空间观念| |解答|6/50|三点共线证明、向量垂直|29题结合非共线向量证共线，体现推理能力；30题通过夹角求参数，落实运算能力与模型意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （A卷·能力提升卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的选A，错的选B） 1． ( ) 【答案】正确 【分析】根据向量加法运算法则易得答案. 【详解】根据向量的加法运算法则可知， 故答案为：正确. 2．. ( ) 【答案】正确 【分析】根据平面向量的减法法则即可得解. 【详解】， 故答案为：正确. 3．若向量，则． ( ) 【答案】正确 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，则． 故答案为：正确. 4．若向量，满足，则 ( ) 【答案】错误 【分析】根据向量概念易得答案. 【详解】若向量，满足，但是，的方向可以是任意的，所以不一定成立， 故答案为：错误. 5．在平面直角坐标系中，若点，，则的坐标为 ( ) 【答案】正确 【分析】根据向量的坐标表示易得答案. 【详解】由题意，， 故答案为：正确. 6．已知平面向量，，且，则 ( ) 【答案】错误 【分析】利用向量平行的充要条件，列出方程求解即可. 【详解】平面向量，，且， 可得，解得． 故答案为：错误. 7．，则 ( ) 【答案】错误 【分析】根据向量内积的定义即可解答. 【详解】已知， 则，即， 若或时，与不一定相等， 故答案为：错误. 8．设，，向量、共线. ( ) 【答案】正确 【分析】由共线向量的坐标表示即可判断. 【详解】由，，可知， 故向量、共线. 故答案为：正确. 9．已知向量，，则. ( ) 【答案】错误 【分析】根据平面向量垂直的性质即可得解. 【详解】向量，， ，所以不垂直， 故答案为：错误. 10．的化简结果为 ( ) 【答案】正确 【分析】根据向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故答案为：正确 二、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 11．已知，则与共线的向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共线向量的定义求解即可. 【详解】对于选项A：，共线，故A正确； 对于选项B：，无法表示为，不共线，故B错误； 对于选项C：，无法表示为，不共线，故C错误； 对于选项D：，无法表示为，不共线，故D错误. 故选：A. 12．如图，在平行四边形中，（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由向量加法的平行四边形法则即可求解. 由向量加法的平行四边形法则得，． 故选：D. 13．已知点，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示可得结果. 【详解】由已知可得：. 故选：C 14．已知向量，若，且与的夹角是，则（     ） A．6 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】已知两向量的模长和夹角，直接代入向量数量积公式 即可计算 【详解】因为 ，，且与的夹角是， 可得. 故选：B. 15．如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等向量的概念一一判断. 因为，所以四边形ABCD是平行四边形，所以互相平分. 对于A：与不平行，不可能相等，故A错误； 对于B：与大小相同，方向相反，故B错误； 对于C：与不平行，不可能相等，故C错误； 对于D：大小相等，方向相同．即与是相等的向量． 故选：D 16．若向量与垂直，且，则y的值是（     ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】利用两垂直向量的数量积为0的性质，结合向量数量积的坐标运算列方程求解. 【详解】若向量与垂直，且， 则，解得. 故选：B. 17．已知向量，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量减法的坐标表示求值即可. 【详解】已知向量，， 则， 故选：B. 18．已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可. 【详解】 已知向量，，若， 因此，解得. 故选：C. 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 19．已知的三个顶点，，，D为的中点，则_____. 【答案】 【分析】根据中点坐标公式及向量的坐标表示求解. 【详解】∵，， ∴中点D的坐标为 又，则. 故答案为：. 20．已知菱形的边长为2，则向量__________. 【答案】2 【分析】应用向量加减法的几何意义化简得，即可得答案. 由图知. 故答案为：2 21．与向量同方向的单位向量的坐标为________ . 【答案】 【分析】与向量 同方向的单位向量为 ，先求 的模长，再将 除以模长即可. 【详解】向量的模， 与向量同方向的单位向量的坐标为. 故答案为：. 22．计算____________ 【答案】 【分析】根据平面向量的运算法则即可得解. 【详解】， 故答案为：. 23．若单位向量，则_____________． 【答案】 【分析】根据单位向量的定义即可求解. 【详解】因为单位向量，则，解得. 故答案为：. 24．已知向量，满足，，且，的夹角为，则__________. 【答案】 【分析】根据题意利用平面向量的内积公式及运算法则即可得解. 【详解】向量，满足，，且，的夹角为， ， 所以， 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25．化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量加减法运算法则计算即可. （1）原式 . （2） . 26．已知，， 求： (1)； (2). 【答案】(1). (2). 【分析】根据题意利用平面向量的运算法则即可得解. 【详解】（1），， . （2），， . 27．已知向量，， (1)若，求的值； (2)求的余弦值. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据平面向量线性运算的坐标表示求出与的坐标，利用平面向量的平行列出方程即可得解. （）根据平面向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1）向量，， ，， 因为，则， 解得. （2）向量，， 则，，， 所以. 28．已知向量，，与的夹角为． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，且，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量内积的定义及向量内积、模的坐标表示，列方程可求解； （2）由向量共线可设，再根据向量线性运算及向量垂直的坐标表示，列方程可求解. 【详解】（1）由题意得： ，，， 又与的夹角为， 则有，解得或， 经检验时方程不成立， 所以，； （2）因为向量与向量共线，所以可设， 因为，所以， 所以，解得，所以． 29．设 ，是两个不共线的向量， ，，. (1)求证: A，B，D三点共线; (2)试确定的值，使 与 共线. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面向量的线性运算结合共线定理即可证明三点共线； （2）根据向量共线定理列出方程组即可得解. 【详解】（1）因为，是两个不共线的向量， ，，. ， 所以与共线，因为与有公共点，所以A，B，D三点共线. （2）因为与 共线， 所以存在实数，使， 因为，不共线，所以，即，解得. 30．已知向量满足与的夹角为． (1)求的值. (2)若向量与垂直，求实数k的值. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据向量内积的定义和运算律求值即可. （2）根据向量垂直的条件列方程求解即可. 【详解】（1）已知向量满足与的夹角为， 则， 所以 . （2）若向量与垂直， 则， 即，得， 所以，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （A卷·能力提升卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的选A，错的选B） 1． ( ) 2．. ( ) 3．若向量，则． ( ) 4．若向量，满足，则 ( ) 5．在平面直角坐标系中，若点，，则的坐标为 ( ) 6．已知平面向量，，且，则 ( ) 7．，则 ( ) 8．设，，向量、共线. ( ) 9．已知向量，，则. ( ) 10．的化简结果为 ( ) 二、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 11．已知，则与共线的向量为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在平行四边形中，（ ） A． B． C． D． 13．已知点，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 14．已知向量，若，且与的夹角是，则（     ） A．6 B．3 C． D． 15．如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 16．若向量与垂直，且，则y的值是（     ） A．8 B． C．4 D．2 17．已知向量，，则 （    ） A． B． C． D． 18．已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D． 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 19．已知的三个顶点，，，D为的中点，则_____. 20．已知菱形的边长为2，则向量__________. 21．与向量同方向的单位向量的坐标为________ . 22．计算____________ 23．若单位向量，则_____________． 24．已知向量，满足，，且，的夹角为，则__________. 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25．化简： (1)； (2). 26．已知，， 求： (1)； (2). 27．已知向量，， (1)若，求的值； (2)求的余弦值. 28．已知向量，，与的夹角为． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，且，求的坐标． 29．设 ，是两个不共线的向量， ，，. (1)求证: A，B，D三点共线; (2)试确定的值，使 与 共线. 30．已知向量满足与的夹角为． (1)求的值. (2)若向量与垂直，求实数k的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $