综合测试卷（一）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材章节设AB卷分层训练，综合测试卷聚焦跨模块知识整合与解题能力突破，通过基础巩固与能力提升双路径构建知识网络。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|4题|纯虚数判断、复平面象限、模的运算|从概念（实部虚部）到几何意义再到运算应用，培养数学眼光| |向量|6题|数量积、夹角、共线条件|从定义到线性运算，再到几何意义（模、夹角），体现数学思维的推理过程| |立体几何|3题|线线角、线面角、面面关系|空间观念构建，从位置关系判断到角的计算，发展几何直观| |解析几何|5题|椭圆/双曲线离心率、抛物线性质|从标准方程推导几何性质（离心率），强化模型意识与应用能力| |逻辑与命题|3题|充要条件判断|结合数学概念辨析逻辑关系，培养理性思维|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，则＝（   ）． A．1 B． C． D．0 4．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 5．若，，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中，正确的是（   ） A．共线向量都相等 B．单位向量都相等 C．若，则 D．若，则 7．平面向量，，则等于（   ） A．5 B． C．1 D． 8．若命题：，命题：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．两个非零向量，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．是复数，为实数的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．若、是两个不重合的平面， ①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则； ②设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则； ③若外一条直线l与内的一条直线平行，则． 以上说法中成立的个数为（    ) ． A．0 B．1 C．2 D．3 12．已知椭圆的离心率是，则的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．不存在这样的 13．已知、为抛物线：上互异的两点，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 14．已知双曲线的一条渐近线过点，则该双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 15．如图所示，已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，点P在双曲线的右支上，点A在y轴上，若，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若平面向量，，与的夹角为，则________. 17．是虚数单位，若复数是纯虚数，，则的取值范围为__________. 18．如图，在三棱锥中，，且，点分别是棱的中点，则直线和直线所成的角等于 __________.    19．已知以，为焦点的椭圆交y轴正半轴于点A，则的面积为________． 20．已知抛物线：的焦点为，，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为________． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知复数，. (1)若，求a的值； (2)若z是纯虚数，求a的值； (3)若，求实数b的取值范围. 22．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，.求直线与平面所成角的正切值.    23．已知向量，，与的夹角为． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，且，求的坐标． 24．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦距为，短半轴为1，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求：    (1)椭圆的标准方程； (2)的值．此时直线的方程为或， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求解. 【详解】由题意，. 故选：A. 2．在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的计算以及几何意义求解即可. 【详解】复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3．已知，则＝（   ）． A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据向量内积的公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 4．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两异面直线所成角的概念可求解. 【详解】    如图，在正方体中， 因为， 所以直线与所成角就是与所成角，即为所求， 在正方形中有，所以， 即异面直线与所成的角为. 故选：D. 5．若，，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量夹角公式即可得解. 【详解】，，， 则， 因为，所以， 故选：D. 6．下列命题中，正确的是（   ） A．共线向量都相等 B．单位向量都相等 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据相等向量、共线向量、单位向量、零向量及向量的模的概念可判断结果. 【详解】对A选项，共线向量可以方向相反，故不一定相等，错误； 对B选项，单位向量的长度相等，但方向可以不同，故不一定相等，错误； 对C选项，由可知：两向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误； 对D选项，由零向量的概念可知，若，则，正确. 故选：D. 7．平面向量，，则等于（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据向量的内积计算即可. 【详解】平面向量，， ， 故选：B. 8．若命题：，命题：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为，则或， 因为，则；所以是的必要不充分条件. 故选：B. 9．两个非零向量，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合向量共线，向量的模及向量内积的运算求解. 【详解】已知为非零向量， 若与共线，取，则，， 此时，充分性不成立， 若，则，即 展开得 因为，，所以， 则（其中为与的夹角）， 可得，又，则， 则与方向相同，能推出与共线，必要性成立， 综上，“与共线”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 10．是复数，为实数的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据复数的定义以及充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】若，则复数，充分性成立. 若，则，解得或，必要性不成立. 故选：A. 11．若、是两个不重合的平面， ①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则； ②设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则； ③若外一条直线l与内的一条直线平行，则． 以上说法中成立的个数为（    ) ． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由平面与平面平行的判定定理判断①；根据平面与平面垂直的判定定理判断②；根据直线与平面平行的判定定理判断③． 【详解】对①，面内有两条相交直线分别平行于面内两条直线， 可得这两条相交直线均平行于面，由平面与平面平行的判定定理可知，①正确； 对②，设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l， 则内的这条直线可能与垂直，也可能不垂直， 故根据平面与平面垂直的判定定理，可知可能垂直，也可能不垂直，②错误； 对③，根据直线与平面平行的判定定理可知③正确． 故选：C． 12．已知椭圆的离心率是，则的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．不存在这样的 【答案】C 【分析】根据椭圆方程以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】椭圆的标准方程为，因此，即， 若焦点在轴上，则，即， 此时，，， 离心率，故，解得 ，符合条件. 若焦点在轴上，则，解得， 此时，，， 离心率 ，故 ，解得 ，符合条件. 因此的值为或. 故选：C. 13．已知、为抛物线：上互异的两点，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线的方程求得焦点，再由题意得出三点共线，再结合抛物线的性质即可求解. 【详解】由抛物线：得焦点为，又由得，点三点共线， 所以，则. 故选：B. 14．已知双曲线的一条渐近线过点，则该双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据焦点在轴上的双曲线标准方程写出渐近线方程，代入已知点坐标得到与的比值，再结合双曲线的关系计算离心率. 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为. 已知点在渐近线上，所以，或，化简得或，即或. 因为，则. 所以，即，因此. 故选：D. 15．如图所示，已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，点P在双曲线的右支上，点A在y轴上，若，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，再由向量的线性坐标表示和向量垂直的坐标表示列方程得出. 【详解】设， 则， 由，得， 则，即， 因为，且， 所以，整理得， 因为点P在双曲线的右支上，所以，即， 所以，所以， ，由， 得，即，所以离心率， 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若平面向量，，与的夹角为，则________. 【答案】3 【分析】根据向量内积的定义即可求解. 【详解】因为向量，，与的夹角为， 所以. 故答案为：3. 17．是虚数单位，若复数是纯虚数，，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据已知条件求出a的值，再利用复数的模长公式即可求解. 【详解】因为复数是纯虚数, 所以，解得， 所以复数，则， 因为，所以， 所以，则的取值范围为. 故答案为：. 18．如图，在三棱锥中，，且，点分别是棱的中点，则直线和直线所成的角等于 __________.    【答案】 【分析】通过构造中位线平移直线，利用已知垂直和长度关系得到直角三角形，从而算出异面直线夹角. 【详解】取中点，连接,    因为是中点，是中点，所以且, 又是中点，， 所以且, 又，所以,即为直角三角形， 因此异面直线与所成的角，等于与所成的角， 在中，, 又，所以， 即直线和直线所成的角等于. 故答案为：. 19．已知以，为焦点的椭圆交y轴正半轴于点A，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据椭圆方程确定焦距和顶点，再由三角形面积公式求值即可. 【详解】已知椭圆中，， 则，所以，， 所以的面积为. 故答案为：.    20．已知抛物线：的焦点为，，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为________． 【答案】 【分析】首先求出焦点坐标和准线方程，设点到准线的距离为，再由抛物线的定义可知当三点共线时取最小值，由此确定点的坐标，最后由点到直线的距离公式求值即可. 【详解】由抛物线：，可得， 解得，准线为， 设点到准线的距离为， 所以， 当三点共线时，取最小值， 且，所以，则，解得， 所以，则点到直线的距离为， ， 故答案为：.    三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知复数，. (1)若，求a的值； (2)若z是纯虚数，求a的值； (3)若，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将复数化简，由复数为零得到实部虚部均为零，列式求解即可. （2）由复数为纯虚数得到实部为零，虚部不为零，列式求解即可. （3）由复数的大小关系得到是大于零的实数，列式求解即可. 【详解】（1）由题意知. 若，则，解得. （2）因为z是纯虚数，所以，所以. （3）因为，所以，所以. 22．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，.求直线与平面所成角的正切值.    【答案】 【分析】先证明平面，即可找到直线与平面所成角，再根据边的关系求解正切值即可. 【详解】∵底面为矩形， ∴， ∵侧棱平面，且平面， ∴， ∵，平面， ∴平面， ∴为直线在平面内的射影， ∴为直线与平面所成角， ∵平面，平面， ∴，即， ∵，，， ∴在中，， ∴在中，， 则直线与平面所成角的正切值为. 23．已知向量，，与的夹角为． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，且，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量内积的定义及向量内积、模的坐标表示，列方程可求解； （2）由向量共线可设，再根据向量线性运算及向量垂直的坐标表示，列方程可求解. 【详解】（1）由题意得： ，，， 又与的夹角为， 则有，解得或， 经检验时方程不成立， 所以，； （2）因为向量与向量共线，所以可设， 因为，所以， 所以，解得，所以． 24．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦距为，短半轴为1，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求：    (1)椭圆的标准方程； (2)的值． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合椭圆的几何性质求出的值即可得解. （）设出直线方程，联立方程组，利用韦达定理及中点坐标公式求出值，将代入直线方程中即可得解. 【详解】（1）椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦距为，短半轴为1， 则，， 所以，椭圆方程为. （2）根据题意可知，直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立方程组得， 设， 由韦达定理可知，， 因为线段AB的中点坐标为，则， 解得， 此时直线的方程为或， 则或， 综上所述，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $