综合测试卷（三）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本专项紧扣教材分AB卷分层训练，综合测试卷整合向量、解析几何、立体几何等知识，聚焦基础巩固与能力提升，通过实战情境培养数学眼光、思维与语言，构建系统知识网络。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |综合测试卷|30题（选择20/填空5/解答5）|基础考点与综合应用结合，覆盖选择、填空、解答|从概念（如充分条件、向量定义）到原理推导（如抛物线焦点准线关系）再到综合应用（如直线与抛物线位置关系），整合多章节知识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设，则是的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知非零向量，，若向量夹角，则的值为（ ）． A．2 B． C． D． 3. 抛物线的焦点是（ ） A． B． C． D． 4. 如图所示的正方体中，直线与直线的位置关系是（   ）．    A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 5. 若复数，则它在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6. 一个复数与其共轭复数的积是（   ） A．虚数 B．纯虚数 C．非负实数 D．负实数 7. 若，且，则（ ） A． B． C． D． 8. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，从，两点向准线作垂线，垂足分别为，，若，则四边形的面积为（     ） A．16 B．8 C． D．4 9.已知O为坐标原点，椭圆的右顶点为A，以OA为直径的圆与椭圆交于A，M，N三点，若四边形是正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 10.四边形为正方形，则下列关系正确的选项是（    ） A． B． C． D． 11. 如图所示，在矩形中，，点M，N在线段上，且，则cos的值是（     ）    A． B． C． D． 12. 已知命题：，则命题的一个必要不充分条件是（   ）. A． B． C． D． 13.已知向量满足则（     ） A．5 B．-5 C．6 D．13 14.在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A． B． C． D． 15.已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，抛物线：的焦点到的渐近线的距离为，过点作的两条切线，切点分别为点，则直线在轴上的截距为（ ） A． B．2 C． D． 16. 已知点，是椭圆的左右两个焦点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点．若该椭圆离心率为，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17. 已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（    ）    A．与所成的角为 B． C． D．与所成角为 18.在直三棱柱中，已知，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 19.已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 20. 已知抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21. 若平面向量，，且，则________. 22. 已知椭圆方程是，则椭圆的长轴长为_______短轴长为 _____ 23. 在正方体中，直线与所成的角为______. 24. 以抛物线的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是__________； 25. 已知，，点满足，则点的坐标是____________． 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26. （8分）已知向量. (1)求的值；(2)求的值. 27. （9分）已知抛物线， (1)求焦点坐标和准线方程； (2)若抛物线上一点横坐标为，求该点纵坐标． 28. （9分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，求：    (1)二面角的正切值； (2)四棱锥的体积. 29. （9分）已知抛物线的准线方程为，焦点为.过焦点的直线交抛物线于两点，延长交准线于点，且已知. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的斜率； (3)连接，求的面积. 30. （10分）已知平面向量，，. (1)若，且，求的坐标； (2)若向量满足，，且，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设，则是的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，判断两个命题的逻辑推出关系即可求解 【详解】若成立，则，充分性成立，若成立，无法推出， 例如取，满足但不满足，必要性不成立，所以是的充分条件， 故选：A. 2.已知非零向量，，若向量夹角，则的值为（ ）． A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两非零向量夹角为时互相垂直、内积为0的性质，结合内积的坐标运算列方程求解k 【详解】. 由得，即， 解得.故选：A. 3. 抛物线的焦点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程求焦点 【详解】抛物线方程可化为，则其焦点坐标在轴上，且，即， 所以抛物线的焦点坐标为.故选：C. 4. 如图所示的正方体中，直线与直线的位置关系是（   ）．    A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 【答案】C 【分析】根据异面直线的概念求解即可 【详解】在正方体中，，和相交于点，因此和不平行； 不在直线所在的平面内，且与平面平行， 因此和没有公共点，不相交；两条直线既不平行也不相交，因此是异面直线. 故选：C. 5. 若复数，则它在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的运算以及几何意义求解即可 【详解】由已知，这个复数在复平面上对应点是，即位于平面直角坐标系的第一象限.故选：A. 6. 一个复数与其共轭复数的积是（   ） A．虚数 B．纯虚数 C．非负实数 D．负实数 【答案】C 【分析】根据复数的基本运算和共轭复数的性质，即可选出正确答案 【详解】设复数，其共轭复数为， 它们的积为：， 因为，所以，结果是一个非负实数.故选：C 7. 若，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共轭复数的定义和复数的运算、复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解 【详解】因为，所以，则， 所以，解得，故. 8. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，从，两点向准线作垂线，垂足分别为，，若，则四边形的面积为（     ） A．16 B．8 C． D．4 【答案】C 【分析】设出抛物线方程，根据题意写出直线的点斜式方程，联立方程组结合韦达定理及弦长公式求出值，代入梯形的面积公式即可得解 【详解】      设抛物线方程为，则焦点坐标为，准线方程为， 则过焦点且斜率为的直线方程为， 联立方程组， 设，，由韦达定理可知，，， 因为，则，解得， 所以抛物线方程为，则焦点坐标为，准线方程为， 四边形为直角梯形，，高为， ， 所以梯形的面积为，故选：C. 9.已知O为坐标原点，椭圆的右顶点为A，以OA为直径的圆与椭圆交于A，M，N三点，若四边形是正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设出点坐标，代入椭圆方程中，利用椭圆的性质及离心率公式即可得解. 【详解】    如图所示，作出图像， 以OA为直径的圆与椭圆交于A，M，N三点，，则圆的半径为， 设，代入椭圆方程得， 则，即， 所以离心率， 故选：B. 10.四边形为正方形，则下列关系正确的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合正方形的性质，根据相等向量的定义、向量加法的三角形法则、向量数量积的定义逐一判断各选项即可 【详解】设正方形边长为a，邻边互相垂直，对边平行且模长相等， 选项A：与模长相等、方向相反，为相反向量，不是相等向量，故A错误， 选项B：与对应正方形的两条对角线，模长均为，但方向不同， 不满足相等向量的定义，故B错误， 选项C：根据向量加法的三角形法则，，模长为， 与夹角为，显然不等于，故C错误， 选项D：正方形中，即与的夹角为，则，故D正确. 故选：D. 11. 如图所示，在矩形中，，点M，N在线段上，且，则cos的值是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，表示出点D，点M，点N，点C的坐标，再由向量的坐标表示求解的坐标，结合向量夹角的公式求解即可 【详解】以点A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，    ∵，且， ∴，， ∴点，点，点，点， ∴，， ∴. 故选：D. 12. 已知命题：，则命题的一个必要不充分条件是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合必要不充分条件的概念即可求解 【详解】因为：等价于，解得. 对A，是的充分不必要条件，故A错误. 对B，是的必要不充分条件，故B正确. 对C，是的既不充分也不必要条件，故C错误. 对D，是的充要条件，故D错误.故选：B. 13.已知向量满足则（     ） A．5 B．-5 C．6 D．13 【答案】A 【分析】将条件等式两边平方，两式相减化简即得 【详解】由两边分别平方可得：① 又由两边分别平方可得：② 由①②得：，即.故选：A. 14.在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，据图并结合已知条件进行分析即可求解 【详解】由题可知，，因为点在上， ， 又，，解得.故选：C． 15.已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，抛物线：的焦点到的渐近线的距离为，过点作的两条切线，切点分别为点，则直线在轴上的截距为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式得出抛物线的方程，然后由相切可求解切点的坐标，再利用点斜式方程求解直线的方程，化为斜截式即可 【详解】 双曲线的两条渐近线分别为和， 由于这两条渐近线垂直，斜率乘积为，即， 所以两条渐近线分别为和， 抛物线的焦点为，焦点到渐近线的距离为， 焦点到渐近线的距离为， 因此抛物线方程为， 由题意可知，过点作的两条切线斜率存在，设为k， 则切线方程为，即， 联立，消y可得，， 则有，即，解得， 当时，切点的横坐标为， 则纵坐标为； 当时，切点的横坐标为， 则纵坐标为； 则点，点， 则直线的斜率为，所以直线为， 整理可得，即直线在轴上的截距为.故选：D.   16. 已知点，是椭圆的左右两个焦点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点．若该椭圆离心率为，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据椭圆的离心率求出的值，进而得到焦点坐标，再求出、两点的纵坐标，最后根据三角形面积公式计算的面积 【详解】设为椭圆的短半轴长，为椭圆的半焦距， 已知椭圆方程，则，已知离心率，即，可得， 又因为，可得：，解得， 由，可知，因为过点作轴的垂线交椭圆于、两点， 将代入椭圆方程可得：，解得， 所以，又， 所以的面积为，故选：B. 17. 已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（    ）    A．与所成的角为 B． C． D．与所成角为 【答案】C 【分析】利用正方体的性质，根据线面垂直的性质可判断A；根据直线与直线的位置关系可判断B；求出的长度可判断C；根据线面垂直的判定与性质可判断D 【详解】设正方体棱长为，连接，，，    选项A，因为平面，平面，所以， 则与所成的角为，A选项错误， 选项B，与是相交直线，所以与不平行，B选项错误， 选项C，由勾股定理可得， ， 所以，C选项正确，选项D，因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以与所成的角为，D选项错误， 故选：C． 18.在直三棱柱中，已知，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的计算以及几何意义求解即可 【详解】   在直三棱柱中，平面，进而. 因为，平面，所以平面，进而. 因为，所以异面直线与所成的角为. 在中，，所以. 因为，解得.故选：C. 19.已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据线面垂直、面面垂直的判定方法求解 【详解】A选项：根据线面垂直的性质，，则可推出，为真命题； B选项：若，，则可平行平面，或在平面内，无法确定，故为假命题； C选项：由面面垂直的性质判断，若，，则，为真命题； D选项，由线面垂直的性质，若，，则，为真命题。故选：B. 20. 已知抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求值即可 【详解】已知抛物线中，，， 所以准线为，因为点P到x轴的距离是4， 所以点P到准线的距离为，故选：B. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21. 若平面向量，，且，则________. 【答案】9 【分析】根据向量平行的坐标表示求值即可 【详解】若平面向量，，由，得，解得， 故答案为：. 22. 已知椭圆方程是，则椭圆的长轴长为_______短轴长为 _____ 【答案】 【分析】先将椭圆的一般方程化为标准方程，确定焦点位置，求出参数的值，再分别计算长轴长和短轴长. 【详解】已知椭圆方程是，即. 则该椭圆的焦点在轴上，可得，. 由，，解得，，所以长轴长为， 短轴长为.故答案为：. 23. 在正方体中，直线与所成的角为______. 【答案】 【分析】根据正方体的几何特征和异面直线所成角的概念即可解答 【详解】因为在正方体中， 所以是直线与所成的角，连接，又，所以为等腰三角形，则.故答案为：. 24. 以抛物线的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是__________； 【答案】 【分析】 根据抛物线的焦点得到圆心，然后利用直线与圆相切计算点到直线的距离得到半径，最后可得结果 【详解】由题可知：抛物线，即，所以焦点坐标为C， 点到直线的距离为， 所以所求的圆的方程为. 故答案为：. 25. 已知，，点满足，则点的坐标是____________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，再由向量的坐标表示列方程求解即可. 【详解】设点的坐标为， 则，， 由得，解得， 所以点的坐标为，故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26. （8分）已知向量. (1)求的值；(2)求的值. 【答案】(1)1；(2)析 【分析】（1）根据向量内积的坐标表示求解即可；（2）根据向量的模长公式求解即可 【详解】（1）因为向量，所以. （2）因为，所以. 27. （9分）已知抛物线， (1)求焦点坐标和准线方程； (2)若抛物线上一点横坐标为，求该点纵坐标． 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为；(2)该点纵坐标为 【分析】（1）根据开口向左的抛物线标准方程的基本性质即可求解； （2）将已知横坐标代入方程即可求得纵坐标 【详解】（1）抛物线符合开口向左的抛物线标准形式， 得，解得. 根据抛物线性质，其焦点位于x轴负半轴，焦点坐标为， 准线方程为. （2）将代入抛物线方程， 得，开平方得，即该点纵坐标为6或. 28. （9分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，求：    (1)二面角的正切值； (2)四棱锥的体积. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据线面垂直的判断与性质可得，，则是二面角的平面角，在中求解即可； （2）根据棱锥的体积公式计算. 【详解】（1），， 平面，平面，， 又，平面， 平面， 平面，，是二面角的平面角， 平面，平面，， 在中，，，. （2）因为，，， 所以四边形为直角梯形，其面积， 已知平面，则四棱锥的高为， 故四棱锥的体积. 29. （9分）已知抛物线的准线方程为，焦点为.过焦点的直线交抛物线于两点，延长交准线于点，且已知. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的斜率； (3)连接，求的面积. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（）根据抛物线的准线方程求出值即可得解. （）根据题意结合焦半径公式求出点坐标，利用两点间斜率公式即可得解. （）写出直线的点斜式方程，联立方程组，利用韦达定理求出点坐标，再将代入直线方程，利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积即可得解. 【详解】（1）抛物线的准线为，已知准线为， 故，则抛物线方程为. （2）抛物线焦点，设，则，. 由焦半径公式：， 代入（取正），故，直线过和， 则斜率：.    （3）直线斜率为，过点，所以直线方程：， 联立方程组，得， 由韦达定理：，已知，故， 代入抛物线得，故，直线与准线交于M：令， 代入直线方程：，故， 因为，，，， 直线的一般式方程为，点到直线的距离为， 所以的面积为.   30. （10分）已知平面向量，，. (1)若，且，求的坐标； (2)若向量满足，，且，求的值. 【答案】(1)或；(2)， 【分析】（1）利用向量线性运算、内积与模的坐标表示，得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用向量内积的运算法则与坐标表示，依次求得，从而得解. 【详解】（1）因为，， 所以， 又，，， 所以，解得或， 则的坐标为或.. （2）因为，， 所以，，， 又，，， 所以，得， ，得，所以，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $