第二章 平面向量（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣高教版中职数学拓展模块一上册第二章平面向量，A卷基础巩固，覆盖向量概念、线性运算、坐标表示等核心考点，适配单元复习，助力夯实基础与运算能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|15/45|向量概念（单位向量）、线性运算（平行四边形中点）、坐标运算（中点坐标）|辨析基础概念，如单位向量定义（题3），强化几何直观| |填空题|5/15|共线向量（题16）、射影（菱形边长与夹角，题17）、夹角计算（题18）|聚焦核心公式应用，考查符号意识与空间观念| |解答题|4/40|数量积（夹角与垂直，题21）、平行四边形顶点坐标（题24）|综合基础运算，需推理与表达，培养运算能力与应用意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列四个命题： ①；②，则；③；④若，则． 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，记，则（    ）    A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．方向相反的向量是相反向量 B．零向量没有方向 C．模为1的向量是单位向量 D．大小相等的向量是相等向量 4．已知点，则的中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．向量，，则与的关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相等 D．相反 6．已知，，，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 7．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，，则与的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．以上都不对 9．已知点，，若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，，则（    ）. A． B． C． D． 11．已知点A坐标为，点B坐标为，则的坐标为（    ）. A． B． C． D． 12．已知，，且，则（    ）. A． B． C． D． 13．若向量与共线（），则存在唯一实数，使得（    ） A． B． C． D．以上都对 14．向量的三角形法则是（ ） A．从的终点指向的终点的向量 B．从的终点指向的终点的向量 C．以和的起点为公共起点作平行四边形，对角线为 D．以上都不对 15．向量与的图示如图所示（，），则的图示是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知向量、不共线，实数、满足，则__________． 17．已知菱形的边长2，，则在上射影是_________. 18．在中，，，，D是的中点，则与的夹角为______． 19．已知点，，若，则__________. 20．已知向量，，且，则_________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知． (1)若与的夹角为，求； (2)若与垂直，求与的夹角大小． 22．已知，，． (1)求与的夹角； (2)当为何值时，向量的模长为. 23．已知点，. (1)若与的夹角为锐角，求的取值范围； (2)若与平行，求的值及的坐标. 24．平行四边形的三个顶点，，，求点D的坐标及平行四边形的对角线的交点坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列四个命题： ①；②，则；③；④若，则． 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量内积及相关的运算律，结合向量概念逐项判断即可. 【详解】①，错误； ②，，由可得： ，则与不一定相等，错误； ③与不共线时，等式不一定相等，错误； ④向量大小相等时，方向不定，不能确定是相等或相反向量，错误． 故真命题的个数是0. 故选：A. 2．在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，记，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法、减法、数乘的几何运算即可求得. 【详解】解：, . 故选：D. 3．下列说法中，正确的是（    ） A．方向相反的向量是相反向量 B．零向量没有方向 C．模为1的向量是单位向量 D．大小相等的向量是相等向量 【答案】C 【分析】根据相反向量，相等向量，零向量以及单位向量的概念判断选项即可. 【详解】A选项，方向相反的向量不一定是相反向量，相反向量必须方向相反且模相等，A错误； B选项，零向量有方向，它的方向是任意的，B错误； C选项，模为1的向量称为单位向量，C正确； D选项，大小相等且方向相同的向量是相等向量，D错误. 故选：C. 4．已知点，则的中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点坐标公式即可求解． 【详解】解：点， 则的中点的坐标为， 故选：B. 5．向量，，则与的关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相等 D．相反 【答案】B 【分析】根据向量平行的坐标条件判断即可. 【详解】∵向量，，且满足， 则与的关系是平行. 故选：B. 6．已知，，，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据结合向量内积的运算计算即可. 【详解】，，， ， . 故选：C. 7．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意代入平面向量的求角公式即可得解. 【详解】，因为， 所以， 故选：C. 8．已知向量，，则与的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据向量的数量积以及向量的共线定理求解即可. 【详解】因为向量，，所以，因此不垂直. 因为，所以. 故选：C. 9．已知点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】由得， 即，解得. 故选：B. 10．已知，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数乘与减法的混合运算，先数乘再减法即可. 【详解】已知，， 则， 故， 故选：A. 11．已知点A坐标为，点B坐标为，则的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量坐标的计算求解即可； 【详解】因为点A坐标为，点B坐标为， 所以. 故选：C. 12．已知，，且，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量内积公式建立关于的方程，然后求解方程得到的值. 【详解】已知，，，且， 可得， 即，解得. 故选：A. 13．若向量与共线（），则存在唯一实数，使得（    ） A． B． C． D．以上都对 【答案】B 【分析】根据共线向量定理求解. 【详解】对于选项A：当时，满足向量与共线（），但满足的不存在，故A错误； 对于选项B：根据共线向量定理可知：若与共线且，则存在唯一实数，使得，故B正确； 对于选项C：当时，满足向量与共线（），但满足的不存在，故C错误； 故选：B. 14．向量的三角形法则是（ ） A．从的终点指向的终点的向量 B．从的终点指向的终点的向量 C．以和的起点为公共起点作平行四边形，对角线为 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查向量减法的三角形法则（核心：起点相同，终点相连）. 【详解】对A、B：三角形法则：两个向量起点相同时，是从的终点 指向的终点的向量，故A项正确，B项错误； 对C：平行四边形法则用于向量加法，减法的平行四边形法则是 从的起点指向的终点，但不是三角形法则，故C项错误； 对D：A正确，故D错误. 故选：A. 15．向量与的图示如图所示（，），则的图示是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的三角形法则求解. 【详解】根据向量加法三角形法则：. 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知向量、不共线，实数、满足，则__________． 【答案】3 【分析】根据两向量相等，由待定系数法列方程组求解即可. 【详解】解：因为，且不共线， 所以，解得，所以． 故答案为：. 17．已知菱形的边长2，，则在上射影是_________. 【答案】 【分析】根据向量的投影公式即可求解. 【详解】因为菱形的边长2，，所以， 则在上射影是. 故答案为：. 18．在中，，，，D是的中点，则与的夹角为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理可判断为直角三角形，同时为，从而可推出角大小. 【详解】如图， 中，满足，所以， 而，，，所以， 是的中点，则，， 与的夹角大小即为大小. 故答案为：.    19．已知点，，若，则__________. 【答案】9 【分析】根据向量垂直条件的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知点，， 由⊥，得， 解得. 故答案为：9. 20．已知向量，，且，则_________. 【答案】4 【分析】根据题意，结合向量共线的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 故答案为：4. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知． (1)若与的夹角为，求； (2)若与垂直，求与的夹角大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，再利用向量的模长公式计算即可. （2）由与垂直，可求解的值，进而得到的值，再由夹角的范围即可求解. 【详解】（1）， . （2）， ， ， . 22．已知，，． (1)求与的夹角； (2)当为何值时，向量的模长为. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据向量的模长与内积求解夹角即可； （2）根据向量的模长求解参数即可； 【详解】（1）因为，，． 所以， 即，解得， 又，所以． （2）若向量的模长为， 则， 解得或. 23．已知点，. (1)若与的夹角为锐角，求的取值范围； (2)若与平行，求的值及的坐标. 【答案】(1)且 (2)，的坐标为 【分析】（1）根据向量夹角为锐角的条件列出不等式，同时要排除两向量共线的情况； （2）先根据向量平行的性质求出的值，再计算的坐标. 【详解】（1）已知向量，， 因为与的夹角为锐角， 所以，解得， 当与共线时，有，解得， 综上，的取值范围是且. （2）已知，， 若与平行，则，解得， 则，， 所以. 24．平行四边形的三个顶点，，，求点D的坐标及平行四边形的对角线的交点坐标. 【答案】，交点坐标为 【分析】设出点D的坐标以及平行四边形对角线焦点的坐标，根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】设点， 因为平行四边形对边平行且相等，所以. 因为点，，， 所以，， ∴，解得， 所以. 设对角线交点坐标为，则M为线段的中点. 所以， 因为，， 所以，解得， 所以.则交点坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $