综合测试卷（四）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材核心考点，通过AB卷分层巩固与综合测试卷跨章节整合，构建解析几何、向量、立体几何等知识网络，提升知识应用与应试能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解析几何|7题（如抛物线焦点、双曲线渐近线等）|侧重方程求解与性质应用|围绕圆锥曲线定义-方程-性质展开，形成从基础到综合的逻辑链条| |向量|6题（如向量线性运算、数量积等）|注重运算与位置关系判断|从线性运算到数量积应用，体现向量工具性与几何意义的结合| |立体几何|5题（如异面直线所成角、二面角等）|聚焦空间角与体积计算|以正方体为模型整合空间角计算，强化空间观念与推理能力| |复数与逻辑|3题（如复数概念、充要条件等）|侧重概念辨析与命题关系|结合复数概念与简易逻辑，培养数学思维的严谨性|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知抛物线的焦点是F，若点P是抛物线C上一点且横坐标为4，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D．5 2．若双曲线的的焦距是4，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，若与交于点，设向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B．2或3 C．3 D．5或3 5．对于直线和平面，，其中，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 6．已知，为关于的实系数方程的两个虚数根，则（ ） A． B． C． D． 7．下列命题： ①若，则仅当，时z为纯虚数； ②若，则； ③若实数a与对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是（    )． A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 9．在正三棱锥中，已知，，则直线与平面所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 10．在正方体 中， 二面角 的正弦值为 （    ） A． B． C． D． 11．已知椭圆的左、右顶点分别为点，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．已知向量，，且，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 13．已知向量，若，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 14．已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 15．设命题：“”，命题：“”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知，，，则__________. 17．如图所示，在正方体中，异面直线与所成角的大小为________．    18．已知，，点满足，则点的坐标是_________． 19．已知双曲线的一个焦点为，且，则该双曲线的标准方程为__________． 20．已知复数满足，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在原点，焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，，求的值． 22．已知平面向量，满足，，． (1)若，求； (2)若，求与夹角的余弦值． 23．如图所示，已知正方体的棱长为2，求：    (1)二面角的平面角的正切值； (2)三棱锥的体积． 24．已知椭圆，过椭圆右焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于两点．求： (1)直线的方程； (2)弦长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知抛物线的焦点是F，若点P是抛物线C上一点且横坐标为4，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义及性质求解即可. 【详解】因为抛物线，所以， 又因为点P是抛物线C上一点且横坐标为4， 所以根据抛物线的定义可得：， 故选：C. 2．若双曲线的的焦距是4，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的焦距可得的值，再根据双曲线的渐近线方程分析求解即可. 【详解】由双曲线的方程可知：，即， 因为焦距是，所以，即， 所以，所以， 由方程可知双曲线焦点在轴， 所以双曲线的渐近线方程为：，即. 故选：C. 3．在平行四边形中，若与交于点，设向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则化简即可. 【详解】平行四边形中， . 故选：B. 4．已知椭圆的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B．2或3 C．3 D．5或3 【答案】D 【分析】由椭圆的焦距分类讨论焦点的位置并求出m的值即可. 【详解】由椭圆的焦距为2，可知， 当焦点在x轴上，则，解得， 当焦点在y轴上，则，解得， 故m的值为5或3. 故选：D. 5．对于直线和平面，，其中，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据直线与平面及平面与平面的位置关系、充分条件与必要性的概念判断. 【详解】当且时，平面与平面可能平行，也可能相交，充分性不成立； 当且时，根据两个平面平行的性质，必然有，必要性成立， 综上，是的必要不充分条件. 故选：B. 6．已知，为关于的实系数方程的两个虚数根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得，，设，，再结合复数的模长公式求解即可． 【详解】已知，为关于的实系数方程的两个虚数根， 则，， 设 ，，则， 则， 所以． 故选：A． 7．下列命题： ①若，则仅当，时z为纯虚数； ②若，则； ③若实数a与对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是（    )． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据复数的概念以及运算求解即可. 【详解】在①中若，则，不是纯虚数，故①错误； 在②中若，，则，但，故②错误； 在③中忽视，故③也是错误的． 故选：A． 8．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，再结合正方体的性质以及三角形的相关知识求解. 【详解】    连接，， 因为，，所以为平行四边形， 所以， 所以直线和所成的角就是异面直线与所成角， 在中易得，， 所以， 所以异面直线与所成角的大小为， 故选：C. 9．在正三棱锥中，已知，，则直线与平面所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正三棱锥的顶点在底面的投影，找到线面角，然后利用三角函数定义求解即可. 【详解】在正三棱锥中，在底面等边中的投影为，且为等边的中心，如图：   平面，即直线与平面所成角为，， 由，所以在等边三角形中，， 所以，所以. 故选：B. 10．在正方体 中， 二面角 的正弦值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定二面角 的平面角，再利用锐角三角函数求解即可. 【详解】如图所示， 连接 相交于点 ，连接 和 ，    则 即为二面角 . 假设正方体棱长为 ，则 ， . 因为平面 平面 ， 且 平面 ，平面 ， 所以 ，所以 是 直角三角形. 由勾股定理得， . 故选：B. 11．已知椭圆的左、右顶点分别为点，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径，建立关系，再代入离心率公式求解. 【详解】以为直径的圆半径为，圆心在原点，圆与直线相切， 即圆心到直线距离等于半径， 化简得，得到， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 12．已知向量，，且，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算的坐标表示结合向量模的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量，， 则，， 由，得， 则， 整理得，解得， 故选：C. 13．已知向量，若，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据及内积的运算律可求解. 【详解】， 则 . 故选：C. 14．已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示可得，利用向量线性运算的坐标表示得，最后根据向量模的坐标表示求解. 【详解】因为平面向量，，， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：B. 15．设命题：“”，命题：“”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念即可. 【详解】已知由得，， 解得或， 所以若，则，充分性成立， 若，则或，必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知，，，则__________. 【答案】/ 【分析】利用转化法，结合向量内积的运算法则求得，再利用向量夹角的公式即可得解. 【详解】由可得， 则，即，解得， 所以. 故答案为：. 17．如图所示，在正方体中，异面直线与所成角的大小为________．    【答案】 【分析】连接，根据正方体的几何性质得出为异面直线异面直线与所成角即可解答. 【详解】连接，因为为正方体， 所以,所以为平行四边形， 所以，所以为异面直线异面直线与所成角， 且， 所以异面直线与所成角的大小为， 故答案为：.    18．已知，，点满足，则点的坐标是_________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，再由向量的坐标表示列方程求解即可. 【详解】设点的坐标为， 则， ， 由得，解得， 所以点的坐标为， 故答案为：. 19．已知双曲线的一个焦点为，且，则该双曲线的标准方程为__________． 【答案】 【分析】根据双曲线的焦点确定的值，再由的关系确定的值即可. 【详解】已知双曲线的一个焦点为， 则，焦点在轴上，且， 所以， 所以该双曲线的标准方程为， 故答案为：. 20．已知复数满足，则的最大值为______． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，将转化为复平面的圆，再将转化为圆上点到定点的距离即可得解. 【详解】令，由，得， 复数在复平面内所对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上， ，表示圆上的点到点的距离， 的最大值为， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在原点，焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解出直线与轴的交点，即可得到抛物线的焦点坐标，由此可解； （2）联系直线与抛物线方程，根据韦达定理求解结合弦长求解即可. 【详解】（1）直线中，令， 可得，解得， ∴直线与轴的交点为， ∴抛物线的焦点坐标为， ∴可知抛物线焦点位于轴的正半轴，且， 则，则抛物线的方程为； （2）∵斜率为的直线过抛物线的焦点， ∴，即， 设点， 联立，消y可得，， 其中， ∴， ∵，即， 可得，解得.    22．已知平面向量，满足，，． (1)若，求； (2)若，求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示求出，再由向量模的坐标表示求值即可. （2）根据向量垂直的坐标表示求出，再由向量夹角的坐标表示求值即可. 【详解】（1）已知，，， 因为，所以，解得， 故，故， 所以. （2）因为，故， 而，故， 解得，故， 故. 23．如图所示，已知正方体的棱长为2，求：    (1)二面角的平面角的正切值； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接与交于，连接，再由线面垂直的判定定理证明平面，得出为二面角的平面角，再由棱长和正切函数的定义即可求值. （2）根据三棱锥的体积公式求值即可. 【详解】（1）连接与交于，连接，    ∵为正方体， ∴平面， ∵平面， ∴，又为正方形， ∴，又为平面中两条相交的直线， ∴平面，∵平面， ∴，则为二面角的平面角， 在中， ∴. （2）三棱锥的底面积，高为， 所以. 24．已知椭圆，过椭圆右焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于两点．求： (1)直线的方程； (2)弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程确定焦点，再由点斜式求出直线方程即可. （2）将直线方程与椭圆方程联立，设，再由韦达定理得，最后由弦长公式求值即可. 【详解】（1）已知椭圆， 其中， 其右焦点为，直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即. （2）已知椭圆， 直线方程为， 联立方程组得，即， 得出，设， ， 所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $