25.3实际问题与一元二次方程暑假自主学习同步练习题2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，培养数学建模与运算能力，适配暑假自主学习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|增长率、面积等基本模型|选择题1-4、填空题8-11，直接应用公式列方程，强化概念理解| |情境应用|几何与动态问题|选择题5-7、填空题12-14，结合矩形、运动情境，需分析等量关系| |综合拓展|跨学科与复杂问题|解答题18-20，融合物理匀变速运动、方案设计，考查综合建模能力|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《25.3实际问题与一元二次方程》 暑假自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 2．我国政府越来越关注民生问题，按相关部门要求，某种药品连续两次降价，每盒售价由原来的元降到元，平均降价率为（   ）． A． B． C． D． 3．某中学八年级进行春季篮球比赛，每个班都与其他班级比赛一场，共进行了36场比赛，那么八年级共有班级数为（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 4．为落实乡村振兴战略，某农机厂加大农业机械生产投入，一月份生产农业零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为（    ）m A．2 B．3 C．4 D．1 6．我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．某网店将每件进价为20元的工艺品以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若该网店想每天获得3750元利润，则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺品应涨x元，则下列说法正确的是（   ） A．涨价后每件工艺品的售价是元 B．涨价后每件售出工艺品的利润是元 C．涨价后每天销售工艺品的数量是件 D．可列方程为 二、填空题 8．在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 9．小明在与的对话中输入如下文字：“有没有这样一个非零实数，先计算它的平方，再减去它的3倍，结果等于这个数？”经过深度思考和验证，给出的这个数应该是______． 10．俗语有云：在技能学习中，有“一日不练手生，两日不练眼生，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”的说法，意味着知识或技艺若不及时巩固会逐渐遗忘．假设某人学习了一项技能，初始掌握程度为100分．且每天“遗忘”的百分比相同．若经过2天后，技能掌握程度剩余49分，每天“遗忘”的百分比为______ 11．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为______． 12．如图所示，小明将一根长为米的竹条截为两段，并互相垂直固定，作为风筝的龙骨，制作成了一个面积为平方米的风筝．小明将竹条截成的两段的长度分别是______． 13．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 14．将两张全等的等腰三角形纸片按照图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼成图②或图③所示的正方形．已知等腰三角形纸片的底边长为2，底边上的高为，并且．如果四边形的面积等于四边形面积的，那么的值是__________． 三、解答题 15．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了增加利润，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元时． (1)每天可销售________件，每件盈利________元；（用x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． (3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？若可能，请求出x的值；若不可能，请说明理由． 16．某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 17．电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． (1)若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 18．在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 19．列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 20．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． (1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 参考答案 1．C 【详解】解：设这个数为， ∵根据题意，这个数的平方与这个数的2倍的和为8， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，或， 故选：C． 2．B 【分析】设平均降价率为，根据两次降价后的价格关系列方程求解即可． 【详解】解：设平均降价率为， 根据题意，可列方程：， 整理，得， 解得，（舍去）， ∴平均降价率为． 3．C 【分析】可设班级总数为未知数，根据单场比赛不重复计数的规则列出总场数的表达式，列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设八年级共有个班级， ∵每个班都与其他班级比赛一场，每场比赛由两个班级参加，不重复计数， ∴总比赛场数为场， 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴八年级共有9个班级． 4．B 【分析】第一季度包含1、2、3三个月，需分别表示出每月产量，再根据第一季度总产量列方程． 【详解】解：∵一月份生产零件万个，平均每月增长率为， ∴二月份生产零件数量为 万个， ∴三月份生产零件数量为 万个， ∵第一季度共生产零件万个，第一季度总产量为三个月产量的和， ∴可列方程． 5．A 【分析】利用平移的性质，将道路平移到矩形边缘，使草坪拼成一个新的矩形，根据面积公式列一元二次方程求解． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意，利用平移法可将草坪拼成一个长为，宽为的矩形， ∴， 整理得，即， 解得，， ∵道路宽不能超过矩形的宽，即， ∴不合题意，舍去. ∴道路的宽为． 6．D 【分析】先根据速度和时间表示出各段路程，再抽象出直角三角形，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解： 如图， 由题意可得，，，， ∴由勾股定理得，． 7．C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用和列代数式，需根据涨价金额分析售价、单件利润、销量的变化，根据总利润单件利润销量可列出对应的方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A． 涨价后每件工艺品的售价应为元，而非元，原说法错误，不符合题意． B． 涨价后每件工艺品的利润为元，而非元，原说法错误，不符合题意． C． ∵单价每涨1元，每天少售出10件， ∴涨元时，少售出件， ∵原销量为300件， ∴涨价后每天销售工艺品的数量是件，原说法正确，符合题意． D． 总利润单件利润销量，单件利润为元，销量为件，故方程应为，而非，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 8．6 【分析】设每轮传播中平均一台服务器会感染x台服务器，由经过两轮感染后共有245台服务器感染了病毒，建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器感染服务器的台数为x，根据题意可得： ， 解得，（舍）， ∴每轮感染中平均每台服务器感染6台服务器． 9． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，需根据题意列出一元二次方程，结合非零实数的限定条件求解方程． 【详解】解：设这个非零实数为．根据题意列方程： 移项，得 因式分解，得 则或 解得， 由于该数为非零实数，故舍去 ∴ 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每天遗忘的百分比为x，则每天剩余比例为 ，根据题意列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为x， 由题意，得 ， 解得或（舍去）， ∴每天“遗忘”的百分比为， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设宽为x步，则长为步，根据矩形面积公式列方程． 【详解】解：设宽为x步，则长为步．由题意， 得． 故答案为． 12．米和米 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设将一根长为米的竹条截为两段，其中一段为米，则另一段为米，根据面积列出方程求解即可． 【详解】解：设将一根长为米的竹条截为两段，其中一段为米， 则另一段为米， 可列出方程为：， 解得：，， 当时，另一段的长为， 当时，另一段的长为， 故答案为：米和米． 13．2秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 14． 【分析】本题考查图形的拼剪，正方形的性质，一元二次方程的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．根据四边形的面积等于四边形面积的2倍，构建方程求解． 【详解】解：由题意得， 解得：（舍去）． 故答案为：． 15．(1)； (2)20元或10元 (3)不能，理由见详解 【分析】（1）根据降价1元多售出2件可得：降价x元多售出件，从而得出答案； （2）根据 “总利润单件利润数量”列出方程，从而求出方程的解得出答案； （3）根据题意列出方程，根据方程是否有解得出答案． 【详解】（1）解：设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元； （2）解：根据题意，得：， 解得：，， 答：每件童装降价20元或10元，平均每天盈利1200元； （3）解：不能，理由如下： 根据题意，得：， 化简得， 方程无解， 故不可能做到平均每天盈利2000元． 16．(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意 (2)面积不能达到，理由 设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； （2）略 17．(1)电动车车棚的长为 (2)不能围成占地面积为的电动车车棚，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 根据题意可得， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故电动车车棚的长为； （2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 根据题意可得， 化简可得， ， 故方程无解， 则不能围成占地面积为的电动车车棚． 18．(1)2， (2)秒 (3)米 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动21米用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． （3）根据（1）中结论得出小球滚动距离，再代入和作差即可解答． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， （2）解：设小球滚动21米用了秒，此时小球的末速度为 米/秒， 根据题意，得 整理得 解得 ， 当 时， ，不符合实际，舍去 因此 答：小球从开始到滚动21米用了3秒． （3）解：∵小球的滚动速度平均每秒减少，从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， ∴小球滚动距离， 当时，， ∴小球滚动25米后停止， 当时，， 故小球在最后一秒滚动了米． 19．(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 20．(1)， (2) (3)1或3 【分析】（1）由题意得：，， （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形； （3）解：由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在上． 学科网（北京）股份有限公司 $