综合测试卷（二）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本套综合训练以教材章节为基准，通过AB卷分层巩固与综合测试卷实战模拟，系统整合中职数学核心知识点，培养抽象能力、空间观念与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5题（1-2,9,17,21）|判断充分必要条件、复数概念|从命题逻辑到复数分类，构建代数基础认知| |几何应用|10题（3,5,6,8,13-15,19,23,29）|向量运算、圆锥曲线、立体几何计算|从平面向量到空间几何，形成空间形式认知链| |代数运算|10题（4,10-12,18,20,22,24-26,30）|复数运算、向量坐标、综合证明|从符号运算到逻辑推理，强化运算与推理能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知和是实数，则“”是 “”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2. “”是“不等式恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 若非零向量，满足，且 ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4. 已知，则（    ） A． B． C． D． 5. 已知椭圆的左右焦点分别为，直线经过椭圆左焦点，与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 6. 已知直线与抛物线交于，两点，，点在直线上，且，则抛物线的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 7. 已知，是直线，是平面，给出以下四个命题： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中，所有正确命题的序号是（    ）． A．① B．② C．②③ D．①④ 8. 若正四棱锥的侧棱是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 9.下列命题中正确的是（   ） A．是纯虚数 B．实数集和纯虚数集的交集是0 C．虚轴上所有的点表示的数都是纯虚数 D．虚数集中的元素与复平面内实轴以外的所有点组成的集合中的元素一一对应 10.设为虚数单位，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 11. 向量，，则 （    ） A． B． C． D． 12. 下列命题中，正确的是（   ） A．共线向量都相等 B．单位向量都相等 C．若，则 D．若，则 13.椭圆的焦距为2，则实数的值为（    ） A．1 B．1或9 C．4 D．4或6 14.双曲线的焦距为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 15.如图，正方体中，直线与直线所成的角为（   ）    A． B． C． D． 16. 直线，均不在平面，内，给出下列说法： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17. 已知复数，其中，若z是实数，则（   ） A．0 B．1 C． D．i 18.在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以原点为圆心且过点的圆与双曲线在x轴上方交于A，B两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 20. 已知AD是直角三角形ABC斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足 ，若 ，则 的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21. 若，，则p是q的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 22. 若平面向量，，与的夹角为，则________. 23. 已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，若与向量共线，则椭圆的离心率等于________． 24. 在正方体的所有棱中，与棱异面的棱有______________条. 25. 设，则等于________. 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26. （8分）已知，试判断p是q的什么条件，并说明理由. 27. （9分）已知向量，，与的夹角为． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，且，求的坐标． 28. （9分）根据条件， 求双曲线的标准方程． (1)， 焦点在轴上， 且分别为 ; (2)， 焦点在轴上， 且分别为. 29. （9分）如图所示，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，连接，，，，求： (1)三棱锥的体积； (2)二面角的正切值． 30. （10分）已知复数 （，为虚数单位）. (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知和是实数，则“”是 “”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合对数的定义域要求与运算法则，分别验证充分性和必要性是否成立，即可判断条件关系 【详解】若“”成立，则，解得，充分性成立. 若，则，但是无意义，必要性不成立. 故“”是 “”的充分不必要条件.故选：A. 2. “”是“不等式恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数函数的值域，及充分性、必要性的概念，即可判断求解 【详解】若，因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，故充分性成立；若恒成立，即恒成立，而，所以，故必要性成立； 故“”是“不等式恒成立”的充要条件.故选：C. 3. 若非零向量，满足，且 ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直求出，再求出夹角的余弦值，进而确定夹角 【详解】已知，所以. 因为非零向量，满足，所以. 因为，解得.故选：B. 4. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量内积的定义，及向量模的计算，即可求解 【详解】因为， 所以， 所以，又，所以 .故选：C. 5. 已知椭圆的左右焦点分别为，直线经过椭圆左焦点，与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求出，再根据椭圆的定义求解即可 【详解】由方程得， 的周长为， . 故选：D. 6. 已知直线与抛物线交于，两点，，点在直线上，且，则抛物线的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求出直线的方程，再与抛物线方程联立，进而结合韦达定理求解 【详解】点，，则直线的斜率， ，又因为直线过点，代入点斜式方程， 得直线的方程为，设， 联立直线方程和抛物线方程，得， 则，由韦达定理得：， 因为，又因为， 所以 ，则抛物线的标准方程是，故选：D. 7. 已知，是直线，是平面，给出以下四个命题： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中，所有正确命题的序号是（    ）． A．① B．② C．②③ D．①④ 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质即可求解 【详解】对①，由线面垂直的性质可得，若，，则；故①正确. 对②，由线面垂直的性质可得，若，，则；故②错误. 对③，若，，则或；故③错误. 对④，若，，则或或相交；故④错误．故选：A 8. 若正四棱锥的侧棱是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构建正四棱锥的几何模型，利用线面角的定义，在直角三角形中即可求出侧棱与底面所成角的余弦值 【详解】   设正四棱锥的底面边长为a，因此侧棱长为2a， 设底面正方形的中心为O，则垂直于底面，连结，则是侧棱在底面的投影， 因此，侧棱与底面所成的角即为，面，所以， 在正方形中，，，故选：C 9.下列命题中正确的是（   ） A．是纯虚数 B．实数集和纯虚数集的交集是0 C．虚轴上所有的点表示的数都是纯虚数 D．虚数集中的元素与复平面内实轴以外的所有点组成的集合中的元素一一对应 【答案】D 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】选项A，是实数，不是纯虚数，错误， 选项B，实数集和纯虚数集的交集是空集，错误， 选项C，实数零对应的点也在虚轴上，错误， 选项D，虚数集中的元素与复平面内实轴以外的所有点组成的集合中的元素一一对应，正确. 故选：D. 10.设为虚数单位，则与的关系是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据性质化简，再判断选项 【详解】 ， 所以.故选：A 11. 向量，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解 【详解】向量，，则，故选：. 12. 下列命题中，正确的是（   ） A．共线向量都相等 B．单位向量都相等 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据相等向量、共线向量、单位向量、零向量及向量的模的概念可判断结果 【详解】对A选项，共线向量可以方向相反，故不一定相等，错误； 对B选项，单位向量的长度相等，但方向可以不同，故不一定相等，错误； 对C选项，由可知：两向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误； 对D选项，由零向量的概念可知，若，则，正确.故选：D 13.椭圆的焦距为2，则实数的值为（    ） A．1 B．1或9 C．4 D．4或6 【答案】D 【分析】根据椭圆焦点位置的不同，结合椭圆中、、的关系以及焦距公式来求解的值 【详解】设为半焦距，已知椭圆焦距为，则，可得. 对椭圆分两种情况讨论： 当焦点在轴上时，满足，，，由可得，即， 当焦点在轴上时，满足，，，由可得，即， 综上，的值为4或6，故选：D. 14.双曲线的焦距为（    ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程确定，的值，利用双曲线参数关系，求出半焦距，再计算焦距即可得到结果 【详解】由题干给出的双曲线方程可得，， 所以，因此，可得焦距为.故选：D. 15.如图，正方体中，直线与直线所成的角为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的几何特征结合异面直线所成角的概念，得出为直线与直线所成的角即可解答 【详解】 在正方体中，， 所以为直线与直线所成的角， 因为，所以直线与直线所成的角为，故选：D 16. 直线，均不在平面，内，给出下列说法： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意结合直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系即可得解 【详解】因为直线，均不在平面，内，若，，则，故①正确； 因为直线，均不在平面，内，若，，则，故②正确； 因为直线，均不在平面，内，若，，则，故③正确； 因为直线，均不在平面，内，若，，则，故④正确， 所以正确的个数为，故选：. 17. 已知复数，其中，若z是实数，则（   ） A．0 B．1 C． D．i 【答案】B 【分析】根据z是实数，虚部为0列方程求解即可 【详解】已知复数，因为z是实数，则，解得， 故选：B. 18.在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的计算以及几何意义求解即可 【详解】复数对应的点为，位于第一象限.故选：A. 19.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以原点为圆心且过点的圆与双曲线在x轴上方交于A，B两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆性质得，结合双曲线定义与勾股定理求出，即可写出渐近线方程. 【详解】因为双曲线左、右焦点分别为，， 即，满足， 以原点为圆心且过点的圆为， 设，则,即， 又，即， 又，且在圆上， 所以,即， 所以，即， 即双曲线渐近线为，整理得.    故选：B. 20. 已知AD是直角三角形ABC斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足 ，若 ，则 的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】由题意根据向量的数量积求解 【详解】 取中点，则， 所以，因为， 所以. 故选：A. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21. 若，，则p是q的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 【答案】必要不充分 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解 【详解】，解得或， 当时，或，故充分性不成立； 当时，成立，故必要性成立， 所以p是q的必要不充分条件，故答案为：必要不充分. 22. 若平面向量，，与的夹角为，则________. 【答案】 【分析】根据向量内积的定义即可求解. 【详解】因为向量，，与的夹角为， 所以. 故答案为：3. 23. 已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，若与向量共线，则椭圆的离心率等于________． 【答案】 【分析】设点，点，先得到直线的方程，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理求解与，再根据向量共线求解得到a与b的关系，再结合椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】∵椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上， ∴设椭圆的标准方程为，∴椭圆的右焦点为， ∵直线的斜率为1，∴直线的方程为， 设点，点， 联立，消y可得，， ∴， ∴， ∴，，∴， ∵与向量共线，∴，即， 整理可得， ∵在椭圆中，，即，∴椭圆的离心率，即， ∴椭圆的离心率等于．故答案为：.    24. 在正方体的所有棱中，与棱异面的棱有______________条. 【答案】 4 【分析】根据异面直线的定义求解即可. 【详解】如图： 与棱异面的棱有，共条， 故答案为：. 25. 设，则等于________. 【答案】 【分析】直接利用复数的模的计算公式求解即可. 【详解】已知，则. 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26. （8分）已知，试判断p是q的什么条件，并说明理由. 【答案】充分不必要条件，理由见解析 【分析】由充分必要条件的概念即可得解 【详解】，解为， ，解为或 满足，但，故p是q的充分不必要条件. 27. （9分）已知向量，，与的夹角为． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，且，求的坐标． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据向量内积的定义及向量内积、模的坐标表示，列方程可求解； （2）由向量共线可设，再根据向量线性运算及向量垂直的坐标表示，列方程可求解 【详解】（1）由题意得： ，，， 又与的夹角为，则有，解得或， 经检验时方程不成立，所以，； （2）因为向量与向量共线，所以可设， 因为，所以， 所以，解得，所以． 28. （9分）根据条件， 求双曲线的标准方程． (1)， 焦点在轴上， 且分别为 ; (2)， 焦点在轴上， 且分别为. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据焦点在x轴上确定双曲线标准方程形式，结合已知a值和焦点坐标得c值，求出方程； （2）根据焦点在y轴上确定双曲线标准方程形式，结合已知b值和焦点坐标得c值，求出方程 【详解】（1）由题意可知双曲线焦点在x轴上，设其标准方程为. 由焦点坐标、可得. 已知，，所以双曲线标准方程为. （2）由题意可知双曲线焦点在y轴上，设其标准方程为. 由焦点坐标、可得. 已知，所以，进而双曲线标准方程为. 29. （9分）如图所示，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，连接，，，，求： (1)三棱锥的体积； (2)二面角的正切值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据棱锥的体积公式求解； （2）根据线面垂直的判断与性质找出二面角的平面角，进而在直角三角形中求解. 【详解】（1）由题意，平面，正方体的棱长为2， ∴三棱锥的底面积，它的高为， ∴三棱锥的体积． （2）如图所示，在平面中，经过点作，交于点，连接， ∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， ∵平面，∴，∴是二面角的平面角． ∵ 在中，， ∴，∴在中，， 即二面角的正切值为． 30. （10分）已知复数 （，为虚数单位）. (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值. 【答案】(1)；(2)1 【分析】根据复数的定义即可求解 【详解】（1）因为复数， 若是实数，则虚部为 0，即，解得. （2）因为复数，若是纯虚数，则实部为0且虚部不为 0. 即，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $