第五章 指数函数与对数函数（B卷·能力提升卷）-《数学 基础模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣高教版中职数学教材第五章指数函数与对数函数，设A/B卷分层训练，B卷通过单选、填空、解答题（含芯片良率等现实情境题）考查核心素养，适配单元复习能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|15/45|指数对数互化（第1题）、函数单调性（第3题偶函数比较）|结合图像辨析（第7题指数与一次函数图像）| |填空|5/15|定义域（第17题）、奇偶性（第20题奇函数）|注重概念辨析| |解答题|4/40|里氏震级计算（第21题）、芯片良率指数模型（第24题）|情境具时代性，考查数学建模与运算能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五章 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列式子的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数则（     ） A． B．2 C．3 D．4 3．函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．若函数且的图像不经过第二象限，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．下列命题中正确的个数为（ ） ①②，则，③，④ A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知且，则一次函数与指数函数在同一坐标系中的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   8．若且，规定一种新运算：若，则，则（   ） A． B． C． D． 9．以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋势．假设一个热门话题的关注度与时间（单位：月）的关系式为，其中为关注度的峰值，为常数，若经过半年关注度下降到峰值的，则关注度下降到峰值的至少需要的时间为（    ）（参考数据：） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 10．已知放射性物质的剩余质量占初始质量的比例与时间（单位：年）的关系为．若经过5年，剩余质量变为初始质量的，则（   ） A． B． C． D． 11．已知，， ， 则 之间的关系为（    ） A． B． C． D． 12．不等式的解集可以表示为（    ） A． B． C． D． 13．已知，则（   ） A． B．1 C． D．2 14．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 15．在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知对数函数的图像经过点和，则________． 17．函数的定义域是________（用区间表示）. 18．若，，则____________． 19．已知函数的定义域和值域都是，则__________. 20．已知为奇函数，为偶函数，，则________． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．20世纪30年代，里克特（）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，这里是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）. (1)若一次地震中，一个距离震中的测震仪记录的地震最大振幅是，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级（精确到）； (2)计算里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的多少倍？（附：） 22．已知函数： (1)求函数的最小值及相应的值； (2)解不等式 . 23．已知函数（，且）. (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求的值； (2)若，求不等式的解集． 24．在半导体制造领域，“良率”（即合格芯片占总芯片的比例）是衡量产线技术水平的核心指标．面对国外的技术封锁，我国某芯片代工厂自主研发了新型光刻工艺，全力攻坚“卡脖子”难题．在工艺调试初期，该产线的芯片良率仅为．随着工程团队不断收集数据并优化算法，产线良率开始呈现指数级增长． (1)已知该产线在调试的第1个月，良率提升至．假设良率的增长规律符合函数模型（其中为调试的月数，，为当月良率），求该函数的解析式； (2)按照此增长规律，该产线至少需要经过几个月的调试，才能使芯片良率首次突破，从而实现量产标准？（参考数据：，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五章 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列式子的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式与分数指数幂的互化规则来逐一分析选项. 【详解】选项A，根据根式与分数指数幂的互化规则，对于，当时， ，故A错误. 选项B，根据负分数指数幂的定义，对于，当时， ，故B错误. 选项C，根据负分数指数幂的定义，对于，当时， ，故C正确. 选项D，根据根式与分数指数幂的互化规则，对于，当时， ，故D错误. 故选：C. 2．已知函数则（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先由对数函数的单调性确定的范围，再将代入合适的解析式中求值即可. 【详解】因为在上为增函数， 所以，即， 则， 因为，即， 所以，即， 故选：A. 3．函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性得出的大小关系即可得解. 【详解】函数是定义在上的偶函数，可知， 因为函数在上为增函数，所以， 因为函数在上为减函数，所以， 因为函数在上为增函数，所以， 显然，又在单调递增， 则，即， 故选：C. 4．若函数且的图像不经过第二象限，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的图象和性质判断即可. 【详解】若函数的图象不经过第二象限， 则根据指数函数的图像与性质可知，指数函数在上必须是增函数，故， 另外还需要把的图象向下平移至少1个单位长度，所以. 故选：D. 5．如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 所以， 因为在上单调递减， 所以， 综上，． 故选：D． 6．下列命题中正确的个数为（ ） ①②，则，③，④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由指数幂的运算和根式与分数指数幂的转换，结合特殊值逐项判断即可. ①取，则，错， ②当时，，无意义，错， ③取，则，错， ④，错， 故选：A. 7．已知且，则一次函数与指数函数在同一坐标系中的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据一次函数和指数函数的图像特点识别即可. 【详解】对A、B：当时，指数函数单调递增， 一次函数中，则斜率为负数、截距为正且大于1， 则一次函数的图像向左倾斜，且与y轴的交点在指数函数与y轴交点的上方，故A、B项错误； 对C、D：当时，指数函数单调递减， 一次函数中，则斜率为正数、截距为正且小于1， 则一次函数的图像向右倾斜，且与y轴的交点在指数函数与y轴交点的下方，故D项错误，C项正确. 故选：C. 8．若且，规定一种新运算：若，则，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用新运算及换底公式即可得解. 【详解】且，运算， 则， 故选：C. 9．以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋势．假设一个热门话题的关注度与时间（单位：月）的关系式为，其中为关注度的峰值，为常数，若经过半年关注度下降到峰值的，则关注度下降到峰值的至少需要的时间为（    ）（参考数据：） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 【答案】C 【分析】根据题意列方程，再由对数的运算法则求解即可. 【详解】由题意得， 则，由， 则，所以， ， 即个月，根据题意“至少需要的时间”， 所以需要向上取整，则至少需要的时间为个月． 故选：C. 10．已知放射性物质的剩余质量占初始质量的比例与时间（单位：年）的关系为．若经过5年，剩余质量变为初始质量的，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意代入解析式，求解即可. 【详解】根据题意，将年、剩余质量比例代入关系式， ，即，可得. 故选：A. 11．已知，， ， 则 之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数和对数函数的单调性，分别判断 与 0、1 的大小关系即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以， 因为在上单调递减， 所以， 因为在上单调递减， 所以， 所以 故 . 故选：C. 12．不等式的解集可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由指数函数的单调性列不等式，再由含绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】已知不等式， 因为在上单调递增， 所以由，得， 即，解得， 所以原不等式的解集为， 故选：A. 13．已知，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】将指数形式转化为对数形式，再利用对数的换底公式及运算法则进行计算. 【详解】由可得，则， 由可得，则， 所以， 故选：B. 14．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的真数大于零，分式的分母不为零以及二次根式根号下的式子大于等于零列式即可求解. 【详解】由，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 15．在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和对数函数的图象对进行分类讨论即可. 【详解】函数与， 当时，函数在上单调递增，且与轴的交点纵坐标在之间， 只有A选项符合题意，但不满足函数在上单调递减，故不成立； 当时，函数在上单调递增，且与轴的交点纵坐标大于，CD选项符合题意， 且函数在上单调递增，过定点， 故只有选项C，符合时两函数的图象. 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知对数函数的图像经过点和，则________． 【答案】4 【分析】设出对数函数的解析式，代入求解即可. 【详解】设. 因为对数函数的图像经过点，所以，解得. 继而. 故答案为：4. 17．函数的定义域是________（用区间表示）. 【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，0指数幂的底数不等于0，以及对数的真数大于0列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 须有，即， 解得或， 所以该函数的定义域为， 故答案为：. 18．若，，则____________． 【答案】 【分析】根据对数的运算法则计算即可. 【详解】已知，则， 且，所以 ， 故答案为：. 19．已知函数的定义域和值域都是，则__________. 【答案】或 【分析】因为函数，讨论和，根据函数的单调性，即可求得答案. ①当时，根据指数函数单调可知:是单调递增函数， 此时单调递增， 可得:，解得 ，即 解得:. ②当时，根据指数函数单调可知:是单调递减函数， 此时单调递减， 可得:，解得: ，即 解得:. 综上所述，或 故答案为:或. 20．已知为奇函数，为偶函数，，则________． 【答案】 【分析】利用奇函数、偶函数的性质推导的表达式，结合平方差公式和零指数幂的运算计算目标式的值. 【详解】因为，所以， 又因为为奇函数，为偶函数， 所以，即 ， 因为， 所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．20世纪30年代，里克特（）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，这里是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）. (1)若一次地震中，一个距离震中的测震仪记录的地震最大振幅是，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级（精确到）； (2)计算里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的多少倍？（附：） 【答案】(1)4.6级 (2)100倍 【分析】（1）根据，，计算即可得出结果； （2）由，化简计算求得即可得出结果. 【详解】（1）由题设可知：， 所以 ， 因此，该次地震的震级约为里氏4.6级. （2）设里氏8级和里氏6级地震的最大振幅分别为，. 由题设可得：， ∴， 因此，里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的100倍. 22．已知函数： (1)求函数的最小值及相应的值； (2)解不等式 . 【答案】(1) 函数的最小值为，对应的值为. (2) 不等式的解集为. 【分析】（1）通过换元法将指数型函数转化为二次函数，结合二次函数性质求解最值. （2）结合一元二次不等式解法与指数函数单调性求解不等式解集. 【详解】（1）令，由指数函数的值域可知，则. ，. 配方得，是开口向上的二次函数，对称轴为. 在定义域内当时，取得最小值. 此时，解得. 即的最小值为，对应. （2）由得，整理得，因式分解得. 解得，结合，解得. 即，解得，因此. 23．已知函数（，且）. (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求的值； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)2或 (2) 【分析】（1）分别讨论与两种情况，再由对数函数的单调性列方程求解即可. （2）根据对数函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）要使函数有意义， 则，解得， 当时，函数在上单调递增， 当时，，， 于是，因此， 当时，函数在上单调递减， 当时，，， 于是，因此，所以的值为2或. （2）当时，函数在上单调递增， 而，不等式， 解得，所以原不等式的解集为. 24．在半导体制造领域，“良率”（即合格芯片占总芯片的比例）是衡量产线技术水平的核心指标．面对国外的技术封锁，我国某芯片代工厂自主研发了新型光刻工艺，全力攻坚“卡脖子”难题．在工艺调试初期，该产线的芯片良率仅为．随着工程团队不断收集数据并优化算法，产线良率开始呈现指数级增长． (1)已知该产线在调试的第1个月，良率提升至．假设良率的增长规律符合函数模型（其中为调试的月数，，为当月良率），求该函数的解析式； (2)按照此增长规律，该产线至少需要经过几个月的调试，才能使芯片良率首次突破，从而实现量产标准？（参考数据：，） 【答案】(1) (2)该产线至少需要经过3个月的调试，才能使芯片良率首次突破，从而实现量产标准 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可. （2）根据题意列不等式，再由指数式与对数式的转化解不等式即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 因此，该产线良率关于调试月数的函数解析式为：. （2）要求芯片良率首次突破，即， 化简得，因为在上为增函数， 所以， 所以该产线至少需要经过3个月的调试， 才能使芯片良率首次突破，从而实现量产标准． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $