第二章 平面向量（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本试卷为中职数学《拓展模块一上册》第二章平面向量B卷（能力提升），紧扣教材核心考点，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，适配单元复习，助力学生构建知识网络与提升解题能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|15/45|向量共线、垂直、单位向量等基础概念|注重数学眼光观察，如第4题单位向量概念辨析| |填空题|5/15|向量投影、模长计算、方向角等|体现数学思维推理，如第18题投影公式应用| |解答题|4/40|三点共线、夹角余弦值、综合运算等|突出数学语言表达，如21题共线向量推理及24题夹角计算的规范表述|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图所示，M是线段OB的中点，设向量，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 3．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 4．向量的单位向量有（    ） A．无数个 B．1个 C．0个 D．2个 5．若，，且，则（    ）. A．11或 B．11或 C．9或 D．9或 6．若，，若，则（    ） A．2 B． C． D． 7．下列向量中，与垂直的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，则在以下各命题中，正确的命题共有（    ） ①当，时，与的方向一定相反； ②当，时，与的方向一定相同； ③当，时，与是共线向量； ④当，时，与的方向一定相同； ⑤当，时，与的方向一定相反． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，且，则（    ）. A． B． C． D． 11．与向量是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 13．已知，，则的最大值是（    ） A．0 B．10 C．20 D． 14．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 15．设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知平面向量满足，且，则______. 17．设向量，，若，则 _____. 18．已知，向量在方向上的投影为3，则__________. 19．若向量的方向是正南方向，向量的方向是北偏东方向，且，则_____． 20．已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则______. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．设、是两个不共线的向量，已知向量，，，若A、、三点共线，求的值． 22．已知，且，求m的值. 23．已知向量，，． (1)求的值； (2)求与的夹角的余弦值． 24．已知在同一平面内，且． (1)若，且，求； (2)若，且，求与的夹角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据相等向量的坐标表示列等式求值即可. 【详解】已知，， 由，得，， . 故选：B. 2．如图所示，M是线段OB的中点，设向量，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】有向量的加法运算即可求解. 【详解】因为M是线段OB的中点,所以; ． 故选: B. 3．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量平行的坐标表示求解. 【详解】∵，且， ∴，解得， 故选：D． 4．向量的单位向量有（    ） A．无数个 B．1个 C．0个 D．2个 【答案】D 【分析】根据题意结合单位向量的定义即可得解. 【详解】单位向量是模为1且与原向量方向相同或相反的向量， ，， 所以的单位向量为，， 所以有个单位向量， 故选：D. 5．若，，且，则（    ）. A．11或 B．11或 C．9或 D．9或 【答案】B 【分析】先根据、两点的坐标求出向量的坐标，再利用向量模长公式建立关于的方程求解即可. 【详解】已知，，可得， 因为，所以， 即，得，解得或， 故选：B. 6．若，，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量垂直列出方程即可得解. 【详解】，，若， 则，解得， 故选：A. 7．下列向量中，与垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解. 【详解】选项A：设，则，则不垂直，所以A选项错误； 选项B：设，则，则垂直，所以B选项正确； 选项C：设，则，则不垂直，所以C选项错误； 选项D：设，则，则不垂直，所以D选项错误， 故选：B. 8．已知，则在以下各命题中，正确的命题共有（    ） ①当，时，与的方向一定相反； ②当，时，与的方向一定相同； ③当，时，与是共线向量； ④当，时，与的方向一定相同； ⑤当，时，与的方向一定相反． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据向量数乘的性质以及向量的方向进行分析判断即可. 【详解】对于①②③，根据实数与向量的积的方向，易知①②③都是正确的； 对于④，由可得同为正或同为负，所以和或者都与同向， 或者都与反向，所以和是同向的，故④正确； 对于⑤，由可得异号，所以在和中，一个与同向，另一个与反向， 所以和是反向的，故⑤正确． 故选：D. 9．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D. 10．已知，，且，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量内积的公式求解. 【详解】， 所以. 故选：B. 11．与向量是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量共线定理，即可判断求解. 【详解】因为向量， 根据向量共线定理，不存在唯一的实数，使得成立，故选项A不符合题意； 不存在唯一的实数，使得成立，故选项B不符合题意； 不存在唯一的实数，使得成立，故选项C不符合题意； 存在唯一的实数，使得成立，故选项D符合题意； 故选：D. 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】，则， 故选：B. 13．已知，，则的最大值是（    ） A．0 B．10 C．20 D． 【答案】C 【分析】根据向量内积的定义，结合三角函数的性质求解. 【详解】由题意，，（为的夹角）， ∵，则， ∴当时，取最大值1，此时取得最大值. 故选：C. 14．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算即可求解. 【详解】对A，，故A不正确， 对B，D，连接AC，如下图示，因为E，F分别为线段AD，CD的中点， 所以G是的中线交点，则， 所以 ， 连接交于，同理可得， ， ，所以，故B，D不正确， 对C，，故C正确. 故选：C. 15．设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的差坐标等于终点的坐标减去起点的坐标及模长公式和三角函数求最值即可. 【详解】， 因为， 则| （当取最小值时，最大）. 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知平面向量满足，且，则______. 【答案】 【分析】先由数量积的运算律得出，再由计算即可. 【详解】因为， 所以， 可得， 所以． 故答案为：． 17．设向量，，若，则 _____. 【答案】 【分析】根据向量的坐标和向量平行的条件，得到，即可求解. 【详解】∵，向量，， ∴，当时，则，等式不成立， 所以，则. 故答案为：. 18．已知，向量在方向上的投影为3，则__________. 【答案】15 【分析】根据向量内积的定义及几何意义求解. 【详解】由题意，向量在方向上的投影为， 故. 故答案为：15. 19．若向量的方向是正南方向，向量的方向是北偏东方向，且，则_____． 【答案】/ 【分析】根据向量内积的定义及运算性质求解. 【详解】设与的夹角为，由题意得， 所以 故答案为：. 20．已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则______. 【答案】3 【分析】通过对已知向量等式进行变形，找出与的关系，进而求出的值. 【详解】因为， 所以， 可得， 故. 故答案为：3. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．设、是两个不共线的向量，已知向量，，，若A、、三点共线，求的值． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得，由三点共线可得，据此可求解. 【详解】由题意得 ． ∵三点共线， ∴，即， ∴，解得． 22．已知，且，求m的值. 【答案】 【分析】根据题意，结合向量的线性运算的坐标表示和向量共线的坐标表示，即可求解. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 即，解得. 23．已知向量，，． (1)求的值； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量内积的运算律计算即可. （2）先求解出的模长和的模长，再根据向量夹角计算公式计算即可. 【详解】（1）根据题意，向量，，， 则. （2）设与的夹角为，， ，则， ，则， 故． 24．已知在同一平面内，且． (1)若，且，求； (2)若，且，求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）根据向量的平行坐标表示与向量的模的坐标表示求解即可； （2）根据向量垂直求解向量内积，进而确定向量的夹角； 【详解】（1）根据题意，设 则，，则有，即，① 又由，则有，② 解可得：或， 或； （2）又由，则有, 变形可得，即； 又，则有, 则有, 故与的夹角的余弦值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $