综合测试卷（一）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材章节，通过AB卷分层巩固与综合测试卷实战模拟，系统整合集合与逻辑、向量、解析几何、立体几何、复数等核心知识，培养数学眼光中的空间观念与数学思维中的推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与逻辑|3题|充分必要条件判断|从概念辨析到逻辑推理，构建条件关系认知| |平面向量|6题|运算、关系判断及应用|从向量定义到坐标运算，结合几何意义拓展| |解析几何|7题|定义、方程、离心率及综合应用|从曲线定义到方程求解，渗透数形结合思想| |立体几何|5题|线面位置关系、角与距离计算|从空间直观到逻辑论证，培养空间观念| |复数|5题|概念、运算及几何意义|从复数定义到运算应用，建立代数与几何联系|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设x∈R，则“x>3 ” 是 “ x>5 ”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，判断两个命题的推出关系即可 【详解】若满足x>3，无法推出x>5，例如取x=2，故充分性不成立； 若满足x>5，由于5>3，因此必然有x>3，故必要性成立， 综上，“x>3”是“x>5”的必要不充分条件.故选：B. 2. 平面向量=(2,3)，=(1,−1)，则等于（    ） A．5 B．−1 C．1 D．−5 【答案】B 【分析】根据向量的内积计算即可 【详解】平面向量=(2,3)，=(1,−1)，=2×1+3×(−1)=−1，故选：B. 3. 已知平面向量=(1,2)，=(2,−1)，则+等于（    ） A．3,1 B．1,3 C．3,3 D．1,1 【答案】A 【分析】根据平面向量加法的坐标运算规则计算 【详解】已知=(1,2)，=(2,−1)，可得：+=(1+2,2−1)=(3,1)，故选：A. 4. 双曲线的焦点在（    ） A．x轴上 B．y轴上 C．直线y=x上 D．坐标原点 【答案】B 【分析】根据双曲线标准方程的结构特征，判断正系数平方项对应的坐标轴，即可确定焦点所在轴 【详解】双曲线方程为，其中y2项的系数为正， 所以该双曲线的焦点在y轴上.故选：B. 5. 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2且大于0）的点的轨迹叫做（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】B 【分析】结合椭圆、双曲线、抛物线、圆的定义，与题干描述匹配即可得到正确选项 【详解】椭圆：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（且该常数大于|F1F2|）的点的轨迹，与题干描述不符，排除A； 双曲线：平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数（且该常数小于|F1F2|且大于0）的点的轨迹，与题干描述完全一致，B正确； 抛物线：平面内与一定点和一条定直线（定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹，与题干描述不符，排除C； 圆：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹，与题干描述不符，排除D.故选：B. 6. 如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1D与平面BB1C1C的位置关系是（    ） A．直线A1D在平面BB1C1C内 B．直线A1D与平面BB1C1C相交但不垂直 C．直线A1D与平面BB1C1C垂直 D．直线A1D与平面BB1C1C平行 【答案】D 【分析】连接B1C，构造平行四边形，根据线面平行的判定定理可得A1D//平面BB1C1C 【详解】如图，连接B1C，   在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1B1//CD,A1B1=CD， ∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D//B1C， ∵A1D⊄平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，∴ A1D//平面BB1C1C.故选：D. 7. 如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为顶面ABCD的中心，O1为底面A1B1C1D1的中心，异面直线AD与OO1所成的角是（    ）．   A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】先确定异面直线所成角的定义，再通过正方体的性质找到与异面直线平行的直线，从而确定所成角的大小 【详解】因为OO1是正方体上下底面中心的连线， 所以OO1和正方体的侧棱AA1是平行且相等的， 因此异面直线AD与OO1所成的角等价于AD与AA1所成的角. 在正方体中，AD与AA1在同一个平面内，两者互相垂直. 因此，异面直线AD与OO1所成的角是90°.故选：D. 8. 已知复数，则z的虚部为（    ） A．2 B．1 C．2i D．i 【答案】A 【分析】利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求出复数z，即可得复数z的虚部 【详解】因为复数， 所以复数z的虚部为2.故选：A. 9.已知复数z=3+4i，则=（    ）． A．25 B．20 C．15 D．5 【答案】A 【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算求解即可 【详解】因为z=3+4i，所以=3−4i，所以=(3+4i)(3−4i)=9−16i2=9−16×(−1)=9+16=25. 故选：A. 10. 若p：x+1≤4，q：2≤x≤3，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解含绝对值的不等式，可得p，再根据充要条件的概念可判断 【详解】由x+1≤4可得：−4≤x+1≤4，解得−5≤x≤3，即p:−5≤x≤3， 所以pq，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件.故选：B. 11. 已知直线l1：ax+9y+3=0，l2：x+ay−1=0，则“a=3”是“l1//l2”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两条直线平行的条件和充分条件与必要条件的概念分析即可 【详解】已知直线l1：ax+9y+3=0，l2：x+ay−1=0， 若a=3，直线l1：3x+9y+3=0，l2：x+3y−1=0，因为3×3=1×9，所以l1//l2，充分性成立， 若l1//l2，则aa=1×9，解得a=3或a=−3， 当a=−3时，直线l1：−3x+9y+3=0，化简得x−3y−1=0，l2：x−3y−1=0， 此时两直线重合，不符合题意，所以若l1//l2，则a=3，必要性成立， 则“a=3”是“l1//l2”的充要条件，故选：C. 12. 给出下列命题①若，则；②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；③若若则；④的充要条件是且；⑤若，则，其中正确命题的序号是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．④⑤ 【答案】A 【分析】根据相等向量，平行向量等的概念逐项分析即可 【详解】①向量相等需要模相等且方向相同，仅不能得出，故①错误， ②若A、B、C、D是不共线的四点，,说明与平行且相等， 所以ABCD是平行四边形，充分性成立，反之若ABCD是平行四边形， 则与一定平行且相等，必要性成立，故②正确， ③若,则，故③正确， ④当且时，与可能方向相反，此时不能得到，故④错误， ⑤当=，不能得到，故⑤错误，所以正确的为②③，故选：A. 13.已知，则为（   ） A．28 B．−28 C．2 D．−2 【答案】C 【分析】利用平面向量的运算的法则得出(2的值即可得解 【详解】因为， (2==4+36+4×2×3×(−)=28，所以=2，故选：C. 14.若双曲线的的焦距是4，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的焦距可得a的值，再根据双曲线的渐近线方程分析求解即可 【详解】由双曲线的方程可知：b2=1，即b=1， 因为焦距是4，所以2c=4，即c=2，所以a2=c2−b2=22−1=3，所以a=(a>0)， 由方程可知双曲线焦点在x轴， 所以双曲线的渐近线方程为：y=±x=±x=±x，即x±y=0.故选：C. 15.已知圆锥曲线C关于坐标轴对称，其顶点在坐标原点，离心率为1，且经过点4,−2．则该曲线的准线方程为（    ） A．x=−或y=4 B．x=− C．x=−或y=2 D．y=2 【答案】C 【分析】先根据离心率为1确定曲线为抛物线，再分对称轴为x轴、y轴两种情况设标准方程，代入已知点求解参数后计算对应准线方程即可 【详解】 圆锥曲线中离心率e=1的曲线为抛物线. 若对称轴为x轴的情况 设抛物线标准方程为y2=2px(p≠0)， 将点(4,−2)代入方程(−2)2=2p×4，即4=8p，解得p=，进而准线x=−. 对称轴为y轴的情况 设抛物线标准方程为x2=2py(p≠0)， 将点(4,−2)代入方程42=2p×(−2)，即16=−4p，解得p=−4，进而准线y=2. 综上，该曲线的准线方程为x=−或y=2.故选：C 16. 在正方体中，AB中点为M，DD1中点为N，求异面直线B1M与CN所成角的大小（   ）   A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】先找出∠B1OP为异面直线B1M与CN所成角，结合全等三角形，直角三角形的性质即可求解 【详解】取AA1中点P，连接PN,BP，BP∩MB1=O，则PN=AD,PN//AD， 在正方体中，AD=BC,AD//BC，所以PN=BC,PN//BC， 则四边形PNCB为平行四边形，所以CN//BP， 则∠B1OP或其补角为异面直线B1M与CN所成角，且∠B1OP=BOM， 因为AB=BB1,AP=BM,∠PAB=∠MBB1=90°，所以△BAP≌△BMB1， 则∠PBA=∠MB1B,∠MB1B+∠BMB1=90°，所以∠PBA+B1MB=90°， 在三角形MOB中，所以∠BOM=90°，即异面直线B1M与CN所成角的大小为90°. 故选：D. 17. 在△ABC中 ，AB=AC=5,BC=8，PA⊥平面ABC，PA=6，则点P到BC的距离是（    ） A．33 B．25 C． 213 D．35 【答案】D 【分析】利用等腰三角形三线合一性质与线面垂直的判定定理，确定点P到BC的垂线段为PD，再通过两次勾股定理计算PD的长度 【详解】取BC的中点D，连接AD,PD，因为AB=AC，D为BC的中点， 由等腰三角形三线合一性质可得AD⊥BC，因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 由线面垂直的性质可得PA⊥BC，又PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD， 由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，故BC⊥PD， 即线段PD的长度为点P到BC的距离,在Rt△ABD中，AB=5，BD=4，AD==3， 且PA=6，所以PD==3，故选：D 18. 当1<m<2时，复数在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义以及二次函数的值域求解即可 【详解】当1<m<2时，∈0,3，恒大于0.2=(m−1)(m−2)，因为1<m<2，则2<0，进而复数i在复平面上对应的点(,2)位于第四象限.故选：D. 19.已知向量，，若，则=（    ） A．5 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据向量内积的坐标运算求出x，再根据向量的模的坐标表示求出即可 【详解】由向量，，， 可得=(−1,2)·(x,−5)=−x−10=−7，解得x=−3， 即=(−3,−5)，所以=+=(−1−3,2−5)=(−4,−3)， 那么==5.故选:A. 20. 已知椭圆（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，连接BF2并延长交椭圆于点P，若△PF1B为等腰三角形，且PB=PF1，则椭圆的离心率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出直线BF2的方程，联立直线与椭圆的方程得到点P的坐标，由椭圆的定义以及已知条件可求解PF2=，利用两点间距离公式以及离心率公式求解即可 【详解】∵椭圆（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2， ∴右焦点F2(c,0)，又∵上顶点为B(0,b)，∴直线BF2的斜率k==−， ∴直线BF2的方程为y=−x+b，由椭圆的定义可知，+=2a①， ∵=+，且==a，∴=+a，又∵=， ∴+a=②，联立①②可得，=，=， 联立，消去y可得，， 解得或，∴点， ∴， 在椭圆中，，则， ∵，即，∴，整理可得， ∴，即，可得，即， ∴，则椭圆的离心率是.故选：C 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21. 已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则点A的坐标为____________. 【答案】 【分析】由圆的标准方程 可得圆心为 .抛物线的焦点 与圆心重合，故 .抛物线 的焦点坐标为 ，所以 ，解得 ，抛物线方程为 ，联立圆与抛物线方程，求第一象限交点即可. 【详解】圆的圆心为 .抛物线 的焦点为 . ∵ 焦点与圆心重合，∴ 抛物线方程为 . 联立：，化简整理得，，解得或 ， .代入： 点在第一象限， .∴ 点的坐标为 .故答案为：. 22. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则__________. 【答案】 【分析】根据题意利用平面向量的内积公式及运算法则即可得解. 【详解】向量，满足，，且，的夹角为， ， 所以， 故答案为：. 23. 已知非零向量，，从①；②；③中选出适合的条件，用序号填空． （1）“”的充分条件是_____________； （2）“”的充要条件是_____________． 【答案】（1）②③； （2）① 【分析】根据平面向量平行、垂直的判定规则，结合充分条件、充要条件的定义对三个条件逐一判断即可. 【详解】条件①，等价于； 条件②即，则与方向相反，则； 条件③，则与方向相同，则. 当条件②或③成立时，，则“”的充分条件是②③. “”的充要条件是，即条件①.故答案为：②③；① 24. 过平面外一点作该平面的平行线可以作________条；作垂线可以作_______条． 【答案】 无数条 ， 1条 【分析】根据直线与平面的位置关系即可解答. 【详解】过平面外一点有无数条直线与该平面平行， 但过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直.故答案为：无数条，1条. 25. 若复数，则 ________. 【答案】 【分析】根据复数的乘法以及复数的模求解即可. 【详解】复数， 则.故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26. （8分）已知复数，. (1)若，求a的值； (2)若z是纯虚数，求a的值； (3)若，求实数b的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）将复数化简，由复数为零得到实部虚部均为零，列式求解即可. （2）由复数为纯虚数得到实部为零，虚部不为零，列式求解即可. （3）由复数的大小关系得到是大于零的实数，列式求解即可. 【详解】（1）由题意知. 若，则，解得. （2）因为z是纯虚数，所以，所以. （3）因为，所以，所以. 27. （9分）如图，在棱长为2的正方体中，求： (1)异面直线与所成的角的大小； (2)该正方体的体对角线的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据异面直线所成的角的定义结合正方体的结构特征即可求解. （2）根据正方体的结构特征结合正方体对角线的概念即可求解. 【详解】（1）因为，所以为异面直线与所成的角． 在等腰直角中，， 所以异面直线与所成的角的大小是． （2）由正方体的体对角线公式得 ， 故该正方体的体对角线的长为． 28. （9分）已知椭圆的长轴长为6，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，点，且． ①求直线的方程；②求的值． 【答案】(1)；(2)； 【分析】（1）根据长轴和离心率的定义及，列方程组可求解； （2）①设，，的中点为，将直线方程和椭圆方程联立并消元，由韦达定理可得、的表达式，进而可得的坐标，利用列方程可求解；②根据弦长公式可求解. 【详解】（1）由题可知： ，解得，所以椭圆的标准方程； （2）①直线与椭圆 联立可得： ，消元并整理可得， 设，，的中点为，由题可得， ，解得， 又，所以.由韦达定理可得， 从而， 所以，，即. 因为，所以，则， 又，所以，解得满足条件， 所以直线的方程为； ②由①可得：，， 所以. 29. （9分）已知向量，其中． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先求出，，然后再根据垂直关系即可求出； （2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】（1）， ，解得． （2）由与的夹角为钝角，得且与方向不相反， 所以且，解得且. 所以实数的取值范围为． 30. （10分）若关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求解； （2）由题意可得，分为和两种情况，分别求解即可求出答案. 【详解】（1）由题意知是方程的两个根， 所以，解得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以. ①当，即时，，符合条件； ②当时，即时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设x∈R，则“x>3 ” 是 “ x>5 ”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 平面向量=(2,3)，=(1,−1)，则等于（    ） A．5 B．−1 C．1 D．−5 3. 已知平面向量=(1,2)，=(2,−1)，则+等于（    ） A．3,1 B．1,3 C．3,3 D．1,1 4. 双曲线的焦点在（    ） A．x轴上 B．y轴上 C．直线y=x上 D．坐标原点 5. 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2且大于0）的点的轨迹叫做（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 6. 如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1D与平面BB1C1C的位置关系是（    ） A．直线A1D在平面BB1C1C内 B．直线A1D与平面BB1C1C相交但不垂直 C．直线A1D与平面BB1C1C垂直 D．直线A1D与平面BB1C1C平行 7. 如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为顶面ABCD的中心，O1为底面A1B1C1D1的中心，异面直线AD与OO1所成的角是（    ）．   A．30° B．45° C．60° D．90° 8. 已知复数，则z的虚部为（    ） A．2 B．1 C．2i D．i 9.已知复数z=3+4i，则=（    ）． A．25 B．20 C．15 D．5 10. 若p：x+1≤4，q：2≤x≤3，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11. 已知直线l1：ax+9y+3=0，l2：x+ay−1=0，则“a=3”是“l1//l2”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12. 给出下列命题①若，则；②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；③若若则；④的充要条件是且；⑤若，则，其中正确命题的序号是（    ） A．②③ B．①② C．③④ D．④⑤ 13.已知，则为（    ） A．28 B．−28 C．2 D．−2 14.若双曲线的的焦距是4，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 15.已知圆锥曲线C关于坐标轴对称，其顶点在坐标原点，离心率为1，且经过点4,−2．则该曲线的准线方程为（    ） A．x=−或y=4 B．x=− C．x=−或y=2 D．y=2 16. 在正方体中，AB中点为M，DD1中点为N，求异面直线B1M与CN所成角的大小（   ）   A．30° B．45° C．60° D．90° 17. 在△ABC中 ，AB=AC=5,BC=8，PA⊥平面ABC，PA=6，则点P到BC的距离是（    ） A．33 B．25 C． 213 D．35 18. 当1<m<2时，复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19.已知向量，，若，则=（    ） A．5 B．4 C．6 D．5 20. 已知椭圆（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，连接BF2并延长交椭圆于点P，若△PF1B为等腰三角形，且PB=PF1，则椭圆的离心率是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21. 已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则点A的坐标为____________. 22. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则__________. 23. 已知非零向量，，从①；②；③中选出适合的条件，用序号填空． （1）“”的充分条件是_____________； （2）“”的充要条件是_____________． 24. 过平面外一点作该平面的平行线可以作________条；作垂线可以作_______条． 25. 若复数，则 ________. 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26. （8分）已知复数，. (1)若，求a的值； (2)若z是纯虚数，求a的值； (3)若，求实数b的取值范围. 27. （9分）如图，在棱长为2的正方体中，求： (1)异面直线与所成的角的大小； (2)该正方体的体对角线的长． 28. （9分）已知椭圆的长轴长为6，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，点，且． ①求直线的方程；②求的值． 29. （9分）已知向量，其中． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 30. （10分）若关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $