精品解析：北京市丰台区2025-2026学年第二学期期末练习高一数学试卷

2025～2026学年度第二学期期末练习 高一数学 2026．07 考生须知 1．答题前、考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码. 2．本次练习所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚. 3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效. 4．本练习卷满分共150分，作答时长120分钟. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若平面向量与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】已知向量与共线， 则，解得． 2. 在复平面内，复数z对应的点为，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得，即可得共轭复数. 【详解】因为复数z对应的点为，则， 所以z的共轭复数. 故选：A. 3. 某中学合唱比赛中，位评委对某班级的评分分别为、、、、、、，称这些评分为原始评分，将原始评分去掉一个最高分和一个最低分后所得评分称为有效评分，则下列有效评分的特征量和原始评分的特征量保持不变的是（ ） A. 极差 B. 方差 C. 中位数 D. 平均数 【答案】C 【解析】 【分析】求出原始数据和变化后的数据的极差、方差、中位数和平均数，判断即可. 【详解】数据、、、、、、的极差为，中位数为， 平均数为， 方差为， 将原始评分去掉一个最高分和一个最低分后，所得数据为、、、、， 极差为，中位数为，平均数为， 方差为， 故中位数没变，极差、方差和平均数都改变. 4. 掷一枚质地均匀的骰子，观察正面向上的点数，设事件“点数为偶数”，事件“点数为的倍数”，则与的关系为（ ） A. 相等 B. 相互独立 C. 互斥 D. 互为对立 【答案】B 【解析】 【详解】样本空间为， 由题意可知，，， 所以，，， 所以，与不互斥，也不对立，与相互独立. 5. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 . 6. 已知棱长为的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设球的半径为，由题意可知球的直径与该正方体的体对角线长相等， 故，可得， 故球的表面积为. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 正棱柱的底面是正方形，侧棱垂直于底面 B. 棱台的侧棱所在直线交于一点，侧面都是等腰梯形 C. 底面直径与母线长相等的圆柱，其侧面积等于其表面积的一半 D. 底面半径为1，高为3的圆锥，其侧面积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据多面体、旋转体的定义及侧面积、表面积公式逐一判断各选项的正误. 【详解】由正棱柱的定义知：底面是正多边形且侧棱垂直于底面的棱柱，底面不一定为正方形，选项 A错误； 棱台由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，因此侧棱所在直线必交于一点， 但仅正棱台的侧面为等腰梯形，普通棱台的侧面仅为梯形，不一定为等腰梯形，选项B错误； 设圆柱底面直径为，由题意得母线长，侧面积， 表面积，显然，选项C错误； 圆锥母线长，侧面积，选项D正确. 8. 为倡导低碳绿色出行方式，以点滴文明举动助力丰台区文明城区建设，某校举行“文明出行，绿色通勤”打卡活动．在活动期间，随机抽取了100名学生，统计他们的日均通勤时长（单位：分钟），并将所得的数据按照、、、、分组，得到如图所示的频率分布直方图（假设每个组内的数据在组内均匀分布）：若该校共有名学生，用样本估计总体，则下列说法正确的是（ ） A. 该校日均通勤时长在分钟以内的学生数超过 B. 该校日均通勤时长不少于分钟的学生数约为 C. 该校学生日均通勤时长的平均数大于中位数 D. 该校学生日均通勤时长的第百分位数约为 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图求出该校日均通勤时长在分钟以内的学生人数，可判断A选项；利用频率分布直方图求出该校日均通勤时长不少于分钟的学生人数，可判断B选项；利用平均数公式和中位数的定义可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，该校日均通勤时长在分钟以内的学生数为，故A错误； 对于B选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 即，解得， 所以该校日均通勤时长不少于分钟的学生数为人，故B错误； 对于C选项，该校学生日均通勤时长的平均数为， 数据落在的频率为， 数据落在的频率为， 设中位数为，则， 由中位数的定义可得，解得， 所以该校学生日均通勤时长的平均数小于中位数，故C错误； 对于D选项，设第百分位数为，由C选项可知， 由百分位数的定义可得，解得，故D正确. 9. 丽泽SOHO大厦（以下简称“大厦”）是位于北京市丰台区丽泽金融商务区的超高层国际5A级写字楼，总建筑面积17万平方米，钢结构用量达1.83万吨（相当于2.5个埃菲尔铁塔）．某校一项目学习小组开展数学建模活动，测量大厦的高度．为不妨碍道路交通，选取与大厦底部B在同一水平面内的两个观测点C，D．测得，，，在观测点C处测得大厦顶部A的仰角为，则大厦的高约为（ ） （参考数据：，） A. 147m B. 207m C. 254m D. 293m 【答案】B 【解析】 【分析】在 中先利用正弦定理求出，再在中求. 【详解】在  中，，所以 . 由正弦定理，得. 在中，， 因为，所以 . 10. 在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（ ） A. 点M可以是线段BC的中点 B. 点M的轨迹长度为 C. 存在点M，使得点B到平面的距离为 D. 任意点平面，都有平面 【答案】C 【解析】 【分析】对几何体建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出点坐标所满足的方程，结合题目关于在三棱柱表面的信息，确定点的轨迹，再结合选项逐项分析. 【详解】 根据题干信息，以点为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，,,设点，故，， 由于，则，即； A：当点M是线段BC的中点时，此时点的坐标为，显然满足， 因此本选项结论正确； B：连接，， 所以， 所以，且两直线在平面内，所以面， 则三角形的三边就是的轨迹， 由于，， ，所以三角形的周长为，因此本选项说法正确； C：假设存在点M，使得点B到平面的距离为， ， 设平面的法向量为， ，取， 因为， 所以当时，得， 当时，得， 当时，， 所以点B到平面的距离为， 当时， 点B到平面的距离为， 解得：，显然假设不存在，所以不存在点M，使得点B到平面的距离为，因此本选项说法错误； D：任意点平面，此时，所以， ， 因为，平面， 所以都有平面，因此本选项说法正确. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 某旅游景区为调查游客满意度，按青年、中年、老年分层，通过分层随机抽样的方法，抽取样本，得到各年龄段占比如图所示．若样本中的老年人人数为，则样本中的青年人人数为______． 【答案】 【解析】 【详解】样本总数为，则， 故样本中的青年人人数为． 12. 若复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由可得，故. 13. 如图1，底面水平放置的透明直三棱柱容器内有一些水，已知，，，水深为．若固定该容器底面一边于水平面，再将该容器倾斜，当倾斜到如图2所示位置时（水面形状恰好为），则直三棱柱容器的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】设直三棱柱的高为，利用柱体和锥体的体积公式可得出水的体积为，然后在图1中，由水体呈柱体状，结合柱体体积公式可得出关于的等式，即可解出的值. 【详解】设直三棱柱的高为，易知， ， 所以水的体积为 ， 在图1中，水体呈柱体状，则水的体积为， 故，解得. 14. 如图，正方体的棱长为，经过直线的平面与棱、分别交于点、（、不重合），则直线与所成角的大小为______；当为棱中点时，直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接、，推导出，可知异面直线与所成角为或其补角，判断出的形状，可得出答案；取线段的中点，连接、，推导出平面，可知直线与平面所成角为，求出、的长，可求出的正弦值，即为所求. 【详解】连接、，如下图所示： 在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以， 又因为，所以， 所以异面直线与所成角为或其补角， 易知是等边三角形，则，即直线与所成角的大小为； 取线段的中点，连接、， 因为四边形为正方形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 由勾股定理可得， ， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为. 15. 如图，“六芒星”由两个中心重合于点O的正三角形AEI和CGK组成，且，，，，若动点P在“六芒星”的边界上（实线部分），给出下列结论： ①； ②在上的投影向量为； ③若，则； ④的取值范围是． 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正三角形的性质，结合平面向量坐标表示、数量积的坐标表示公式、运用特殊点法逐一判断即可. 【详解】建立如下图的平面直角坐标系， 根据“六芒星”的对称性和正三角形的性质，可得以下各点坐标： . ①：因为，所以，因此本序号结论正确； ②：因为，， 所以在上的投影向量为，所以本序号结论正确； ③：由， 当点为点时，有，显然，因此本序号结论不正确； ④：设点的坐标为，， ， 当点位于点时，； 当点位于点时，； 当点位于点时，； 当点位于点时，； 当点位于点时，； 当点位于点时，； 当点位于点时，； 当点位于点时，； 当点位于点时，； 当点位于点时，； 当点位于点时，； 当点位于点时，， 所以的取值范围是，因此本序号结论正确. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知平面向量，，． （1）求； （2）设与的夹角为，求的值； （3）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出向量的坐标，再利用向量的模长公式可求得的值； （2）利用平面向量的夹角公式可求得的值. 【小问1详解】 因为平面向量，，所以， 故. 【小问2详解】 因为，，所以. 【小问3详解】 ， 因为， 所以，解得. 17. 如图，在三棱柱中，E，F分别为AC，的中点． （1）求证：∥平面； （2）若平面平面，，求证：． 【答案】（1）证明：取中点，连接， 因为，所以为的中位线，则∥， 又平面，平面，所以∥平面， 在三棱柱中，四边形为平行四边行，又，， 所以且， 所以四边形为平行四边形，则∥， 又平面，平面，所以∥平面， 因为，平面，所以平面∥平面， 又平面，所以∥平面； （2）证明：因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 又平面， 所以. 【解析】 【分析】（1）取中点，先证明面面平行，再证明线面平行即可； （2）利用面面垂直的性质定理，即可证明线面垂直. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 随着科技的不断发展，无人机技术越来越成熟，无人机配送已在全国多地实现常态化运营．某调查小组为了解某平台的无人机配送准点率（准点率），在、两个城市的不同区域进行抽样调查，所得数据如下表： 城市 城市 区域 配送单数 准点单数 区域 配送单数 准点单数 （1）从个样本区域中随机选择个，求该区域无人机配送准点率超过的概率； （2）从、两个城市的样本区域中各随机选取个，求这两个区域中至少有个区域无人机配送准点率超过的概率； （3）设城市个样本区域无人机配送准点率的方差为，城市个样本区域无人机配送准点率的方差为，两个城市个样本区域无人机配送准点率的方差为，试比较、、的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算出各区域无人机配送准点率，结合古典概型的概率公式求解即可； （2）计算出、两个城市个样本区域无人机配送准点率超过的区域个数，再结合独立事件和对立事件的概率公式求解即可； （3）利用方差公式计算出、、的值，比较大小即可. 【小问1详解】 计算出各区域的准点率如下表所示： 城市 城市 区域 准点率 区域 准点率 由表格中的数据可知，从个样本区域中随机选择个，则该区域无人机配送准点率超过的概率为. 【小问2详解】 由表格中数据可知城市个样本区域无人机配送准点率超过的区域有个， 城市个样本区域无人机配送准点率超过的区域有个， 所以从、两个城市的样本区域中各随机选取个，则这两个区域中至少有个区域无人机配送准点率超过的概率为. 【小问3详解】 设、城市个样本区域无人机配送准点率的平均数分别为、， 两个城市个样本区域无人机配送准点率的平均数为， 则， 所以 ， ， ， ， ， 故. 19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选条件①（或条件③）时最长边上的高为，条件②不符合要求. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求解即可. （2）结合所选条件通过余弦定理或面积公式判断三角形是否唯一，再用等面积法计算最长边上的高. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 因为，，所以. 又，解得. 【小问2详解】 已知，，由余弦定理得. 若选条件①： 因为，则，代入上式得， 整理得，解得，即，此时三角形三边为，唯一确定，最长边为. 所以三角形面积， 设最长边上的高为，则，解得. 若选条件②： ，代入余弦定理得，即，解得或，三角形有两组解，不符合唯一确定的要求. 若选条件③： ，由面积公式，代入得，解得， 代入余弦定理得，三角形唯一确定，最长边为，同理可得最长边上的高为. 20. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F． （1）求证：F是棱PD的中点； （2）求证：平面； （3）求点P到平面的距离． 【答案】（1）因为底面是菱形，所以， 而面，面，可得面， 又因为面，面面， 所以，因为E是棱PC的中点，所以F是棱PD的中点. （2）设，连接， 因为底面是菱形，所以O是AC的中点，， 因为E是棱PC的中点，所以. 因为平面，所以平面， 又面，可得， 因为，，面，所以平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）本题首先可根据菱形的相关性质得出，然后根据线面平行的性质及判定证明即可得出结论. （2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可 （3）作出符合题意的图形，利用等体积法可求距离. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 如图，过作，则， 由题意得平面，且平面，则， 因为，面，所以面， 而E是棱PC的中点，是的中点，可得， 而面面，则面， 得到E到平面的距离与O到平面的距离相等， 因为，，面，， 所以面，则O到平面的距离为， 在中，由题意得， 在中，由余弦定理得，所以， 由三角形面积公式得，， 设点P到平面的距离为，由等体积公式得， 可得，解得. 21. 设正整数S可以表示成n个正整数，，…，（）之和，且，用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合．对于，记，集合中元素的最大值为． （1）直接写出中的所有元素； （2）对于，若，求证：并直接写出，； （3）求，并写出中相应的所有元素． 【答案】（1） （2）证明：因为均为正整数，且，所以 又所以 下面求和． 固定数组的项数，若其中两个数相差至少，把较小的数增加、较大的数减少，则各项之和不变，而乘积增大． 反复调整可知：固定时，乘积最大当且仅当各项之差不超过． 对于，分别比较不同项数下的最大乘积： 2 3 4 5 6 对应数值依次为． 当时，最优数组中的各项只能为或，故 因此取得最大值的数组为和． 对于 ，同理有 2 3 4 5 6 7 对应数值依次为 ． 当 时， 因此. （3）中相应的元素为和. 【解析】 【分析】（1）根据定义对5进行拆解，再分析得到满足题意的情况即可； （2）首先分析得，再作差即可证明，再分和计算即可； （3）分5类情况进行讨论即可. 【小问1详解】 的所有元素有． 理由：因为或或或或或， 而又要满足，即各项数字乘积大于2， 则中满足的所有元素有． 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 设且，当时， ①．事实上，若存在不大于的正整数，使得，则，此时 ，令， 设，则，这与矛盾，所以； ②，事实上，若存在不大于的正整数，使得， 令，因为， 所以， 令， 则，这与矛盾，所以； ③中2与4不同时出现．事实上，若2与4同时出现， 设， 则，因为，所以将都换成3得到的更大， 所以中2与4不同时出现： ④中最多有一个4．事实上，，而， 所以中最多有一个4； ⑤中最多有两个2，事实上，，而，所以中最多有两个2： 所以当时，，或， 或，而， 所以中相应的元素为和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末练习 高一数学 2026．07 考生须知 1．答题前、考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码. 2．本次练习所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚. 3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效. 4．本练习卷满分共150分，作答时长120分钟. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若平面向量与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 在复平面内，复数z对应的点为，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 某中学合唱比赛中，位评委对某班级的评分分别为、、、、、、，称这些评分为原始评分，将原始评分去掉一个最高分和一个最低分后所得评分称为有效评分，则下列有效评分的特征量和原始评分的特征量保持不变的是（ ） A. 极差 B. 方差 C. 中位数 D. 平均数 4. 掷一枚质地均匀的骰子，观察正面向上的点数，设事件“点数为偶数”，事件“点数为的倍数”，则与的关系为（ ） A. 相等 B. 相互独立 C. 互斥 D. 互为对立 5. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知棱长为的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 正棱柱的底面是正方形，侧棱垂直于底面 B. 棱台的侧棱所在直线交于一点，侧面都是等腰梯形 C. 底面直径与母线长相等的圆柱，其侧面积等于其表面积的一半 D. 底面半径为1，高为3的圆锥，其侧面积为 8. 为倡导低碳绿色出行方式，以点滴文明举动助力丰台区文明城区建设，某校举行“文明出行，绿色通勤”打卡活动．在活动期间，随机抽取了100名学生，统计他们的日均通勤时长（单位：分钟），并将所得的数据按照、、、、分组，得到如图所示的频率分布直方图（假设每个组内的数据在组内均匀分布）：若该校共有名学生，用样本估计总体，则下列说法正确的是（ ） A. 该校日均通勤时长在分钟以内的学生数超过 B. 该校日均通勤时长不少于分钟的学生数约为 C. 该校学生日均通勤时长的平均数大于中位数 D. 该校学生日均通勤时长的第百分位数约为 9. 丽泽SOHO大厦（以下简称“大厦”）是位于北京市丰台区丽泽金融商务区的超高层国际5A级写字楼，总建筑面积17万平方米，钢结构用量达1.83万吨（相当于2.5个埃菲尔铁塔）．某校一项目学习小组开展数学建模活动，测量大厦的高度．为不妨碍道路交通，选取与大厦底部B在同一水平面内的两个观测点C，D．测得，，，在观测点C处测得大厦顶部A的仰角为，则大厦的高约为（ ） （参考数据：，） A. 147m B. 207m C. 254m D. 293m 10. 在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（ ） A. 点M可以是线段BC的中点 B. 点M的轨迹长度为 C. 存在点M，使得点B到平面的距离为 D. 任意点平面，都有平面 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 某旅游景区为调查游客满意度，按青年、中年、老年分层，通过分层随机抽样的方法，抽取样本，得到各年龄段占比如图所示．若样本中的老年人人数为，则样本中的青年人人数为______． 12. 若复数满足，则______． 13. 如图1，底面水平放置的透明直三棱柱容器内有一些水，已知，，，水深为．若固定该容器底面一边于水平面，再将该容器倾斜，当倾斜到如图2所示位置时（水面形状恰好为），则直三棱柱容器的高为______． 14. 如图，正方体的棱长为，经过直线的平面与棱、分别交于点、（、不重合），则直线与所成角的大小为______；当为棱中点时，直线与平面所成角的正弦值为______． 15. 如图，“六芒星”由两个中心重合于点O的正三角形AEI和CGK组成，且，，，，若动点P在“六芒星”的边界上（实线部分），给出下列结论： ①； ②在上的投影向量为； ③若，则； ④的取值范围是． 其中正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知平面向量，，． （1）求； （2）设与的夹角为，求的值； （3）若，求实数的值． 17. 如图，在三棱柱中，E，F分别为AC，的中点． （1）求证：∥平面； （2）若平面平面，，求证：． 18. 随着科技的不断发展，无人机技术越来越成熟，无人机配送已在全国多地实现常态化运营．某调查小组为了解某平台的无人机配送准点率（准点率），在、两个城市的不同区域进行抽样调查，所得数据如下表： 城市 城市 区域 配送单数 准点单数 区域 配送单数 准点单数 （1）从个样本区域中随机选择个，求该区域无人机配送准点率超过的概率； （2）从、两个城市的样本区域中各随机选取个，求这两个区域中至少有个区域无人机配送准点率超过的概率； （3）设城市个样本区域无人机配送准点率的方差为，城市个样本区域无人机配送准点率的方差为，两个城市个样本区域无人机配送准点率的方差为，试比较、、的大小．（结论不要求证明） 19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F． （1）求证：F是棱PD的中点； （2）求证：平面； （3）求点P到平面的距离． 21. 设正整数S可以表示成n个正整数，，…，（）之和，且，用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合．对于，记，集合中元素的最大值为． （1）直接写出中的所有元素； （2）对于，若，求证：并直接写出，； （3）求，并写出中相应的所有元素． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $