第五单元 第1课时 平行和垂直（暑假预习讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版（新教材）

本讲义聚焦小学数学“平行和垂直”核心知识点，系统梳理同一平面内两条直线的位置关系，包括相交（含垂直）与不相交（平行），明确平行的定义（同一平面内不相交）、特征（永不相交、距离相等）及表示方法（a∥b），垂直的定义（相交成直角）、特征（90°夹角、垂足）及表示方法（a⊥b），结合生活实例建立认知，为后续画垂线、认识长方形正方形搭建学习支架。 该资料以“知识梳理+例题+训练”分层设计，知识梳理融入黑板边、斑马线等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界；例题通过天桥位置、最短距离等问题，引导学生用数学思维推理分析；培优练习涵盖选择、作图等题型，规范符号表达与几何操作，提升数学语言应用能力。课中辅助教师突破“同一平面内”等重难点，课后帮助学生通过分层练习巩固知识，查漏补缺。

第五单元 第1课时 平行和垂直 【知识梳理+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 【学习目标】 1. 知识目标：结合生活实例，认识同一平面内两条直线的两种特殊位置关系——平行与垂直，掌握平行线、互相垂直、垂足的定义和核心特征。 2. 能力目标：能准确判断同一平面内两条直线是平行还是垂直，会规范读写平行、垂直的数学符号，能结合图形辨析平行与垂直关系。 3. 素养目标：建立平面几何空间观念，感知生活中的平行与垂直现象，培养观察、辨析和几何推理能力，为后续画垂线、长方形正方形奠定基础。 【重难点】 重点：理解同一平面内两条直线平行与垂直的定义，掌握平行和垂直的表示方法，能正确区分两种位置关系。 难点：深刻理解“同一平面内”的含义，区分看似不相交实际会相交的直线，精准辨析平行、垂直、相交的关系。 知识梳理 知识点1：同一平面内两条直线的位置关系 1. 核心前提：研究平行与垂直，必须限定在同一平面内，不在同一平面的直线无法判断平行或垂直。 2. 两种基本位置关系：同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和不相交两种。 3. 关系分类：相交包含普通相交和垂直相交，垂直是相交的特殊情况；不相交的两条直线就是平行线。 4. 关键易错点：直线是无限延长的，判断两条直线是否相交，不能只看局部图形，要想象直线无限延伸后的状态，有些看似不相交的直线，延长后会相交。 知识点2：平行线的认识（不相交关系） 1. 定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2. 核心特征：永不相交、距离处处相等、必须在同一平面内。 3. 数学表示：直线a与直线b互相平行，记作a∥b，读作：a平行于b。 4. 生活实例：黑板的上下两条边、斑马线、铁轨的两条轨道等，都是互相平行的直线。 5. 拓展特点：同一平面内，一条直线有无数条平行线；互相平行的两条直线无论怎么延长，永远不会有交点。 知识点3：互相垂直的认识（特殊相交关系） 1. 定义：同一平面内，两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，两条直线的交点叫做垂足。 2. 核心特征：属于相交的特殊情况，相交角度必须是90°（直角），有且只有一个垂足。 3. 数学表示：直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b，读作：a垂直于b。 4. 生活实例：黑板的长边和短边、墙角的两条边、课本相邻的两条边等，都是互相垂直的直线。 5. 关键辨析：两条直线垂直，一定相交；但两条直线相交，不一定垂直，只有夹角为直角时才是垂直。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 下图中，道路①与道路( )平行，与道路( )垂直。 【跟踪训练】 下图中，有( )组平行线，( )组垂线。 【例题讲解】 在公路的两边有甲、乙两个小区，现在要在公路的某处架一座天桥。请问，这座桥建在何处，可使两个小区的居民来往时所走的路程和最短？ 【跟踪训练】 欢欢和爸爸准备买春联，他们发现对面的集市上一家卖春联的地摊，请你在下图中画出他们到地摊的最短距离 培优练习 一、选择题 1．在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线（    ）。 A．相交 B．互相平行 C．互相垂直 D．不能确定 2．团团、圆圆、欢欢、喜喜四名同学在玩“抢板凳”游戏，（    ）的站位最有利。 A．团团 B．圆圆 C．欢欢 D．喜喜 3．明明家到公路有三条笔直的小路，长度分别是360米、390米、310米。其中有一条小路与公路是垂直的，这条小路的长度是（    ）。 A．390米 B．360米 C．310米 D．无法确定 4．从小强家到河边修一条最短的路，这条路（    ）。 A．与小河平行 B．与小河垂直 C．与小河无关 D．可任意修 5．一只老虎追赶狐狸，狐狸慌不择路掉进河里A点的地方（如下图）。狐狸想：我要尽快上岸，又不能被老虎抓着。你觉得狐狸选择路线（    ）逃生的可能性更大。 A．AB B．AC C．AD D．无法确定 二、填空题 6．在同一平面内，可以画( )条已知直线的平行线；过直线外一点，可以画( )条已知直线的平行线。 7．从小亮家通往公路共有三条小路，它们的长度分别是450米、120米、375米，其中一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是( )米。 8．下面各组直线中，互相平行的是( )，互相垂直的是( )。（填序号） 9．图中直线①和直线③( )，直线①和直线②( )。（填“平行”“相交”或“垂直”） 10．如图( )和( )互相垂直，( )和( )互相平行。 三、判断题 11．长方形的对边分别平行。( ) 12．在同一平面内，不相交的两条射线叫平行线。( ) 13．如果两条直线相交，它们就互相垂直。( ) 14．两条直线互相平行，它们的长度都是100厘米。( ) 15．在同一平面内，把两根小棒都摆成和第三根小棒互相垂直，这两根小棒就互相平行。( ) 四、作图题 16．在下图中，A点和B点表示两个居民小区，两个小区之间隔一条马路。为方便居民在小区间来往，需要在马路上设人行横道，请你选择地点设置人行横道，使居民来往小区的路程最近。 17．如图，甲、乙两村想在小河边合修一个取水码头，请问：这个码头的点选在何处，才能使甲、乙两村取水时所走的路程和最短？ 18．下面每个小方格的边长表示1厘米。 （1）画一个边长是4厘米的正方形。 （2）画一个面积是24平方厘米的长方形。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 第1课时 平行和垂直 【知识梳理+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 【学习目标】 1. 知识目标：结合生活实例，认识同一平面内两条直线的两种特殊位置关系——平行与垂直，掌握平行线、互相垂直、垂足的定义和核心特征。 2. 能力目标：能准确判断同一平面内两条直线是平行还是垂直，会规范读写平行、垂直的数学符号，能结合图形辨析平行与垂直关系。 3. 素养目标：建立平面几何空间观念，感知生活中的平行与垂直现象，培养观察、辨析和几何推理能力，为后续画垂线、长方形正方形奠定基础。 【重难点】 重点：理解同一平面内两条直线平行与垂直的定义，掌握平行和垂直的表示方法，能正确区分两种位置关系。 难点：深刻理解“同一平面内”的含义，区分看似不相交实际会相交的直线，精准辨析平行、垂直、相交的关系。 知识梳理 知识点1：同一平面内两条直线的位置关系 1. 核心前提：研究平行与垂直，必须限定在同一平面内，不在同一平面的直线无法判断平行或垂直。 2. 两种基本位置关系：同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和不相交两种。 3. 关系分类：相交包含普通相交和垂直相交，垂直是相交的特殊情况；不相交的两条直线就是平行线。 4. 关键易错点：直线是无限延长的，判断两条直线是否相交，不能只看局部图形，要想象直线无限延伸后的状态，有些看似不相交的直线，延长后会相交。 知识点2：平行线的认识（不相交关系） 1. 定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2. 核心特征：永不相交、距离处处相等、必须在同一平面内。 3. 数学表示：直线a与直线b互相平行，记作a∥b，读作：a平行于b。 4. 生活实例：黑板的上下两条边、斑马线、铁轨的两条轨道等，都是互相平行的直线。 5. 拓展特点：同一平面内，一条直线有无数条平行线；互相平行的两条直线无论怎么延长，永远不会有交点。 知识点3：互相垂直的认识（特殊相交关系） 1. 定义：同一平面内，两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，两条直线的交点叫做垂足。 2. 核心特征：属于相交的特殊情况，相交角度必须是90°（直角），有且只有一个垂足。 3. 数学表示：直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b，读作：a垂直于b。 4. 生活实例：黑板的长边和短边、墙角的两条边、课本相邻的两条边等，都是互相垂直的直线。 5. 关键辨析：两条直线垂直，一定相交；但两条直线相交，不一定垂直，只有夹角为直角时才是垂直。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 下图中，道路①与道路( )平行，与道路( )垂直。 【答案】 ② ③ 【分析】平行：在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。垂直：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 由图可知，道路①是竖直方向的线段，道路②也是竖直方向，因此道路①与道路②平行；道路①（竖直）与水平方向的道路③相交成直角，因此道路①与道路③垂直。 【详解】道路①是竖直方向的线段，道路②也是竖直方向；道路①（竖直）与水平方向的道路③相交成直角。 道路①与道路②平行，与道路③垂直。 【跟踪训练】 下图中，有( )组平行线，( )组垂线。 【答案】 3 4 【分析】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，据此解答即可。 【详解】AD与BC平行，AB与CD平行，AF与CE平行，因此平行线有3组； AF分别与BC和AD垂直，CE也分别与BC和AD垂直，因此垂线有4组。 综上可知，图中有3组平行线，有4组垂线。 【例题讲解】 在公路的两边有甲、乙两个小区，现在要在公路的某处架一座天桥。请问，这座桥建在何处，可使两个小区的居民来往时所走的路程和最短？ 【答案】    桥应建在PA处 【分析】明确天桥垂直于公路两边，长度等于公路宽度为定值，所以总路程最短等价于甲到天桥上沿、乙到天桥下沿的路径和最短。 先将其中一个小区沿垂直公路方向平移，平移距离等于公路宽度，把问题转化为两点之间线段最短的经典最短路径问题。 平移后连接平移后的点与另一个小区的点，该线段与公路对应侧边的交点即为天桥的一个端点，据此确定天桥位置。 【详解】将甲小区沿垂直公路方向向乙所在的公路侧平移，平移距离等于公路宽度得到对应点，连接该点与乙小区的点，线段与靠近乙小区一侧的公路边沿交于A，过A作公路边沿的垂线交另一侧公路边沿于P，天桥垂直于公路边沿建在PA处。 【跟踪训练】 欢欢和爸爸准备买春联，他们发现对面的集市上一家卖春联的地摊，请你在下图中画出他们到地摊的最短距离 【答案】见详解 【分析】直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短，从欢欢和爸爸到地摊所在的直线作垂线段，即为他们到地摊的最短距离。据此作图即可。 【详解】作图如下： 培优练习 一、选择题 1．在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线（    ）。 A．相交 B．互相平行 C．互相垂直 D．不能确定 【答案】B 【分析】由题意得，先画一条直线m，接着再画直线a和直线b分别垂直于直线m（如下图）。 由图可知，直线a和直线b互相平行，即垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 【详解】由分析可得，在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 故答案为：B 2．团团、圆圆、欢欢、喜喜四名同学在玩“抢板凳”游戏，（    ）的站位最有利。 A．团团 B．圆圆 C．欢欢 D．喜喜 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，判断谁的站位最有利。 【详解】观察图可知，团团到板凳所在直线的距离是垂线段，圆圆、欢欢和喜喜到板凳所在直线的距离不是垂线段，所以团团到板凳的距离最短，即团团的站位最有利。 故答案为：A 3．明明家到公路有三条笔直的小路，长度分别是360米、390米、310米。其中有一条小路与公路是垂直的，这条小路的长度是（    ）。 A．390米 B．360米 C．310米 D．无法确定 【答案】C 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。由题意得，明明家到公路有三条笔直的小路，长度分别是360米、390米、310米。其中有一条小路与公路是垂直的，说明这条小路的长度是最短的。390米＞360米＞310米，所以这条小路的长度是310米。 【详解】由分析得，这条小路的长度是310米。 故答案为：C 4．从小强家到河边修一条最短的路，这条路（    ）。 A．与小河平行 B．与小河垂直 C．与小河无关 D．可任意修 【答案】B 【分析】从一个点到一条直线的最短路径是垂直线段。因此，从小强家（点）到河边（直线）修一条最短的路，这条路必须与小河垂直。 【详解】根据分析，这条路应该与小河垂直。 故答案为：B 5．一只老虎追赶狐狸，狐狸慌不择路掉进河里A点的地方（如下图）。狐狸想：我要尽快上岸，又不能被老虎抓着。你觉得狐狸选择路线（    ）逃生的可能性更大。 A．AB B．AC C．AD D．无法确定 【答案】B 【分析】狐狸要想不被老虎抓住，不能逃向老虎所在的岸边，应向对岸逃走。向对岸逃走，只有AD和AC两条路线可以选择，从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离。所以，要想尽快上岸，选择路线AC逃走最合适，据此解答即可。 【详解】根据分析可知：狐狸选择路线AC逃生的可能性更大。 故答案为：B 二、填空题 6．在同一平面内，可以画( )条已知直线的平行线；过直线外一点，可以画( )条已知直线的平行线。 【答案】 无数 1 【分析】在同一平面内，一条已知直线有无数条直线与它平行，因为平行线可以在这条直线的两侧任意位置画，只要保持方向相同且不相交即可。 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。因此只能画1条。 【详解】在同一平面内，可以画无数条已知直线的平行线；过直线外一点，可以画1条已知直线的平行线。 7．从小亮家通往公路共有三条小路，它们的长度分别是450米、120米、375米，其中一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是( )米。 【答案】 120 【分析】因为点到直线的距离中，垂线段最短，所以与公路垂直的小路长度应该是最短的一条。比较三条小路的长度即可解答。 【详解】根据点到直线的距离垂线段最短的性质，120＜375＜450，所以这条小路的长度是120米。 8．下面各组直线中，互相平行的是( )，互相垂直的是( )。（填序号） 【答案】 ②③⑧ ①⑦ 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行； 在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。 【详解】根据分析可知，图中各组直线中，互相平行的是（②③⑧），互相垂直的是（①⑦）。 9．图中直线①和直线③( )，直线①和直线②( )。（填“平行”“相交”或“垂直”） 【答案】 平行 相交 【分析】观察图示，直线①与直线③之间的距离没有交点，所以是互相平行；延长直线②与直线①其夹角不等于90度，所以这两条直线是普通的相交不是垂直关系。 【详解】图中直线①和直线③平行，直线①和直线②相交。 10．如图( )和( )互相垂直，( )和( )互相平行。 【答案】 线段AE 线段BC 线段AD 线段BC 【分析】两条线段相交成90°，这两条线段互相垂直；同一平面内不相交的两条线段是平行线，据此解答即可。 【详解】如图线段AE和线段BC互相垂直，线段AD和线段BC互相平行。 三、判断题 11．长方形的对边分别平行。( ) 【答案】√ 【分析】长方形是一种四边形，其定义包括两组对边分别平行且相等，四个角都是直角。因此，该说法正确。 【详解】根据长方形的定义，长方形的两组对边分别平行。 故答案为：√ 12．在同一平面内，不相交的两条射线叫平行线。( ) 【答案】× 【分析】这道题需明确平行线的定义“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。题干中把研究对象说成“两条射线”，但射线有一个端点，只能向一端无限延伸；而直线是向两端无限延伸的，“不相交”是其固定属性。因此“射线”不符合平行线研究对象的要求。 【详解】根据分析： 在同一平面内，不相交的两条“直线”叫平行线，而不是“射线”。 故答案为：× 【点睛】解答这道题的关键是明确平行线的研究对象必须是“直线”且前提是“在同一平面内”， 核心条件是“不相交”。 13．如果两条直线相交，它们就互相垂直。( ) 【答案】× 【分析】两条直线相交时，只有当它们形成的角为直角（即90°）时，才互相垂直。若相交形成的角不是直角，则这两条直线不垂直。因此，相交的直线不一定互相垂直。据此进行分析。 【详解】根据垂直的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。题目中仅说明“两条直线相交”，但未说明相交形成的角是否为直角。例如，两条直线相交形成锐角和钝角时，它们相交但不垂直。 故答案为：× 14．两条直线互相平行，它们的长度都是100厘米。( ) 【答案】× 【分析】根据直线的含义：直线无端点，可以向两端无限延长，不能测量长度；同一平面内，不相交的两条直线互相平行。据此解答即可。 【详解】虽然两条直线互相平行，但是它们的长度无法测量，原题说法错误。 故答案为：× 15．在同一平面内，把两根小棒都摆成和第三根小棒互相垂直，这两根小棒就互相平行。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意画图，发现与第三根小棒互相垂直的这两根小棒所在的直线延长后不会有交点，在同一平面内，永不相交的两条直线的位置关系是互相平行。由此即可解决。 【详解】如图， 在同一平面内，小棒a和小棒b都垂直于小棒c，则小棒a和小棒b互相平行。 故答案为：√ 四、作图题 16．在下图中，A点和B点表示两个居民小区，两个小区之间隔一条马路。为方便居民在小区间来往，需要在马路上设人行横道，请你选择地点设置人行横道，使居民来往小区的路程最近。 【答案】 【分析】因为马路的宽度是固定的，我们可以先把点A沿着垂直于马路的方向，朝着B点的方向平移一个马路宽度的距离，得到点A'。此时连接A'和B，这条线段会和靠近B点的马路（也就是下方的那条直线）产生一个交点C，这个点C就是人行横道靠近B小区的端点。 再从C点沿着垂直马路的方向往靠近A的马路作垂线，和上方马路的交点就是人行横道的另一个端点D，那么CD就是我们需要设置的人行横道位置。 【详解】略 17．如图，甲、乙两村想在小河边合修一个取水码头，请问：这个码头的点选在何处，才能使甲、乙两村取水时所走的路程和最短？ 【答案】 码头选在P处使甲、乙两村取水时所走的路程和最短。 【分析】作甲村关于小河河岸的对称点，连接对称点和乙村，这条线段和小河的交点就是码头位置。两点之间线段最短，这样甲到码头再到乙的总路程最短。 【详解】过甲点向小河这条直线作垂线，延长垂线，在垂线延长线上取甲的对称点甲’，使甲到河岸距离等于甲’到河岸的距离；用线段连接甲’和乙；线段甲’乙与小河河岸的交点P就是修建码头的位置。 18．下面每个小方格的边长表示1厘米。 （1）画一个边长是4厘米的正方形。 （2）画一个面积是24平方厘米的长方形。 【答案】（1） （2） 【分析】（1）小方格边长1厘米，边长4厘米正方形每条边占4格，四条边相等、四个直角，横向4格纵向4格画出正方形； （2）长方形面积＝长×宽，面积24平方厘米，找出整数长和宽组合，任选一组画图。 【详解】（1）横向纵向各占4格画正方形； （2）6×4＝24（平方厘米），长6格宽4格画长方形。（答案不唯一） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $