第四章 立体几何（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本试卷为中职数学《拓展模块一上册》第四章立体几何B卷（能力提升），聚焦空间观念与推理能力，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配单元复习，助力构建知识网络。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|15题/45分|线面关系、异面直线、面面平行等|如第2题三棱锥中异面直线判断，考查空间观念；第8题空间命题辨析，培养推理意识| |填空|5题/15分|二面角、线面角、面面位置关系|如16题二面角内点到面距离计算，训练数学思维；19题正方体中平面位置关系，强化几何直观| |解答|4题/40分|正四棱锥侧面积、线线角、点面距离|如21题工厂容器制作问题，结合实际情境，体现数学语言表达现实世界；24题二面角中点到线距离，提升综合应用能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若直线与平面有两个公共点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面的基本性质及线面的位置关系判断. 【详解】若一条直线与一个平面有两个不同公共点，则这条直线在该平面内，即. 故选：A. 2．在三棱锥中，与棱PA是异面直线的是（    ） A．PB B．PC C．AB D．BC 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义和三棱锥的结构即可选出正确答案. 【详解】    异面直线的定义：不在任何一个平面内，既不平行也不相交的直线. A选项， PA与PB相交于点P，不是异面直线； B选项， PA与PC相交于点P，不是异面直线； C选项， PA与AB相交于点A，不是异面直线； D选项， PA与BC没有公共点，且不在任何一个平面内，符合异面直线的定义. 故选：D. 3．下列条件中能推出直线平面的是（    ） A．与内一条直线平行 B．与内两条相交直线平行 C．与内无数直线都不相交 D．与无公共点 【答案】D 【分析】根据题意，结合线面平行的定义和判定定理，即可求解. 【详解】若与内一条直线平行，则或，故选项A不符合题意； 与内两条相交直线平行，是不存在的，故选项B不符合题意； 若与内无数直线都不相交，则或，故选项C不符合题意； 若与无公共点，则，故选项D符合题意. 故选：D. 4．在三棱锥中，，，则有（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】B 【分析】首先由线面垂直的判定定理，证明平面，再由面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】在三棱锥中，，， 因为平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以平面平面，故B正确， 故选：B. 5．二面角的大小为，若直线，且，则与平面所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】做出辅助线，先求解出为线面角，再根据线面垂直的性质可得，由此可得为二面角的平面角，由此可解. 【详解】记直线m与直线l相交于点O，过直线m上一点A作交平面于点B，连接，如图，    ∵，则为直线与平面所成的角， ∵，，即， ∵，且，平面， 则平面， 又平面，则， ∴为二面角的平面角，即， 则与平面所成的角为. 故选：C. 6．一个正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据题意作出正三棱锥，找到侧面与底面所成角即可得解. 【详解】如图所示，在正三棱柱中，    正三棱锥的顶点在底面的射影为底面中心，作平面， 过点作垂直于于点，连接，则为斜高， 侧面与底面所成角为，因为， 则，所以侧面与底面所成二面角的平面角为锐角. 故选：A. 7．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形为正方形E，F，G，H分别为的中点.在此几何体中，给出下列结论，其中错误的结论是（    ）    A．平面平面 B．直线平面 C．直线平面 D．直线平面 【答案】D 【分析】根据几何体的平面展开图作出立体图形，结合线面平行和面面平行的判定即可解得. 【详解】作出立体图形如图所示.连接四点构成平面.    选项A：因为分别是的中点,所以.又平面，平面， 所以平面.同理, 平面.又,平面,平面， 所以平面平面，故A正确； 选项B：连接，设的中点为，则也是的中点，所以， 又平面,平面，所以平面，故B正确； 选项C：由A中的分析知，，所以， 因为平面，平面，所以直线平面，故C正确； 选项D：根据C中的分析可知再结合图形可得，， 则直线与平面不平行，故D错误. 故选：D. 8．空间中，下列命题正确的是（   ） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．垂直于同一条直线的两个平面平行 C．平行于同一个平面的两条直线平行 D．垂直于同一个平面的两条直线垂直 【答案】B 【分析】利用空间中直线与平面平行、垂直的性质进行判断. 【详解】选项A，平行于同一直线的两平面可能平行，可能相交，错误； 选项B，垂直于同一直线的两平面平行，正确； 选项C，平行于同一平面的两直线平行，相交或异面，错误； 选项D，垂直于同一平面的两直线平行，错误. 故选： B. 9．如图，已知正方体，则下列命题中错误的是（    ） A．平面 B．与平面ABCD所成的角是 C．与BD所成的角为 D．AC与所成的角是 【答案】C 【分析】由线面平行的判定定理判断A选项，由直线与平面所成的角判断B选项，由直线与直线所成的角判断CD选项即可. 【详解】对于A，平面平面，则平面，A正确， 对于B，因为平面ABCD，与平面ABCD所成角为，B正确， 对于C，与BD所成角即为AC与BD所成角， 而正方形对角线互相垂直，AC与BD所成角为，即与BD所成角为，C错误， 对于D，连接，AC与所成角即为与所成角， 连接，则，则AC与所成角为，D正确． 故选：C. 10．已知平面，且，连接，，则该空间图形中直角三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理以及性质定理求解即可. 【详解】如图所示：    ∵平面，且平面， ∴，，， 则，， ∴，为直角三角形， ∵，即， ∴为直角三角形， ∵，，且平面， ∴ 平面， ∵ 平面， ∴ ，即， ∴为直角三角形， ∴共4个直角三角形. 故选：D. 11．下列命题中，正确的是（ ） A．若一直线与一平面平行，则这条直线就和这个平面内的任意直线平行 B．若平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与此平面平行 C．与两个相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面 D．平行于同一平面的两条直线平行 【答案】B 【分析】根据线面平行、线线平行的判定及性质即可得解. 【详解】对于选项，直线与平面平行，不代表和这个平面内任意直线平行， 只能是与这个平面内所有直线都不相交，即可能异面，可能平行，故选项错误； 对于选项，平面外两条平行直线，一条与平面平行，则另一条也与此平面平行，故选项正确； 对于选项，如果一条直线与两个相交平面的交线平行，但该直线位于其中一个平面上， 那么它不会平行于该平面，故选项错误； 对于选项，平行于同一平面的两条直线有可能异面，有可能相交，故选项错误； 故选：B. 12．空间四边形 中，， 分别为 的中点，且 ，则 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中位线构造三角形，再求异面直线夹角即可. 【详解】取中点，连接 ；    则 ，，且 ，； 所以 即为 与 所成的角（或其补角）； 在 中，，， 则是等边三角形，故. 故选：C. 13．若是空间中的三条直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若直线异面，异面，则异面 B．若直线相交，相交，则相交 C．若，则与c所成的角相等 D．若，，则 【答案】C 【分析】由空间中直线与直线的位置关系进行分析判断即可. 【详解】对A：若直线异面，异面，则可能异面或可能相交或可能平行，故A选项错误； 对B：若直线相交，相交，则可能相交或异面或可能平行，，故B选项错误； 对C：若，通过平移，a与c所成的角与b和c所成的角为同一个角，所以相等，故C选项正确； 对D：若，，则可能异面或可能相交或可能平行，故D选项错误. 故选：C. 14．如图所示，点E、F、G、H分别是正方体四条棱的中点，则直线与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 【答案】B 【分析】连接，根据正方体的特点以及点E、F、G、H是棱的中点，证明是梯形，即可得到直线与相交. 【详解】    连接， ∵是正方体， ∴且，即是矩形， 则， 依题意，是的中点，是的中点， 所以，. 又因为是的中点，是的中点， 所以在中，且. 得到. 因此是梯形，故直线与相交. 故选：B. 15．若空间中有三条直线互相平行，且已知每两条平行线确定一个平面，则可确定（    ）个平面. A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．无数 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质求解即可. 【详解】根据平面性质，两条平行直线可以确定一个平面，分两种情况： 第一种，三条直线都在同一个平面内， 如图所示：  ； 第二种，三条直线在一个正方体中， 如图所示：   由图可知，，与确定一个平面，与确定一个平面，与确定一个平面，共3个平面. 综上，可确定1或3个平面. 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若在的二面角内有一点P到两个面的距离相等，且它到二面角的棱的距离为，则点P到两个面的距离为__________. 【答案】 【分析】先利用线面垂直的判定定理得到为二面角的平面角，再利用全等三角形与正弦函数的定义即可得解. 【详解】如图所示，为P点到两平面的垂足， 所以平面，又平面，所以， 同理，，又平面， 所以平面，即平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为，， 因为直角三角形和中， 所以与是全等三角形，则， 所以， 所以. 故答案为：. 17．如图所示，在正方体中，AC与所成的角的大小是______.    【答案】90° 【分析】利用正方体的性质和三垂线定理证明两直线垂直即可. 【详解】连接，    在正方体中，因为平面， 所以是斜线在平面上的射影， 因为与是正方形的对角线，所以. 所以，故AC与所成的角的大小是90°. 故答案为：. 18．如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，且底面，若，，则直线与平面所成角的正弦值为 __． 【答案】 【分析】首先取中点，连，，再根据棱柱的几何特征以及线面垂直的判定定理可证明出平面，可知为直线与平面所成角，再由题中的条件根据勾股定理求出中的边长，最后由正弦的定义求值即可. 【详解】取中点，连，， 因为在三棱柱中，底面是等边三角形， 所以底面是等边三角形，从而， 因为底面，所以底面， 因为底面， 所以，又， 且平面，平面， 从而平面， 因此为直线与平面所成角， 且由平面，平面， 可知，为直角三角形， 因为，， 所以， 因为， 所以, 所以， 故答案为：． 19．在正方体中，平面与平面的位置关系是____________. 【答案】平行 【分析】根据线面平行及面面平行的判定定理求解即可. 【详解】在正方体中，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面， 又平面，, 所以平面平面. 故答案为：平行.    20．若P是所在平面外一点，而与都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为______. 【答案】 【分析】先找到两条分别垂直于两平面棱的直线所成的角，即为二面角的平面角，再根据边的关系求解即可. 【详解】取的中点O，分别连结，，如图所示：    因为与都是边长为2的正三角形， 所以，， 又因为点O为的中点， 所以，， 则为二面角的平面角， 因为，，所以， 同理可得，， 又因为， 所以在中，， 所以，即二面角的大小为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．某工厂要制作一个正四棱锥形容器（无盖），底面边长为8cm，侧棱长为10cm. (1)求侧面与底面所成二面角的余弦值； (2)求容器的侧面积（侧面展开图的面积）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的线面关系确定二面角的平面角，进而求解即可； （2）根据正四棱锥中二面角侧面积公式求解； 【详解】（1）    如图，设正四棱锥顶点为P，底面的中心为O，取中点H，连接、. 因为底面，，， 所以为侧面与底面所成二面角的平面角； 因为底面边长8，故，侧棱长，斜高； 所以， 即侧面与底面所成二面角的余弦值为. （2）因为侧面积为4个等腰三角形面积之和：每个三角形面积， 所以总侧面积. 22．在直三棱柱中，顶面 是边长为 2 的等边三角形，侧棱 .求直线 与所成的角.    【答案】 【分析】直三棱柱中棱互相平行且相等，且垂直于底面和顶面，通过平移找到两条异面直线所成的角，再计算即可. 【详解】在直三棱柱中： 底面是边长为的等边三角形，侧棱，且所有侧棱均垂直于底面， 又因为直线 与是异面直线，与 平行且相等， 所以是与 所成的角， 在中，， 所以为等腰直角三角形， 所以直线与所成的角即直线 与所成的角为. 23．所在平面外有一点，垂直于于E，且，求 (1)点到平面的距离； (2)和平面所成的角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据过P作平面α的垂线，垂足为O，将问题转化为求PO的长度，结合三垂线定理即可求解. （2）根据题（1）得出为和平面所成的角即可求解. 本题主要考查直线与平面所成的角，以及点到平面的距离. 【详解】（1）作于，则为点到平面的距离， 连接为和平面所成的角，连接.    因为于于， 所以在平面的射影， 又因为，所以在四边形中， ，且，所以四边形为正方形， 所以①，设②， ③， 联立①②③方程可得 ，所以点到平面的距离为12. （2）因为为和平面所成的角，在中，， 因为直线与平面所成角， 所以，即与平面所成的角为. 24．如图所示，在的二面角内有一点，若点到平面和平面的距离均为，即，求点到直线的距离.    【答案】 【分析】根据二面角的定义可得即为二面角的平面角，结合直角三角形中的正弦公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又，平面， 所以平面，因为，所以， 同理可得AC⟂l，所以即为二面角的平面角，故， 因为，所以，同理可得， 在和中，因为，为公共边， 所以，则， 故， 所以点到直线的距离为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若直线与平面有两个公共点，则（　　） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，与棱PA是异面直线的是（    ） A．PB B．PC C．AB D．BC 3．下列条件中能推出直线平面的是（    ） A．与内一条直线平行 B．与内两条相交直线平行 C．与内无数直线都不相交 D．与无公共点 4．在三棱锥中，，，则有（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 5．二面角的大小为，若直线，且，则与平面所成的角为（　　） A． B． C． D． 6．一个正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．以上都有可能 7．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形为正方形E，F，G，H分别为的中点.在此几何体中，给出下列结论，其中错误的结论是（    ）    A．平面平面 B．直线平面 C．直线平面 D．直线平面 8．空间中，下列命题正确的是（   ） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．垂直于同一条直线的两个平面平行 C．平行于同一个平面的两条直线平行 D．垂直于同一个平面的两条直线垂直 9．如图，已知正方体，则下列命题中错误的是（    ） A．平面 B．与平面ABCD所成的角是 C．与BD所成的角为 D．AC与所成的角是 10．已知平面，且，连接，，则该空间图形中直角三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．下列命题中，正确的是（ ） A．若一直线与一平面平行，则这条直线就和这个平面内的任意直线平行 B．若平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与此平面平行 C．与两个相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面 D．平行于同一平面的两条直线平行 12．空间四边形 中，， 分别为 的中点，且 ，则 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 13．若是空间中的三条直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若直线异面，异面，则异面 B．若直线相交，相交，则相交 C．若，则与c所成的角相等 D．若，，则 14．如图所示，点E、F、G、H分别是正方体四条棱的中点，则直线与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 15．若空间中有三条直线互相平行，且已知每两条平行线确定一个平面，则可确定（    ）个平面. A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．无数 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若在的二面角内有一点P到两个面的距离相等，且它到二面角的棱的距离为，则点P到两个面的距离为__________. 17．如图所示，在正方体中，AC与所成的角的大小是______.    18．如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，且底面，若，，则直线与平面所成角的正弦值为 __． 19．在正方体中，平面与平面的位置关系是____________. 20．若P是所在平面外一点，而与都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为______. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．某工厂要制作一个正四棱锥形容器（无盖），底面边长为8cm，侧棱长为10cm. (1)求侧面与底面所成二面角的余弦值； (2)求容器的侧面积（侧面展开图的面积）. 22．在直三棱柱中，顶面 是边长为 2 的等边三角形，侧棱 .求直线 与所成的角.    23．所在平面外有一点，垂直于于E，且，求 (1)点到平面的距离； (2)和平面所成的角的大小. 24．如图所示，在的二面角内有一点，若点到平面和平面的距离均为，即，求点到直线的距离.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $