专题08 临界极值、“活结”与”死结“模型 专项训练-2026-2027学年高一上学期物理解题模型（人教版）

**基本信息** 聚焦临界极值问题与绳杆模型，通过“概念-方法-模型-应用”逻辑链系统整合图解/函数/极限法，强化模型建构与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心知识|3类方法+4模型|临界极值三法（图解/函数/极限）；绳杆模型规律（死结弹力不等、活结弹力等大）|从临界极值定义到解题方法，再到绳杆模型特征，形成概念-方法-应用递进| |模型突破|2模型（含典例+变式）|临界问题抓静动摩擦/弹力变化；活结死结抓拉力关系；口诀“近小远大，纵不变”|典例覆盖斜面/悬挂等情景，变式拓展实际应用（筷子夹球/晾衣绳），突出科学推理|

专题08 临界极值、“活结”与“死结”模型 01 核心知识 一、共点力平衡中的临界与极值问题 1.临界问题 在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，弹力F弹＝0。 2．极值问题 在力的变化过程中存在力的最大值或最小值。 3．解决共点力平衡中的临界问题和极值问题的三种方法 图解法 根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。 函数法 通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 极限法 首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大或极小。 二、“死结”和“活结”、“动,杆”和“定杆”模型 1.模型解读 （1）“死结”模型：死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。 （2）“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子拉力的合力方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。 （3）“动杆”模型：对于一端有转轴或有铰链的轻杆，其提供的弹力方向一定是沿着轻杆的方向。 （4）一端固定的轻杆(如一端“插入”墙壁或固定于地面)，其提供的弹力不一定沿着轻杆的方向。 2.常考模型情景（晾衣服模型） 如图所示，一根细绳A、B两端分别栓在两根固定的杆上，两杆间的距离为d，重物的重力为G 核心处理思路：对O点受力分析如图所示 由平衡可知即，由几何关系可知 其中得 规律：.纵移，即A点或B点上、下移动时，由于d不变，绳长不变，则不变，则绳中拉力不变； .远离，即两杆距离增大，变大，绳中拉力变大， .靠近，即两杆距离增大，变小，绳中拉力变小； 口决：对于和T的变化情况满足：“近小远大，纵不变”，其中“近”和“远”指的是距离d，d小，小，绳中拉力小；d大，大，绳中拉力大，“纵”指的是A点或B点上、下移动，此时绳中拉力不变。 02 模型归纳 一、临界与极值问题 类型 临界问题 极值问题 图例 特点 （1）由静止开始运动，摩擦达到最大静摩擦； （2）绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 （3）刚好离开接触面，弹力F弹＝0。 平衡问题的极值问题，一般指力的变化过程中的最大值和最小值问题。 二、“死结”和“活结”、“动,杆”和“定杆”模型 “死结”模型(轻绳) “活结”模型(轻绳) 图例 特点 “死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等 “活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子拉力的合力方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线 “动杆”模型 “定杆”模型 特点 对于一端有转轴或有铰链的轻杆，其提供的弹力方向一定是沿着轻杆的方向 轻杆的弹力不一定沿着轻杆的方向，可沿任意方向 03 模型突破 模型1 临界极值问题 【解题技巧】1.共点力平衡中的临界与极值问题常与动态平衡问题结合起来考查，应用图解法进行分析，作出力的平行四边形或矢量三角形，常常有助于直观地得到结果。 2.由静摩擦力变为滑动摩擦力、摩擦力方向改变、弹力有无及方向改变常常是临界与极值问题中要特别注意的。 【典例01】如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。现将斜面倾角改变为α，对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)求物体与斜面间的动摩擦因数？ (2)推力F为多大？ (3)当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求这一临界角θ0的大小？ 【答案】(1) (2) (3)60° 【详解】（1）当斜面倾角为30°时物体恰能沿斜面匀速下滑，则， 联立解得 （2）对物体受力分析，沿斜面方向，有，， 联立解得 （3）由以上分析可知，不论水平恒力F多大都不能使物体沿斜面向上滑行，需要满足 解得 【变式1-1】（多选）如图所示，质量为的砝码悬挂在轻绳PA和PB的结点上并处于静止状态，PA与竖直方向的夹角，PB沿水平方向。质量为的木块与PB相连，M在水平方向F的作用下，静止于水平桌面上，物体与桌面的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，（取，，），则下列说法正确的是（　　） A．轻绳PA的拉力为20N B．轻绳PB的拉力为10N C．拉力F的最大值20N D．拉力F的最小值4.4N 【答案】AC 【详解】AB．对结点P与砝码整体进行分析，根据平衡条件有， 解得，，故A正确，B错误； C．若拉力F取最大值，此时木块有向左运动的趋势，静摩擦力达到最大值，方向向右，对木块有， 解得，故C正确； D．若拉力F取最小值，此时木块有向右运动的趋势，静摩擦力达到最大值，方向向左，对木块有， 解得，故D错误。 故选AC。 【变式1-2】（多选）筷子是中华饮食文化的标志之一，我国著名物理学家李政道曾夸赞说：“筷子如此简单的两根木头，却精妙绝伦地应用了物理学杠杆原理。”如图所示，用筷子夹住质量为m的小球，两根筷子均在竖直平面内，且小球静止，筷子和竖直方向的夹角均为。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（   ） A．小球受到3个力作用 B．当增大时，筷子对小球的作用力不变 C．当时，只要筷子对小球的压力足够大，图中小球就可以保持静止 D．使小球不掉落，筷子对小球的最小压力是 【答案】BD 【详解】A．小球受到重力、两根筷子的两个弹力和两个摩擦力作用，共5个力，故A错误； B．当增大时，由于小球处于静止，根据受力平衡可知，筷子对小球的作用力与重力等大反向，则筷子对小球的作用力不变，故B正确； D．对小球受力分析，如图所示 竖直方向根据平衡条件可得 又 联立解得 故使小球不掉落，筷子对小球的最小压力是，故D正确； C．要想用筷子夹住小球，则有 则 可得 可知当时，无论筷子对小球的压力多大，图中小球都不可以保持静止，故C错误。 故选BD。 模型2 “死结”和“活结”、“动,杆”和“定杆”模型 【解题指导】“死结”相当于将一段绳子分成两段，所以“死结”两侧轻绳的拉力大小不一定相等。“活结”两侧轻绳虽然受力方向不同，但仍是一根绳子，故两侧轻绳的张力大小相等，两侧轻绳张力的合力沿绳子的角平分线。 【典例02】（多选）如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10kg的物体，；图乙中轻杆HP一端用铰链固定在竖直墙上，另一端P通过轻绳EP拉住，EP与水平方向也成角，轻杆的P点用轻绳PQ拉住一个质量也为10kg的物体。g取，求： (1)横梁BC对C端的支持力： (2)轻杆HP对P端的支持力。 【答案】(1)，方向和水平方向成角斜向右上方 (2)，方向水平向右 【详解】（1）甲图中，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10kg的物体，则绳子拉力大小为 定滑轮两侧绳子的夹角为，根据平衡条件可知横梁BC对C端的支持力大小为 方向和水平方向成角斜向右上方。 （2）图乙中，以P端为对象，根据平衡条件可得 可得轻杆HP对P端的支持力大小为 方向水平向右。 【变式2-1】如图所示，一轻质直杆可绕点在竖直面内旋转，长度为的细绳两端分别固定在杆上点和点，绳中间穿有质量为的光滑圆环，点和点之间的距离为L。轻杆处于水平位置，现将杆的右端向上抬高稍许，则轻绳上的拉力将（　　） A．保持不变 B．先增大后减小 C．增大 D．减小 【答案】D 【详解】令轻杆从水平方向逆时针转过的角度为，此时轻绳与竖直方向的夹角为，根据几何性质有 设绳受到的拉力为，对圆环、圆环与轻绳的接触点进行分析，根据平衡条件有 解得，可知随着逐渐增大，的值逐渐减小。 故选D。 【变式2-2】（多选）如图所示，轻杆AC和轻杆BC 的一端用光滑铰链连接在C点，另一端分别用光滑铰链固定在竖直墙壁上，将一质量为m 的物块通过细线连接在C点并保持静止状态。已知重力加速度大小为g，AB=BC=AC，下列说法正确的是（　　） A．轻杆AC上的弹力大小为mg B．轻杆 BC上的弹力大小为 C．若将轻杆AC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置 D．若将轻杆BC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置 【答案】AC 【详解】AB．以C点为对象，进行受力分析，如图所示 由于为等边三角形，根据图中几何关系可得 故A正确，B错误； C．若将轻杆AC换成相同长度的细线，则细线AC的拉力仍沿AC向上，物块仍能静止在原来位置，故C正确； D．若将轻杆BC换成相同长度的细线，则细线BC的拉力应沿CB向下，物块不能静止在原来位置，故D错误。 故选AC。 【变式2-3】（多选）如图所示，一根不可伸长的轻绳两端分别固定在两根竖直晾衣杆上的A、B两点，A略高于B。重物C通过光滑挂钩挂在轻绳上，处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A．钩挂两端的轻绳与水平方向的夹角 B．钩挂两端的轻绳与水平方向的夹角 C．若将B点缓慢上移，绳子中的拉力不变 D．若将B点缓慢上移，绳子中的拉力逐渐减小 【答案】AC 【详解】AB．钩挂与绳的结点（活结）受三力平衡，易知两侧绳的拉力F相等，两侧绳的拉力F沿水平方向的分力相等，即 则，故A正确，B错误； CD．设A、B两点间绳子总长为l， 两根竖直晾衣杆间距为d ，由几何关系有 即若将B点缓慢上移，且角度不变，竖直方向有 故绳子中的拉力不变，C正确，D错误。 故选AC。 04 综合素养提升 一、单选题 1．如图所示，三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物。其中细绳OB是水平的，A端、B端固定。若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断掉的绳是（　　） A．必定是OA B．必定是OB C．必定是OC D．三根绳子同时断掉 【答案】A 【详解】以结点O为对象，如图所示 根据受力平衡可得 可知三段细绳中，OA拉力最大，则逐渐增加C端所挂物体的质量，最先断掉的绳是OA。 故选A。 2．如图所示，光滑轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定于竖直杆上的a、b两点，一质量为m的衣服静止悬挂于绳上某点；若在绳上另一点继续悬挂另一质量为M的衣服，已知m<M，两衣架质量均可忽略不计，则最终两衣服在绳上的状态为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】对衣架受力分析如图所示          因为同一根绳子上的拉力大小处处相等，所以衣架两侧绳子是对称的，与竖直方向夹角是相等的。设绳子与水平方向的夹角为，根据受力平衡可得 由于m<M，若m左端绳与水平方向夹角小于M右绳与水平方向夹角，则无法平衡，故最终二者靠在一起才能保持平衡。 故选D。 3．如图，质量为m的小球用一轻绳竖直悬吊于O点，现用一光滑的金属挂钩A钩住轻绳向右缓慢拉动轻绳至虚线位置，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．轻绳OA段的拉力先变大后变小 B．钩子对轻绳的作用力水平向右 C．钩子对轻绳的作用力越来越大 D．钩子对轻绳的作用力可能等于2mg 【答案】C 【详解】A．对小球受力分析，可知小球受重力和轻绳的拉力作用，根据平衡条件，可得轻绳的拉力T=mg 根据同一根轻绳的拉力处处相等，故轻绳OA段的拉力大小一直为mg，大小不变，故A错误； B．由题分析，可知两段轻绳的拉力大小相等，根据平行四边形定则，可知两段轻绳对钩子的合力是向左下方的，所以钩子对轻绳的作用力向右上方，故B错误； C．两段轻绳的拉力大小相等，均等于mg，向右拉动过程中，两个拉力之间的夹角越来越小，根据平行四边形定则可知，两段轻绳拉力的合力越来越大，所以钩子对轻绳的作用力也越来越大，故C正确； D．因为钩子与轻绳的接触点A始终在一条水平线上，两段轻绳之间的夹角不可能达到90°，轻绳对钩子的作用力小于，所以钩子对轻绳的作用力也不可能等于2mg，故D错误。 故选C。 4．如图所示，轻杆的左端用铰链与竖直墙壁连接，轻杆的左端固定在竖直墙上，图甲中两轻绳分别挂着质量为、的物体，另一端系于点，图乙中两轻绳分别挂着质量为、的物体，另一端系于点。四个物体均处于静止状态，图中轻绳、与竖直方向的夹角均为，下列说法一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AB．图甲中，OB绳的张力为 由平衡条件可得 则 故A错误，B正确； CD．CD杆固定在墙上，杆的弹力方向不确定，则m3、m4的比例不确定，故CD错误。 故选B。 5．由半圆形和矩形组成的艺术门框如图所示，A、B为半圆形与矩形的衔接点。一根不可伸长的轻绳一端固定在A点，另一端可沿着门框在最高点P与右侧门框的中点Q之间缓慢移动。轻质滑轮连接一重物，滑轮与绳的接触点为O，AO与竖直方向的夹角为α，BO与竖直方向的夹角为β，不计滑轮与绳间的摩擦。若绳的另一端从B点开始移动，下列说法正确的是（　　）    A．若从B点沿着门框向上缓慢移动，α与β均减小，且α>β B．若从B点沿着门框向上缓慢移动，绳上的拉力先减小后增大 C．若从B点沿着门框向下缓慢移动，α与β均增大，且α=β D．若从B点沿着门框向下缓慢移动，绳中的拉力大小保持不变 【答案】D 【详解】A．由于滑轮与轻绳之间无摩擦，若从B点沿着门框向上缓慢移动，α与β均减小，且α=β，选项A错误； B．对滑轮受力分析，根据 2FTcosα=mg 可得绳上的拉力一直减小，选项B错误； CD．若从B点沿着门框向下缓慢移动，则滑轮两边细绳与竖直方向的夹角仍相等，即α=β由几何关系可知 （l为绳长，d为门框宽度），则α与β均不变，故绳上的拉力大小保持不变，选项C错误，D正确。 故选D。 6．四个相同的物块用轻绳系住，绕过光滑的轻质滑轮，并将绳子另一端系在墙壁上。甲、乙两杆固定插在竖直墙壁上，丙、丁两杆带有铰链并固定于竖直墙壁上，轻杆与轻绳与水平方向夹角如图所示。四幅图中，能够保持静止且杆的作用力相同的是（    ）    A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丁 D．乙和丁 【答案】C 【详解】甲图中，对滑轮受力分析如图    由图可知杆可以保持静止，对滑轮的作用力大小为 与竖直方向成夹角向右上方。 乙图中，对滑轮受力分析如图    由图可知杆可以保持静止，对滑轮的作用力大小为 与竖直方向成夹角向右上方。 丙图中，对滑轮受力分析如图，    由图可知，滑轮受力不平衡，杆不能静止。 丁图中，对滑轮受力分析如图    由图可知杆可以保持静止，对滑轮的作用力大小为 与竖直方向成夹角向右上方。 综上所述，能够保持静止且杆的作用力相同的是甲图和丁图。 故选C。 7．如图所示，轻杆一端固定一质量为m的小球A，另一端与放置在粗糙水平地面上的木板B上的铰链O连接。将小球A用轻绳绕过光滑的定滑轮O'由力F牵引，且定滑轮O'位于铰链O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小，使小球A绕O点远离O'缓慢运动，木板B始终保持静止，则在整个过程中（　　） A．力F逐渐减小 B．轻杆对小球A的作用力增大 C．地面对木板B的摩擦力逐渐减小 D．地面对木板B的作用力逐渐减小 【答案】D 【详解】A．对小球进行受力分析，小球受到的三个力构成矢量三角形，如图所示 根据几何关系可知两三角形相似，因此 缓慢运动过程O'A越来越大，则F逐渐增大，故A错误； B．由于OA长度不变，杆对小球的作用力大小不变，故B错误； C．对木板B，由于杆对木板的作用力大小不变，方向向右下，但杆的作用力与竖直方向的夹角越来越大，地面对木板的摩擦力 越来越大，越来越大，F不变，故摩擦力f越来越大，故C错误； D．木板B受重力、地面的支持力、杆的弹力和地面的摩擦力，根据力的合成与分解可知地面对木板B的作用力与木板B受重力和杆的弹力的合力等大反向，杆的作用力与竖直方向的夹角越来越大，则木板B受重力和杆的弹力的合力逐渐减小，所以地面对木板B的作用力减小，故D正确。 故选D。 8．日常生活中，我们在门下缝隙处塞紧一个木楔（侧面如图所示），往往就可以把门卡住。有关此现象的分析，下列说法正确的是（　　） A．门不易被风吹动的原因是风力太小 B．门对木楔作用力的水平分量等于地面对木楔摩擦力的大小 C．只要木楔的厚度合适都能将门卡住，与顶角的大小无关 D．只要木楔对门的压力足够大就能将门卡住，与各接触面的粗糙程度无关 【答案】B 【详解】A．用木楔卡住门，正是为了防止风力较大时门被吹动，木楔通过增大系统所能承受的最大静摩擦力来抵抗风力，而不是因为风力太小，故A错误； B．对木楔受力分析如图所示 水平方向f＝Fsinθ 最大静摩擦力约等于滑动摩擦力，门对木楔作用力的水平分量等于地面对木楔摩擦力的大小，故B正确； CD．对木楔，竖直方向有 N地＝Fcosθ+mg 则 要把门卡住，则有：不管多大的力F均满足 fmax ≥ f 即 不管m的大小，只要μ≥tanθ，就可把门卡住，故能否把门卡住，与顶角θ和接触面的粗糙程度有关，故CD错误。 故选B。 9．如图所示，物体P、Q用轻绳连接后跨过光滑轻质定滑轮，物体P放在长木板上，物体Q悬挂在定滑轮的另一侧。长木板与水平地面的夹角为，物体P与长木板之间的动摩擦因数，物体P相对长木板静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（    ） A．物体P、Q的质量之比的最大值为 B．物体P、Q的质量之比的最小值为 C．若从60°缓慢减小到45°的过程中，物体P始终静止，则轻绳对滑轮的作用力保持不变 D．若从60°缓慢减小到45°的过程中，物体P始终静止，则物体P对长木板的作用力保持不变 【答案】B 【详解】A．当物体P、Q的质量之比的最大时，P有下滑的趋势，此时最大静摩擦力沿斜面向上，根据平衡关系 解得，A错误； B．当物体P、Q的质量之比的最小时，P有上滑的趋势，此时最大静摩擦力沿斜面向下，根据平衡关系 可得，B正确； C．当从60°缓慢减小到45°的过程中，两轻绳间的夹角逐渐增大，绳子的拉力大小不变，则两绳的合力逐渐减少，则轻绳对滑轮的作用力逐渐减少，C错误； D．若从60°缓慢减小到45°的过程中，物体P始终静止，则物体P对长木板的作用力大小等于物体P的重力和绳的拉力的合力大小，拉力大小不变但方向变化，则物体P对长木板的作用力变化，D错误。 故选B。 二、多选题 10．仿古建筑中某种瓦片的截面如图甲所示，其顶角为，若将质量为的该种瓦片对称放在一段房脊上，现工人师傅将房脊的一端缓慢抬高至瓦片刚要滑动，如图乙所示，此时房脊底部与水平面的夹角为。重力加速度大小为，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．受到5个力的作用 B．对的作用力方向与竖直方向的夹角为 C．对的摩擦力的合力大小为 D．与之间的动摩擦因数 【答案】AD 【详解】A．对进行受力分析可知，受到重力、对的两个弹力及对的两个静摩擦力的作用，即受到五个力的作用，故A正确； B．处于平衡状态，根据平衡条件可知，对的作用力与的重力平衡，即对的作用力与的重力大小相等，方向竖直向上，故B错误； C．将的重力沿房脊上表面与垂直于房脊上表面分解，则沿房脊上表面的分力大小为，对的静摩擦力的合力大小等于沿房脊上表面的分力，即，故C错误； D．将的重力沿房脊上表面与垂直于房脊上表面分解，垂直于房脊上表面的分力大小为，的两侧面对的弹力大小相等且夹角为，则的每个侧面对的弹力大小均为，由C选项得 可得与之间的动摩擦因数为，故D正确。 故选AD。 三、解答题 11．如图所示，工人在装载货箱时可将卡车尾处斜搭木板构成斜面使货箱沿斜面推入车厢。若某时刻人在倾角θ=30°的斜面上对质量为65kg货箱施加沿斜面向上的推力使货箱静止在斜面上，已知货箱与斜面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s2，求： (1)人施加推力的最小值； (2)人施加推力的最大值。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 所以货箱不能自由静止在斜面上，当货箱所受摩擦力沿斜面向上取到最大时水平推力最小，设为，货箱受力如图所示 由平衡条件得 其中， 联立解得 （2）当货箱所受静摩擦力沿斜面向下取到最大时，水平推力最大，设为，货箱受力如图所示 由平衡条件得 其中， 联立解得 12．图示为生活中两种悬挂物体方式的简化示意图，甲图中轻杆DB一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端B通过水平轻绳 AB固定在竖直墙壁上，∠DBA=30°，轻杆的B端用轻绳 BC拉住一个质量为M的物体；图乙中轻绳 EQ 跨过固定在竖直墙壁的轻杆HP右端的光滑定滑轮拉住一个质量也为M的物体，EP 水平，∠HPE=30°，重力加速度为g。求： (1)轻杆DB对B点的支持力大小； (2)轻绳AB段与轻绳EP段的拉力大小之比。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对B点受力分析，如图所示 根据平衡条件可得 可得轻杆DB对B点的支持力大小 （2）由B点受力分析，可得 可得 图乙中EPQ为跨过光滑定滑轮的一根轻绳，故有 则有 13．某同学在阳台悬挂装饰物时，采用了图甲、乙所示的两种悬挂方式。已知花盆的质量为，花盆静止时细绳与水平面的夹角为，细绳水平，重力加速度，，。 (1)图甲所示细绳的拉力大小； (2)如图乙所示，细绳、的拉力大小； (3)若细绳所能承受的最大拉力，细绳所能承受的最大拉力。现不改变两根细绳的位置，为使两根细绳不断裂，求花盆质量的最大值。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）图甲中，花盆只受重力和细绳的拉力，根据二力平衡可知，细绳的拉力大小为 （2）对图乙中的点O受力分析，如图所示 根据任意两个力的合力与第三个力等大反向可知，细绳、的拉力大小分别为， （3）由 可知，OA绳允许的花盆的最大质量为 由 可知，OB绳允许的花盆的最大质量为 所以，为使两根细绳不断裂，花盆质量的最大值为。 14．如图所示，三段轻绳系在结点O，OC与重为G的小球相连，A端固定在天花板上，OA与竖直方向夹角为θ，OB与竖直方向夹角为α，初始时α=θ=30°。求： (1)OB绳的拉力F的大小； (2)保持θ不变，改变α，当α为多少时拉力F最小，求出最小值。 【答案】(1) (2)60°， 【详解】（1）根据平衡条件，在水平方向 竖直方向 联立解得 （2）当F方向与轻绳垂直，即α=60°时，F最小，且最小值为 15．国庆节期间一商场举办庆典活动，使用漂浮的氦气球悬挂条幅。该情景简化为如下图所示模型，轻绳的一端与氦气球连接，另一端与放在粗糙地面上的沙袋相连，由于气球受水平风力作用，轻绳与竖直方向成夹角，沙袋保持静止。已知氦气球受到竖直向上的浮力大小为，沙袋的质量为，不计气球重力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，。求： (1)水平风力的大小和细绳拉力的大小； (2)沙袋与地面间的动摩擦因数至少为多大。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）以氦气球为对象，根据平衡条件可得， 解得， （2）以沙袋为对象，根据平衡条件可得， 又 可得 可知沙袋与地面间的动摩擦因数至少为。 16．如图所示，粗糙水平地面上放置一半径为R的四分之一圆柱体（后称圆柱体），圆柱体只有圆弧表面光滑，其他部分粗糙。定滑轮C（可视为质点）用轻杆固定在圆心O的正上方，轻质细线一端固定在A点，另一端跨过定滑轮连接小球，小球（可视为质点）置于圆柱体圆弧表面上D点，OD和CD与竖直方向的夹角均为30°，物块B通过光滑轻质圆环悬挂在细线上静止于P点，AP与竖直方向的夹角为60°，此时圆柱体恰好未发生滑动。已知物块B的质量，重力加速度大小，A、P、C、D在同一竖直面内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)轻质细线上拉力的大小； (2)小球的质量； (3)地面对圆柱体的摩擦力的大小和方向。 【答案】(1)40N (2) (3)20N，水平向右 【详解】（1）对轻质圆环进行受力分析，根据平衡条件： 在竖直方向有 解得 （2）对小球进行受力分析，设圆柱体对小球的弹力为，根据平衡条件： 在水平方向上有 在竖直方向上有 解得 （3）对小球和圆柱体整体分析，可知圆柱体与地面之间的摩擦力大小 解得 地面对圆柱体的摩擦力方向水平向右。 17．如图所示，一根光滑轻绳穿过质量为m的小环A，轻绳的两端分别固定在等高的B、C两点，给小环施加一个水平向左的拉力，小环静止时，AB段轻绳竖直，AC段轻绳与水平方向的夹角为。已知重力加速度为，，，试求解下列问题： (1)此时施加的拉力的大小？ (2)若将水平拉力缓慢增加到，求此时绳中拉力大小？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设轻绳上的拉力大小等于，对环进行分析，根据平衡条件有 ， 解得 （2）将水平拉力缓慢增加到，对小环进行受力分析，如图所示 拉力F2与重力mg的合力为 令上述合力方向与水平方向夹角为，则有 解得 根据对称性可知，此时环两侧绳与上述合力方向的延长线的夹角相等，令夹角为，则有 根据对称性，作出几何示意图，如图所示 令绳长为L，则有 当AB段轻绳竖直，AC段轻绳与水平方向的夹角为时有 解得 则有 结合上述解得 18．如图所示，是粗糙水平面上的两点，三点在同一条竖直线上，，原长为弹性绳的一端固定在点，另一端穿过固定在点的光滑的小环，并系着一质量为小物块（可视为质点）。一足够长的轻质薄板放置在地面，小物块位于点，静置在轻质薄板上对其压力为，小物块与薄板、薄板与水平面间的动摩擦因数均为1，弹性绳的弹力遵从胡克定律。现用一水平向右外力拉着薄板缓慢移动，小物块移动至点后始终保持静止（弹性绳始终在弹性限度内）表示重力加速度，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)弹性绳的劲度系数； (2)间距； (3)外力的最大值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由胡克定律 由题得 则 （2）设弹性绳与竖直方向夹角为，弹力在竖直方向分力 物块对薄板压力 水平方向分力 小物块移动至点保持静止时 则间距 （3）轻质薄板所受合力始终为0，记物块对薄板摩擦力为，对面对薄板压力为，则始终有 系统稳定后 同理 此时取最大值 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 临界极值、“活结”与“死结”模型 01 核心知识 一、共点力平衡中的临界与极值问题 1.临界问题 在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，弹力F弹＝0。 2．极值问题 在力的变化过程中存在力的最大值或最小值。 3．解决共点力平衡中的临界问题和极值问题的三种方法 图解法 根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。 函数法 通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 极限法 首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大或极小。 二、“死结”和“活结”、“动,杆”和“定杆”模型 1.模型解读 （1）“死结”模型：死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。 （2）“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子拉力的合力方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。 （3）“动杆”模型：对于一端有转轴或有铰链的轻杆，其提供的弹力方向一定是沿着轻杆的方向。 （4）一端固定的轻杆(如一端“插入”墙壁或固定于地面)，其提供的弹力不一定沿着轻杆的方向。 2.常考模型情景（晾衣服模型） 如图所示，一根细绳A、B两端分别栓在两根固定的杆上，两杆间的距离为d，重物的重力为G 核心处理思路：对O点受力分析如图所示 由平衡可知即，由几何关系可知 其中得 规律：.纵移，即A点或B点上、下移动时，由于d不变，绳长不变，则不变，则绳中拉力不变； .远离，即两杆距离增大，变大，绳中拉力变大， .靠近，即两杆距离增大，变小，绳中拉力变小； 口决：对于和T的变化情况满足：“近小远大，纵不变”，其中“近”和“远”指的是距离d，d小，小，绳中拉力小；d大，大，绳中拉力大，“纵”指的是A点或B点上、下移动，此时绳中拉力不变。 02 模型归纳 一、临界与极值问题 类型 临界问题 极值问题 图例 特点 （1）由静止开始运动，摩擦达到最大静摩擦； （2）绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 （3）刚好离开接触面，弹力F弹＝0。 平衡问题的极值问题，一般指力的变化过程中的最大值和最小值问题。 二、“死结”和“活结”、“动,杆”和“定杆”模型 “死结”模型(轻绳) “活结”模型(轻绳) 图例 特点 “死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等 “活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子拉力的合力方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线 “动杆”模型 “定杆”模型 特点 对于一端有转轴或有铰链的轻杆，其提供的弹力方向一定是沿着轻杆的方向 轻杆的弹力不一定沿着轻杆的方向，可沿任意方向 03 模型突破 模型1 临界极值问题 【解题技巧】1.共点力平衡中的临界与极值问题常与动态平衡问题结合起来考查，应用图解法进行分析，作出力的平行四边形或矢量三角形，常常有助于直观地得到结果。 2.由静摩擦力变为滑动摩擦力、摩擦力方向改变、弹力有无及方向改变常常是临界与极值问题中要特别注意的。 【典例01】如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。现将斜面倾角改变为α，对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)求物体与斜面间的动摩擦因数？ (2)推力F为多大？ (3)当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求这一临界角θ0的大小？ 【变式1-1】（多选）如图所示，质量为的砝码悬挂在轻绳PA和PB的结点上并处于静止状态，PA与竖直方向的夹角，PB沿水平方向。质量为的木块与PB相连，M在水平方向F的作用下，静止于水平桌面上，物体与桌面的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，（取，，），则下列说法正确的是（　　） A．轻绳PA的拉力为20N B．轻绳PB的拉力为10N C．拉力F的最大值20N D．拉力F的最小值4.4N 【变式1-2】（多选）筷子是中华饮食文化的标志之一，我国著名物理学家李政道曾夸赞说：“筷子如此简单的两根木头，却精妙绝伦地应用了物理学杠杆原理。”如图所示，用筷子夹住质量为m的小球，两根筷子均在竖直平面内，且小球静止，筷子和竖直方向的夹角均为。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（   ） A．小球受到3个力作用 B．当增大时，筷子对小球的作用力不变 C．当时，只要筷子对小球的压力足够大，图中小球就可以保持静止 D．使小球不掉落，筷子对小球的最小压力是 模型2 “死结”和“活结”、“动,杆”和“定杆”模型 【解题指导】“死结”相当于将一段绳子分成两段，所以“死结”两侧轻绳的拉力大小不一定相等。“活结”两侧轻绳虽然受力方向不同，但仍是一根绳子，故两侧轻绳的张力大小相等，两侧轻绳张力的合力沿绳子的角平分线。 【典例02】（多选）如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10kg的物体，；图乙中轻杆HP一端用铰链固定在竖直墙上，另一端P通过轻绳EP拉住，EP与水平方向也成角，轻杆的P点用轻绳PQ拉住一个质量也为10kg的物体。g取，求： (1)横梁BC对C端的支持力： (2)轻杆HP对P端的支持力。 【变式2-1】如图所示，一轻质直杆可绕点在竖直面内旋转，长度为的细绳两端分别固定在杆上点和点，绳中间穿有质量为的光滑圆环，点和点之间的距离为L。轻杆处于水平位置，现将杆的右端向上抬高稍许，则轻绳上的拉力将（　　） A．保持不变 B．先增大后减小 C．增大 D．减小 【变式2-2】（多选）如图所示，轻杆AC和轻杆BC 的一端用光滑铰链连接在C点，另一端分别用光滑铰链固定在竖直墙壁上，将一质量为m 的物块通过细线连接在C点并保持静止状态。已知重力加速度大小为g，AB=BC=AC，下列说法正确的是（　　） A．轻杆AC上的弹力大小为mg B．轻杆 BC上的弹力大小为 C．若将轻杆AC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置 D．若将轻杆BC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置 【变式2-3】（多选）如图所示，一根不可伸长的轻绳两端分别固定在两根竖直晾衣杆上的A、B两点，A略高于B。重物C通过光滑挂钩挂在轻绳上，处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A．钩挂两端的轻绳与水平方向的夹角 B．钩挂两端的轻绳与水平方向的夹角 C．若将B点缓慢上移，绳子中的拉力不变 D．若将B点缓慢上移，绳子中的拉力逐渐减小 04 综合素养提升 一、单选题 1．如图所示，三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物。其中细绳OB是水平的，A端、B端固定。若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断掉的绳是（　　） A．必定是OA B．必定是OB C．必定是OC D．三根绳子同时断掉 2．如图所示，光滑轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定于竖直杆上的a、b两点，一质量为m的衣服静止悬挂于绳上某点；若在绳上另一点继续悬挂另一质量为M的衣服，已知m<M，两衣架质量均可忽略不计，则最终两衣服在绳上的状态为（    ） A．B．C． D． 3．如图，质量为m的小球用一轻绳竖直悬吊于O点，现用一光滑的金属挂钩A钩住轻绳向右缓慢拉动轻绳至虚线位置，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．轻绳OA段的拉力先变大后变小 B．钩子对轻绳的作用力水平向右 C．钩子对轻绳的作用力越来越大 D．钩子对轻绳的作用力可能等于2mg 4．如图所示，轻杆的左端用铰链与竖直墙壁连接，轻杆的左端固定在竖直墙上，图甲中两轻绳分别挂着质量为、的物体，另一端系于点，图乙中两轻绳分别挂着质量为、的物体，另一端系于点。四个物体均处于静止状态，图中轻绳、与竖直方向的夹角均为，下列说法一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5．由半圆形和矩形组成的艺术门框如图所示，A、B为半圆形与矩形的衔接点。一根不可伸长的轻绳一端固定在A点，另一端可沿着门框在最高点P与右侧门框的中点Q之间缓慢移动。轻质滑轮连接一重物，滑轮与绳的接触点为O，AO与竖直方向的夹角为α，BO与竖直方向的夹角为β，不计滑轮与绳间的摩擦。若绳的另一端从B点开始移动，下列说法正确的是（　　）    A．若从B点沿着门框向上缓慢移动，α与β均减小，且α>β B．若从B点沿着门框向上缓慢移动，绳上的拉力先减小后增大 C．若从B点沿着门框向下缓慢移动，α与β均增大，且α=β D．若从B点沿着门框向下缓慢移动，绳中的拉力大小保持不变 6．四个相同的物块用轻绳系住，绕过光滑的轻质滑轮，并将绳子另一端系在墙壁上。甲、乙两杆固定插在竖直墙壁上，丙、丁两杆带有铰链并固定于竖直墙壁上，轻杆与轻绳与水平方向夹角如图所示。四幅图中，能够保持静止且杆的作用力相同的是（    ）    A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丁 D．乙和丁 7．如图所示，轻杆一端固定一质量为m的小球A，另一端与放置在粗糙水平地面上的木板B上的铰链O连接。将小球A用轻绳绕过光滑的定滑轮O'由力F牵引，且定滑轮O'位于铰链O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小，使小球A绕O点远离O'缓慢运动，木板B始终保持静止，则在整个过程中（　　） A．力F逐渐减小 B．轻杆对小球A的作用力增大 C．地面对木板B的摩擦力逐渐减小 D．地面对木板B的作用力逐渐减小 8．日常生活中，我们在门下缝隙处塞紧一个木楔（侧面如图所示），往往就可以把门卡住。有关此现象的分析，下列说法正确的是（　　） A．门不易被风吹动的原因是风力太小 B．门对木楔作用力的水平分量等于地面对木楔摩擦力的大小 C．只要木楔的厚度合适都能将门卡住，与顶角的大小无关 D．只要木楔对门的压力足够大就能将门卡住，与各接触面的粗糙程度无关 9．如图所示，物体P、Q用轻绳连接后跨过光滑轻质定滑轮，物体P放在长木板上，物体Q悬挂在定滑轮的另一侧。长木板与水平地面的夹角为，物体P与长木板之间的动摩擦因数，物体P相对长木板静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（    ） A．物体P、Q的质量之比的最大值为 B．物体P、Q的质量之比的最小值为 C．若从60°缓慢减小到45°的过程中，物体P始终静止，则轻绳对滑轮的作用力保持不变 D．若从60°缓慢减小到45°的过程中，物体P始终静止，则物体P对长木板的作用力保持不变 二、多选题 10．仿古建筑中某种瓦片的截面如图甲所示，其顶角为，若将质量为的该种瓦片对称放在一段房脊上，现工人师傅将房脊的一端缓慢抬高至瓦片刚要滑动，如图乙所示，此时房脊底部与水平面的夹角为。重力加速度大小为，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．受到5个力的作用 B．对的作用力方向与竖直方向的夹角为 C．对的摩擦力的合力大小为 D．与之间的动摩擦因数 三、解答题 11．如图所示，工人在装载货箱时可将卡车尾处斜搭木板构成斜面使货箱沿斜面推入车厢。若某时刻人在倾角θ=30°的斜面上对质量为65kg货箱施加沿斜面向上的推力使货箱静止在斜面上，已知货箱与斜面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s2，求： (1)人施加推力的最小值； (2)人施加推力的最大值。 12．图示为生活中两种悬挂物体方式的简化示意图，甲图中轻杆DB一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端B通过水平轻绳 AB固定在竖直墙壁上，∠DBA=30°，轻杆的B端用轻绳 BC拉住一个质量为M的物体；图乙中轻绳 EQ 跨过固定在竖直墙壁的轻杆HP右端的光滑定滑轮拉住一个质量也为M的物体，EP 水平，∠HPE=30°，重力加速度为g。求： (1)轻杆DB对B点的支持力大小； (2)轻绳AB段与轻绳EP段的拉力大小之比。 13．某同学在阳台悬挂装饰物时，采用了图甲、乙所示的两种悬挂方式。已知花盆的质量为，花盆静止时细绳与水平面的夹角为，细绳水平，重力加速度，，。 (1)图甲所示细绳的拉力大小； (2)如图乙所示，细绳、的拉力大小； (3)若细绳所能承受的最大拉力，细绳所能承受的最大拉力。现不改变两根细绳的位置，为使两根细绳不断裂，求花盆质量的最大值。 14．如图所示，三段轻绳系在结点O，OC与重为G的小球相连，A端固定在天花板上，OA与竖直方向夹角为θ，OB与竖直方向夹角为α，初始时α=θ=30°。求： (1)OB绳的拉力F的大小； (2)保持θ不变，改变α，当α为多少时拉力F最小，求出最小值。 15．国庆节期间一商场举办庆典活动，使用漂浮的氦气球悬挂条幅。该情景简化为如下图所示模型，轻绳的一端与氦气球连接，另一端与放在粗糙地面上的沙袋相连，由于气球受水平风力作用，轻绳与竖直方向成夹角，沙袋保持静止。已知氦气球受到竖直向上的浮力大小为，沙袋的质量为，不计气球重力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，。求： (1)水平风力的大小和细绳拉力的大小； (2)沙袋与地面间的动摩擦因数至少为多大。 16．如图所示，粗糙水平地面上放置一半径为R的四分之一圆柱体（后称圆柱体），圆柱体只有圆弧表面光滑，其他部分粗糙。定滑轮C（可视为质点）用轻杆固定在圆心O的正上方，轻质细线一端固定在A点，另一端跨过定滑轮连接小球，小球（可视为质点）置于圆柱体圆弧表面上D点，OD和CD与竖直方向的夹角均为30°，物块B通过光滑轻质圆环悬挂在细线上静止于P点，AP与竖直方向的夹角为60°，此时圆柱体恰好未发生滑动。已知物块B的质量，重力加速度大小，A、P、C、D在同一竖直面内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)轻质细线上拉力的大小； (2)小球的质量； (3)地面对圆柱体的摩擦力的大小和方向。 17．如图所示，一根光滑轻绳穿过质量为m的小环A，轻绳的两端分别固定在等高的B、C两点，给小环施加一个水平向左的拉力，小环静止时，AB段轻绳竖直，AC段轻绳与水平方向的夹角为。已知重力加速度为，，，试求解下列问题： (1)此时施加的拉力的大小？ (2)若将水平拉力缓慢增加到，求此时绳中拉力大小？ 18．如图所示，是粗糙水平面上的两点，三点在同一条竖直线上，，原长为弹性绳的一端固定在点，另一端穿过固定在点的光滑的小环，并系着一质量为小物块（可视为质点）。一足够长的轻质薄板放置在地面，小物块位于点，静置在轻质薄板上对其压力为，小物块与薄板、薄板与水平面间的动摩擦因数均为1，弹性绳的弹力遵从胡克定律。现用一水平向右外力拉着薄板缓慢移动，小物块移动至点后始终保持静止（弹性绳始终在弹性限度内）表示重力加速度，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)弹性绳的劲度系数； (2)间距； (3)外力的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $