综合测试卷（四）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材核心考点，通过基础巩固与能力提升分层训练，整合立体几何、向量、解析几何等跨章节知识，模拟实战提升综合应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |立体几何|选择1/6/9/10/18/24/29/30|空间线面关系判断、空间角计算、体积求解|以空间观念为核心，从概念辨析（正棱柱定义）到空间几何量计算，构建“概念-性质-应用”逻辑链| |向量与复数|选择3/7/13/14/16/19/22/25/26|向量运算、夹角判断、复数运算|体现运算能力，向量与几何结合（如空间向量求角），复数与代数转化| |解析几何|选择4/11/12/17/20/23/27/28|椭圆/双曲线/抛物线方程及性质|以坐标法为工具，从定义（椭圆距离之和）到方程求解，培养模型意识| |逻辑推理|选择1/15/21|充要条件判断|结合数学概念辨析，发展推理意识，构建“条件-结论”逻辑关系|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“底面是正多边形的棱柱”是“棱柱是正棱柱”的（     ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 四边形为矩形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．    3. 已知向量，，则（     ） A． B． C． D． 4. 已知椭圆的两焦点分别为，，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 5. 已知两条直线，与两个平面、，且，下述命题正确的是（   ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 6. 如图所示，在长方体中，已知，，，求体对角线与平面所成角的大小（    ）    A． B． C． D． 7. 计算复数的结果，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 8. 若，则（ ） A． B． C． D． 9.如图所示，在空间四边形中，已知点E，F，G，H分别是边，，，的中点．给出下列四个结论： ①与是相交直线；②；③；④四边形是平行四边形．其中，结论正确的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 10. 若，是两个不同的直线，，，是三个不同的平面，已知命题：①若，，则，异面；②，，则；③，；④，.其中，正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11. 已知椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 12.已知x轴上两点，，则平面内到这两点距离之和为8的动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 13.已知向量，，，，则（     ）． A． B． C． D． 14.若向量与反向，则（    ） A． B． C．6 D．8 15.“或”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16. 已知向量满足则（     ） A．5 B．-5 C．6 D．13 17. 已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上的动点，当点到直线的距离最小时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18. 如图所示，正方体棱长为1，E，F分别为的中点，平面，且平面，则面积的最小值为（   ）    A． B． C． D． 19.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（ ） A． B． C． D． 20. 已知双曲线 的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21. 对任意实数，，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②“”是“”的充分不必要条件； ③“”是“”的必要不充分条件； ④“是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件． 其中真命题的序号为____________． 22. 已知，且，的夹角为钝角，求实数的取值范围为_____________ 23. 设双曲线：，椭圆：的离心率分别为，，若，则________． 24. 将边长为2的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为________. 25. 已知平面向量 ，根据向量数乘与加减运算法则，计算________. 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26. （8分）已知平面向量，求及其模的大小. 27. （9分）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点F的直线交抛物线于两点，过的中点作线段的垂直平分线l，且l经过x轴上的点N． (1)求该抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求的长； (3)若点N的坐标为，求直线的方程． 28. （9分）已知双曲线的中心在坐标原点，右焦点是抛物线的焦点，且点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，求实数的值． 29. （9分）在正方体中，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 30. （10分）如图所示，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，且．    (1)若，求与平面所成角的正切值； (2)求证，平面平面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“底面是正多边形的棱柱”是“棱柱是正棱柱”的（     ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据正棱柱的定义即可求解 【详解】因为底面是正多边形的棱柱可能侧棱不垂直底面，故不一定是正棱柱，故充分性不成立；又正棱柱是指侧棱垂直于底面且底面为正多边形的棱柱，故必要性成立， 所以“底面是正多边形的棱柱”是“棱柱是正棱柱”的必要不充分条件.故选：B. 2. 四边形为矩形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．    【答案】D 【分析】结合矩形的性质与向量的相关概念、运算法则逐一判断各选项的正误 【详解】选项A：矩形中与长度相等、方向相反，互为相反向量，满足，故A错误；选项B：矩形中与长度相等但方向不同，不是相等向量，故B错误； 选项C：矩形的对角线不一定垂直，因此与不一定垂直，故C错误； 选项D：根据向量加法的三角形法则，可得恒成立，故D正确，故选：D. 3. 已知向量，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算，然后根据数量积的坐标运算计算即可 【详解】由题可知：，，所以， 所以，故选：D. 4. 已知椭圆的两焦点分别为，，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，则该椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点坐标确定椭圆焦点在轴上，结合椭圆定义求出的值，再利用椭圆参数关系求出，即可得到椭圆标准方程 【详解】已知椭圆的两焦点分别为，，则椭圆焦点在轴上，且， 设椭圆的标准方程为，因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 所以，，所以该椭圆的标准方程是.故选：A. 5. 已知两条直线，与两个平面、，且，下述命题正确的是（   ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 【答案】D 【分析】结合线面、面面位置关系的判定定理逐一分析求解即可 【详解】选项A：若，两个平面可以相交，错误. 选项B：若，两个平面可以相交，也可以平行，错误. 选项C：若，只有当垂直与β的交线时，才有，任意不一定垂直，错误.选项D：已知，若，根据面面垂直的判定定理，，正确.故选：D. 6. 如图所示，在长方体中，已知，，，求体对角线与平面所成角的大小（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面角定义找到所求线面角，再根据直角三角形边的关系求解即可 【详解】连接，    因为长方体中，平面， 所以即体对角线与平面所成角， 因为，所以，且长方体中，， 则中，，故为等腰直角三角形，所以.故选：B. 7. 计算复数的结果，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数运算求解即可 【详解】.故选：C. 8. 若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两个复数相乘，和复数减法运算求解 【详解】由，得.故选：A. 9.如图所示，在空间四边形中，已知点E，F，G，H分别是边，，，的中点．给出下列四个结论： ①与是相交直线；②；③；④四边形是平行四边形．其中，结论正确的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据相交直线与平行直线的概念判断①与②，根据中位线的性质可证明③④ 【详解】①连接，如图，    根据两条相交直线确定一个平面可知，若与是相交直线， 则说明点A，B，C，D四点共面，是平面四边形， 与题干的空间四边形矛盾，故①错误； ②根据两条平行直线确定一个平面可知，若， 则说明点A，B，C，D四点共面，是平面四边形， 与题干的空间四边形矛盾，故②错误； ③∵点E，F，G，H分别是边，，，的中点． ∴是的中位线，是的中位线， ∴且，且，∴，故③正确； ④由③可知，且，且， ∴且，∴四边形是平行四边形，故④正确， 则结论正确的是③④，正确的个数是2个.故选：B. 10. 若，是两个不同的直线，，，是三个不同的平面，已知命题：①若，，则，异面；②，，则；③，；④，.其中，正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系逐项分析即可 【详解】若，， 则，可能异面，可能平行，可能相交，故①是假命题， 若，，则，故②是真命题； 若，，则或，故③是假命题， 若，，则与可能平行，可能相交，故④是假命题， 所以正确的命题个数为1个.故选：A. 11. 已知椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质以及离心率公式的计算 【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为， 因为椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分， 所以可得，即，从而，故选：A. 12.已知x轴上两点，，则平面内到这两点距离之和为8的动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义判断出动点的轨迹形状，再结合条件即可求出椭圆的标准方程 【详解】已知，，则， 又因为动点到两点距离之和为，且， 所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 因为焦点在轴上，设椭圆的标准方程为（）， 则，解得，椭圆的半焦距， 可得，所以动点的轨迹方程为，故选：D. 13.已知向量，，，，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由向量平行的坐标表示得出的值，再由向量夹角的坐标表示求值即可 【详解】已知，，由得， 解得，所以，， 则， 因为，所以 ，故选：D. 14.若向量与反向，则（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据平面向量反向的性质求出值，代入平面向量内积公式即可得解 【详解】因为与反向， 所以且，解得， 所以，，则. 故选：A. 15.“或”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义，并结合特殊角的三角函数值即可求解 【详解】 若或时，则，即或； 若时，则或， 即 或.所以“或”是“”的充分不必要条件.故选：A 16. 已知向量满足则（     ） A．5 B．-5 C．6 D．13 【答案】A 【分析】将条件等式两边平方，两式相减化简即得 【详解】由两边分别平方可得：① 又由两边分别平方可得：② 由①②得：，即.故选：A. 17. 已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上的动点，当点到直线的距离最小时，（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设出点P的坐标，表示出点P到直线的距离，再根据二次函数的最值求解即可 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设点，且点P满足， ∴点到直线的距离为，将代入可得，， 令，为开口向上的二次函数， 当时，有最小值，此时， 此时点，∵焦点，∴，故选：B 18. 如图所示，正方体棱长为1，E，F分别为的中点，平面，且平面，则面积的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作出辅助线，利用平面与平面平行的判定定理得出点的轨迹，求出点到线段距离的最小值，代入三角形面积公式即可得解 【详解】    如图所示，连接，取中点，中点，连接， 因为E，F分别为的中点，所以， 又因为为中点，所以，则， 又因为，所以是平行四边形，所以， 平面，；平面，， 所以平面平面， 又因为平面，平面，所以在线段上运动， 因为正方体的棱长为，， 所以当点为中点时，点到的距离最短为， 又平面，平面，所以， 此时面积的最小值为.故选：B. 19.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加法、减法运算和复数的加减运算即可求解 【详解】.故选:B. 20. 已知双曲线 的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件和双曲线的渐近线方程得到，再由双曲线关系求解离心率即可 【详解】由直线可知，其斜率为. 因为双曲线 的渐近线方程为，则， 所以. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21. 对任意实数，，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②“”是“”的充分不必要条件； ③“”是“”的必要不充分条件； ④“是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件． 其中真命题的序号为____________． 【答案】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则，充分性成立， 若，时，，必要性不成立，故①错误， 若，时，则，充分性不成立，故②错误， 若，当时，，充分性不成立， 若，则，必要性成立，故③正确， 若是无理数，则是无理数，必要性成立，故④错误，故答案为：③. 22. 已知，且，的夹角为钝角，求实数的取值范围为_____________ 【答案】 【分析】由题意得出且与不共线，利用向量内积的坐标运算可求出实数的取值范围. 【详解】因为，的夹角为钝角，所以，且与不共线， 即，解得：， 所以实数的取值范围为.故答案为：. 23. 设双曲线：，椭圆：的离心率分别为，，若，则________． 【答案】 【分析】根据双曲线的方程确定离心率，再由椭圆的离心率求出的值即可. 【详解】由双曲线：， 得，所以，， 所以该双曲线的离心率为， 因为，所以，由椭圆：得，， 则，解得，因为，所以，故答案为：. 24. 将边长为2的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为________. 【答案】 【分析】先求出正方形对角线的长度，再根据已知条件求出三棱锥的高，最后根据三棱锥体积公式求解. 【详解】取的中点，连结，，    ，，，，. 同理，，，， 又平面，平面，，平面， 为三棱锥的高， .故答案为：. 25. 已知平面向量 ，根据向量数乘与加减运算法则，计算________. 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为平面向量 ，则， 所以.故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26. （8分）已知平面向量，求及其模的大小. 【答案】，. 【分析】根据向量线性运算的坐标表示和模的计算公式求值即可. 【详解】已知平面向量， 则， 所以． 27. （9分）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点F的直线交抛物线于两点，过的中点作线段的垂直平分线l，且l经过x轴上的点N． (1)求该抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求的长； (3)若点N的坐标为，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)；(3)或或 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标来确定方程中的参数即可； （2）先根据直线的点斜式方程求出直线的方程，然后联立直线与抛物线方程，利用弦长公式进行计算； （3）先设出直线的方程，然后求出中点的坐标，再根据求出直线的斜率，进而得到直线的方程. 【详解】（1）对于抛物线，其焦点坐标为， 则，解得，所以该抛物线的标准方程为； （2）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又因为直线过点，可得直线的方程为， 设，，联立直线与抛物线方程， 消y可得，所以， 由抛物线的焦点弦长公式得； （3）当时，直线的方程，满足题意； 因为焦点为，当时，设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，消x可得， 设，， 根据韦达定理可得，， 则，所以中点的坐标为， 因为，，所以，，， 则，即，即，解得， 所以直线的方程为或， 综上，直线的方程为或或． 28. （9分）已知双曲线的中心在坐标原点，右焦点是抛物线的焦点，且点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，求实数的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设双曲线的标准方程是，将点代入方程并求解出抛物线的焦点坐标，最后联立方程组求解即可. （2）设，，将直线方程与双曲线方程联立，并结合韦达定理和向量垂直的坐标表示，列方程求解即可. 【详解】（1）设双曲线的标准方程是， 因为点在双曲线上，则，①因为双曲线右焦点是抛物线的焦点， 抛物线的焦点为，则，即，② 由①②解得，，则双曲线的标准方程是． （2）设，， 联立方程组，整理得， 所以，， 则， ，，因为，所以， 即 ， 解得，因为直线与双曲线有两个交点， 所以，即 ， 解得且．所以实数的值是． 29. （9分）在正方体中，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出的余弦值后可求异面直线与所成角的余弦值； （2）利用等积法可求三棱锥的体积. 【详解】（1） 因为，故或其补角为异面直线与所成角的余弦值， 因为平面平面，所以， 而，，故， 故异面直线所成的角为. （2）. 30. （10分）如图所示，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，且．    (1)若，求与平面所成角的正切值； (2)求证，平面平面． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）根据线面角的定义结合面面垂直的性质定理可知为与平面所成的角，设，根据已知条件结合直角三角形中正切的定义即可求解. （2）利用面面垂直的性质定理即可证明. 【详解】（1）取中点，连接，因为为等边三角形，所以． 又平面平面，交线为，所以平面， 又平面，所以，则为与平面所成的角， 设，则 ． 在平面中，过作于， 因为 ，所以，又， 所以 ， 所以．    （2）因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $