精品解析：甘肃省兰州市榆中县甘肃国方高级技工学校2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

甘肃国方高级技工学校2025-2026学年第二学期 2025级《数学》期末试卷 一、单选题（每题2分，共计40分） 1. 直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 过点和的直线斜率为（ ）. A. 0 B. 不存在 C. 2 D. 1 3. 方程表示的直线在轴和轴上的截距分别为（ ）. A. 3，2 B. ，2 C. 3， D. ， 4. 过点，的直线方程为（ ）. A. B. C. D. 5. 下列直线中与平行的是（ ）. A. B. C. D. 6. 圆心在点，半径为2的圆的标准方程为（ ）. A. B. C. D. 7. 为了考察某地名初中毕业生数学升学考试成绩，从中抽出100本试卷，每本试卷25份，那么样本是（ ） A. 100本试卷 B. 2500名考生的数学成绩 C. 2500 D. 100 8. 下列方程中表示圆的是（ ）. A. B. C. D. 9. 直线与圆的位置关系是（ ）. A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不能确定 10. 点与圆的位置关系是（ ）. A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 11. 已知，两点，则线段的中点坐标为（ ）. A. B. C. D. 12. 过点，斜率为2的直线方程为（ ）. A. B. C. D. 13. 点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 14. 下列叙述中正确的是（ ）. A. 棱柱的底面一定是平行四边形 B. 棱锥的底面一定是三角形 C. 侧棱垂直于底面的棱柱称为正棱柱 D. 棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 15. 一个高为6、底面半径为2的圆柱体的体积为（ ）. A. 12 B. 24 C. D. 16. 已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的高为（ ）. A. B. 1 C. 2 D. 3 17. 两个球的体积之比为，那么这两个球的表面积之比为（ ）. A. B. C. D. 18. 从3名学生中选出2名参加数学趣味小组，这个事件的基本事件的总数是（ ）. A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 19. 对于随机事件的概率可以用（ ）来刻画. A. 任意实数 B. 负数 C. 大于0的整数 D. 不小于0不大于1的实数 20. 某人进行投篮练习，连续投两次，则事件“至少有一次投中”的互斥事件是（ ）. A. 至多有一次投中 B. 两次都投中 C. 两次都没投中 D. 只有一次投中 二、判断题（叙述正确的在后面括号中写正确，错误的写错误）（每题2分，共计10分） 21. 样本均值反映出样本的平均水平.（ ） 22. 从一副52张的扑克牌（不含大王、小王）中抽出一张，抽出一张6的概率为.（ ） 23. 如果直线与直线的斜率都存在且不等于零，设：，：，那么这两条直线垂直的充要条件为.（ ） 24. 圆锥的轴截面是以底面直径为底、母线为腰的等腰三角形.（ ） 25. ，此为必然事件.（ ） 三、填空题（每空2分，共计20分） 26. 直线的斜率为________. 27. 圆的圆心坐标为________. 28. 已知点，，则的长度为________. 29. 已知点到直线的距离为4，则________. 30. 圆的半径为________. 31. 一个正方体的棱长缩小为原来的一半，它的体积缩小到原来的________. 32. 正四棱锥的高为10，侧棱与底面所成的角为，则其体积是________. 33. 圆柱的底面半径为，高为，则其侧面积是__________； 34. 已知圆锥的高为，底面半径为，则其母线长是________. 35. 为了解某校学生数学统考试题的作答情况，抽取100人进行考卷分析，则在这次考查中样本容量为________. 四、解答题（每题10分，共计30分） 36. 某校高二年级学生共有1000人，其中，重点班有200人，普通班有800人.为了解学生期中考试数学试卷的得分情况，现要抽取100个学生的数学试卷进行分析，应如何进行抽样？ 37. 一个球的大圆的半径为，求这个球的表面积和体积各是多少？ 38. 求过点且与圆相切的直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃国方高级技工学校2025-2026学年第二学期 2025级《数学》期末试卷 一、单选题（每题2分，共计40分） 1. 直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的倾斜角的取值范围即可得解. 【详解】直线的倾斜角的取值范围为， 故选：. 2. 过点和的直线斜率为（ ）. A. 0 B. 不存在 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用过两点的直线斜率公式，代入两点坐标计算即可得到结果. 【详解】因为直线过两点分别为，， 所以直线的斜率. 故选：A. 3. 方程表示的直线在轴和轴上的截距分别为（ ）. A. 3，2 B. ，2 C. 3， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线在坐标轴上截距的定义，分别令求解得轴截距，令求解得轴截距，即可确定正确选项. 【详解】令，代入方程，可得，解得，即轴截距为； 令，代入方程，可得，解得，即轴截距为， 因此该直线在轴、轴上的截距分别为、. 故选：B. 4. 过点，的直线方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用两点坐标计算直线斜率，再结合点斜式写出直线方程并整理为一般式，匹配选项即可 【详解】因为直线过两点，， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为：，整理得：. 故选：B. 5. 下列直线中与平行的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两不重合直线平行斜率相等的判定定理，将各选项直线化为斜截式计算斜率，与已知直线斜率对比即可得解. 【详解】因为直线方程为，由斜截式结构可知其斜率，纵截距为4，逐一分析选项： 选项A：对整理得，斜率为，两直线不平行； 选项B：对整理得，斜率为，两直线不平行； 选项C：对整理得，斜率为，且纵截距为，两直线不重合，满足平行条件； 选项D：对整理得，斜率为，两直线不平行. 故选：C. 6. 圆心在点，半径为2的圆的标准方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆心半径代入圆的标准方程的结构即可求解. 【详解】圆心在点，半径为2的圆的标准方程为：   ，化简后可得. 故选：D. 7. 为了考察某地名初中毕业生数学升学考试成绩，从中抽出100本试卷，每本试卷25份，那么样本是（ ） A. 100本试卷 B. 2500名考生的数学成绩 C. 2500 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】由样本的定义结合题目条件即可判断. 【详解】为了考察某地名初中毕业生数学升学考试成绩， 从中抽出100本试题，每本试卷25份， 所以样本是名初中学生的数学考试成绩， 故选：B. 8. 下列方程中表示圆的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件判断各选项即可.  【详解】二元二次方程表示圆的条件为：①与的系数相等且不为0；②不含交叉项；③化为的形式后，. A选项：方程为，满足条件①②，其中，，， ，满足条件，该方程表示圆. B选项方程含交叉项，不符合圆的方程特征，排除. C选项：方程两边同除以4得，满足条件①②，其中，，， ，不满足条件，不表示圆.  D选项：系数为2，系数为3，二者不相等，不符合圆的方程特征，排除. 故选：A. 9. 直线与圆的位置关系是（ ）. A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程得到圆心和半径，计算圆心到直线的距离，比较其与半径的大小即可判断位置关系. 【详解】先将圆的一般方程化为标准方程，得， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离 ， 因为，所以直线与圆相离. 故选：A. 10. 点与圆的位置关系是（ ）. A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】将点M的坐标代入圆方程左侧，将计算结果与右侧的半径平方作比较，即可判断点与圆的位置关系. 【详解】圆的方程为， 将点代入方程左侧计算得： ， 因为，因此点在圆内. 故选：A. 11. 已知，两点，则线段的中点坐标为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中点坐标公式计算即可求解. 【详解】由，可得： 中点的横坐标为， 中点的纵坐标为， 因此线段的中点坐标为. 故选：B. 12. 过点，斜率为2的直线方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直线的点斜式方程写出对应直线表达式，再整理为一般式匹配选项即可. 【详解】因为直线过点，斜率， 所以直线的点斜式方程为：， 整理得：. 故选：A. 13. 点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将直线化为一般式，再直接应用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】已知直线，即， 点到直线的距离为： . 故选：B. 14. 下列叙述中正确的是（ ）. A. 棱柱的底面一定是平行四边形 B. 棱锥的底面一定是三角形 C. 侧棱垂直于底面的棱柱称为正棱柱 D. 棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】依据棱柱、棱锥、正棱柱的定义，逐一验证各选项表述是否正确即可得出答案. 【详解】选项A：棱柱的底面是任意多边形，例如三棱柱的底面为三角形，并非必须是平行四边形，因此A错误； 选项B：棱锥的底面是任意多边形，例如四棱锥的底面为四边形，并非必须是三角形，因此B错误； 选项C：侧棱垂直于底面，且底面为正多边形的棱柱才称为正棱柱，仅满足侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，因此C错误； 选项D：若用平行于棱柱底面的平面截棱柱，得到的两部分均符合棱柱的定义，都属于棱柱，因此D正确. 故选：D. 15. 一个高为6、底面半径为2的圆柱体的体积为（ ）. A. 12 B. 24 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接运用圆柱体积公式，代入已知的底面半径和高计算即可得出结果. 【详解】因为圆柱底面半径，高， 所以圆柱的体积. 故选：D. 16. 已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的高为（ ）. A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥母线、底面半径、高构成直角三角形的结构特征，结合勾股定理计算即可.  【详解】因为圆锥的母线长为2，底面半径为1， 所以圆锥的高. 故选：A. 17. 两个球的体积之比为，那么这两个球的表面积之比为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设两个球的半径分别为，结合球的表面积与体积公式，列式即可得解. 【详解】设两个球的半径分别为， 因为两个球的体积之比为，可得，可得， 所以两个球的表面积之比为. 故选：B. 18. 从3名学生中选出2名参加数学趣味小组，这个事件的基本事件的总数是（ ）. A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】通过列举法计数即可得到基本事件总数. 【详解】设3名学生分别为， 由于参加的是同一个兴趣小组，所选2人的顺序不影响事件结果， 因此该事件的基本事件为：，共3种， 故选：B. 19. 对于随机事件的概率可以用（ ）来刻画. A. 任意实数 B. 负数 C. 大于0的整数 D. 不小于0不大于1的实数 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件的概率的定义可判断. 【详解】根据随机事件的概率的定义可知，随机事件的概率可以用不超过1的非负实数来刻画. 故选：D 20. 某人进行投篮练习，连续投两次，则事件“至少有一次投中”的互斥事件是（ ）. A. 至多有一次投中 B. 两次都投中 C. 两次都没投中 D. 只有一次投中 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义求解即可. 【详解】连续投篮两次的所有可能结果为：(中，中)、(中，不中)、(不中，中)、(不中，不中). 事件“至少有一次投中”包含的样本点为：(中，中)、(中，不中)、(不中，中). A. 事件“至多有一次投中”包含的样本点为：(中，不中)、(不中，中)、(不中，不中)，与“至少有一次投中”存在公共样本点，可同时发生，不是互斥事件. B. 事件“两次都投中”包含的样本点为(中，中)，属于“至少有一次投中”的子事件，可同时发生，不是互斥事件. C. 事件“两次都没投中”包含的样本点为(不中，不中)，与“至少有一次投中”无公共样本点，不可能同时发生，是互斥事件. D. 事件“只有一次投中”包含的样本点为(中，不中)、(不中，中)，属于“至少有一次投中”的子事件，可同时发生，不是互斥事件.  故选：C. 二、判断题（叙述正确的在后面括号中写正确，错误的写错误）（每题2分，共计10分） 21. 样本均值反映出样本的平均水平.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】结合统计学中样本均值的定义和作用判断题干表述是否正确. 【详解】样本均值是样本中所有观测值的算术平均数，其统计意义为反映样本数据的平均水平， 题干表述与样本均值的定义、作用完全相符，因此表述正确. 故答案为：正确. 22. 从一副52张的扑克牌（不含大王、小王）中抽出一张，抽出一张6的概率为.（ ） 【答案】 正确 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式，分别计算抽牌的总基本事件数和抽到的基本事件数，将计算结果与题干表述比对即可判断正误. 【详解】从52张不含大小王的扑克牌中随机抽取1张，所有等可能的基本事件总数为52； 设事件为“抽出一张6”，由于扑克牌共有4种花色，每种花色各有1张6，因此事件包含的基本事件数为4， 所以，与题干给出的概率一致. 故答案为：正确. 23. 如果直线与直线的斜率都存在且不等于零，设：，：，那么这两条直线垂直的充要条件为.（ ） 【答案】 正确 【解析】 【分析】结合斜率均存在且不为零的两条直线垂直的充要条件直接判断命题正误. 【详解】当两条直线斜率均存在时，两条直线互相垂直的充要条件为二者斜率的乘积等于， 即，题干表述符合该定理的前提与结论. 故答案为：正确. 24. 圆锥的轴截面是以底面直径为底、母线为腰的等腰三角形.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】结合圆锥轴截面的定义可直接判断命题表述正确． 【详解】依据圆锥轴截面的定义：过圆锥轴的平面截圆锥得到的截面为圆锥的轴截面． 因为圆锥的轴经过底面圆的圆心，因此平面与圆锥底面的交线为底面圆的直径；平面与圆锥侧面的两条交线为圆锥的两条母线，且圆锥的所有母线长度相等， 因此圆锥的轴截面是以底面直径为底、母线为腰的等腰三角形，故该命题正确． 故答案为：正确． 25. ，此为必然事件.（ ） 【答案】 错误 【解析】 【分析】依据必然事件、不可能事件的定义，结合抛掷一枚骰子的点数可能取值范围判断事件的类型，验证题干结论是否正确. 【详解】一枚标准骰子的点数取值集合为，将其抛掷1次，不可能出现点数为7的结果， 因此事件是不可能事件，不属于必然事件. 故答案为：错误. 三、填空题（每空2分，共计20分） 26. 直线的斜率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程求斜率即可. 【详解】直线中，所以直线的斜率为. 故答案为：. 27. 圆的圆心坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的标准方程直接写出圆心坐标即可. 【详解】圆的圆心坐标为. 故答案为：. 28. 已知点，，则的长度为________. 【答案】 【解析】 【分析】由两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为点，， 所以的长度为. 故答案为：. 29. 已知点到直线的距离为4，则________. 【答案】或 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离为4， 可得， 化简得，，解得或. 故答案为：或. 30. 圆的半径为________. 【答案】 【解析】 【分析】将圆的一般方程通过配方法转化为标准方程，即可得到半径. 【详解】由可得：， 则该圆的圆心为，半径为. 故答案为：.  31. 一个正方体的棱长缩小为原来的一半，它的体积缩小到原来的________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正方体体积公式，分别计算棱长变化前后的体积，通过作比得到体积缩小的比例. 【详解】设原正方体的棱长为，原体积为：  ， 当棱长缩小为原来的一半时，新棱长，新体积：  ， 所以新体积与原体积的比值：  ，因此它的体积缩小到原来的. 故答案为：. 32. 正四棱锥的高为10，侧棱与底面所成的角为，则其体积是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据线面角的定义求出底面正方形的边长，再代入棱锥体积公式计算体积. 【详解】如图所示：在正四棱锥中，底面四边形为正方形， 取交点为，连接，则为正四棱锥的高，则， 因为平面，所以是侧棱与底面所成的角，即， 所以，即， 在正方形中，，， 故， 所以正四棱锥的体积. 故答案为：. 33. 圆柱的底面半径为，高为，则其侧面积是__________； 【答案】 【解析】 【分析】由圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的底面半径为， 所以圆柱的底面周长为， 所以圆柱的侧面积为. 故答案为：. 34. 已知圆锥的高为，底面半径为，则其母线长是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形的性质，结合勾股定理求解即可. 【详解】已知圆锥的高为，底面半径为， 则其母线长为： . 故答案为：. 35. 为了解某校学生数学统考试题的作答情况，抽取100人进行考卷分析，则在这次考查中样本容量为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据样本容量的定义，直接提取抽取的个体数量即可得到结果. 【详解】因为样本容量指样本中所含个体的数量，无单位， 抽取的名学生的试卷作答情况为样本，样本中包含的个体数目为， 因此样本容量为. 故答案为：. 四、解答题（每题10分，共计30分） 36. 某校高二年级学生共有1000人，其中，重点班有200人，普通班有800人.为了解学生期中考试数学试卷的得分情况，现要抽取100个学生的数学试卷进行分析，应如何进行抽样？ 【答案】 采用分层随机抽样，从重点班随机抽取20份数学试卷，从普通班随机抽取80份数学试卷. 【解析】 【分析】根据分层抽样的特征和适用条件选择抽样方法，再按照抽样比计算各层抽取的样本量即可. 【详解】1. 确定抽样方法：总体为高二年级1000名学生的数学试卷得分，由重点班、普通班两个差异明显的层构成，因此选用分层随机抽样. 2. 计算抽样比：抽样比为样本容量与总体容量的比值，即 . 3. 计算各层抽取数量： 重点班应抽取的试卷份数为； 普通班应抽取的试卷份数为. 4. 实施抽样：分别在重点班的200份试卷、普通班的800份试卷中采用简单随机抽样抽取20份、80份试卷，将抽取的100份试卷合并，即得到所需的样本. 37. 一个球的大圆的半径为，求这个球的表面积和体积各是多少？ 【答案】 表面积为，体积为. 【解析】 【分析】由球的大圆半径得到球的半径，分别代入球的表面积、体积公式计算即可. 【详解】过球心的平面截球面得到的圆为球的大圆，因此大圆半径与球的半径相等，即球的半径， 则球的表面积为：， 球的体积为： . 38. 求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】 【解析】 【分析】分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，利用圆心到切线的距离等于半径的性质求解. 【详解】圆的圆心为，半径. ①当直线的斜率不存在时，其直线方程为， 圆心到直线的距离，不符合题意，舍去. ②当直线的斜率存在时，设其方程为，即. 由直线与圆相切的性质可知，圆心到直线的距离等于半径，即， 两边平方得，解得. 则直线的方程为，即， 综上，所求直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $