重庆市第八中学校2027届高三上学期数学周考（一）07.18

重庆八中高2027级高三（上）数学周考（一)07.18 一、单选题（共40分） 1.(本题5分)已知M,N均为R的子集，且CM∈N,则MU(CN)=() A.☑ B.M C.N D.R 2.(本题5分)已知函数y=f(x+1)的定义域为[1,2]，则函数y=f(2x-1)的定义域为() 别] c.「-1,1] D.[3,5] 3.(本题5分)在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学， 每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为() A君 B C. 4.（本题5分)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10x的定义域和值域相同的是 () D.y 1 A.y=x B.y=l0g2x C.y=3 5本思5分)已知函数才四)c0sx,则函数y=f(四)的图象大致是 6.(本题5分)用i{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值·设函数 f(x)=mn{2,x+1,9-x}(x≥0)，则函数f(x)的最大值为() A.4 B.5 C.6 D.7 7.(本题5分)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),且f(2x-1)为奇函数， 则一定有() 试卷第1页，共4页 A.f(0)=0 B.f(2)=0 C.f(3)=0 D.f(4)=0 8(本题5分)若函数()=og.(-a)(a>0且a=1D在区间（20内单调递增，则 a的取值范围是() A. 二、多选题（共18分） 9.(本题6分)已知f(x)定义在R上的偶函数，g(x)定义在R上的奇函数，且f(x),g(x) 在[0，+∞)上单调递增，则() A.f(f(1)<f(f(2) B.f(g(1)<f(8(2) C.g(f(1)<g(f(2) D.8(g(1)<g(g(2) 10.(本题6分)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双 曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sihx=-,c二，双曲余弦函数cosx=。+c二 2 2 双曲正切函数tanhx= sinh x 则下列选项正确的是() coshx A.双曲正弦函数是增函数 B.双曲余弦函数是增函数 C.双曲正切函数是增函数 D.tanh(x+y)=tanhx+tanhy 1+tanhx tanhy 11.（本题6分)某动物园研究了大量的A、B两种相似物种.记录其身长为x(单位：m) 与体重y(单位：kg),通过计算得A、B两物种的平均身长为x4=5.2,xg=6,标准差分别 为S4=0.3,Sx。=0.1,令A、B两物种的平均体重分别为yA、y阳若A、B两物种其体重y对 身长x的回归直线分别为14：y=2x-0.6,l2:y=1.5x+0.4,相关系数分别为ra=0.6a=0.3 现有两种物种中一身长为5.6，体重为8.6g的个体P,下列说法中正确的有() 2(-0g-) 参考公式：相关系数”三 回归方程)=bx+à中斜率和截距的最小二 2-空列 i=1 法估计公式分别为：6空 a=-bx: 26-到 n 试卷第2页，共4页 A.yA<yB B.点P(5.6,8.6)到直线l4的距离大于其到直线la的距离 C.点P(5.6,8.6)与点(x4,ya)的距离大于其与点(，yg)的距离 D.A物种的体重标准差S,4小于B物种的体重标准差5。 三、填空题（共15分） 12.(本题5分)已知定义在R上的函数f(x)满足：函数y=f(x-)的图象关于点(1,0) 对称，且x≥0时恒有f(x+2)=f(x),当x∈[0，]时，f(x)=e*-1,求f(2017)+f(2018)= 13.(本题5分)(x2+x+y的展开式中xy的系数为 2-a,x≤1 14.(本题5分)已知f(x)= (x-a(x-30,x>1:若函数)y=f有三个零点，则实数a的 取值范围是 四、解答题（共77分） 15.(本题13分)如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC=2,BD⊥CD, ∠ADB=∠ADC=60°，E为BC的中点. A (1)证明：BC⊥DA; (2)点F满足EF=DA,求： ①二面角D-AB-F的正弦值； ②点F到平面ADB的距离. 16.(本题15分)已知函数f(x)=x3-x2+m+1. (1)讨论f(x)的单调性： (2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标. 试卷第3页，共4页 17.(本题15分)一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个白球，6个黄球，从中依 次随机地摸出4个球作为样本，设采用有放回摸球和不放回摸球得到的样本中黄球的个数分 别为X,Y (1)求E(X),E(Y): (2)现采用不放回摸球，设A(k=1,2,3,4)表示“第k次取出的是黄球”，证明： P(A44)<P(A)P(A)P(A): (3)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误 差的绝对值不超过0.2的概率并比较所求两概率的大小，说明其实际含义. 18.(本题17分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上， 短轴长为2，离心率为 2 (1)求椭圆C的方程； (2)A,8为椭圆C上满足A40B的面积为N6的任意两点，B为线段48的中点，射线OB 4 交椭圆C与点P,设OP=tOE,求实数t的值. 19.（本题17分)已知函数f)=1+aln1+) (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)是否存在a,b,使得曲线y 关于直线x=b对称，若存在，求，b的值，若不 存在，说明理由： (3)若∫(x)在(0，+)存在极值，求a的取值范围 试卷第4页，共4页《重庆八中高2027级高三（上)数学周考（一）07.18》参考答案 1 2 3 4 5 6 8 10 11 B B C 0 C B BCD BC 1.B 【详解】解法一：CM∈N,.M2CN,据此可得MU(CW)=M 故选：B. 解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R, 矩形区域ABHE表示集合M,则矩形区域CDEH表示集合CM, 矩形区域CDFG表示集合N,满足CMSN, 结合图形可得：MU(CaN)=M 故选：B. B G H 2.B 【详解】函数y=f(x+1)的定义域为[1,2]，即1≤x≤2，可得2≤x+1≤3， 函数y=f(x)的定义域为[2,3]， 令2≤2x-1≤3，解得三≤x≤2， 故函数y=f(2x-1)的定义域为 故选：B. 3.C 【详解】设三位同学分别为A,B,C,他们的学号分别为1,2,3， 用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如(1,3,2)表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C 同学拿到2号 三人可能拿到的卡片结果为：(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种， 答案第1页，共14页 其中满足题意的结果有(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，共3种， 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：p= 31 6Γ2 故选：C 4.D 【详解】函数y=10"的定义域为(0，+0)，值域也为(0，+o): 对A:定义域和值域均为R,故舍去： 对B:定义域为(O,+o),值域为R,故舍去： 对C:定义域为R,值域为(0，+o),故舍去： 对D:定义域为(0，+o),值域为(0，+n): 故选：D. 5.C 【详解】当x>0且x接近于0时，f()>0,排除A、D. 当x<0且x接近于0时，f(x)<0,排除B,故选C. 6.B 【详解】f(x)=min2,x+l,9-x(x≥0)如图所示： y=2* ,yX+1 y=9-x > 则f(x)的最大值为y=x+1与y=9-x交点的纵坐标， y=+1 由y=9-x,得A(4,5) 即当x=4时，y=5. 故选B 答案第2页，共14页 7.C 【详解】函数∫(2x-1)为奇函数，f(-1)=0, 又f(x+2)=f(-x), f(3)=(1+2)=f(-1)=0,故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C 故选：C 8.B 【详解】函数)=lg.-aa>0a≠D在区间(0内有意义， 则同数r()=.(-a）(a>0且a*1)在区间号0大于零恒成立， 又因为函数f)=1s.(3-a)(a>0且a*1)在区同 方0内年润诚诺， 所以(+a≥0a2号 1 2 设t=x3-ax,则y=logat,t=3x2-a (1)当a>1时，y=log。t是增函数， 要使函数f)-oe,-ma>0a*)在区间(0)内单调递增， 需使t=-m在区间(20)内内单调递增， 则衢使t=3x-a20,对任态x∈(0恒成立，即a≤3对任意x(分0恒成立： 因为xe(号0时，03x<子所以a<0与a心子所，此时不成立 (2)当0<a<1时，y=1o8t是减函数， 要使函数)-0.(aa>0a在区间(0叭内年调递神， 1 需使t=x-ax在区间(20)内内单调递减， 则需使t=3x2-a≤0对任意x∈(20)恒成立， 1 即a之3r对任意xe(50恒成立， 因为re(0.0e3<子 答案第3页，共14页 3 所以a 又a<1,所以2≤a<1. 4 3 综上，a的取值范围是a<1 故选：B 9.BCD 【详解】因为f(x)定义在R上的偶函数，g(x)定义在R上的奇函数，且f(x),g(x)在 [0,+o)上单调递增， 所以f①<f(2),g(2)>g①)>g(0)=0,f(x)在(-∽，0)单调递减，8(x)在R上单调递增， 对于A,因为f),f(2)的正负无法确定，若f)<f(2)<0,则f(f(1)>f(f(2),故A 错误； 对于B,由g(2)>g①>g(0)=0,f(x)在[0，+o)上单调递增，则f(8(1)<f(g(2),故B 正确： 对于C,由f(①)<f(2),8(x)在R上单调递增，则8((1)<8(f(2),故C正确： 对于D,由g①)<g(2),g(x)在R上单调递增，则8(g(1)<8(g(2),故D正确： 故选：BCD. 10.ACD 【详解】对A:令f()=inhx=e-e 2 则（国）=。十e>0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确： 2 对B:令gk)=cosx=e+e 2, 则g()-,由A知，8(d)为增函数，又g0) e-e-0 2 故当x∈(-0,0)时，g'(x)<0,当x∈(0，+o)时，g'(x)>0, 故g(x)在(-∽，O)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，故B错误： 答案第4页，共14页 ex-ex 对C:tahx=sihx=2二=e-ee2s-l 1、2 coshx c+ee+1 2 由y=e2x+1在R上单调递增，且y=e2x+1>1, 故tanh x=1- 2、是增函数，故C正确： e2x+1 对D:由C知tanhx= +则anh(x+)） e2x-1 e2x+2y-1 e2x+2y+11 e2x-1e2-1 tanh x+tanhye +1 e2+1 (e2-1)(e2+1)+(e2”-1)(e2+1) 1+tanh xtanh y 1+e-l1(e2+1j(e0+1y+e-1e- e2x+1e2y+1 e2+2y+e2x-e2y-1+e2+2y-e2x+e2-12e2xw-2e2x3w-1 e2+2w+e2x+e2y+1+e2r+2y-e2x-e2y+12e2x+2y+2e2x+2y+1 故tanh(x+y)= tanh x+tanh y 1+tanhxtanhy 故D正确， 故选：ACD. 11.BC 【详解】A选项：y4=2x4-0.6=2×5.2-0.6=9.8yg=1.5x8+0.4=1.5×6+0.4=9.4, y4>yg,故A错； B选项：d4= 8.6-2×5.6+0.6_2 VP+27 =s6-1.5×5.6-0402 V1+1.52 3254>d, 故B对； C选项：dA=V(5.6-5.2)+(8.6-9.8)2=V0.4+1.22, d。=V5.6-6}+(8.6-9.4)=0.42+0.8,d4>dg,故C对： ∑体-到，-列 D选项：r 6-00g-到 2年矿g-列 低-对 -刘 ②-可 ÷或所研 -时 答案第5页，共14页 0.1×15=0.5, 心a>Sa,故D错 故选：BC 12.1-e 【详解】因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1，O)对称，所以y=fx)的图像关于原点对称， 所以函数y=fx)是奇函数，因为x≥0时恒有f(x+2)=f(x),所以 f(-2017)+f(2018)=-f(201)+f(0)=-f)+f(0)=-(e-1)+(e°-1)=1-e. 故填：1-e. 13.20 【详解】将原式子化为：(y+x2+x)5其展开式中，通项公式+1=Cyr(x2+x)r, 令5-r=3,解得r=2. (x2+x)2=x+2x3+x2,5个括号里有2个出的是x2+x, xy的系数为2×C号=20， 故答案为20. 14.(12] 【详解】因为函数y=f(x)有三个零点， 2-a=0 所以 x≤1 有一个零点，且(x-a4)(x-3)=0在x>1上有两个零点. 所以0<a≤2且a>1. 所以1<a≤2 故答案为：(1,2]。 15.解：(I)连接AE,DE,因为E为BC中点，DB=DC,所以DE⊥BC, 因为DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°，所以△ACD与△ABD均为等边三角形， .AC=AB,则AE⊥BC. 因为AEODE=E,AE,DBC平面ADE, 所以，BC⊥平面ADE 答案第6页，共14页 因为ADC平面ADE,所以BC⊥DA, (2)①DA=DB=DC=2,BD1CD,BC=22,DE=AE=√2 .AE+DE2=4=AD2,AE⊥DE,又AE⊥BC,DEBC=E,DE,BCC平面BCD AE⊥平面BCD. 如图所示，以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系. D------ D(N2,0,0）,A(0,0,2),B(0,V2,0,E(0,00),则4B=(0,V2,-√2)，EF-DA=（-√2,0，V2) 所以AF=EF-EA=（-V20,0) 设平面DAB的一个法向量分别为A=(31,4,),平面ABF的一个法向量为乃=(x2,y2,32), 正0取，所以B=u: 4a0取5山，以4=0画 -V2x2=0 设二面角D-AB-F的平面角为O 则cosd= 两6或石，从而 4乃26 所以二面角D-AB-P的正弦值为 3 ②由①知AE⊥平面BCD, 而EF=DA可知EF/IDA,EF=DA,且EFC平面ADB,ADC平面ADB, 所以EFI/平面ADB,则点F到平面ADB的距离与点E到平面ADB的距离相同， 设该距离为d, 则=片m4迟Ssd-8,即d-S匹-55 3 S BDA √33 方法二： 答案第7页，共14页 AFn 26 点F到平面ADB的距离为 53 16.解：(1)由函数的解析式可得：'(x)=3x2-2x+a, 导函数的判别式△=4-12a, 当△=4-12a<0,a≥时，f'(x)≥0，f(x)在R上单调递增， 3 当4=4-12a>0,a<时f'(y)=0的解为：飞-1=-30，-1+-30 3 3 3 当x(o上]：了>0f刊单调港装 当1， 3 时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当e时。了>0f)单调运拾： 综上可得：当a≥，时，f(x)在R上单调递增， 单调递增， (2)由题意可得：f()=x号-x++1,f()=3x-2+a, 则切线方程为：y-(号-号+a+1)=(3x号-2+a(c-), 切线过坐标原点，则：0-（x-号+a+1)=(3x-2+a)(0-x), 整理可得：2x-x号-1=0，即：(-1)(2号+x。+1)=0, 解得：x=1,则f()=f(=1-1+a+1=a+1,f()=f()=1+a 切线方程为：y=(a+1)x, 与f(x)=x3-x2+ar+1联立得x2-x2++1=(a+1)x, 化简得x3-x2-x+1=0,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，(x-1)是 答案第8页，共14页 x3-x2-x+1的一个因式，该方程可以分解因式为(x-1)(x2-1)=0, 解得x=1,x2=-1, f(-1)=-1-a, 综上，曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标为(1，a+)和 （-1,-1-a 1R0)8(=号)-号 【详解】(1)对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.6，且每次试验之间的结果是独立 的， 则X~B4,3,B0=4x312 55 对于不放回摸球，各次试验之间的结果不独立，所以Y的取值为0,1,2,3,4， 则P0-0)=C210 )C1 POY=1)=Ch=21002)90 C6210 POr-3)-CC2_80 c0210 PW=4)=Cg=15 C210 则E()=0× +2x90 24 +3x8 +4x15-12 210 210 210 210-59 (注：用超几何分布的结论直接得出结果也给全分) (2)P(A)= 6×A1_3 A。一亏即采用不放回摸球，每次取到黄球的概率都为P4) 5 P(4)P(4)P(4) 3 27 -125 又P(AAA)= A3C-= 6×5×4×7_127 Aio 10×9×8×76125 P(444)<P(4)P(4)P(A). (3)样本中黄球的比例分别为随机变量X,?, 4’4 有放回摸球时， 周=任-002P(x=2+p= 答案第9页，共14页 c+c) 216216_432 625 625625 不放回摸球时，概率 月-店叫吵p-ap-警等- C+C+72121 ?<乃，所以在误差不超过02的相同限制下，用样本中黄球比例估计总体中黄球比例， 采用不放回估计的结果更可靠些 18,解：（1)设椭圆c的方程为二+ y2 9a+京=1(a>b>0), 「a2=b2+c2 由题意知 S-② ，解得a=√2，b=1 a 2 2b=2 因此椭圆C的方程为号+y=1 2 (2)①当A,B两点关于x轴对称时， 设直线AB的方程为x=m,由题意知-√2<<0或0<m<√2， 将x=m代入椭图方程号+少=1得 2-1 2-m26 所以S.ae=叫\2=4 又om=06=oi+0丽=(2m0叭=0u0. 因为P为椭圆c上一点，所以m=1,F=4或=号 2 又因为t>0,所以t=2或t=25 3 ②当A,B两点关于x轴不对称时， 设直线AB的方程为y=瓜+，将其代入椭圆方程号+y=1得 2 (1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0. 设A(1,y),B(x2,y2),由判别式△>0可得1+22>R, 答案第10页，共14页 此时+3= 4kh 1+2k2书 _2-2 1+224+归=k5+)+2A+23, 所以到=++广-45=254R1+2E, 1+2k2 因为点O到直线AB的距离为d= 1+2 所以8-hu5MG小2FA5+2H 1+2k2V1+k2 1+2k2 4 令n=1+2k2,则3m2-16n+16h=0, 解得n=4f或n=4、即1+2=4f或1+22 3 又0p-05-(Oi+08)-5+,+y)广1+21+2 (2.t 因为P为椭圆c上一点，所以t j 即1，所以-4该 3 又因为>0，所以t=2或f=2 3 经检验，适合题意 综上可知1=2或t=2WE 3 19.解：)当a=-1时，f-（任x+, 据此可得f(1)=0f'(1)=-n2, 函数在(1，f(1)处的切线方程为y-0=-1n2(x-1), 即(ln2)x+y-ln2=0. 2)令--a+ 答案第11页，共14页 函数的定义域满足上+1=x+1>0,即函数的定义域为(-”，-)U(0,+), 定义域关于直线x=-】对称，由题意可得b=- 2 由对称可知+m》 1,1∂ 取m=可得g0=8(-2), 即(a+1)2=(a-2)n,则a+1-2-a,解得a= 21 经检验a6:满意，放a0=号 即存在a= (3)由屡数的解折式可得/到-（司)(x+〔+a 由f(x)在区间(0，+0)存在极值点，则'(x)在区间(0，+∞)上存在变号零点： (*眼a70, 则-(x+1)血(x+1)+(x+ax2)=0, 令g(x)=ax2+x-（x+1)1n(x+1), f(x)在区间(0，+0)存在极值点，等价于g(x)在区间(0，+∞)上存在变号零点， ()2-m(x+l).8")2a 当a≤0时，g'(x)<0,g(x)在区间(0，+m)上单调递减， 此时g(x)<g(0)=0,8(x)在区间(0，+∞)上无零点，不合题意； 当a≥分，2a≥1时，由于，<1，所以g()>0g)在区间(0，+切)上单调造增。 x+1 所以g'(x)>g'(0)=0,8(x)在区间(0，+∞)上单调递增，8(x)>g(0)=0, 所以8(x)在区间(0，+∞)上无零点，不符合题意： 当0<a号时，由g()-2a1=0可得x=21, x+1 2a 当品小时，g0,g单调递减 当2+所，g>0,网单调适台 答案第12页，共14页 故e)的最小值为g位2小-1ah2a, 令m()=1-x+血x(0<x<),则m)=-+>0, 函数m(x)在定义域内单调递增，(x)<(1)=0, 据此可得1-x+nx<0恒成立， 则8[21-2a+n2a0, 由一次函数与对数函数的性质可得，当x→+时， g'(x)=2-ln(x+1)→+o, 且注意到8'(0)=0， 根据零点存在性定理可知：g'(x)在区间(0，+∞)上存在唯一零点· 当x∈(0，x)时，8'(x)<0,8(x)单调减， 当x∈(，+∞)时，8'(x)>0,8(x)单调递增， 所以8(x)<8(0)=0. 令n(=l血x-G,则m()=,1=2-F x 2x 2x 则函数n(x)=lnx-√x在(0,4)上单调递增，在(4，+∞)上单调递减， 所以n(x)≤n(4)=h4-2<0,所以nx<√F, om)( ([a-h告小a1-2*1 后语语 164 121 a 答案第13页，共14页 所以函数8(x)在区间(0，+∞)上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知：实数a得取值范围是0,2 1 答案第14页，共14页