第三章 圆锥曲线（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣高教版《数学 拓展模块一上册》第三章圆锥曲线，设B卷能力提升卷（60分钟100分），精准覆盖核心考点，通过知识整合与实际应用（如抛物线拱桥问题）提升解题能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|15/45|抛物线标准方程、椭圆焦距、双曲线渐近线等|基础考点综合检测，如第2题椭圆焦距计算，考查几何直观| |填空|5/15|抛物线最值、椭圆离心率、双曲线实轴长等|聚焦核心公式应用，如16题抛物线最小值，培养空间观念| |解答|4/40|直线与抛物线相交、椭圆焦点弦、双曲线方程及应用、抛物线拱桥建模|综合能力提升，如24题拱桥问题，体现模型意识与应用意识，21题考查运算与推理能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第三章 圆锥曲线 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，若该抛物线经过点，则其标准方程是（    ） A．或 B． C． D．或 2．一个椭圆形状的操场，长轴长为100米，短轴长为60米，则它的焦距为（    ） A．40米 B．60米 C．80米 D．100米 3．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 5．双曲线 的渐近线方程是（　　） A． B． C． D． 6．双曲线的焦点为，点在双曲线上，，则（　　） A． B． C． D． 7．若椭圆焦点在y轴且长轴长为短轴长的两倍，则方程是（    ） A． B． C． D． 8．椭圆中，则（    ） A． B． C． D． 9．过点作直线交双曲线于、两点，若为中点，则直线斜率（　　） A． B． C． D． 10．抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，水面宽为8米，当水面下降1米后，水面宽为（    ） A．米 B．43米 C．8米 D．12米 11．抛物线 上点到点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 12．双曲线虚轴长大于实轴长，则离心率的范围是（　　） A． B． C． D． 13．关于x，y的方程和在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   14．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 15．设是椭圆的焦点，在上，，则面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．抛物线内有一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，则的最小值为__________． 17．椭圆的离心率为，则____________. 18．若椭圆的离心率，短轴长为，则长轴长为____________. 19．双曲线的虚轴长为6，离心率为，则实轴长为________. 20．已知点为抛物线：的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，若，则线段的中点到抛物线的准线的距离为_______. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知倾斜角为且过点的直线l与抛物线交于A、B两点，若．求： (1)直线l的方程； (2)抛物线的标准方程． 22．已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭园于A和B两点，求：    (1) (2)（为左焦点） 23．已知双曲线的离心率为 ，虚轴长为 6. (1)求双曲线的标准方程及焦点坐标； (2)写出双曲线的渐近线方程，并求顶点到渐近线的距离. 24．一座抛物线形拱桥，当水面宽为12米时，拱顶距水面4米. (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的标准方程； (2)当水面下降2米后，水面的宽度为多少米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第三章 圆锥曲线 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，若该抛物线经过点，则其标准方程是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】因为抛物线经过点在第二象限，且题中没有明确抛物线的对称轴位置，因此分两种情况设抛物线方程，由点代入可求解. 【详解】由题意，可设其标准方程为或， 由点分别代入方程，可得 或， 解得或. 故抛物线的标准方程为或. 故选：A. 2．一个椭圆形状的操场，长轴长为100米，短轴长为60米，则它的焦距为（    ） A．40米 B．60米 C．80米 D．100米 【答案】C 【分析】通过椭圆长轴长和短轴长求出，即可求出并得到焦距. 【详解】椭圆的长轴长，则， 短轴长，则，所以， 故焦距为：米. 故选：C. 3．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线的方程，由抛物线的定义即可求解的大小. 【详解】因为抛物线，所以， 所以直线方程为， 设， 联立，消y得， 则有， 所以有抛物线的定义可知，. 故选：B. 4．抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线确定的值，进而得准线方程. 【详解】由得，，则准线方程为， 故选：A. 5．双曲线 的渐近线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质即可求解. 【详解】因为双曲线方程 中，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 6．双曲线的焦点为，点在双曲线上，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义求解. 【详解】双曲线中，， 由双曲线的定义可知，， 即，则或， 解得（舍），或， 故选：D. 7．若椭圆焦点在y轴且长轴长为短轴长的两倍，则方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据焦点位置与长短轴的数量关系，再根据选项进行判断即可. 【详解】因为椭圆焦点在y轴且长轴长为短轴长的两倍， 所以即，选项BD焦点在x轴排除； 选项C中，，满足； 选项A中，不满足. 故选：C. 8．椭圆中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆中的关系求解即可. 【详解】椭圆中，则. 故选：A. 9．过点作直线交双曲线于、两点，若为中点，则直线斜率（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用点差法求解即可. 【详解】设，，则：， 上下相减得：， 由中点知，， 代入得：. 故选：C. 10．抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，水面宽为8米，当水面下降1米后，水面宽为（    ） A．米 B．43米 C．8米 D．12米 【答案】A 【分析】建立合适的坐标系求出抛物线方程，然后根据水面下降的情况求出此时水面的宽度. 【详解】以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，如图，    设抛物线方程为， 已知顶点距水面米时，水面宽为米，即，可得点的坐标为， 代入抛物线方程可得，解得， 所以抛物线方程为. 当水面下降米后，达到的位置，设， 此时水面距离顶点的距离为米，即， 将代入抛物线方程中，得， 解得， 所以此时水面的宽度为米. 故选：A. 11．抛物线 上点到点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点的坐标，再根据二次函数的最值求解即可. 【详解】设，则. 因为，所以， 当时取得最小值4. 故选：B. 12．双曲线虚轴长大于实轴长，则离心率的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，结合离心率公式求解即可. 【详解】由题意，得， ∴， 故选：B. 13．关于x，y的方程和在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分类讨论的正负情况，结合直线斜截式的性质与圆锥曲线的方程即可得解. 【详解】①若，则直线，斜率，截距， 则直线图象经过一、二、三象限；表示椭圆，则A、B排除； ②若，则直线， 则直线图象经过一、三、四象限；表示焦点在x轴上的双曲线，则排除C； ③若，则直线， 则直线图象经过一、二、四象限；表示焦点在y轴上的双曲线，则D符合． 显然这种情况不存在. 故选：D. 14．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程与椭圆方程，再利用韦达定理及弦长公式求解即可. 【详解】联立直线方程与椭圆方程：， 整理得：. 根据韦达定理有：. 因此弦长：. 故选：B. 15．设是椭圆的焦点，在上，，则面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质即可求解. 【详解】已知椭圆， ， 由题意可知，， 则， ， 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．抛物线内有一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，则的最小值为__________． 【答案】3 【分析】根据抛物线定义，将点到焦点的距离转化为到准线的距离. 【详解】如图：    设P点到准线距离为，则由定义 若值最小，即值最小，此时，P、A、B三点共线， ∵抛物线方程为， ∴抛物线的准线为， ∴距离最小值为点到准线的距离， 则的最小值为． 故答案为:. 17．椭圆的离心率为，则____________. 【答案】或 【分析】根据椭圆离心率公式以及椭圆方程求解即可. 【详解】若，则，，则， 因此；解得，. 若，则，，则， 因此；解得，. 所以的值为或. 故答案为：或. 18．若椭圆的离心率，短轴长为，则长轴长为____________. 【答案】6 【分析】利用椭圆的长轴长、短轴长和离心率之间的关系求解.. 【详解】由题意，椭圆短轴长，则， 又因，得，又，即， 解得，故长轴长. 故答案为：6. 19．双曲线的虚轴长为6，离心率为，则实轴长为________. 【答案】 【分析】根据题意求出，结合离心率公式及求出值即可得解. 【详解】双曲线的虚轴长为6，则，解得， 离心率为，， 因为，则， 解，所以实轴长为， 故答案为：. 20．已知点为抛物线：的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，若，则线段的中点到抛物线的准线的距离为_______. 【答案】3 【分析】结合图象，利用梯形中位线的性质与抛物线的定义即可得解. 【详解】如图，分别过点、、作准线的垂线，垂足分别为，，，      易知是梯形的中位线， 所以. 故答案为：3. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知倾斜角为且过点的直线l与抛物线交于A、B两点，若．求： (1)直线l的方程； (2)抛物线的标准方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据斜率的定义和直线方程的点斜式即可求解； （2）根据直线和抛物线的位置关系和向量的数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）直线斜式 由直线点斜式方程得，即. 直线l方程为． （2）设，联立消y， 得 抛物线方程为． 22．已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭园于A和B两点，求：    (1) (2)（为左焦点） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与椭圆的方程，应用弦长公式计算即可. （2）由（1）求出的弦长为三角形的底，再求出点到直线的距离为高，即可求出三角形的面积. 【详解】（1）因为椭圆为， 所以有， 所以焦点，， 则直线方程为， 设点， 所以，解得， 则有， 则有 . （2）因为，直线为， 所以点到直线的距离为， 又因为， 所以. 23．已知双曲线的离心率为 ，虚轴长为 6. (1)求双曲线的标准方程及焦点坐标； (2)写出双曲线的渐近线方程，并求顶点到渐近线的距离. 【答案】(1)焦点在轴时，方程为：，焦点坐标为，焦点在轴时，方程为：，焦点坐标为. (2)焦点在轴时，渐近线方程为；当焦点位于轴时，渐近线方程为；顶点到渐近线的距离为. 【分析】（1）根据双曲线的性质结合已知条件求出的值，分焦点在x轴和y轴两种情况讨论. （2）根据双曲线的性质求出渐近线方程，根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）设双曲线方程为（焦点在x轴）或（焦点在y轴）， 由题意虚轴长 ；离心率 ； 又在双曲线中，代入得：，解得， 所以当焦点位于轴时，双曲线方程为：，焦点坐标为， 当焦点位于轴时，双曲线方程为：，焦点坐标为. （2）当焦点位于轴时，双曲线方程为：， 渐近线方程为，顶点坐标为 （取右顶点）， 所以顶点到渐近线（取正斜率）的距离为； 当焦点位于轴时，双曲线方程为：， 渐近线方程为，顶点坐标为 （取上顶点）， 所以顶点到渐近线（取正斜率）的距离为. 综上所述：当焦点位于轴时，渐近线方程为，顶点到渐近线的距离为， 当焦点位于轴时，渐近线方程为，顶点到渐近线的距离为. 24．一座抛物线形拱桥，当水面宽为12米时，拱顶距水面4米. (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的标准方程； (2)当水面下降2米后，水面的宽度为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据线形拱桥的特征建系求解标准方程即可； （2）将代入抛物线方程求解x的值即可求解水面宽度. 【详解】（1）设拱顶为坐标原点，以过拱顶且竖直向上的直线为y轴正方向，水平直线为x轴， 建立平面直角坐标系：    设抛物线方程为，代入点得， 解得，故方程为. （2）当水面下降2米，即时，，解得，故水面宽为米. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $