第三单元 三角形、平行四边形和梯形（二）（知识清单）数学北京版五年级上册（新教材）

该小学数学知识清单系统梳理了“三角形、平行四边形和梯形（二）”单元内容，涵盖图形底高认识、面积计算、组合及不规则图形面积、三角形三边关系与内角和等核心知识，搭建从概念理解到公式推导再到实际应用的递进式学习支架。 清单通过“知识点-题型-练习”三级架构呈现知识体系，如平行四边形面积用转化法推导、三角形面积标注“除以2”易错点，培养学生几何直观与推理意识。典型例题配跟踪训练，组合图形分分割/添补法教学，助力学生自主高效复习，为教师提供精准教学支持。

第三单元 三角形、平行四边形和梯形（二） 知识清单 知识点一、认识底和高 1. 基本概念 (1) 高：从平行四边形、三角形或梯形的一条边上的任意一点向对边（或对边所在的直线）引垂线，这点到垂足之间的线段叫做高。 (2) 底：垂足所在的边叫做底。 (3) 对应关系：底和高是相互依存的，计算面积时必须使用相对应的底和高。 2. 各类图形的高 (1) 平行四边形： 1　 有无数条高。 2　 同一组对边之间的高长度相等。 3　 画法：从一边上任意一点向对边作垂线。 (2) 三角形： 1　 有3条高（分别对应3个顶点和对边）。 2　 锐角三角形：3条高都在内部。 3　 直角三角形：两条直角边互为底和高，斜边上的高在内部。 4　 钝角三角形：两条高在外部（需延长底边），一条高在内部。 (3) 梯形： 1　 有无数条高（两底之间的距离）。 2　 所有高的长度都相等。 3　 画法：从上底任意一点向下底作垂线。 知识点二、平行四边形的面积 1. 公式推导（转化法） (1) 操作：沿平行四边形的高剪开，通过平移拼成一个长方形。 (2) 关系： 1　 长方形的长 = 平行四边形的底 ( ) 2　 长方形的宽 = 平行四边形的高 ( ) 3　 长方形的面积 = 平行四边形的面积 (3) 结论：因为 ，所以 。 2. 计算公式 (1) ：面积 (2) ：底 (3) ：高 3. 易错点提示 (1) 计算时务必找准对应的底和高，不能用邻边相乘。 (2) 单位要统一（如：底是米，高是分米，需先换算）。 知识点三、三角形的面积 1. 公式推导（倍拼法/割补法） (1) 操作：用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。 (2) 关系： 1　 平行四边形的底 = 三角形的底 ( ) 2　 平行四边形的高 = 三角形的高 ( ) 3　 平行四边形的面积 = 2 三角形的面积 (3) 结论：因为 ，所以 。 2. 计算公式 (1) ：面积 (2) ：底 (3) ：高 3. 关键性质 (1) 等底等高的三角形面积相等。 (2) 已知面积和底，求高： (3) 已知面积和高，求底： (4) 注意：计算三角形面积时千万不要忘记“除以2”。 知识点四、梯形的面积 1. 公式推导（倍拼法） (1) 操作：用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。 (2) 关系： 1　 平行四边形的底 = 梯形的上底 + 下底 ( ) 2　 平行四边形的高 = 梯形的高 ( ) 3　 平行四边形的面积 = 2 梯形的面积 (3) 结论： 。 2. 计算公式 (1) ：面积 (2) ：上底 (3) ：下底 (4) ：高 3. 变形应用 (1) 已知面积、上底、下底，求高： (2) 已知面积、高、上底，求下底： 知识点五、组合图形的面积 1. 定义 由两个或两个以上的基本图形（长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形）组合而成的图形。 2. 计算方法 (1) 分割法（加法）： 1　 将组合图形分割成几个简单的基本图形。 2　 分别计算各部分面积，最后相加。 3　 适用场景：图形内部线条清晰，易于分割。 (2) 添补法（减法）： 1　 将组合图形补成一个大的规则图形。 2　 用大图形的面积减去空白部分（多余部分）的面积。 3　 适用场景：图形缺角或凹陷，补全后更规则。 3. 解题步骤 (1) 观察：分析图形结构，确定分割或添补方案。 (2) 找条件：标注已知数据，推导隐含数据（如利用总长减部分长）。 (3) 计算：列式计算各部分面积。 (4) 汇总：求和或求差得出最终结果。 知识点六、不规则图形的面积 1. 估算方法 对于无法直接计算的不规则图形（如树叶、脚印），通常采用以下方法估算： (1) 数方格法： 1　 满格的按1格计算。 2　 不满格的按半格（0.5）计算（或大于半格算1，小于半格舍去，具体依题目要求而定，通常标准是“不满一格按半格算”）。 3　 总面积 满格数 + 不满格数 0.5。 (2) 近似图形法：将不规则图形看作近似的规则图形（如将树叶看作椭圆或三角形）进行估算。 2. 注意事项 (1) 估算结果是近似值，符号使用“ ”。 (2) 方格越小，估算结果越精确。 知识点七、三角形三边关系 1. 核心定理 (1) 两边之和大于第三边：三角形任意两边的长度之和大于第三边。 (2) 两边之差小于第三边：三角形任意两边的长度之差小于第三边。 2. 应用技巧 (1) 判断能否围成三角形： 1　 只需检验较短的两条边之和是否大于最长边。 2　 若 ，则能围成；否则不能。 (2) 确定第三边范围：已知两边 ，第三边 的范围： 。 知识点八、三角形的内角和 1. 核心定理 (1) 三角形内角和等于 。 (2) 即： 。 2. 验证方法 (1) 量一量：用量角器测量三个角，求和。 (2) 拼一拼：将三个角剪下来，拼在一起形成一个平角（ ）。 (3) 折一折：通过折叠将三个角汇聚到一点，形成平角。 3. 常见类型三角形的角度特征 (1) 直角三角形：两个锐角之和为 （互余）。 (2) 等腰三角形：两个底角相等。 1　 若顶角为 ，则底角 。 2　 若底角为 ，则顶角 。 (3) 等边三角形：三个角都相等，均为 。 4. 多边形内角和拓展 (1) 四边形内角和： （可分割为2个三角形）。 (2) 边形内角和： 。 题型一、认识底和高 【典型例题】画出下面每个图形指定底边上的高。 【跟踪训练】画出下面图形底边上的高。 题型二、平行四边形的面积 【典型例题】求下面图形的面积。 【跟踪训练1】求甲、乙的面积。    【跟踪训练2】一块平行四边形的土地，底是8.5米，高是6.4米。如果用这块地种辣椒，每棵辣椒占地0.2平方米。这块地一共可以种多少棵辣椒？ 题型三、三角形的面积 【典型例题】求下面三角形的面积。 【跟踪训练】张叔叔家有一块三角形油菜地，底为30米，对应的高为20米。如果每平方米可收油菜籽3.5千克，这块地可收获油菜籽共多少千克？ 题型四、梯形的面积 【典型例题】计算下面图形的面积。（单位：厘米） 【跟踪训练1】求下面每个梯形的面积。（单位：cm） 【跟踪训练2】一块梯形麦田的上底是27米，下底是53米，高是12米，如果这块麦田共收小麦960千克，平均每平方米收小麦多少千克？ 题型五、组合图形的面积 【典型例题】计算下面图形的面积。（单位：cm） 【跟踪训练1】求下面图形的面积。（单位：cm） 【跟踪训练2】计算下面图形中涂色部分的面积。（单位：厘米） 题型六、不规则图形的面积 【典型例题】（如下图）每个小方格是边长为1cm的正方形，这个涂色部分的面积最接近（    ）。 A．13 B．25 C．43 D．56 【跟踪训练1】泥塑（北京兔儿爷）是北京的传统手工艺品。如图，淘淘把一张北京兔儿爷卡片的轮廓描在方格纸上，这张卡片的面积最接近（    ）。（图中每个方格代表1） A．10 B．20 C．28 D．44 【跟踪训练2】美术课上，笑笑在方格纸上画了一个可爱的冰墩墩。请你估计它的面积约是( )平方厘米。（每个小方格的面积表示1平方厘米） 题型七、三角形三边关系 【典型例题】下面三组小棒，不能围成三角形的是（    ）。 A．3cm、4cm、5cm B．8cm、8cm、8cm C．3cm、3cm、7cm D．2cm、6cm、7cm 【跟踪训练】一个三角形的两条边分别是3cm和7cm，第三条边也是整厘米数，那么第三条边最短是( )cm，最长是( )cm。 题型八、三角形的内角和 【典型例题】计算下面三角形中未知角的度数。 【跟踪训练1】如图，齐齐在求三角形的内角和是多少度时，他把三角形的三个角剪下来拼在一起，正好拼成一个( )角，所以三角形的内角和是( )°。 【跟踪训练2】如图所示，已知，，那么( )°。 1．认识三角形的高后，第一小组四名同学展示了指定底边上高的画法，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2．下面各组线段中，能围成三角形的是（    ）。 A．1cm、2cm、3cm B．2cm、3cm、5cm C．3cm、4cm、5cm D．2cm、2cm、5cm 3．比较下面图形的面积，说法正确的是（    ）。 A．平行四边形面积最大 B．三角形面积最大 C．梯形面积最小 D．都相等 4．如图，梯形①②③都是上底2cm，下底6cm，高3cm。三个梯形中的阴影部分面积相比，（    ）。 A．①大 B．②大 C．③大 D．相等 5．围一个三角形，有了5cm、7cm小棒各一根，第三根小棒最短是( )cm（整厘米）。 6．如图，把一个长方形框架拉成一个平行四边形，平行四边形的面积是( )，原来长方形的面积是( )。 7．一个平行四边形的面积是24平方厘米，一个三角形的高是平行四边形高的2倍，底是平行四边形底的一半，这个三角形的面积是( )平方厘米。 8．求三角形∠1、∠2的度数。 ∠1＝( )            ∠2＝( ) 9．一个三角形的底是8厘米，高是4厘米，它的面积是( )平方厘米。 10．（如图）下图是一个平行四边形的海报，图中空白部分的面积是1.2平方米，这张海报的总面积是( )平方米。 11．一个梯形的上底是5米，下底是9米，高是6米，面积是( )平方米；一个面积是24平方米的三角形，底是8米，高是( )米。 12．店员将两个完全一样的直角三角形硬纸板，拼接成一个长方形礼盒的底面衬板。已知直角三角形两条直角边分别是30厘米和12厘米。现在要给150个这样的礼盒配上衬板，需要( )块这样的三角形硬纸板，至少需要准备( )平方厘米的硬纸板。 13．农场旁边有一片形状不规则的池塘（如图），丙组负责测量这个池塘的面积。他们将示意图画在方格纸上，面积大约是( )平方厘米。（每个小正方形的面积为1平方厘米） 14．画出底边对应的高。 15．在下面的方格纸上按要求画图形。（每个小方格的边长是1厘米） (1)底是5厘米，高是3厘米的平行四边形。 (2)上底是2厘米，下底是5厘米，高是3厘米的直角梯形。 (3)底是6厘米，高是4厘米的三角形。 16．求下列图形的面积。（单位：dm） 17．如图是中国少年先锋队中队旗，请你计算出中队旗的面积。 18．计算组合图形的面积。（单位：厘米） （1）             （2） 19．计算下面各图形的面积。 20．一块三角形玻璃的底是12.5分米，高是4分米，每平方米玻璃的价钱是20元。买这块玻璃要用多少元钱？ 21．“又是一年三月三，风筝飞满天。”放风筝是民间传统游戏之一。爸爸给明明制作了一个等腰三角形风筝，它的一个底角是64°，则它的顶角是多少？ 22．一块平行四边形菜地，底是24米，高是15米。如果每平方米收青菜6.5千克，这块菜地一共能收青菜多少千克？ 23．一条拦河坝的横断面是梯形，上、下底之和是45米，高是6米，这条拦河坝的长是35米。修这条拦河坝共需要土石多少方？ 24．如图，王叔叔用篱笆围成一个一面靠墙的直角梯形养鸡场，篱笆全长300米，高120米，求这个养鸡场的面积是多少平方米？ 25．在一个长方形花坛里划一块三角形地种菊花（如图所示），如果在三角形地里种上256棵菊花，那么平均每棵菊花占地多少平方米？ 26．在博物馆的一个文物展览布置中，有一块展示区域的地面形状如图所示，现在需要在这块区域铺上特制的保护垫，每平方米保护垫的价格是25.8元，请你帮助工作人员算一算，铺满这块展示区域需要多少平方米的保护垫？ 27．植物是制造氧气的“工厂”。根据测算1平方米的草坪平均每天能够释放15克氧气。阳光小区有一块梯形草坪（如下图），中间有一条底是1米的平行四边形小路。这块草坪每天能释放氧气多少千克？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 三角形、平行四边形和梯形（二） 知识清单 知识点一、认识底和高 1. 基本概念 (1) 高：从平行四边形、三角形或梯形的一条边上的任意一点向对边（或对边所在的直线）引垂线，这点到垂足之间的线段叫做高。 (2) 底：垂足所在的边叫做底。 (3) 对应关系：底和高是相互依存的，计算面积时必须使用相对应的底和高。 2. 各类图形的高 (1) 平行四边形： 1　 有无数条高。 2　 同一组对边之间的高长度相等。 3　 画法：从一边上任意一点向对边作垂线。 (2) 三角形： 1　 有3条高（分别对应3个顶点和对边）。 2　 锐角三角形：3条高都在内部。 3　 直角三角形：两条直角边互为底和高，斜边上的高在内部。 4　 钝角三角形：两条高在外部（需延长底边），一条高在内部。 (3) 梯形： 1　 有无数条高（两底之间的距离）。 2　 所有高的长度都相等。 3　 画法：从上底任意一点向下底作垂线。 知识点二、平行四边形的面积 1. 公式推导（转化法） (1) 操作：沿平行四边形的高剪开，通过平移拼成一个长方形。 (2) 关系： 1　 长方形的长 = 平行四边形的底 ( ) 2　 长方形的宽 = 平行四边形的高 ( ) 3　 长方形的面积 = 平行四边形的面积 (3) 结论：因为 ，所以 。 2. 计算公式 (1) ：面积 (2) ：底 (3) ：高 3. 易错点提示 (1) 计算时务必找准对应的底和高，不能用邻边相乘。 (2) 单位要统一（如：底是米，高是分米，需先换算）。 知识点三、三角形的面积 1. 公式推导（倍拼法/割补法） (1) 操作：用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。 (2) 关系： 1　 平行四边形的底 = 三角形的底 ( ) 2　 平行四边形的高 = 三角形的高 ( ) 3　 平行四边形的面积 = 2 三角形的面积 (3) 结论：因为 ，所以 。 2. 计算公式 (1) ：面积 (2) ：底 (3) ：高 3. 关键性质 (1) 等底等高的三角形面积相等。 (2) 已知面积和底，求高： (3) 已知面积和高，求底： (4) 注意：计算三角形面积时千万不要忘记“除以2”。 知识点四、梯形的面积 1. 公式推导（倍拼法） (1) 操作：用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。 (2) 关系： 1　 平行四边形的底 = 梯形的上底 + 下底 ( ) 2　 平行四边形的高 = 梯形的高 ( ) 3　 平行四边形的面积 = 2 梯形的面积 (3) 结论： 。 2. 计算公式 (1) ：面积 (2) ：上底 (3) ：下底 (4) ：高 3. 变形应用 (1) 已知面积、上底、下底，求高： (2) 已知面积、高、上底，求下底： 知识点五、组合图形的面积 1. 定义 由两个或两个以上的基本图形（长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形）组合而成的图形。 2. 计算方法 (1) 分割法（加法）： 1　 将组合图形分割成几个简单的基本图形。 2　 分别计算各部分面积，最后相加。 3　 适用场景：图形内部线条清晰，易于分割。 (2) 添补法（减法）： 1　 将组合图形补成一个大的规则图形。 2　 用大图形的面积减去空白部分（多余部分）的面积。 3　 适用场景：图形缺角或凹陷，补全后更规则。 3. 解题步骤 (1) 观察：分析图形结构，确定分割或添补方案。 (2) 找条件：标注已知数据，推导隐含数据（如利用总长减部分长）。 (3) 计算：列式计算各部分面积。 (4) 汇总：求和或求差得出最终结果。 知识点六、不规则图形的面积 1. 估算方法 对于无法直接计算的不规则图形（如树叶、脚印），通常采用以下方法估算： (1) 数方格法： 1　 满格的按1格计算。 2　 不满格的按半格（0.5）计算（或大于半格算1，小于半格舍去，具体依题目要求而定，通常标准是“不满一格按半格算”）。 3　 总面积 满格数 + 不满格数 0.5。 (2) 近似图形法：将不规则图形看作近似的规则图形（如将树叶看作椭圆或三角形）进行估算。 2. 注意事项 (1) 估算结果是近似值，符号使用“ ”。 (2) 方格越小，估算结果越精确。 知识点七、三角形三边关系 1. 核心定理 (1) 两边之和大于第三边：三角形任意两边的长度之和大于第三边。 (2) 两边之差小于第三边：三角形任意两边的长度之差小于第三边。 2. 应用技巧 (1) 判断能否围成三角形： 1　 只需检验较短的两条边之和是否大于最长边。 2　 若 ，则能围成；否则不能。 (2) 确定第三边范围：已知两边 ，第三边 的范围： 。 知识点八、三角形的内角和 1. 核心定理 (1) 三角形内角和等于 。 (2) 即： 。 2. 验证方法 (1) 量一量：用量角器测量三个角，求和。 (2) 拼一拼：将三个角剪下来，拼在一起形成一个平角（ ）。 (3) 折一折：通过折叠将三个角汇聚到一点，形成平角。 3. 常见类型三角形的角度特征 (1) 直角三角形：两个锐角之和为 （互余）。 (2) 等腰三角形：两个底角相等。 1　 若顶角为 ，则底角 。 2　 若底角为 ，则顶角 。 (3) 等边三角形：三个角都相等，均为 。 4. 多边形内角和拓展 (1) 四边形内角和： （可分割为2个三角形）。 (2) 边形内角和： 。 题型一、认识底和高 【典型例题】画出下面每个图形指定底边上的高。 【答案】 【分析】高的定义是从一条底边对应的顶点向底边作垂直的线段，高与底边互相垂直，画上直角符号。 三角形：对着底边的顶点，向底边画垂线，顶点到底边的垂线段就是高。 梯形：从上底任意一点向下底画一条垂直的线段，就是底边上的高。 平行四边形：从底边对边任意一点，向这条底边作垂线，垂线段就是高。 【详解】略 【跟踪训练】画出下面图形底边上的高。 【答案】（梯形的高画法不唯一） 【分析】将三角尺的一条直角边与指定底边重合，移动三角尺让另一条直角边经过底边对侧的顶点，沿直角边画出顶点到底边的虚线垂线段，标注直角符号，这条线段就是对应底边上的高。梯形：从上底的一个顶点向下底画垂线段，就是下底上的高。（画法不唯一）。三角形：从底边所对的顶点向底边画垂线段，就是三角形底边上的高。平行四边形：从指定底边对边的顶点向这条底边画垂线段（若底边长度不够可先延长底边，再画垂线），就是平行四边形底边上的高。 【详解】略 题型二、平行四边形的面积 【典型例题】求下面图形的面积。 【答案】400m2 【分析】根据平行四边形面积公式：面积＝底×高；代入数据，即可解答。 【详解】16×25＝400（m2） 【跟踪训练1】求甲、乙的面积。    【答案】甲：24m2；乙：24m2 【分析】根据平行四边形的面积公式：面积＝底×高，甲的底是3m，高是8m；乙的底是3m，高是8m，代入数据，即可解答。 【详解】甲面积：3×8＝24（m2） 乙面积：3×8＝24（m2） 【跟踪训练2】一块平行四边形的土地，底是8.5米，高是6.4米。如果用这块地种辣椒，每棵辣椒占地0.2平方米。这块地一共可以种多少棵辣椒？ 【答案】272棵 【分析】首先根据平行四边形的面积公式：面积＝底×高，计算出土地的总面积，然后根据每棵辣椒占地面积，用总面积除以每棵辣椒的占地面积，即可求得辣椒的棵数。 【详解】8.5×6.4÷0.2 ＝54.4÷0.2 ＝272（棵） 答：这块地一共可以种 272 棵辣椒。 题型三、三角形的面积 【典型例题】求下面三角形的面积。 【答案】96m2 【分析】观察图形，找到对应的底和高，这里底是16m，这条底边上的高是12m，根据三角形面积公式：三角形面积＝底×高÷2，代入底和高的数值，即可求出三角形的面积。 【详解】16×12÷2 ＝192÷2 ＝96（m2） 所以三角形的面积是96m2。 【跟踪训练】张叔叔家有一块三角形油菜地，底为30米，对应的高为20米。如果每平方米可收油菜籽3.5千克，这块地可收获油菜籽共多少千克？ 【答案】1050千克 【分析】根据三角形面积公式“面积＝底×高÷2”，先计算出三角形油菜地的面积，再用计算出的面积乘每平方米可收获油菜籽的质量，即可求出这块地总共可收获油菜籽的质量。 【详解】30×20÷2 ＝600÷2 ＝300（平方米） 300×3.5＝1050（千克） 答：这块地可收获油菜籽共1050千克。 题型四、梯形的面积 【典型例题】计算下面图形的面积。（单位：厘米） 【答案】320平方厘米 【分析】观察图形可知，这是一个上底是14厘米、下底是18厘米、高是20厘米的梯形，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可。 【详解】（14＋18）×20÷2 ＝32×20÷2 ＝640÷2 ＝320（平方厘米） 【跟踪训练1】求下面每个梯形的面积。（单位：cm） 【答案】（1）63 cm2 （2）90 cm2 （3）32 cm2 【分析】本题需根据梯形面积公式S＝（a＋b）h¸2（其中a为上底，b为下底，h为高）来计算每个梯形的面积。解题时需先准确识别每个梯形的上底、下底和高，再代入公式计算。 【详解】（1）S＝（10＋8）×7÷2 ＝18×7÷2 ＝126÷2 ＝63（cm2） 梯形的面积是63cm2。 （2）S＝（8＋12）×9÷2 ＝20×9÷2 ＝180÷2 ＝90（cm2） 梯形的面积是90cm2。 （3）S＝（5＋11）×4÷2 ＝16×4÷2 ＝64÷2 ＝32（cm2） 梯形的面积是32cm2。 【跟踪训练2】一块梯形麦田的上底是27米，下底是53米，高是12米，如果这块麦田共收小麦960千克，平均每平方米收小麦多少千克？ 【答案】2千克 【分析】根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，先求出麦田的面积，再用总收成的小麦重量除以面积，即可求出平均每平方米收小麦的重量。 【详解】（27＋53）×12÷2 ＝80×12÷2 ＝960÷2 ＝480（平方米） 960÷480＝2（千克） 答：平均每平方米收小麦2千克。 题型五、组合图形的面积 【典型例题】计算下面图形的面积。（单位：cm） 【答案】 【分析】解答这道题需明确：平行四边形面积＝底×高；梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。由图可知，梯形的上底为6cm，下底为10cm，高为3cm；平行四边形的底为10cm，高为4cm。据此解答。 【详解】 所以，上面组合图形的面积是。 【跟踪训练1】求下面图形的面积。（单位：cm） 【答案】 【分析】该图形由三角形和平行四边形组成，需分别计算两部分面积后相加得到总面积。根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2；平行四边形面积公式：面积＝底×高。 【详解】（1）三角形面积： 已知三角形底边为10cm，高为4.8cm， 面积＝ （cm²） （2）平行四边形面积： 已知平行四边形底边为10cm，高为4cm， 面积＝（cm²） （3）图形总面积： （cm²） 【跟踪训练2】计算下面图形中涂色部分的面积。（单位：厘米） 【答案】42平方厘米；26平方厘米 【分析】（1）涂色部分的面积＝平行四边形的面积－三角形的面积。根据平行四边形的面积＝底×高，用8×6求出平行四边形的面积（48平方厘米）；三角形的底是8－3－2＝3（厘米），根据三角形的面积＝底×高÷2，用3×4÷2求出三角形的面积（6平方厘米）；用48－6求出涂色部分的面积。 （2）如下图，涂色部分的面积＝正方形ABCD的面积＋正方形CEFG的面积－三角形ABD的面积－三角形BEF的面积。根据正方形的面积＝边长×边长，用8×8求出正方形ABCD的面积（64平方厘米），用6×6求出正方形CEFG的面积（36平方厘米）；根据三角形的面积＝底×高÷2，用8×8÷2求出三角形ABD的面积（32平方厘米），用（8＋6）×6÷2求出三角形BEF的面积（42平方厘米）；最后用64＋36－32－42求出涂色部分的面积。 【详解】8×6－（8－3－2）×4÷2 ＝48－3×4÷2 ＝48－12÷2 ＝48－6 ＝42（平方厘米） 涂色部分面积是42平方厘米。 8×8＋6×6－8×8÷2－（8＋6）×6÷2 ＝64＋36－32－14×6÷2 ＝100－32－84÷2 ＝68－42 ＝26（平方厘米） 涂色部分面积是26平方厘米。 题型六、不规则图形的面积 【典型例题】（如下图）每个小方格是边长为1cm的正方形，这个涂色部分的面积最接近（    ）。 A．13 B．25 C．43 D．56 【答案】B 【分析】通过数方格的方法估算不规则区域面积，满格按1格算，不满一格按半格算，因为不满一格按半格算，所以将不满一格的数量除以2，得到相当于满格的数量。将满格的数量与相当于满格的数量相加，得到涂色部分的总方格数，再乘每个小方格的面积1，得到涂色部分面积。 【详解】满格有14个，面积是14×1＝14（），半格有16个，那么对应的整格：16÷2＝8（个），面积是8×1＝8（），8＋14＝22（），与第二个选项25最接近。 【跟踪训练1】泥塑（北京兔儿爷）是北京的传统手工艺品。如图，淘淘把一张北京兔儿爷卡片的轮廓描在方格纸上，这张卡片的面积最接近（    ）。（图中每个方格代表1） A．10 B．20 C．28 D．44 【答案】C 【分析】在方格纸上，图形面积的大小可以根据图形所占方格数的多少来确定：先将这张卡片所占的整格数都数出来，再将卡片中不是满格的都数出来，其中不满一格的按半格算；据此解答。 【详解】这张卡片所占的整格数有16个，不满一格的有20个。 16＋20÷2 ＝16＋10 ＝26（cm2） 因此这张卡片的面积最接近28cm2。 故答案为：C 【跟踪训练2】美术课上，笑笑在方格纸上画了一个可爱的冰墩墩。请你估计它的面积约是( )平方厘米。（每个小方格的面积表示1平方厘米） 【答案】36 【分析】用数方格的方法计算不规则图形的面积，先数出整格数和半格数（不满1格的按半格计算），再按照“不规则图形的面积＝（整格数＋半格数÷2）×每个小方格的面积”求出不规则图形的面积。 【详解】（26＋20÷2）×1 ＝（26＋10）×1 ＝36×1 ＝36（平方厘米）（答案不唯一） 题型七、三角形三边关系 【典型例题】下面三组小棒，不能围成三角形的是（    ）。 A．3cm、4cm、5cm B．8cm、8cm、8cm C．3cm、3cm、7cm D．2cm、6cm、7cm 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。判断三条线段能否围成三角形，简便方法是计算两条较短线段的长度之和是否大于最长线段的长度。若和大于最长边，则能围成三角形；若和小于或等于最长边，则不能围成三角形。 【详解】A．（cm），，能围成三角形； B．（cm），，能围成三角形； C．（cm），，不能围成三角形； D．（cm），，能围成三角形。 【跟踪训练】一个三角形的两条边分别是3cm和7cm，第三条边也是整厘米数，那么第三条边最短是( )cm，最长是( )cm。 【答案】 5 9 【分析】据三角形三边关系定理，第三条边必须满足两边之和大于第三边且两边之差小于第三边。已知一个边长均为整厘米数的三角形的两条边长分别是3cm和7cm，用3＋7＝10（cm），7－3＝4（cm），以此求出第三条边最长、最短各是多少即可。 【详解】根据分析可知： 3＋7＝10（cm） 10－1＝9（cm） 7－3＝4（cm） 4＋1＝5（cm） 一个边长均为整厘米数的三角形的两条边长分别3cm和7cm，那么第三条边最长是9cm，最短是5cm。 题型八、三角形的内角和 【典型例题】计算下面三角形中未知角的度数。 【答案】122°；120° 【分析】三角形的内角和是180°；等腰三角形的两个底角相等。 【详解】（1） （2）从图中可知，这个三角形是等腰三角形，所以它有两个角都是30°。 【跟踪训练1】如图，齐齐在求三角形的内角和是多少度时，他把三角形的三个角剪下来拼在一起，正好拼成一个( )角，所以三角形的内角和是( )°。 【答案】 平 180 【分析】根据三角形内角和定义可知任意三角形的内角和均等于180°；根据平角定义可知，平角为180°；图中三角形的三个角剪下来拼在一起正好是一个平角，以此答题即可。 【详解】如图，齐齐在求三角形的内角和是多少度时，他把三角形的三个角剪下来拼在一起，正好拼成一个平角，所以三角形的内角和是180°。 【跟踪训练2】如图所示，已知，，那么( )°。 【答案】45 【分析】先根据平角＝180°、∠2的度数求出三角形的一个内角，再根据三角形内角和为180°， 减去刚刚求出的度数、∠1的度数，求得∠3的度数。 【详解】180°－（180°－∠2）－∠1 ＝180°－180°＋∠2－∠1 ＝115°－70° ＝45° 1．认识三角形的高后，第一小组四名同学展示了指定底边上高的画法，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高；据此判断即可。 【详解】A．高垂直于底边，但没有经过顶点，不符合题意； B．高经过顶点但不垂直于底边，不符合题意； C．垂线上端没有连到最上方的顶点，不符合题意； D．从底边正对的顶点向下垂直到底边，有直角符号，符合题意。 2．下面各组线段中，能围成三角形的是（    ）。 A．1cm、2cm、3cm B．2cm、3cm、5cm C．3cm、4cm、5cm D．2cm、2cm、5cm 【答案】C 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，只要两条较短边的长度之和大于最长边的长度，就能围成三角形，据此逐项判断。 【详解】A．因为，，两边之和等于第三边，不能围成三角形，此选项错误； B．因为，，两边之和等于第三边，不能围成三角形，此选项错误； C．因为，，两边之和大于第三边，能围成三角形，此选项正确； D．因为，，两边之和小于第三边，不能围成三角形，此选项错误。 3．比较下面图形的面积，说法正确的是（    ）。 A．平行四边形面积最大 B．三角形面积最大 C．梯形面积最小 D．都相等 【答案】D 【分析】观察可知，平行四边形、三角形、梯形的高相等，据此设它们的高为h，利用平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出三个图形的面积，再进行比较。 【详解】设平行四边形、三角形、梯形的高为h。 平行四边形面积：200×h＝200h 三角形面积：400×h÷2＝200h 梯形面积：（250＋150）×h÷2＝400×h÷2＝200h 因为200h＝200h＝200h，所以平行四边形、三角形面积和梯形面积都相等。 4．如图，梯形①②③都是上底2cm，下底6cm，高3cm。三个梯形中的阴影部分面积相比，（    ）。 A．①大 B．②大 C．③大 D．相等 【答案】D 【分析】阴影的面积＝梯形面积－空白三角形面积，通过比较整体与空白部分面积大小，推导阴影面积关系。 梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2；三角形的面积＝底×高÷2。 【详解】三个梯形的上底都是2cm，下底都是6cm，高都是3cm， （2＋6）×3÷2 ＝8×3÷2 ＝12（cm2） 因此三个梯形的面积相等； 三个空白三角形的底都等于梯形上底2cm，高都等于梯形的高3cm， 2×3÷2＝3（cm2） 因此三个空白三角形的面积也相等。 阴影部分面积：12－3＝9（cm2） 可得三个梯形中的阴影部分面积相等。 5．围一个三角形，有了5cm、7cm小棒各一根，第三根小棒最短是( )cm（整厘米）。 【答案】3 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，计算已知两边的差值。题目要求第三根小棒长度为整厘米数，所以在大于两边差值的整数中取最小值即可。 【详解】已知两根小棒长5cm、7cm，两边差为7−5＝2cm，说明第三根小棒的长度必须大于2cm；题目要求长度是整厘米，因此最短是3cm。 6．如图，把一个长方形框架拉成一个平行四边形，平行四边形的面积是( )，原来长方形的面积是( )。 【答案】 15 24 【分析】把长方形框架拉成平行四边形后，平行四边形的底就是原来长方形的长，平行四边形的斜边就是原来长方形的宽。根据“平行四边形的面积＝底×高”、“长方形的面积＝长×宽”，求出平行四边形的面积和原来长方形的面积。 【详解】平行四边形面积：6×2.5＝15（） 原来长方形的面积：6×4＝24（） 7．一个平行四边形的面积是24平方厘米，一个三角形的高是平行四边形高的2倍，底是平行四边形底的一半，这个三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】12 【分析】假设出平行四边形的底和高，先根据“”表示出平行四边形的面积，再根据“”表示出三角形的面积，最后把平行四边形的面积代入三角形的面积求出这个三角形的面积。 【详解】假设平行四边形的底是a厘米，高是h厘米。 ah＝24（平方厘米） （a÷2）×2h÷2 ＝a÷2×2h÷2 ＝a×2h÷2÷2 ＝2ah÷2÷2 ＝ah÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 8．求三角形∠1、∠2的度数。 ∠1＝( )            ∠2＝( ) 【答案】 75°/75度 70°/70度 【分析】求三角形∠1、∠2的度数，可以根据平角等于180°的定义，得到∠1＋105°＝180°，即可求得∠1的度数；根据三角形的内角和等于180°的定理，得到35°＋∠2＋∠1等于180°，即可求得∠2的度数，据此解答。 【详解】∠1＝180°－105°＝75° ∠2＝180°－35°－75°＝70° 所以∠1＝75°，∠2＝70°。 9．一个三角形的底是8厘米，高是4厘米，它的面积是( )平方厘米。 【答案】16 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，将数据代入计算即可。 【详解】 （平方厘米） 它的面积是16平方厘米。 10．（如图）下图是一个平行四边形的海报，图中空白部分的面积是1.2平方米，这张海报的总面积是( )平方米。 【答案】2.4 【分析】平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，图中阴影部分的三角形与平行四边形同底同高，所以阴影部分三角形的面积＝空白部分的面积＝海报平行四边形的面积÷2。 【详解】1.2×2＝2.4（平方米） 这张海报的总面积是2.4平方米。 11．一个梯形的上底是5米，下底是9米，高是6米，面积是( )平方米；一个面积是24平方米的三角形，底是8米，高是( )米。 【答案】 42 6 【分析】梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；三角形的高＝面积×2÷底。 【详解】梯形面积：（5＋9）×6÷2 ＝14×6÷2 ＝42（平方米） 三角形的高：24×2÷8＝6（米） 12．店员将两个完全一样的直角三角形硬纸板，拼接成一个长方形礼盒的底面衬板。已知直角三角形两条直角边分别是30厘米和12厘米。现在要给150个这样的礼盒配上衬板，需要( )块这样的三角形硬纸板，至少需要准备( )平方厘米的硬纸板。 【答案】 300 54000 【分析】两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形礼盒衬板，用150×2得到需要的三角形硬纸板数量，根据三角形面积＝底×高÷2，计算出每块硬纸板面积，乘硬纸板数量，即为需要准备的硬纸板面积。 【详解】150×2＝300（块） 30×12÷2×300＝54000（平方厘米） 13．农场旁边有一片形状不规则的池塘（如图），丙组负责测量这个池塘的面积。他们将示意图画在方格纸上，面积大约是( )平方厘米。（每个小正方形的面积为1平方厘米） 【答案】73 【分析】①先数出完全占满的整格数量； ②再数出只占了一部分的半格数量，把两个半格合并为1个整格； ③最后用“整格数＋半格数÷2”来估算总面积。 【详解】通过数图得出： 整格：一共有55个。 半格：一共有36个。 半格合并为整格：（个） 总面积：（平方厘米） 14．画出底边对应的高。 【答案】（平行四边形和梯形答案不唯一） 【分析】先找出和底相对应的三角形的顶点，使直角三角板的一条直角边与这个三角形的底平行或重合，沿着底边左右移动直角三角板，使三角形的顶点与直角三角板的另一条直角边重合，沿着这条直角边画线，这条过三角形顶点和底边的线段就是三角形的高。 在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高； 梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，从上底的一个点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高。 【详解】图略 15．在下面的方格纸上按要求画图形。（每个小方格的边长是1厘米） (1)底是5厘米，高是3厘米的平行四边形。 (2)上底是2厘米，下底是5厘米，高是3厘米的直角梯形。 (3)底是6厘米，高是4厘米的三角形。 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)（答案不唯一） 【分析】（1）先画长度为5个方格边长的底，因为平行四边形对边平行且相等，所以在距离底3个方格边长的平行线上画等长的对边，再连接端点即可。 （2）先确定直角腰，长度为3个方格边长，因为是直角梯形，所以该腰与上下底垂直，再分别画长度为2、5个方格边长的上下底，连接剩余端点。 （3）先画长度为6个方格边长的底，在距离底4个方格边长的位置取顶点，连接顶点与底的两个端点即可。 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 16．求下列图形的面积。（单位：dm） 【答案】150；9；286 【分析】平行四边形面积＝底×高；三角形面积＝底×高÷2；组合图形的面积＝正方形面积＋梯形面积，正方形面积＝边长×边长，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此列式计算。 【详解】15×10＝150（） 3×6÷2＝9（） 14×14＋（4＋14）×10÷2 ＝196＋18×10÷2 ＝196＋90 ＝286（） 平行四边形的面积是150，三角形的面积是9，组合图形的面积是286。 17．如图是中国少年先锋队中队旗，请你计算出中队旗的面积。 【答案】4200cm2 【分析】 如图：，中队旗的面积＝长是80cm，宽是60cm的长方形面积－底是60cm，高是20cm的三角形面积；根据长方形面积＝长×宽；三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】80×60－60×20÷2 ＝4800－1200÷2 ＝4800－600 ＝4200（cm2） 中队旗的面积是4200cm2。 18．计算组合图形的面积。（单位：厘米） （1）             （2） 【答案】（1）93平方厘米；（2）509平方厘米； 【分析】（1）可以拆成一个长方形和一个梯形，然后利用长方形的面积公式和梯形的面积公式分别计算出它们的面积。 长方形的长8厘米、宽6厘米，面积为＝8×6； 梯形的上底6厘米、下底12厘米、高为13−8＝5厘米，面积为＝（6＋12）×（13－8）÷2； 两者相加就是组合图形的总面积。 （2）可以拆成一个平行四边形和一个三角形。 然后利用平行四边形的面积公式和三角形的面积公式分别计算出它们的面积。 平行四边形的底22厘米、高17厘米，面积为＝22×17； 三角形的底18厘米、高15厘米，面积为＝18×15÷2； 两者相加就是组合图形的总面积。 【详解】（1）8×6＋（6＋12）×（13－8）÷2 ＝48＋18×5÷2 ＝48＋45 ＝93（平方厘米） 组合图形的面积是93平方厘米。 （2）22×17＋18×15÷2 ＝374＋135 ＝509（平方厘米） 组合图形的面积是509平方厘米。 【点睛】用分割法将组合图形拆成基本图形，再通过面积相加得到总面积。 19．计算下面各图形的面积。 【答案】173cm2；12cm2 【分析】（1）组合图形的面积＝梯形的面积＋三角形的面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 （2）组合图形的面积＝上面三角形的面积＋中间正方形的面积＋下面三角形的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算求解。 【详解】（1）（14＋18）×8÷2＋18×5÷2 ＝32×8÷2＋18×5÷2 ＝128＋45 ＝173（cm2） 组合图形的面积是173cm2。 （2）6×2÷2＋2×2＋4×1÷2 ＝6＋4＋2 ＝12（cm2） 组合图形的面积是12cm2。 20．一块三角形玻璃的底是12.5分米，高是4分米，每平方米玻璃的价钱是20元。买这块玻璃要用多少元钱？ 【答案】 5元 【分析】根据三角形的面积公式，先计算出三角形玻璃的面积，注意此时面积单位是平方分米；因为玻璃的单价是按平方米计算的，所以需要将面积单位换算成平方米；最后根据总价＝单价×面积，计算出买这块玻璃需要的钱数。 【详解】12.5×4÷2 ＝50÷2 ＝25（平方分米） 25平方分米＝0.25平方米 0.25×20＝5（元） 答：买这块玻璃要用5元钱。 21．“又是一年三月三，风筝飞满天。”放风筝是民间传统游戏之一。爸爸给明明制作了一个等腰三角形风筝，它的一个底角是64°，则它的顶角是多少？ 【答案】52° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，一个三角形的内角和是180°，用180°减去两个底角的度数，就能求出顶角的度数。 【详解】180°－64°×2 ＝180°－128° ＝52° 答：它的顶角是52°。 22．一块平行四边形菜地，底是24米，高是15米。如果每平方米收青菜6.5千克，这块菜地一共能收青菜多少千克？ 【答案】 2340千克 【分析】先根据平行四边形的面积公式“平行四边形的面积＝底×高”求出菜地的面积，再用平行四边形的面积乘每平方米收青菜的质量，即可求出这块菜地一共能收青菜的质量。 【详解】24×15×6.5 ＝360×6.5 ＝2340（千克） 答：这块菜地一共能收青菜2340千克。 23．一条拦河坝的横断面是梯形，上、下底之和是45米，高是6米，这条拦河坝的长是35米。修这条拦河坝共需要土石多少方？ 【答案】4725方 【分析】求土石方量即求其体积。根据体积计算公式：体积＝横截面面积×长，先利用梯形面积公式（上底＋下底）×高÷2求出横截面面积，题目已知上、下底之和，可直接代入计算，最后乘拦河坝的长。注意1立方米＝１方。 【详解】 （立方米） 4725立方米＝4725方 答：修这条拦河坝共需要土石4725方。 24．如图，王叔叔用篱笆围成一个一面靠墙的直角梯形养鸡场，篱笆全长300米，高120米，求这个养鸡场的面积是多少平方米？ 【答案】10800平方米 【分析】直角梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。因为养鸡场一面靠墙不需要篱笆，篱笆全长300米是梯形上底、下底与高的总长度，所以用篱笆总长减去高，就能直接得到梯形上底和下底的和，再代入面积公式计算即可。 【详解】（300－120）×120÷2 ＝180×120÷2 ＝21600÷2 ＝10800（平方米） 答：这个养鸡场的面积是10800平方米。 25．在一个长方形花坛里划一块三角形地种菊花（如图所示），如果在三角形地里种上256棵菊花，那么平均每棵菊花占地多少平方米？ 【答案】0.25平方米 【分析】可根据三角形的面积＝底×高÷2计算出种菊花的面积，然后再用种菊花的面积除以256即可得到答案。 【详解】16×8÷2÷256 ＝16×4÷256 ＝64÷256 ＝0.25（平方米） 答：平均每棵菊花占地0.25平方米。 【点睛】此题主要是利用三角形的面积公式和基本的数量关系解决问题。 26．在博物馆的一个文物展览布置中，有一块展示区域的地面形状如图所示，现在需要在这块区域铺上特制的保护垫，每平方米保护垫的价格是25.8元，请你帮助工作人员算一算，铺满这块展示区域需要多少平方米的保护垫？ 【答案】 140平方米 【分析】把这个图形拆分为右侧长方形和左侧梯形，根据长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，算出它们的面积求和即可。 【详解】8×7＝56 （平方米） （7＋14）×8÷2 ＝21×8÷2 ＝168÷2 ＝84（平方米） 56＋84＝140（平方米） 答：铺满这块展示区域需要140平方米的保护垫。 27．植物是制造氧气的“工厂”。根据测算1平方米的草坪平均每天能够释放15克氧气。阳光小区有一块梯形草坪（如下图），中间有一条底是1米的平行四边形小路。这块草坪每天能释放氧气多少千克？ 【答案】2.025千克 【分析】先求出这块草坪的面积，这块草坪的面积＝梯形的面积－平行四边形的面积，再乘1平方米草坪平均每天能够释放氧气的质量，即可求得这块草坪每天释放氧气的总质量，最后根据“1千克＝1000克”把单位转化为“千克”。 【详解】（12＋20）×9÷2－1×9 ＝32×9÷2－1×9 ＝288÷2－9 ＝144－9 ＝135（平方米） 135×15＝2025（克） 2025克＝2.025千克 答：这块草坪每天能释放氧气2.025千克。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $