1.5 电势差及其与电场强度的关系（讲义）物理粤教版必修第三册

本讲义聚焦静电场中电势差及其与电场强度的关系，系统梳理电势差定义式U=AB=φA-φB、静电力做功公式WAB=qUAB，递进至等势面规律及匀强电场U=Ed的推导与应用，构建从概念到定量计算的知识支架。 该资料以“知识点+随学随练+题型分类”为特色，融入高考真题与模拟题，通过科学推理分析非匀强电场电势差比较、E-x图像等问题，培养模型建构能力。课中辅助教师分层教学，课后通过基础通关到迁移创新练习，助力学生查漏补缺、提升综合素养。

第一章 静电场的描述 第5节 电势差及其与电场强度的关系 课标要点 1. 理解电势差定义，掌握公式UAB=φA−φB、WAB=qUAB，能利用电场力做功计算电势差，知道电势差与零电势选取无关。 2. 推导匀强电场关系式U=Ed，明确公式适用条件，理解d是两点沿电场方向的距离，掌握场强单位V/m。 3. 理解电场强度是电势降落最快的方向，能结合等势面、电场线定性分析电势、场强分布规律。 学习重难点 重点：电势差的计算、匀强电场U=Ed公式的理解与基础定量运算。 难点：区分公式中d的物理含义，理清电势、电势差、电场强度三者无直接大小关联的逻辑。 知识点 电势差 1.电势差的概念、物理意义，单位为伏特（V），又称电压 2.电势与电势差的关系：定义式UAB=φA-φB，可据此计算两点电势差大小 3.电势是单点电场属性，电势差是两点电势差值；电势差为标量，正负反映电势高低，数值不受零电势选取影响 随学随练 1．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）如图所示，在匀强电场中，将电荷量分别为、、的三个试探电荷分别置于直角三角形的顶点、、上；电势能均为。已知的中点，匀强电场的方向与三角形所在平面平行，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．根据公式 解得，故A正确； B．根据公式有 在匀强电场中，O作为AC的中点，有，故B错误； C．根据公式有 所以，故C错误； D．同理可知，故D错误。 故选 A。 2．（2025·四川南充·三模）如图所示，对称分布的实线表示真空中两点电荷在某一平面内的部分等差等势线，点是两点电荷连线的中点，E、F在两点电荷连线上，A、B在两点电荷连线的中垂线上，B、C、D三点在同一条直线上。已知，电子能以点为圆心在垂直纸面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．电势差 B．两点电荷为等量的负电荷 C．A、B两点的场强相同 D．E、F两点的电势相等 【答案】D 【详解】AD．根据题意可知，实线为等差等势线，由图可知 E、F两点在同一条等势线上，电势相等，故A错误，D正确； B．电子能以点为圆心在垂直纸面内做匀速圆周运动，说明电子所受电场力指向点，结合图像可知，两点电荷为等量的正电荷，故B错误； C．由对称性可知，A、B两点的场强大小相等，方向相反，故C错误。 故选D。 3．（24-25高一下·广东广州·期末）某电场区域的电场线如图所示，A、B是电场中的两点。一个电荷量的点电荷，在A点所受电场力大小为。若将该点电荷从A点移到B点，电场力做功，若将该点电荷从A点移至无穷远处，电场力做了的功，取无穷远处为零电势位置，求： (1)A点电场强度大小； (2)A 、B两点间的电势差； (3)B点的电势。 【答案】(1) (2)50V (3) 【详解】（1）根据电场强度的定义式可知，A点电场强度大小为 解得 （2）A、B两点间的电势差 解得 （3）A点为电势 根据 解得 知识点 静电力做功与电势差（重点） 1.核心关系式WAB=qUAB，适用于所有静电场，做功大小与电荷移动路径无关 2.利用公式计算带电粒子穿过不同等势面时静电力做功数值 3.根据做功正负，分析粒子电势能、动能的能量增减变化 随学随练 1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）如图甲所示，、是一条电场线上的两个点，质量为、电荷量为的粒子仅在电场力的作用下沿电场线从向运动，初速度为，刚好能到达点。粒子运动的图像如图乙所示。下列判断正确的是（    ） A．点电势低于点电势 B．、两点间的电势差 C．点电场强度大于点电场强度 D．粒子在点的电势能大于在点的电势能 【答案】B 【详解】A．因为粒子从A向B运动速度减小，所以电场力方向从B指向A，又因为粒子带负电，受力方向与场强方向相反，所以该电场的电场线方向从A指向B。根据沿着电场线方向电势降低，可知A点电势高于B点电势，故A错误； B．对粒子从A到B运动过程列动能定理方程有 解得、两点间的电势差为，故B正确； C．从图像可知，粒子做匀减速直线运动，故加速度恒定，对粒子从A到B运动过程列牛顿第二定律方程有 所以粒子受到的电场力恒定，该电场的电场强度也恒定，即A点电场强度等于B点电场强度，故C错误。 D．根据电场力做功和电势能变化间的关系可知，因为粒子从A到B运动过程电场力做负功，电势能增加，所以粒子在A点的电势能小于在B点的电势能，故D错误。 故选B。 2．（2025·云南·高考真题）某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2V、－1V、1V、2V的等势线上，则（   ） A．a、b、c、d中a点电场强度最小 B．a、b、c、d中d点电场强度最大 C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2eV D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4eV 【答案】C 【详解】AB．根据等势面越密集电场强度越大，可知a、b、c、d中a点电场强度最大，故AB错误； C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为Wbc = －eUbc = 2eV 故C正确； D．一个电子从a点移动到d点电场力做功为Wad = －eUad = 4eV 由于电场力做正功电势能减小，则一个电子从a点移动到d点电势能减小了4eV，故D错误。 故选C。 3．（24-25高三上·北京通州·期末）如图所示，在电场强度为60N/C的匀强电场中有、、三个点，为12cm，为5cm，其中与电场方向平行，与电场方向垂直。 (1)求两点间的电势差； (2)若点的电势为零，求点的电势； (3)求电荷量为的试探电荷从点移到点的过程中，电场力所做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）两点间的电势差为 （2）若点的电势为零，则 可得点的电势为 （3）由于与电场方向垂直，则点电势等于点电势，则有 知识点 等势面规律与电场综合定性分析（难点） 1.点电荷电场的等势面是以点电荷为球心的同心球面 2.等势面与电场线相互垂直，电场线由高电势等势面指向低电势等势面；电荷沿等势面移动，静电力不做功 3.结合电场线、等势面、粒子运动轨迹，定性判断电势高低、受力方向、能量变化 随学随练 1．（2024·广东佛山·二模）静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图，一电子在电场中仅受电场力的作用，实线描绘出了其运动轨迹，虚线表示等势线，各等势线关于y轴对称，a、b、c、d分别是轨迹与等势线的交点。已知电子在经过a点时动能为60eV，各等势线的电势高低标注在图中，则（　　） A．a、d两点的电场强度相同 B．电子从a到b运动时，电场力做负功 C．电子从c到d运动时，电势能逐渐减小 D．电子在经过等势线d点时的动能为60eV 【答案】D 【详解】A．各等势面关于y轴对称，疏密相同，所以电场线疏密也相同，场强大小相等；根据等势线与电场线垂直，可知a、d两点的电场强度方向不同，故a、d两点的电场强度不同，故A错误； B．根据等势线与电场线垂直，故电子在y轴左侧受到一个斜向右下方的电场力，速度方向沿轨迹的切线方向，故电子从a到b运动时，电场力做正功，故B错误； C．根据负电荷在电势低处电势能大，可知电子从c到d运动时，电势能逐渐增大，故C错误； D．a、d两点的电势相等，故从a到d电场力不做功，所以电子在经过等势线d点时的动能为60eV，故D正确。 故选D。 2．（2026·浙江·高考真题）手机电容式触摸屏的核心部件可简化为平行板电容器。当手指靠近触摸屏时，电容器两极板和手指间的电场线分布如图所示。下列说法正确的是（   ） A．A点的电场强度大于B点的电场强度 B．将一电子从A点移到B点，电子的电势能增大 C．极板上表面C点的电势等于下表面D点的电势 D．若电子在E点释放，仅受静电力作用将沿电场线ab运动 【答案】C 【详解】A．电场线越密的地方场强越大，电场线越疏的地方场强越小，由图可知，A点的电场强度小于B点的电场强度，故A错误； B．顺着电场线电势逐渐降低，由图可知A点电势低于B点电势，根据可知将一电子从A点移到B点，电子的电势能减小，故B错误； C．同一金属极板上，达到静电平衡后，电势处处相等，则极板上表面C点的电势等于下表面D点的电势，故C正确； D．由于电场线ab是曲线，则若电子在E点释放，仅受静电力作用不可能沿电场线ab运动，故D错误。 故选C。 3．（2024·河北·高考真题）我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是（    ） A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 【答案】C 【详解】在静电场中，等差等势线的疏密程度反映电场强度的大小。图中c点的等差等势线相对最密集，故该点的电场强度最大。 故选C。 知识点 电势差与电场强度的关系（重点） 1. 匀强电场定量规律：公式U=Ed，d为两点沿电场方向的距离，用于计算匀强电场两点电势差 2. 定性辨析：电场强度大小和电势高低无必然关联；可判断非匀强电场中间距相等两点的电势差大小 3. 电场图像分析：掌握E-x图像的物理含义，解决电场类图像题型 随学随练 1．（22-23高二上·湖南怀化·开学考试）如图所示A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是的中点，A、B、C构成一个直角三角形，长为，电场线与三角形所在的平面平行，已知，，，由此可以判断（　　） A．电场强度的方向垂直连线斜向上 B．电场强度的方向由B点指向C点 C．电场强度的大小为 D．电场强度的大小为 【答案】D 【详解】AB．在匀强电场中，，则B、C连线的中点D的电势 故，为一条等势线，根据电场线与等势线垂直且沿着电场线方向电势降低可知，电场强度的方向垂直于AD连线斜向下，选项AB错误； CD．电场强度的大小 选项C错误，D正确。 故选D。 2．（多选）（2025·湖南·高考真题）一匀强电场的方向平行于平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为和的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为。下列说法正确的是（　　） A．中点的电势为零 B．电场的方向与x轴正方向成角 C．电场强度的大小为 D．电场强度的大小为 【答案】AD 【详解】A．根据题意可知O点、A点和B点的电势分别为，， 故中点的电势为 故A正确； B．如图，设N点为AB的三等分点，同理易知N点电势为0，连接MN为一条等势线，过A点做MN的垂线，可知电场线沿该垂线方向，指向右下方，由可知，故电场的方向与x轴正方向成角，故B错误； CD．电场强度的大小为 故C错误，D正确。 故选AD。 3．（多选）（25-26高二上·广东·阶段检测）某电场沿x轴方向上的电场强度E随x变化的关系如图所示，以x轴正方向为电场强度正方向。现将一比荷为2C/kg的带正电粒子从x=1m处由静止释放，粒子在仅受电场作用的情况下开始运动。下列说法正确的是（　　） A．电场中坐标原点与处的电势差为800V B．粒子释放瞬间的加速度大小为 C．粒子先做匀加速直线运动后做匀减速直线运动 D．粒子经过处的速度大小为 【答案】BD 【详解】A．图像中图线与轴所围面积表示电势差，因此电场中坐标原点与处的电势差，故A错误； B．由题中图像可知，处的电场强度大小 粒子释放瞬间的加速度大小，故B正确； C．粒子先受到沿轴正方向、逐渐减小的电场力，后受到沿轴负方向、逐渐增大的电场力，因此粒子先做加速度减小的加速直线运动，后做加速度增大的减速直线运动，故C错误； D．电场中处与处的电势差 对粒子有 解得，故D正确。 故选BD。 题型 非匀强电场电势差大小比较 一、核心知识点 1.匀强电场公式U=Ed仅适用于匀强电场； 2.E越大的区域，相同距离对应的电势差越大； 3.电场线疏密代表场强大小。 二、解题方法 1.观察电场线疏密判断场强大小； 2.沿电场方向取相等距离，场强大处电势差数值更大； 3.结合电势高低判断电势差正负。 三、思维素养 定性逻辑推理，区分匀强、非匀强电场规律差异，规避公式乱用误区。 活学活用 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）“场离子显微镜”的金属钨针尖处于球形真空玻璃泡的球心，玻璃泡内壁有一层均匀导电膜：在钨针和导电膜间加上高电压后，玻璃泡上半部分的电场线如图所示。、、、、为同一平面上的个点，是一段以为圆心半径为的圆弧，为的中点。、、、、五点场强分别为、、、、，电势分别为、、、、，则下面说法正确的是（　　）    A．、、三点场强相同 B． C． D． 【答案】C 【详解】A．电场线的疏密表示场强的大小，则、、三点场强大小相同，方向不同，故A错误； B．玻璃泡上半部分的电场可视为位于点处点电荷形成的电场，则根据点电荷形成的电场的电势分布结合沿着电场线方向电势逐渐降低，可知 故B错误； C．越靠近场强越强，则部分的场强均大于部分的场强，则根据，结合微元法可定性判别出 则 故C正确； D．由于电场为非匀强电场，所以 故D错误。 2．（多选）（2025·广东·模拟预测）静电除尘是利用静电场以净化气体或回收有用尘粒。某静电除尘装置由金属圆筒Q和带负电的线状电极P组成，其横截面上的电场线分布如图所示，A、B、M、N为同一等势线（图中虚线）上的四点，A、C两点在圆筒的一条直径上，BC=BP，金属圆筒Q接地（电势为0），下列判断正确的是（　　） A．AP=BP B．M、N两点的电场强度不相同 C．带负电的灰尘从M运动到C，动能减小 D．金属圆筒Q带正电，正电荷分布在圆筒内表面 【答案】BD 【详解】A．依题意，A、B两点与电极P的电势差相等，因为A点到电极P的平均电场强度大于B点到电极P的平均电场强度，根据U=Ed可知，A点到电极P的距离较小，故A错误； B．由电场线分布图，根据对称性可知M、N两点的电场强度大小相等，方向不同，故B正确； C．依题意，B点的电势等于M点的电势，沿电场线方向电势降低，B点的电势小于C点的电势，则M点的电势小于C点的电势，根据Ep=qφ可知，带负电的灰尘从M运动到C，电势能减小，动能增加，故C错误； D．金属圆筒Q接地后，外表面的电荷全部导入大地，正电荷分布在圆筒内表面，故D正确。 故选BD。 题型 E-x图像综合计算与电势分析 一、核心知识点 1.E-x图像中图线与x轴围成面积等于两点间电势差； 2.电势差UAB=φA-φB，电场沿x正方向时沿x轴电势降低； 3.场强正负代表电场方向。 二、解题方法 1.分段计算图像面积，得到两点电势差； 2.选定零电势点，分段叠加求解某点电势； 3.判断电场方向，分析电势高低变化。 三、思维素养：图像信息转化、分段叠加运算，数形结合物理思维。 活学活用 1．（25-26高二下·广东河源·期末）复印机的核心原理是静电吸附，电晕丝与感光鼓间的强电场的电场线分布如图所示。一带负电墨粉颗粒（忽略重力）沿直线从a点运动到b点，以a为原点，ab连线向下为正方向建立x轴。设电场强度大小为E、电势大小为、速度大小为v、电势能为，则下列图像正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．由电场线的疏密表示电场强度的大小可知，从到（增大），电场线逐渐变疏，电场强度逐渐减小，由于是非匀强电场，随的变化不是线性的，图线切线的斜率绝对值应逐渐减小，故A错误； B．沿电场线方向电势降低，因电场线方向向上，轴向下，故沿轴正方向电势逐渐升高，图像切线的斜率绝对值表示电场强度大小，即，因为逐渐减小，所以图像的斜率绝对值应逐渐减小，故B错误； C．带负电的墨粉颗粒受向下的电场力作用做加速运动，根据牛顿第二定律有 由运动学公式 可知图像切线的斜率 因为逐渐减小，所以斜率逐渐减小，图线应为斜率逐渐减小的上升曲线，故C正确； D．从到电场力做正功，电势能逐渐减小，图像切线的斜率绝对值表示电场力大小，即 因为逐渐减小，所以斜率绝对值应逐渐减小，故D错误。 故选C。 2．（25-26高二上·上海·期中）某空间区域的水平面内存在电场。以O点为坐标原点，取向右为x轴正方向，一个带电粒子仅在电场力作用下从O点沿x轴正方向运动。粒子的动能与位移x的关系如图所示，不计空气阻力，则在此过程中（　　） A．电势先增大后减小 B．电场强度大小先减小后增大 C．粒子电势能先减小后增大 D．电场强度先向左后向右 【答案】B 【详解】AD．带电粒子电性未知，则电场强度的方向不确定，电势变化情况不确定，故AD错误； B．由图可知，图线斜率等于电场力，斜率先减小后增大，则电场强度先减小后增大，故B正确； C．动能先减小后增大，根据能量守恒，电势能先增大后减小，故C错误。 故选B。 基础通关 1．（2025·河南·高考真题）如图，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点，其电势分别为；a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向，则正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 匀强电场中任意两点间的中点电势等于这两点的平均值，可知ac中点d的电势与b点相同，bd的连线为该匀强电场的等势面。电场线垂直于等势面且由高电势指向低电势，故电场线沿ac方向且由a指向c，C选项正确。 故选C。 2．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）某同学绘制了四幅静电场的电场线分布图，其中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AC．电场线不相交、不闭合，故AC错误； B．该电场可能为正点电荷形成的电场，故B正确； D．假设存在这种电场线，做两条等势线，如图所示 则有， 即 由电场线的疏密程度可知，处电场强度大于处电场强度，由公式可得，，相互矛盾，假设不成立，即这种电场线不存在，故D错误。 故选B。 3．（2024·江西·高考真题）蜡烛火焰是一种含有电子、正离子、中性粒子的气体状物质, 将其置于电压恒定的两平行金属板间, 板间电场视为匀强电场, 如图所示. 若两金属板间距减小, 关于火焰中电子所受的电场力, 下列说法正确的是 （  ） A．电场力增大，方向向左 B．电场力增大，方向向右 C．电场力减小，方向向左 D．电场力减小，方向向右 【答案】B 【详解】由题知，两极板电压保持不变，则根据电势差和电场强度的关系有 当电极板距离减小时，电场强度E增大，根据F = Ee可知电场力也增大，再结合题图可知极板间的电场线水平向左，则可知电子受到的电场力方向向右。 故选B。 4．（2022·福建·高考真题）平时我们所处的地球表面，实际上存在场强大小为的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示。空间中存在a、b、c三点，其中a点位于金属杆正上方，b、c等高。则下列说法正确的是（　　） A．b、c两点的电势差 B．a点场强大小大于 C．a点场强方向水平向右 D．a点的电势低于c点 【答案】B 【详解】A．由图可知，b、c两点的电势差为 故A错误； B．由图可知，a点与相邻两等势面的距离小于，电势差等于，根据 可知a点场强大小大于，故B正确； C．根据场强方向垂直于等势面，可知a点的场强方向沿竖直方向，不是水平方向，故C错误； D．由图可知，a点与c点在同一等势面上，电势均为，故D错误。 故选B。 5．（多选）（2024·湖北·高考真题）关于电荷和静电场，下列说法正确的是（　　） A．一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变 B．电场线与等势面垂直，且由电势低的等势面指向电势高的等势面 C．点电荷仅在电场力作用下从静止释放，该点电荷的电势能将减小 D．点电荷仅在电场力作用下从静止释放，将从高电势的地方向低电势的地方运动 【答案】AC 【详解】A．根据电荷守恒定律可知一个与外界没有电荷交换的系统，这个系统的电荷总量是不变的，故A正确； B．根据电场线和等势面的关系可知电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面，故B错误； CD．点电荷仅在电场力作用下从静止释放，电场力做正功，电势能减小，根据 可知正电荷将从电势高的地方向电势低的地方运动，负电荷将从电势低的地方向电势高的地方运动，故C正确，D错误。 故选AC。 6．（多选）（2021·海南·高考真题）如图，在匀强电场中有一虚线圆，和是圆的两条直径，其中与电场方向的夹角为，，与电场方向平行，a、b两点的电势差。则（　　） A．电场强度的大小 B．b点的电势比d点的低 C．将电子从c点移到d点，电场力做正功 D．电子在a点的电势能大于在c点的电势能 【答案】AD 【详解】A．根据 可得电场强度的大小 选项A正确； B．沿电场线电势逐渐降低，可知b点的电势比d点的电势高，选项B错误； C．将电子从c点移到d点，因电子所受的电场力与位移反向，可知电场力做负功，选项C错误； D．因a点的电势低于c点电势，则电子在a点的电势能大于在c点的电势能，选项D正确。 故选AD。 7．（多选）（2022·海南·高考真题）某带电体周围的电场线和等势面如图所示，设A点的电场强度为，电势为，B点的电场强度为，电势为，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．根据电场线的疏密程度表示电场的强弱，电场线越密，电场强度越大，则B点的电场强度较大，即 故A错误，B正确； CD．根据电场线与等势面垂直，且电势较高的等势面指向电势较低的等势面，所以B点的电势较大，即 故C错误，D正确。 故选BD。 8．（多选）（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，边长为的正方形ABCD处在匀强电场中，且正方形平面与电场线平行。已知，，，O是对角线AC、BD的交点，下列说法正确的是（　　） A．D点的电势 B． C．电场强度的方向由C指向A D．电场强度大小为 【答案】BC 【详解】A．由于A点电势为2V，C点电势为6V，O是AC中点，由匀强电场特点知，O点电势为4V，故对角线BD为等势线 A错误； B．由题知 代入得 B正确； C．电场强度由高电势指向低电势，故电场强度的方向由C指向A；C正确； D．电场强度大小为 代入得 D错误； 故选BC。 9．（24-25高二上·陕西汉中·期末）某点电荷形成的电场中某区域的电场线如图所示，A、B是电场中的两点。一个电荷量的点电荷在A点所受电场力，将该点电荷从A点移到B点，电场力做功，求： (1)求A点电场强度； (2)A、B两点间的电势差； (3)若取A点为零电势位置，求B点的电势及该点电荷在B点的电势能。 【答案】(1)大小为，方向由A指向B (2) (3)， 【详解】（1）根据电场强度的定义式可知，A点电场强度大小为 由于该点电荷从A点移到B点，电场力做正功，表明该点电荷在A点所受电场力方向由A指向B，又因为该点电荷带正电，则A点电场强度方向由A指向B。 （2）根据电场力做功与电势差的关系可知，A、B两点间的电势差为 （3）因为， 则 则该点电荷在B点电势能为 10．（24-25高一下·辽宁锦州·阶段检测）如图所示的匀强电场中，有a、b、c三点，，，其中ab沿电场线方向，bc和电场线方向成60°角，电荷量为的正电荷从a移到b静电力做功为，求： (1)匀强电场强度E (2)b、c两点间的电势差 (3)若b点的电势为300V，则该正电荷在c点电势能 【答案】(1) (2)250V (3)2×10-6J 【详解】（1）设两点间距离为，根据做功公式 解得 （2）b、c两点间的电势差Ubc=Edbccos60°          代入数据解得 （3）由电势差与电势的关系 解得       由电势能公式 解得 素养提升 1．（2025·浙江·高考真题）三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d，e与e，f两点间的距离相等，则（　　） A．a点电势高于b点电势 B．a、c两点的电场强度相同 C．d、f间电势差为d、e间电势差的两倍 D．从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等 【答案】D 【详解】A．电场线从高等势面指向低等势面，即电场线从图中的正电荷指向负电荷，因此b点所在的等势面高于a点所在的等势面，A错误； B．a、c两点电场强度方向不同，电场强度不同，B错误； C．从d→e→f电场强度逐渐减小，间距相等，结合可知，则，C错误； D．a点与f点在同一等势面上，a、b两点和f、b两点的电势差相等，根据电场力做功可知从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等，D正确。 故选D。 2．（2024·北京·高考真题）如图所示，两个等量异种点电荷分别位于M、N两点，P、Q是MN连线上的两点，且。下列说法正确的是（　　） A．P点电场强度比Q点电场强度大 B．P点电势与Q点电势相等 C．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P点电场强度大小也变为原来的2倍 D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P、Q两点间电势差不变 【答案】C 【详解】A．由等量异种点电荷的电场线分布特点知，P、Q两点电场强度大小相等，A错误； B．由沿电场线方向电势越来越低知，P点电势高于Q点电势，B错误； CD．由电场叠加得P点电场强度 若仅两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，则P点电场强度大小也变为原来的2倍，同理Q点电场强度大小也变为原来的2倍，而PQ间距不变，根据定性分析可知P、Q两点间电势差变大，C正确，D错误。 故选C。 3．（2025·江苏南京·模拟预测）静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图，一电子在电场中仅受电场力的作用，实线描绘出了其运动轨迹，虚线表示等势线，各等势线关于y轴对称，a、b、c、d分别是轨迹与等势线的交点。已知电子在经过a点时动能为60eV，各等势线的电势高低标注在图中，则（　　） A．a、d两点的电场强度相同 B．电子从a到b运动时，电场力做负功 C．电子从c到d运动时，电势能逐渐减小 D．电子在经过等势线c点时的动能为80eV 【答案】D 【详解】A．电场线与等势面垂直且指向电势降低的方向，根据对称性可知，a、d两点的电场强度大小相等，但方向不同，故a、d两点的电场强度不同，故A错误； BC．电子带负电，且从a到b电势升高，根据可知，电子从a到b运动时电势能减小，电场力做正功，同理，从c到d电势降低，故电子从c到d运动时，电势能逐渐增大，故BC错误； D．电子在经过a点时动能为60eV，电势能为，动能和电势能总和为，因只有电场力对电子做功，故电子动能和电势能的总和保持不变，电子在经过等势线c点时的电势能为，故动能为，故D正确。 故选D。 4．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）某种微型“纳米光子电子加速器”利用激光照射周期性排列的纳米柱体时产生的交变电场来加速电子束。电子束通过虚线框区域的极短时间内，电场可视为恒定的，电场线分布如图所示，这段时间内（     ） A．点的电场强度比点的大 B．电子沿直线从点运动到点时，动能减小 C．电子沿直线从点运动到点时，速度增大 D．电子束的横截面大小和形状均不变 【答案】C 【详解】A．电场线的疏密表示电场强度大小，电场线越密场强越大。图中点电场线比点更密，因此点场强大于点，A错误。 B．电子带负电，所受电场力方向与电场方向相反。电子从运动到，位移方向向右，电场力与位移方向相同，电场力做正功，根据动能定理，电子动能增大，B错误。 C．电子从运动到，位移向右，电场力仍向右，电场力依旧做正功，电子动能增大，速度增大，C正确。 D．中轴线外的电子，所受电场力存在垂直电场中轴线的分力，会发生偏转，因此电子束的横截面积会改变，形状发生改变，D错误。 故选C。 5．（多选）（2021·全国甲卷·高考真题）某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，则（　　） A．一正电荷从b点运动到e点，电场力做正功 B．一电子从a点运动到d点，电场力做功为4eV C．b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右 D．a、b、c、d四个点中，b点的电场强度大小最大 【答案】BD 【详解】A．由图象可知 φb = φe 则正电荷从b点运动到e点，电场力不做功，A错误； B．由图象可知 φa = 3V，φd = 7V 根据电场力做功与电势能的变化关系有 Wad = Epa - Epd = (φa - φd)( - e) = 4eV B正确； C．沿电场线方向电势逐渐降低，则b点处的场强方向向左，C错误； D．由于电场线与等势面处处垂直，则可画出电场线分布如下图所示 由上图可看出，b点电场线最密集，则b点处的场强最大，D正确。 故选BD。 迁移创新 1．（2026·湖北·高考真题）一带正电粒子仅受静电力作用，从静止开始沿直线运动，0 ~ 4t0时间内，其速度v随时间t的变化图像是如图所示的三条线段。t0时刻、1.5t0时刻、3.5t0时刻粒子所在位置分别为a点、b点、c点。下列说法正确的是（   ） A．b点的电势比a点的高 B．b点的电场强度比a点的大 C．粒子在a、c两点的电势能相等 D．粒子在a、c两点受到的电场力大小相等 【答案】C 【详解】A．在0 ~ 2t0内，粒子做匀加速运动，加速度，电场方向与运动方向相同。沿电场线方向电势降低，则点电势比点低，故A错误。 B．在内加速度恒定，点与点电场强度大小相等，故B错误。 C．在时刻，速度 在时刻，处于的匀减速阶段，加速度 速度 则a、c两点动能相等，由能量守恒知电势能相等，故C正确。 D．设粒子质量为m，则点电场力大小 点电场力大小，两者不相等，故D错误。 故选C。 2．（多选）（25-26高三上·山东青岛·开学考试）如图甲，关于轴对称的两点分别固定两个点电荷和Q2，，，且和之间的距离为。两电荷沿轴上的电场强度的分布如图乙所示，位于的为最高点，点的坐标是。下列说法正确的是（　　） A． B．点的电场强度为零 C．电子从到点，电场力先做负功，再做正功 D．将的粒子从移动到，电场力所做的功小于 【答案】AD 【详解】A．可以将两个电荷看成是一对等量异种电荷和一个正电荷，轴为等量异种电荷中的等势线，和两点电势相等，比更靠近正电荷，故，A选项正确； B．根据点电荷公式，在点产生的电场强度为（方向沿轴的正方向） 在点产生的电场强度为（方向沿轴的正方向） 故点的电场强度为，B选项错误； C．由图乙可知，图像与坐标轴所围的面积表示电势差大小，则之间电势差 则电场力一直做负功，C选项错误； D．点电场强度 两点电场强度 和两点的距离 则之间电势差 则之间电场力所做功，D选项正确。 故选AD。 3．（多选）（2025·山东烟台·三模）如图所示，空间中存在一匀强电场，电场强度的大小和方向均未知，为处于电场空间内的一个边长为的正立方体，已知，则下列说法正确的是（　　） A．正立方体中心O（图中未画出）点的电势为 B．面中心（图中未画出）点的电势为 C．该匀强电场电场强度的大小为 D．将一个电荷量大小为e的电子从点沿棱移动到C点，电场力做功为 【答案】AC 【详解】AB．在匀强电场内，中点电势等于两端点电势平均值，易得 同理可得，故A正确，B错误； C．设的中点为E，可知 匀强电场中，沿同一方向走同样的距离，电势差相同，与平行且相等，则有 得 因此面ACE是该匀强电场的一个等势面，电势为6V，利用数学知识可知D点到ACE的距离为，由此可知电场强度的大小为，故C正确； D．电场力做功为，故D错误。 故选AC。 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 静电场的描述 第5节 电势差及其与电场强度的关系 课标要点 1. 理解电势差定义，掌握公式UAB=φA−φB、WAB=qUAB，能利用电场力做功计算电势差，知道电势差与零电势选取无关。 2. 推导匀强电场关系式U=Ed，明确公式适用条件，理解d是两点沿电场方向的距离，掌握场强单位V/m。 3. 理解电场强度是电势降落最快的方向，能结合等势面、电场线定性分析电势、场强分布规律。 学习重难点 重点：电势差的计算、匀强电场U=Ed公式的理解与基础定量运算。 难点：区分公式中d的物理含义，理清电势、电势差、电场强度三者无直接大小关联的逻辑。 知识点 电势差 1.电势差的概念、物理意义，单位为伏特（V），又称电压 2.电势与电势差的关系：定义式UAB=φA-φB，可据此计算两点电势差大小 3.电势是单点电场属性，电势差是两点电势差值；电势差为标量，正负反映电势高低，数值不受零电势选取影响 随学随练 1．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）如图所示，在匀强电场中，将电荷量分别为、、的三个试探电荷分别置于直角三角形的顶点、、上；电势能均为。已知的中点，匀强电场的方向与三角形所在平面平行，则（　　） A． B． C． D． 2．（2025·四川南充·三模）如图所示，对称分布的实线表示真空中两点电荷在某一平面内的部分等差等势线，点是两点电荷连线的中点，E、F在两点电荷连线上，A、B在两点电荷连线的中垂线上，B、C、D三点在同一条直线上。已知，电子能以点为圆心在垂直纸面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．电势差 B．两点电荷为等量的负电荷 C．A、B两点的场强相同 D．E、F两点的电势相等 3．（24-25高一下·广东广州·期末）某电场区域的电场线如图所示，A、B是电场中的两点。一个电荷量的点电荷，在A点所受电场力大小为。若将该点电荷从A点移到B点，电场力做功，若将该点电荷从A点移至无穷远处，电场力做了的功，取无穷远处为零电势位置，求： (1)A点电场强度大小； (2)A 、B两点间的电势差； (3)B点的电势。 知识点 静电力做功与电势差（重点） 1.核心关系式WAB=qUAB，适用于所有静电场，做功大小与电荷移动路径无关 2.利用公式计算带电粒子穿过不同等势面时静电力做功数值 3.根据做功正负，分析粒子电势能、动能的能量增减变化 随学随练 1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）如图甲所示，、是一条电场线上的两个点，质量为、电荷量为的粒子仅在电场力的作用下沿电场线从向运动，初速度为，刚好能到达点。粒子运动的图像如图乙所示。下列判断正确的是（    ） A．点电势低于点电势 B．、两点间的电势差 C．点电场强度大于点电场强度 D．粒子在点的电势能大于在点的电势能 2．（2025·云南·高考真题）某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2V、－1V、1V、2V的等势线上，则（   ） A．a、b、c、d中a点电场强度最小 B．a、b、c、d中d点电场强度最大 C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2eV D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4eV 3．（24-25高三上·北京通州·期末）如图所示，在电场强度为60N/C的匀强电场中有、、三个点，为12cm，为5cm，其中与电场方向平行，与电场方向垂直。 (1)求两点间的电势差； (2)若点的电势为零，求点的电势； (3)求电荷量为的试探电荷从点移到点的过程中，电场力所做的功。 知识点 等势面规律与电场综合定性分析（难点） 1.点电荷电场的等势面是以点电荷为球心的同心球面 2.等势面与电场线相互垂直，电场线由高电势等势面指向低电势等势面；电荷沿等势面移动，静电力不做功 3.结合电场线、等势面、粒子运动轨迹，定性判断电势高低、受力方向、能量变化 随学随练 1．（2024·广东佛山·二模）静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图，一电子在电场中仅受电场力的作用，实线描绘出了其运动轨迹，虚线表示等势线，各等势线关于y轴对称，a、b、c、d分别是轨迹与等势线的交点。已知电子在经过a点时动能为60eV，各等势线的电势高低标注在图中，则（　　） A．a、d两点的电场强度相同 B．电子从a到b运动时，电场力做负功 C．电子从c到d运动时，电势能逐渐减小 D．电子在经过等势线d点时的动能为60eV 2．（2026·浙江·高考真题）手机电容式触摸屏的核心部件可简化为平行板电容器。当手指靠近触摸屏时，电容器两极板和手指间的电场线分布如图所示。下列说法正确的是（   ） A．A点的电场强度大于B点的电场强度 B．将一电子从A点移到B点，电子的电势能增大 C．极板上表面C点的电势等于下表面D点的电势 D．若电子在E点释放，仅受静电力作用将沿电场线ab运动 3．（2024·河北·高考真题）我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是（    ） A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 知识点 电势差与电场强度的关系（重点） 1. 匀强电场定量规律：公式U=Ed，d为两点沿电场方向的距离，用于计算匀强电场两点电势差 2. 定性辨析：电场强度大小和电势高低无必然关联；可判断非匀强电场中间距相等两点的电势差大小 3. 电场图像分析：掌握E-x图像的物理含义，解决电场类图像题型 随学随练 1．（22-23高二上·湖南怀化·开学考试）如图所示A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是的中点，A、B、C构成一个直角三角形，长为，电场线与三角形所在的平面平行，已知，，，由此可以判断（　　） A．电场强度的方向垂直连线斜向上 B．电场强度的方向由B点指向C点 C．电场强度的大小为 D．电场强度的大小为 2．（多选）（2025·湖南·高考真题）一匀强电场的方向平行于平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为和的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为。下列说法正确的是（　　） A．中点的电势为零 B．电场的方向与x轴正方向成角 C．电场强度的大小为 D．电场强度的大小为 3．（多选）（25-26高二上·广东·阶段检测）某电场沿x轴方向上的电场强度E随x变化的关系如图所示，以x轴正方向为电场强度正方向。现将一比荷为2C/kg的带正电粒子从x=1m处由静止释放，粒子在仅受电场作用的情况下开始运动。下列说法正确的是（　　） A．电场中坐标原点与处的电势差为800V B．粒子释放瞬间的加速度大小为 C．粒子先做匀加速直线运动后做匀减速直线运动 D．粒子经过处的速度大小为 题型 非匀强电场电势差大小比较 一、核心知识点 1.匀强电场公式U=Ed仅适用于匀强电场； 2.E越大的区域，相同距离对应的电势差越大； 3.电场线疏密代表场强大小。 二、解题方法 1.观察电场线疏密判断场强大小； 2.沿电场方向取相等距离，场强大处电势差数值更大； 3.结合电势高低判断电势差正负。 三、思维素养 定性逻辑推理，区分匀强、非匀强电场规律差异，规避公式乱用误区。 活学活用 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）“场离子显微镜”的金属钨针尖处于球形真空玻璃泡的球心，玻璃泡内壁有一层均匀导电膜：在钨针和导电膜间加上高电压后，玻璃泡上半部分的电场线如图所示。、、、、为同一平面上的个点，是一段以为圆心半径为的圆弧，为的中点。、、、、五点场强分别为、、、、，电势分别为、、、、，则下面说法正确的是（　　）    A．、、三点场强相同 B． C． D． 2．（多选）（2025·广东·模拟预测）静电除尘是利用静电场以净化气体或回收有用尘粒。某静电除尘装置由金属圆筒Q和带负电的线状电极P组成，其横截面上的电场线分布如图所示，A、B、M、N为同一等势线（图中虚线）上的四点，A、C两点在圆筒的一条直径上，BC=BP，金属圆筒Q接地（电势为0），下列判断正确的是（　　） A．AP=BP B．M、N两点的电场强度不相同 C．带负电的灰尘从M运动到C，动能减小 D．金属圆筒Q带正电，正电荷分布在圆筒内表面 题型 E-x图像综合计算与电势分析 一、核心知识点 1.E-x图像中图线与x轴围成面积等于两点间电势差； 2.电势差UAB=φA-φB，电场沿x正方向时沿x轴电势降低； 3.场强正负代表电场方向。 二、解题方法 1.分段计算图像面积，得到两点电势差； 2.选定零电势点，分段叠加求解某点电势； 3.判断电场方向，分析电势高低变化。 三、思维素养：图像信息转化、分段叠加运算，数形结合物理思维。 活学活用 1．（25-26高二下·广东河源·期末）复印机的核心原理是静电吸附，电晕丝与感光鼓间的强电场的电场线分布如图所示。一带负电墨粉颗粒（忽略重力）沿直线从a点运动到b点，以a为原点，ab连线向下为正方向建立x轴。设电场强度大小为E、电势大小为、速度大小为v、电势能为，则下列图像正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海·期中）某空间区域的水平面内存在电场。以O点为坐标原点，取向右为x轴正方向，一个带电粒子仅在电场力作用下从O点沿x轴正方向运动。粒子的动能与位移x的关系如图所示，不计空气阻力，则在此过程中（　　） A．电势先增大后减小 B．电场强度大小先减小后增大 C．粒子电势能先减小后增大 D．电场强度先向左后向右 基础通关 1．（2025·河南·高考真题）如图，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点，其电势分别为；a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向，则正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）某同学绘制了四幅静电场的电场线分布图，其中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江西·高考真题）蜡烛火焰是一种含有电子、正离子、中性粒子的气体状物质, 将其置于电压恒定的两平行金属板间, 板间电场视为匀强电场, 如图所示. 若两金属板间距减小, 关于火焰中电子所受的电场力, 下列说法正确的是 （  ） A．电场力增大，方向向左 B．电场力增大，方向向右 C．电场力减小，方向向左 D．电场力减小，方向向右 4．（2022·福建·高考真题）平时我们所处的地球表面，实际上存在场强大小为的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示。空间中存在a、b、c三点，其中a点位于金属杆正上方，b、c等高。则下列说法正确的是（　　） A．b、c两点的电势差 B．a点场强大小大于 C．a点场强方向水平向右 D．a点的电势低于c点 5．（多选）（2024·湖北·高考真题）关于电荷和静电场，下列说法正确的是（　　） A．一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变 B．电场线与等势面垂直，且由电势低的等势面指向电势高的等势面 C．点电荷仅在电场力作用下从静止释放，该点电荷的电势能将减小 D．点电荷仅在电场力作用下从静止释放，将从高电势的地方向低电势的地方运动 6．（多选）（2021·海南·高考真题）如图，在匀强电场中有一虚线圆，和是圆的两条直径，其中与电场方向的夹角为，，与电场方向平行，a、b两点的电势差。则（　　） A．电场强度的大小 B．b点的电势比d点的低 C．将电子从c点移到d点，电场力做正功 D．电子在a点的电势能大于在c点的电势能 7．（多选）（2022·海南·高考真题）某带电体周围的电场线和等势面如图所示，设A点的电场强度为，电势为，B点的电场强度为，电势为，则有（　　） A． B． C． D． 8．（多选）（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，边长为的正方形ABCD处在匀强电场中，且正方形平面与电场线平行。已知，，，O是对角线AC、BD的交点，下列说法正确的是（　　） A．D点的电势 B． C．电场强度的方向由C指向A D．电场强度大小为 9．（24-25高二上·陕西汉中·期末）某点电荷形成的电场中某区域的电场线如图所示，A、B是电场中的两点。一个电荷量的点电荷在A点所受电场力，将该点电荷从A点移到B点，电场力做功，求： (1)求A点电场强度； (2)A、B两点间的电势差； (3)若取A点为零电势位置，求B点的电势及该点电荷在B点的电势能。 10．（24-25高一下·辽宁锦州·阶段检测）如图所示的匀强电场中，有a、b、c三点，，，其中ab沿电场线方向，bc和电场线方向成60°角，电荷量为的正电荷从a移到b静电力做功为，求： (1)匀强电场强度E (2)b、c两点间的电势差 (3)若b点的电势为300V，则该正电荷在c点电势能 素养提升 1．（2025·浙江·高考真题）三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d，e与e，f两点间的距离相等，则（　　） A．a点电势高于b点电势 B．a、c两点的电场强度相同 C．d、f间电势差为d、e间电势差的两倍 D．从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等 2．（2024·北京·高考真题）如图所示，两个等量异种点电荷分别位于M、N两点，P、Q是MN连线上的两点，且。下列说法正确的是（　　） A．P点电场强度比Q点电场强度大 B．P点电势与Q点电势相等 C．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P点电场强度大小也变为原来的2倍 D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P、Q两点间电势差不变 3．（2025·江苏南京·模拟预测）静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图，一电子在电场中仅受电场力的作用，实线描绘出了其运动轨迹，虚线表示等势线，各等势线关于y轴对称，a、b、c、d分别是轨迹与等势线的交点。已知电子在经过a点时动能为60eV，各等势线的电势高低标注在图中，则（　　） A．a、d两点的电场强度相同 B．电子从a到b运动时，电场力做负功 C．电子从c到d运动时，电势能逐渐减小 D．电子在经过等势线c点时的动能为80eV 4．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）某种微型“纳米光子电子加速器”利用激光照射周期性排列的纳米柱体时产生的交变电场来加速电子束。电子束通过虚线框区域的极短时间内，电场可视为恒定的，电场线分布如图所示，这段时间内（     ） A．点的电场强度比点的大 B．电子沿直线从点运动到点时，动能减小 C．电子沿直线从点运动到点时，速度增大 D．电子束的横截面大小和形状均不变 5．（多选）（2021·全国甲卷·高考真题）某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，则（　　） A．一正电荷从b点运动到e点，电场力做正功 B．一电子从a点运动到d点，电场力做功为4eV C．b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右 D．a、b、c、d四个点中，b点的电场强度大小最大 迁移创新 1．（2026·湖北·高考真题）一带正电粒子仅受静电力作用，从静止开始沿直线运动，0 ~ 4t0时间内，其速度v随时间t的变化图像是如图所示的三条线段。t0时刻、1.5t0时刻、3.5t0时刻粒子所在位置分别为a点、b点、c点。下列说法正确的是（   ） A．b点的电势比a点的高 B．b点的电场强度比a点的大 C．粒子在a、c两点的电势能相等 D．粒子在a、c两点受到的电场力大小相等 2．（多选）（25-26高三上·山东青岛·开学考试）如图甲，关于轴对称的两点分别固定两个点电荷和Q2，，，且和之间的距离为。两电荷沿轴上的电场强度的分布如图乙所示，位于的为最高点，点的坐标是。下列说法正确的是（　　） A． B．点的电场强度为零 C．电子从到点，电场力先做负功，再做正功 D．将的粒子从移动到，电场力所做的功小于 3．（多选）（2025·山东烟台·三模）如图所示，空间中存在一匀强电场，电场强度的大小和方向均未知，为处于电场空间内的一个边长为的正立方体，已知，则下列说法正确的是（　　） A．正立方体中心O（图中未画出）点的电势为 B．面中心（图中未画出）点的电势为 C．该匀强电场电场强度的大小为 D．将一个电荷量大小为e的电子从点沿棱移动到C点，电场力做功为 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $