精品解析：河南开封市五县学校联考2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若，则（ ） A. -9 B. 9 C. -4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】依据，直接计算即可. 【详解】由题可知：，所以. 故选：D 2. 在中，若，，，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦定理求出的值，再结合三角形大边对大角的性质，判断出正确选项. 【详解】在中，由正弦定理得，， 所以， 由于，所以，又，所以. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】由于指数函数是单调递增的，所以， 所以当时，，即”是“”的充分条件； 当时，不一定成立，即”不是“”的必要条件； 综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故A正确. 4. 已知函数则（ ） A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得：，所以. 5. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断． 【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误； 对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误； 对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误； 对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得， 由得，而，得，故D项正确． 6. 在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，则为直线与平面所成角，从而得到，所以当取最小值时取得最大值，求出的最小值，即可求出，连接，由勾股定理求出，即可得到点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，即可求出轨迹长. 【详解】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角， 所以，又直线与平面所成角的最大值是， 所以，当且仅当取最小值时取得最大值， 因为，所以当时取最小值，此时， 所以， 又点在底面内，且，连接， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为， 所以点的轨迹长为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是由线面角求出的长度，再由勾股定理求出，即可确定的轨迹. 7. 已知为坐标原点，若，，三点共线，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线,则与共线，列出方程求出，再利用投影向量的公式可得答案. 【详解】， 若，，三点共线， 则与共线，， 解得，，， 则在上的投影向量的坐标为. 故选：D. 8. 若数据的方差为15，数据的方差为10，则数据，的方差的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、方差公式，并结合已知表示出新数据的平均数以及方差，再求新数据方差的最小值. 【详解】设的平均数为，的平均数为，总体的平均数为，总体的方差为， 则， ， 当且仅当时，等号成立. 所以数据，的方差的最小值为12. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对 的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知直线 及平面 . 下列命题中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由题设结合空间线，面关系可判断选项正误. 【详解】对于A，当  时，可能与平行，相交（包含垂直），故A错误； 对于B，因，，则在 内存在直线，使得，从而，故B正确； 对于C，若  ，则可能与平行或异面，故C错误； 对于D，当  时，结合线面垂直性质可得，故D正确. 10. “沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知某旅游景区近一周的最低气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：℃），则（ ） A. 这组数据的极差为7 B. 这组数据的众数等于中位数 C. 这组数据的下四分位数为8 D. 这组数据的方差为 【答案】AC 【解析】 【详解】将原始数据按从小到大排序：， 所以这组数据的极差为，故A正确； 这组数据的众数为，这组数据的中位数为，故B不正确； 由于，所以这组数据的下四分位数为8，故C正确； 这组数据的平均数为，所以方差,故D不正确 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的性质、判定定理判断A；由平面即为平面，结合平面判断B；由线面角的定义及已知求其正切值判断C；根据已知求外接球的半径，即可求表面积判断D. 【详解】由题设，，则， 由平面，平面，则， 都在平面内，则平面， 平面，则，A对； 由平面，即为平面，又平面，， 所以平面，即与平面相交，B错； 由平面，则直线与平面所成角为， 又 所以，C对； 由为等腰直角三角形，且，则，故其外接圆半径， 由平面，，则三棱锥外接球半径， 所以外接球的表面积，D对. 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算元件至少有一个正常工作的概率，从而可得系统正常工作的概率. 【详解】因为元件至少有一个正常工作的概率为， 所以系统正常工作的概率为. 故答案为： 13. 如图，在正三棱柱中，各棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________________ 【答案】## 【解析】 【详解】连接，两者交于点，连接， 在正三棱柱中，可得，因点为的中点，则， 故异面直线与所成角即为直线与所成角，即或其补角. 不妨设，易得，，， 在中，由余弦定理，， 故异面直线与所成角的余弦值为． 14. 已知函数满足对于任意的，当时，恒成立，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用对数函数的单调性列不等式求解. 【详解】由题可知，是上的增函数，则不等式等价于，即， 函数在上单调递增，且， 所以不等式的解集为， 从而不等式的解集为． 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中，为虚数单位. （1）若是纯虚数，求实数的值: （2）若的实部与虚部相等，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为复数为纯虚数， 所以， 解得. 【小问2详解】 根据题意得，， 解得：， 将代入复数的表达式中，得： ， 故. 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性并证明； （2）若函数，求的值． 【答案】（1）是偶函数， 证明如下：由，可得， 则的定义域为，关于原点对称． ， 所以是偶函数． （2）2 【解析】 【分析】（1）由奇偶函数的定义证明即可. （2）令函数，先求出是奇函数，则，即可求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令函数，则， 由（1）可知是偶函数， 因为 所以是奇函数，从而， ． 17. 如图，在正三棱柱中，为的中点，，. （1）证明：； （2）证明：平面. 【答案】（1）在正三棱柱中，平面，平面， 所以， 因为为等边三角形，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故. （2）连接交于点，连接， 在三棱柱中，，，故四边形为平行四边形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【解析】 【分析】（1）证明出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）连接交于点，连接，由中位线的性质可得，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）． （1）把利润表示为年产量的函数． （2）年产量为多少时，企业所得利润最大？ （3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？ 【答案】（1） （2）475台； （3）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本． 【解析】 【分析】（1）根据利润函数＝销售收入函数−成本函数，由此即可求出结果； （2）由利润函数是二次函数，可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量的值； （3）要使企业不亏本，则利润，根据分段函数，分类解不等式，即可求出结果． 【小问1详解】 设利润为y万元， 得 ， 即. 【小问2详解】 显然当时，企业会获得最大利润， 此时，， ，即年产量为475台时，企业所得利润最大． 【小问3详解】 要使企业不亏本，则． 即 或， 得或，即． 即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本． 19. 已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：因为点在底面上的射影是与的交点， 所以平面，因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 因为，且平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，所以，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由平面，得到是直线与平面所成角，在直角中，即可求解； （3）设点到平面的距离为，根据，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为平面，所以直线与平面所成角，即为， 又因为菱形的边长为且，可得为等边三角形，且， 因为是等边三角形，所以， 在直角中，可得， 因为，所以. 【小问3详解】 解：由题意，可得，与都是边长为是等边三角形， 所以，且， 所以， 因为，所以， 设点到平面的距离为，由，可得， 即，解得， 所以点到平面的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若，则（ ） A. -9 B. 9 C. -4 D. 4 2. 在中，若，，，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数则（ ） A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 5. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为坐标原点，若，，三点共线，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 若数据的方差为15，数据的方差为10，则数据，的方差的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对 的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知直线 及平面 . 下列命题中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 10. “沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知某旅游景区近一周的最低气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：℃），则（ ） A. 这组数据的极差为7 B. 这组数据的众数等于中位数 C. 这组数据的下四分位数为8 D. 这组数据的方差为 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________. 13. 如图，在正三棱柱中，各棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________________ 14. 已知函数满足对于任意的，当时，恒成立，则不等式的解集为______． 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中，为虚数单位. （1）若是纯虚数，求实数的值: （2）若的实部与虚部相等，求. 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性并证明； （2）若函数，求的值． 17. 如图，在正三棱柱中，为的中点，，. （1）证明：； （2）证明：平面. 18. 某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）． （1）把利润表示为年产量的函数． （2）年产量为多少时，企业所得利润最大？ （3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？ 19. 已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $