专题08 概率与统计初步、计数原理-湖南省对口招生（2022-2026）《数学真题分类汇编》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职高考概率统计与计数原理专题真题汇编，精选湖南2022-2026年13道真题，覆盖概率、统计初步、计数原理核心考点，适配备考需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|2题|统计（分层抽样）、计数原理（排列）|结合实际场景，如工厂零件质量、学生身高抽样| |填空|6题|概率（古典概型）、统计（均值）、计数原理（二项式定理）|直接考查基础公式应用，如平均成绩计算、常数项求解| |解答|5题|概率（分布列）、统计（期望方差）、计数原理（排列组合）|分步设问，如“选学生参加活动”涉及分布列与概率计算，情境贴近学生生活，贴合中职高考命题趋势|

专题08 概率与统计初步、计数原理 概率与统计初步 1.掌握分类计数原理和分步计数原理。 2.理解随机事件和概率的概念，掌握概率的简单性质。 3.了解直方图与频率分布，理解总体与样本的概念及抽样方法。 4.理解总体均值、标准差的概念，掌握用样本均值、标准差估计总体均值、标准差的方法。 5.能运用概率与统计初步的知识解决简单的实际问题。 计数原理 1.理解排列、组合的概念，掌握排列数计算公式、组合数计算公式和组合数的性质，能运用排列组合的知识解决简单的实际问题。 2.了解二项式定理。 3.理解离散型随机变量及其分布，掌握离散型随机变量的期望与方差。 4.能运用概率与统计的知识解决简单的实际问题。 考点01 概率 1.（2026·湖南·真题T16）学校举办一项活动，某班需要从3名男生、2名女生中随机选出2人参加． （1）若选出的同学中女生人数为，求； （2）求事件{选出的同学中至少有1名女生}的概率． 2.（2025·湖南·真题T13）某班从甲、乙、丙三人中任选两人参加校运动会，则甲被选中的概率为_____. 3.（2023·湖南·真题T18）为推进地区教育均衡发展，某市教育局拟从６名优秀教师中抽取人员分三批次赴农村薄弱学校进行支教．每批次需从6名教师中随机抽取2名教师支教，且每批次抽取互不影响． （1）求在这3批次支教活动中教师甲恰有2次被抽中的概率； （2）已知这6名教师中有2名数学教师．设第一批次抽到的数学教师人数为，求的分布列． 4.（2022·湖南·真题T18）某班拟组织部分学生参观爱国主义教育基地.已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观. （1）用表示选取的3人中女生的人数，求的分布列； （2）求选取的3人中，女生人数多于男生人数的概率. 考点02 统计初步 5.（2025·湖南·真题T11）甲校有500名学生，乙校有1000名学生，现采用分层抽样的方法在甲校、乙校分别抽取名学生、名学生，则______. 6.（2025·湖南·真题T18） 某射击队甲、乙两名运动员射击成绩的概率分布分别为 甲成绩（环） 8 9 10 乙成绩（环） 8 9 10 0.3 0.4 0.3 0.2 0.6 0.2 （1）分别求甲、乙两名运动员射击成绩的均值； （2）若你是该射击队的教练，你觉得选哪位运动员去参加射击比赛合适呢？请说明理由. 7.（2024·湖南·真题T11）某学校为了解一年级120名男生和80名女生的身高情况，计划用分层抽样的方法抽取20名学生进行测量，则抽取的男生人数为_________． 8.（2024·湖南·真题T17）在某工厂的一次产品质量评比活动中，甲、乙两名工人各生产的5个零件所得质量评分(评分采用10分制)如下表所示： 甲 6 8 9 8 9 乙 9 6 9 9 7 （1）根据上述数据，判断谁生产的零件质量更好； （2）从甲、乙生产的得分为9分的5个零件中任取2个进行展示，设甲生产的零件被选中的个数为，求的概率分布． 9.（2023·湖南·真题T08）从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高数据绘成频率分布直方图如下图所示．若从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中抽取的人数为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 10.（2022·湖南·真题T11）在一次“党史”知识竞赛中，参加知识竞赛的10名学生的成绩如下表： 成绩 92 95 96 98 人数 1 2 4 3 则这10名学生的平均成绩是______. 考点03 计数原理 11.（2026·湖南·真题T13）的展开式中，常数项是________． 12.（2024·湖南·真题T04）从7名学生中选派2名学生分别到甲、乙两地参加社会实践活动，则不同的选派方法共有（ ） A. 14种 B. 21种 C. 42种 D. 49种 13.（2023·湖南·真题T13）某乒乓球队有5名队员，需派3名参加比赛．教练计划从2名主力队员中选1名排在第二场的位置，从其余3名非主力队员中选2名排在第一、三场位置，那么共有______种不同的出场安排（用数字作答）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 概率与统计初步、计数原理 概率与统计初步 1.掌握分类计数原理和分步计数原理。 2.理解随机事件和概率的概念，掌握概率的简单性质。 3.了解直方图与频率分布，理解总体与样本的概念及抽样方法。 4.理解总体均值、标准差的概念，掌握用样本均值、标准差估计总体均值、标准差的方法。 5.能运用概率与统计初步的知识解决简单的实际问题。 计数原理 1.理解排列、组合的概念，掌握排列数计算公式、组合数计算公式和组合数的性质，能运用排列组合的知识解决简单的实际问题。 2.了解二项式定理。 3.理解离散型随机变量及其分布，掌握离散型随机变量的期望与方差。 4.能运用概率与统计的知识解决简单的实际问题。 考点01 概率 1.（2026·湖南·真题T16）学校举办一项活动，某班需要从3名男生、2名女生中随机选出2人参加． （1）若选出的同学中女生人数为，求； （2）求事件{选出的同学中至少有1名女生}的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定随机变量的所有可能取值，利用古典概型计算各取值对应的概率，再代入期望公式求解； （2）根据对立事件的概率公式求解. 【小问1详解】 总人数为，从人中任选人的总基本事件数为. 随机变量表示选出的女生人数，其可能取值为， 当时，选出的人均为男生，概率为 当时，选出的人为男女，概率为 当时，选出的人均为女生，概率为 则的分布列为 0 1 2 所以 【小问2详解】 事件{选出的同学中至少有1名女生}的对立事件为{选出的人均为男生}， 所以 2.（2025·湖南·真题T13）某班从甲、乙、丙三人中任选两人参加校运动会，则甲被选中的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先列出从三人中选两人的所有可能情况，再找出甲被选中的情况数，最后根据概率公式计算出甲被选中的概率. 【详解】从甲、乙、丙三人中任选两人参加校运动会共有种不同选法，甲被选中有种选法，则甲被选中的概率为. 故答案为：. 3.（2023·湖南·真题T18）为推进地区教育均衡发展，某市教育局拟从６名优秀教师中抽取人员分三批次赴农村薄弱学校进行支教．每批次需从6名教师中随机抽取2名教师支教，且每批次抽取互不影响． （1）求在这3批次支教活动中教师甲恰有2次被抽中的概率； （2）已知这6名教师中有2名数学教师．设第一批次抽到的数学教师人数为，求的分布列． 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）根据次独立重复试验恰好发生的概率公式即可求解； （2）写出所有可能的取值，求出每一个取值对应的概率，可得分布列. 【小问1详解】 甲在每批次抽取抽取中，被抽中概率为， 所以在这3批次支教活动中教师甲恰有2次被抽中的概率为 ； 【小问2详解】 所有的取值是0，1，2， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 P 4.（2022·湖南·真题T18）某班拟组织部分学生参观爱国主义教育基地.已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观. （1）用表示选取的3人中女生的人数，求的分布列； （2）求选取的3人中，女生人数多于男生人数的概率. 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，5名男生与3名女生，从中任意选取3名，女生人数的可能为，分别求出概率，列出分布列即可. （2）女生多于男生的情况有女生有3人，或女生有2人，将两种情况的概率相加即可. 【小问1详解】 已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观， 表示选取的人中女生的人数，则的所有可能的取值是， ，， ，， 所以的分布列是： 0 1 2 3 【小问2详解】 女生人数多于男生的选法为或， 女生人数多于男生的概率为. 考点02 统计初步 5.（2025·湖南·真题T11）甲校有500名学生，乙校有1000名学生，现采用分层抽样的方法在甲校、乙校分别抽取名学生、名学生，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合分层抽样的概念，根据抽样比，即可求解. 【详解】因为分层抽样中，抽样比相同， 又甲校有名学生，乙校有名学生，则， 所以. 故答案为：. 6.（2025·湖南·真题T18） 某射击队甲、乙两名运动员射击成绩的概率分布分别为 甲成绩（环） 8 9 10 乙成绩（环） 8 9 10 0.3 0.4 0.3 0.2 0.6 0.2 （1）分别求甲、乙两名运动员射击成绩的均值； （2）若你是该射击队的教练，你觉得选哪位运动员去参加射击比赛合适呢？请说明理由. 【答案】（1）甲的均值为9环，乙的均值为9环 （2）选择乙运动员更合适，理由见解析 【解析】 【分析】根据题意，结合随机变量概率分布表，及均值的计算公式，即可代入求解； 根据两名运动员射击成绩的均值及稳定性，即可判断求解. 【小问1详解】 甲运动员射击成绩的均值为环； 乙运动员射击成绩的均值为环； 【小问2详解】 选择乙参赛更合适； 理由：虽然两人均值相同，但乙的成绩分布更集中在9环（概率0.6），稳定性优于甲（9环概率0.4），因此选择乙参赛更合适. 7.（2024·湖南·真题T11）某学校为了解一年级120名男生和80名女生的身高情况，计划用分层抽样的方法抽取20名学生进行测量，则抽取的男生人数为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】先计算出抽样比例，再根据抽样比例计算出抽取的男生人数即可. 【详解】由题意得，抽样比例为， 所以抽取男生人数为． 故答案为：12. 8.（2024·湖南·真题T17）在某工厂的一次产品质量评比活动中，甲、乙两名工人各生产的5个零件所得质量评分(评分采用10分制)如下表所示： 甲 6 8 9 8 9 乙 9 6 9 9 7 （1）根据上述数据，判断谁生产的零件质量更好； （2）从甲、乙生产的得分为9分的5个零件中任取2个进行展示，设甲生产的零件被选中的个数为，求的概率分布． 【答案】（1）甲生产的零件质量更好 （2）概率分布见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式求出方差即可判断； （2）根据概率公式分别求出取值为0，1，2时的概率即可. 【小问1详解】 解法一（对应高教版）： 设甲的平均数为，乙的平均数为，甲的方差为，乙的方差为， 则，， 所以， ， 所以甲生产的零件质量更好. 解法二(对应人教版)： 设甲的平均数为，乙的平均数为，甲的方差为，乙的方差为， 则，， 所以， . 所以甲生产的零件质量更好. 【小问2详解】 的取值有0，1，2. ， 所以的概率分布为 0 1 2 9.（2023·湖南·真题T08）从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高数据绘成频率分布直方图如下图所示．若从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中抽取的人数为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先求，，三组的频率，再求其频数，最后按分层抽样比例求解即可.. 【详解】由图可知， 身高在，，的频率分别为，，， 随机抽取100名学生，它们的频数分别为，，， 所以用分层抽样的方法抽取18人， 从身高在内的学生中抽取的人数为. 故选：D. 10.（2022·湖南·真题T11）在一次“党史”知识竞赛中，参加知识竞赛的10名学生的成绩如下表： 成绩 92 95 96 98 人数 1 2 4 3 则这10名学生的平均成绩是______. 【答案】96 【解析】 【分析】根据表格求平均数. 【详解】这10名学生的平均成绩， 故答案为：. 故选：D 考点03 计数原理 11.（2026·湖南·真题T13）的展开式中，常数项是________． 【答案】24 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，令x的幂指数为0求得r的值，代入通项计算得到常数项. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项为 ， 要求展开式的常数项，令x的幂指数为0， 即，解得， 代入通项，得常数项为. 故答案为：24. 12.（2024·湖南·真题T04）从7名学生中选派2名学生分别到甲、乙两地参加社会实践活动，则不同的选派方法共有（ ） A. 14种 B. 21种 C. 42种 D. 49种 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列的定义解决问题即可. 【详解】从7人中选出2人，由于分派两地，地点不同，因此符合排列的定义，直接用排列得出. 故选：C. 13.（2023·湖南·真题T13）某乒乓球队有5名队员，需派3名参加比赛．教练计划从2名主力队员中选1名排在第二场的位置，从其余3名非主力队员中选2名排在第一、三场位置，那么共有______种不同的出场安排（用数字作答）． 【答案】12 【解析】 【分析】将2主力队员和3名非主力队员分开排列组合。 【详解】2名主力队员选1人到第二场，则. 其余3名非主力队员中选2名排在第一、三场位置，则. 故总共有种出场安排. 故答案为：12. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $