综合测试卷（三）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材核心考点，采用AB卷分层训练与综合测试卷实战模拟，系统整合立体几何、解析几何、复数等模块知识，通过问题情境培养空间观念与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |立体几何|6题|空间直线平面关系判断、二面角计算|从展开图到空间位置关系，构建空间观念| |解析几何|7题|圆锥曲线定义应用、离心率求解|围绕定义→性质→实际应用逻辑链| |复数与逻辑|5题|纯虚数判断、充分必要条件辨析|概念辨析与运算结合，体现数学思维严谨性| |向量|5题|共线与夹角计算、几何意义应用|代数运算与几何意义融合，培养数学语言表达|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在，，，这四条线段所在的直线中，互为异面直线的共有（    ）对．    A． B． C． D． 2．给出下面四个命题： ①一条直线和一个平面平行，则该直线与这个平面内所有直线平行； ②过平面外一点只能引一条直线和这个平面平行； ③过平面外一点只有一条直线和这个平面垂直； ④一条直线和一个平面垂直，则该直线与这个平面内的所有直线垂直． 其中，正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．设，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知实系数一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（   ） A． B． C． D． 6．若为纯虚数，则实数（   ） A． B． C． D．1或 7．如图，在正方体中，点分别为的中点，则直线与所成角的大小为（      ）    A． B． C． D． 8．若是两条不同的直线，是两个不同的平面，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则（   ） A． B． C．4 D． 10．如图，中国空间站“天宫一号”的运行轨道是以地心（地球的中心）为其中一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的距离）距离地面千米，并且在同一条直线上，地球的半径为千米，则“天宫一号”运行的轨道的短轴长为（ ）千米．    A． B． C． D． 11．已知双曲线的焦点分别为，，离心率为，，点P是双曲线上一点，且P在x轴上方，若的面积为，则P点的纵坐标为（   ） A． B． C．2 D．1 12．已知向量,若，则（    ） A．10 B． C．2 D． 13．已知平面向量，的夹角为，且，，则（   ） A．1 B．2 C． D．4 14．在平行四边形中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 15．已知平面向量、、，下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当的值最小时，点的坐标为_______． 17．已知或，或（），若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 18．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，向量，，则向量与共线的概率为________． 19．已知正方体的体积为，为的中点，则与平面所成角的正切值为_________. 20．设点F是椭圆的一个焦点，若AB是过椭圆中心的弦，则面积的最大值为_________． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知复数，. (1)计算； (2)写出复数的共轭复数，并求以的共轭复数为根的实系数一元二次方程. 22．已知，， 求： (1)； (2). 23．如图，正四棱柱底面边长为2，侧棱长为4，点E为中点，求： (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积． 24．已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在，，，这四条线段所在的直线中，互为异面直线的共有（    ）对．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把正方体的展开图再还原成正方体，利用异面直线的判定定理找出，，，中的异面直线． 【详解】    如图所示：把展开图再还原成正方体， ，，，这四条线段所在直线是异面直线的有： 和，和，和，共三对． 故选：B. 2．给出下面四个命题： ①一条直线和一个平面平行，则该直线与这个平面内所有直线平行； ②过平面外一点只能引一条直线和这个平面平行； ③过平面外一点只有一条直线和这个平面垂直； ④一条直线和一个平面垂直，则该直线与这个平面内的所有直线垂直． 其中，正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，结合空间内的线面关系的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】若一条直线和一个平面平行，则该直线与这个平面内的直线平行或异面，故①错误； 过平面外一点可以引无数条直线和这个平面平行，故②错误； 过平面外一点只有一条直线和这个平面垂直，故③正确； 根据线面垂直的性质定理，一条直线和一个平面垂直，则该直线与这个平面内的所有直线垂直，故④正确； 故选：C. 3．设，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先由一元二次不等式的解法和分式不等式的解法求出，再由充分条件与必要条件的概念运算即可. 【详解】已知，得， 解得，即 由得，即， 等价于，解得，即 所以不能推出，例， 反之，能推出，所以是的必要不充分条件， 故选：B. 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的定义以及得到中各边的关系，结合余弦定理和离心率公式，即可解得. 【详解】因为双曲线左、右焦点分别为， 由定义可知双曲线右支上一点满足， 又，所以， 在中，，， 由余弦定理可知 即， 可化为，即， 解得. 故选：B. 5．已知实系数一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实系数一元二次方程两根互为共轭复数求解即可. 【详解】实系数一元二次方程的一个根为， 则它的另一个根是的共轭复数，即. 故选：B. 6．若为纯虚数，则实数（   ） A． B． C． D．1或 【答案】C 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】因为为纯虚数， 所以且 由得或， 由得且， 综上. 故选：C. 7．如图，在正方体中，点分别为的中点，则直线与所成角的大小为（      ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知（或其补角）为直线与所成的角，求解即可. 【详解】如图所示，连接，    ∵点分别为的中点，∴， ∴（或其补角）为直线与所成的角， ∵在正方体中，， ∴是等边三角形，则， ∴直线与所成角的大小为. 故选：B. 8．若是两条不同的直线，是两个不同的平面，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据线面平行的性质及充分条件的定义即可得解. 【详解】是两条不同的直线，是两个不同的平面，， 则时，，故充分性成立； 时，，故必要性成立， 所以“”是“”的充分条件， 故选：C. 9．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】设，先求出抛物线的准线方程，将转化为到准线的距离，求出，进而得的坐标，据此可求解. 【详解】由抛物线方程，可知其准线方程为， 设，则，由抛物线的定义可得： ，解得， 将代入，可得，即. 所以. 故选：B. 10．如图，中国空间站“天宫一号”的运行轨道是以地心（地球的中心）为其中一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的距离）距离地面千米，并且在同一条直线上，地球的半径为千米，则“天宫一号”运行的轨道的短轴长为（ ）千米．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合椭圆中之间的关系，即可求解. 【详解】由题意，设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c， 则， 所以， 所以， 所以轨道的短轴长为. 故选：D. 11．已知双曲线的焦点分别为，，离心率为，，点P是双曲线上一点，且P在x轴上方，若的面积为，则P点的纵坐标为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据离心率公式可得，进而求出焦距，设且，利用可求解. 【详解】因为离心率为，， 所以，解得， 所以，从而. 又因为的面积为，设P点的坐标为且，则 ，解得. 故选：D. 12．已知向量,若，则（    ） A．10 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，求得参数x，继而求得，结合向量的模的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，且， 所以，解得， 所以，所以， 所以. 故选：B. 13．已知平面向量，的夹角为，且，，则（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】将等式两边分别平方，结合平面向量的内积公式即可得解. 【详解】因为平面向量，的夹角为，则， 所以， 化简得，解得（舍）或， 故选：B. 14．在平行四边形中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】平行四边形中，， 因为为的中点，， , 则. 故选：A.    15．已知平面向量、、，下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据平面向量的相关概念可得. 【详解】对于选项A：若、为非零向量，，但不一定等于，故不成立，A错误； 对于选项B：可知、同向，于是可知、共线，即，故B正确； 对于选项C：，但是两个向量方向不一定相同，故不可以推出，故C错误； 对于选项D：若为零向量，，不一定能推出，故D错误； 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当的值最小时，点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据题意求出抛物线的焦点坐标，结合抛物线的定义即可得解. 【详解】    根据题意，作出图像， 抛物线，焦点在轴正半轴上，且， 所以焦点坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可知，过点作准线的垂线，交抛物线于点， 此时的值最小， 此时点的纵坐标为，则，解得， 所以， 故答案为：. 17．已知或，或（），若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据集合的包含关系求解即可. 【详解】由题可知：是的必要不充分条件，所以（等号不同时成立），所以. 故答案为：. 18．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，向量，，则向量与共线的概率为________． 【答案】 【分析】根据向量共线的坐标公式以及古典概率公式求解即可. 【详解】已知向量，，且向量与共线， 则，则. 则共3种可能情况. 则概率为. 故答案为：. 19．已知正方体的体积为，为的中点，则与平面所成角的正切值为_________. 【答案】 【分析】先根据正方体体积求出棱长，再找出直线在平面上的射影，最后根据线面角的定义求出其正切值. 【详解】设正方体的棱长为， 已知正方体体积为，则有，解得. 因为平面，则直线在平面上的射影为， 所以是直线与平面所成的角， 已知为的中点，，所以， 在中，根据勾股定理可得， 在中，，则， 故与平面所成角的正切值为. 故答案为：. 20．设点F是椭圆的一个焦点，若AB是过椭圆中心的弦，则面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程求得，结合椭圆的性质，三角形的面积公式即可求解. 【详解】由椭圆得，，解得. 设点， ， 因为点在椭圆上，所以当时取最大值，即最大值为， 所以面积的最大值为. 故答案为：.    三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知复数，. (1)计算； (2)写出复数的共轭复数，并求以的共轭复数为根的实系数一元二次方程. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据复数的加法运算计算即可； （2）根据共轭复数以及实系数一元二次方程的计算求解即可. 【详解】（1）因为复数，， 所以； （2）因为复数，则， 若以的共轭复数为根， 则可知该实系数一元二次方程的两个根为和， 设该实系数一元二次方程为， 所以，则有，即， 所以， 所以以的共轭复数为根的实系数一元二次方程为. 22．已知，， 求： (1)； (2). 【答案】(1). (2). 【分析】根据题意利用平面向量的运算法则即可得解. 【详解】（1），， . （2），， . 23．如图，正四棱柱底面边长为2，侧棱长为4，点E为中点，求： (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二面角定义找到二面角的平面角易得答案； （2）根据三棱锥的体积公式易得答案. 【详解】（1）连接， 因为正四棱柱， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为正方形， 所以，因为平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以是二面角的平面角， 因为正四棱柱底面边长为2，侧棱长为4，点E为中点， 所以， 所以，因为， 所以， 所以二面角的大小为. （2）连接， 因为平面， 所以三棱锥的体积. 24．已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将双曲线化为标准方程求出双曲线的焦点坐标，即为抛物线的焦点坐标即可求解. （2）设直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程结合向量垂直的条件列式即可求解. 【详解】（1）将双曲线化为标准方程为， 在双曲线中，，所以， 所以双曲线的右焦点坐标为， 又抛物线的焦点是双曲线的右焦点， 则抛物线的焦点为，即解得，所以抛物线的方程为． （2）①若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率不存在不满足条件． ②若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为， 当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意； 当时，设，，联立方程组， 消去化简得， 所以，， ， 因为，所以，解得， 此时直线的方程为， 综上，直线的方程为．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $