专题07 立体几何-湖南省对口招生（2022-2026）《数学真题分类汇编》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职高考立体几何专题真题汇编，精选2022-2026年湖南真题，覆盖平面性质、平行垂直判定与性质、几何体体积表面积计算及综合应用，梯度设计适配备考需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|4题|平行垂直判定（如第1题面面平行性质判断）、平面性质（如第3题平行平面命题辨析）|真题导向，聚焦基础概念辨析| |填空题|3题|圆柱体积（第5题侧面展开图求体积）、圆锥体积（第6题侧面积求体积）|立足几何体基本计算，强调公式应用| |解答题|5题|线面平行证明（第9题长方体中证明线面平行）、面面垂直证明与体积计算（第12题三棱锥面面垂直及体积）|综合考查空间推理与计算，融入动态最值问题（如第8题四棱柱侧面积最大值）|

专题07 立体几何 1.了解平面的概念、平面的基本性质； 2.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质； 3.了解直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角； 4.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质； 5.了解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积的计算. 考点01 判定与性质及相关概念 1.（2026·湖南·真题T07）已知平面∥平面，直线，直线，则直线和不可能（ ） A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 异面 【答案】A 【解析】 【分析】根据两平行平面的位置关系和空间中两直线的位置关系可得. 【详解】因为平面和平面互相平行，则两个平面没有公共点； 又因为直线在平面内，直线在平面内，所以两条直线没有公共点， 而两直线相交必须有公共点，所以没有公共点的两条直线不可能相交，只可能是平行或异面. 故选：A. 2.（2025·湖南·真题T10）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，即可判断求解. 【详解】连接，如图， 对于A，在中，由中位线定理得且； 因为底面是平行四边形，且，为中点， 故，则且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又， 所以与不平行，故选项A错误； 对于B，连接交于点O，连接，则， 又，故不平行，故选项B错误； 对于C，假设平面， 则由线面平行的性质定理可知，存在直线平面，使得， 因为，所以， 易知平面，而平面，所以平面， 而平面，平面，即与平面相交，显然矛盾， 所以直线与平面不平行，故选项C错误； 对于D，因为，又平面，平面， 所以平面，故选项D正确； 故选：D. 3.（2024·湖南·真题T06）下列命题中，正确的是（ ） A. 平行于同一个平面的两条直线必平行 B. 平行于同一个平面的两个平面必平行 C. 过平面外一点只可以作一条直线与这个平面平行 D. 过直线外一点只可以作一个平面与这条直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行关系逐项判断即可. 【详解】对A，平行于同一个平面的两条直线位置关系有平行、相交、异面，故A错误； 对B，平行于同一个平面的两个平面必平行，故B正确； 对C，过平面外一点可以作无数条直线与这个平面平行，故C错误； 对D，过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行．故D错误. 故选：B. 4.（2022·湖南·真题T09）已知两条不同的直线与平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由图形中线面平行、线面垂直的性质判断即可. 【详解】A选项，若，则可能平行、相交或异面，故A选项错误； B选项，若，当共面时，可能，故B选项错误； C选项，若，则或，故C选项错误； D选项，由线面垂直的性质，若，则，故D选项错误. 故选：D. 考点02 柱、锥、球及简单组合体的相关计算 5.（2025·湖南·真题T14）一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合圆柱的侧面展开图，可知圆柱的底面周长和高，继而求得圆柱的底面半径，结合圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】因为圆柱侧面展开图是边长为的正方形， 即圆柱底面周长，高， 所以圆柱的底面半径， 所以圆柱体积. 故答案为：. 6.（2023·湖南·真题T05） 已知圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由侧面积求出母线长，再求出圆锥的高，进而利用体积公式求解即可. 【详解】因为圆锥的底面圆半径为1，侧面积为， 由圆锥侧面积公式可知，，即母线长， 所以圆锥的高， 所以该圆锥的体积为. 故选：A. 7.（2022·湖南·真题T14）如图，高为，底面边长是的正四棱柱形工件，以它的两底面中心的连线为轴，钻出一个直径是的圆柱形孔，则剩余部分几何体的体积是______（圆周率取3.14）. 【答案】29.3 【解析】 【分析】根据组合体体积求解即可. 【详解】由题意知，打孔后所得几何体的体积等于正四棱锥的体积减去一个圆柱的体积. 即. 故答案为：29.3 考点03 综合题 8.（2026·湖南·真题T20）如图，圆柱的轴截面为，、是两条母线，、在两侧． （1）证明：平面平面； （2）已知圆柱的高为，底面半径为，且，求： （ⅰ）直线与圆柱的底面所成的角； （ⅱ）四棱柱侧面积的最大值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱及轴截面性质判断出，再根据母线性质判断出，根据线面垂直判定定理证明平面， 结合面面垂直判定定理即可得到平面平面. （2）（ⅰ）结合余弦定理求出，找到所求角，求出的正切值即可得到角的大小. （ⅱ）将求四棱柱侧面积的最大值转换为求四边形周长的最大值，再结合余弦定理与基本不等式分别求，并验证是否能同时取到即可. 【小问1详解】 因为圆柱的轴截面为， 所以为圆直径，所以， 又因为是圆柱母线，所以平面， 且平面，所以， 因为，平面，， 所以平面， 且平面，所以平面平面. 【小问2详解】 （ⅰ）连接， 因为，所以， 且底面半径为，即， 所以在中，由余弦定理可得： ，即， 因为底面，所以直线与圆柱的底面所成的角为， 且，， 所以， 且，所以，即直线与圆柱的底面所成的角为. （ⅱ）由余弦定理可得： ， 即， 且，所以， 即，当且仅当时取等号， 又因为， 所以由余弦定理可得：， 且， 即， 即，当且仅当时取等号， 又因为时，由勾股定理可得， 即两个基本不等式取等条件可同时成立，因此两个最大值可同时取到， 所以四边形周长的最大值为， 则直四棱柱侧面积的最大值为： ． 9.（2025·湖南·真题T17）如图，长方体中，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意证明线线垂直，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）先根据线面垂直找到线面角进而求解. 【小问1详解】 由题意可知，， 同理，， 又因为，所以，所以， 已知长方体中，面，面， 则 又因为面，面， 所以平面. 【小问2详解】 因为面，所以在面的射影是， 那么就是在平面上的射影， 所以就是直线与平面所成的角， 在直角三角形中，， 则， 则直线与平面所成的角的正切值为. 10.（2024·湖南·真题T18）如图，在正四棱柱-中，. （1）证明：； （2）若三棱锥-的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先用直线与平面垂直的判定证明平面，然后运用直线与平面垂直的定义来证明； （2）先用三棱锥的体积公式求出的长度，然后根据平面，找出直线与平面所成的角，最后利用直角三角形的正弦的定义求出的正弦值即可. 【小问1详解】 证：连接， 因为平面，平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 且是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，. 【小问2详解】 由， 得， 由平面，得直线与平面所成角为， 在直角中，，，， 所以． 11.（2023·湖南·真题T19）如图，在三棱锥A-BCD中，．平面α交AB，BC，CD，DA分别于E，F，G，H，且平面，平面． （1）证明：四边形为矩形； （2）若，求矩形面积的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题目条件先证，，，，再证即可证明四边形为矩形. （2）设长为，再通过相似三角形把用表示，再用面积公式表示出来，进而求最值即可. 【小问1详解】 平面，平面， 平面平面，， 又平面，平面平面， ，， 平面，平面， 平面平面， 又平面，平面平面， ，， 四边形为平行四边形， ，， ，又， ，四边形为矩形， 【小问2详解】 设长为，由（1）知， ，， ，则 又，， ，即，， 矩形面积， 当，即时，矩形面积最大，最大为. 12.（2022·湖南·真题T19）如图，在三棱锥中，平面，. （1）证明：平面平面； （2）若，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直. （2）根据三棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 如图： ∵平面，平面， ∴， ∵，且，且两直线在平面内， ∴平面， 又∵平面， ∴平面平面. 【小问2详解】 ∵平面, ∴为三棱锥的高，且为在平面上的射影， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵, ∴在直角三角形中，， ∵， ∴， ∴三棱锥的体积： . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $真题分类汇编 AI职教 中职高考复习 9 zhijiao.xkw.com 专题07立体几何 抓考纲知考情 1.了解平面的概念、平面的基本性质； 2.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质； :3.了解直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角： 4.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质； 5了解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积的计算 考点分类探规律 考点01判定与性质及相关概念 1.(2026湖南克题T07)已知平面“H平面月，直线mC&,直线”CB 则直线m和”不可能( A.相交 B.平行 C.垂直 D.异面 2.(2025湖南真题T10)如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，E,F，G分别为PC,PD, AB的中点，则(） EG//PA A. B FG//PB C.PBII EFG EG/PAD 平面 平面 2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 中职高考复习○ 9 AI职教 zhijiao.xkw.com 3.(2024湖南真题T06)下列命题中，正确的是() A.平行于同一个平面的两条直线必平行 B.平行于同一个平面的两个平面必平行 C.过平面外一点只可以作一条直线与这个平面平行 D.过直线外一点只可以作一个平面与这条直线平行 4.(2022湖南真题T09)己知两条不同的直线m,”与平面0，则下列命题正确的是（) m//a,n/1a A.若 ,则m∥n B.若ml儿m1/a 则nla c若nLn.mLc,则nla D.若 ，则m∥n m⊥a,n⊥a 考点02柱、锥、球及简单组合体的相关计算 5(2025-湖南真题T14)一个圆柱的侧面展开图是边长为20cm 的正方形，则该圆柱的体积是 cm3 6.(2023·湖南真题T05)已知圆锥的底面圆半径为1，侧面积为2π，则该圆锥的体积为（) 3 A.3 B.π c.V3π D.2V3元 7.(2022湖南真题T14)如图，高为5cm,底面边长是3Cm的正四棱柱形工件，以它的两底面中心的连 线为轴，钻出一个直径是2cm 的圆柱形孔，则剩余部分几柯体的体积是_cm'(圆周率严取314。 考点03综合题 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 中职高考复习● ©AI职教 zhijiao.xkw.com &(2026湖南真愿T20)如图，圆杜O0的轴截面为1CC4,BB、DD是两条母线，A、D在AC 两侧. D C B D B （4少证明：平面MB8,4上平面BCCB, (2)己知圆柱00的高为6，底面半径为2，且 ∠BAD= 3,求： )直线BD与圆挂 0 的底面所成的角： (ii)四棱 ABCD-ABCD侧面积的最大值. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 中职高考复习 9A山职教 zhijiao.xkw.com 9(2025湖南真题T7)如图，长方体1BCD-ABCD中，MB=44=2.AD=L,M为楼4B的 中点 0 C D C B M ()证明：DM⊥平面MCC (2)求直线CM与平面ABCD所皮的角的正切值， 4 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 中职高考复习 9 AI职教 zhijiao.xkw.com 10.(2024湖南真题T18)如图，在正四棱柱ABCD.4B,CD中，AB=1 Dy C B AC⊥DB (1)证明： (2)若三棱锥B,·ACD的体积为3，求直线DB,与平面ABCD所成角的正弦值. 5 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题·分类汇编 中职高考复习○ 6 AI职教 zhijiao.xkw.com 11.(2023湖南·真题T19)如图，在三棱锥A-BCD中，AC⊥BD.平面a交AB,BC,CD,DA分别于 E,F,G,H,且AC∥平面a,BD∥平面C. 4 a (1)证明：四边形EFGH为矩形： (2)若AC=BD=2,求矩形EFGH面积的最大值， 12.(2022湖南真题T19)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC 6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 AI职教 中职高考复习 69 zhijiao.xkw.com (I)证明：平面PBC⊥平面PAB: (2)若AB=BC=2,直线PB与平面ABC所成的角为60°，求三棱锥P-ABC的体积 7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！