1.2集合之间的关系（教案）高教版（第三版）《数学 基础模块上册》【上好课】

该教案聚焦集合间的关系这一核心知识点，涵盖子集、真子集、集合相等的定义及符号表示。通过复习集合表示法，播放二十四节气视频创设情境，类比元素与集合关系自然引入，衔接1.1节内容并为1.3节运算铺垫，搭建新旧知识学习支架。 此资料亮点突出，运用Venn图直观演示集合关系培养几何直观，引导归纳子集个数规律发展逻辑推理，强化∈与⊆符号辨析提升符号意识。案例分析与分层练习结合，助力学生掌握知识，提升教师教学效率，夯实数学基础。

高等教育出版社《数学 基础模块上册》（第三版） 第一章 集合 1.2集合之间的关系 一、教材 高等教育出版社《数学 基础模块上册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节内容是集合知识体系中的核心环节，承接1.1节集合的概念与表示法，为后续1.3节集合的运算奠定基础。教材从元素与集合的关系自然过渡到集合与集合的关系，通过具体实例引出子集、真子集和集合相等的概念，并借助Venn图直观呈现集合间的关系，体现数形结合思想。本节内容在高中数学中具有承上启下的重要地位，是学生系统理解集合语言、运用集合思想解决问题的基础。教材编排由浅入深，从子集的定义出发，逐步过渡到相等关系、真子集，最后总结子集与真子集的个数规律，层次分明，符合学生的认知规律。 五、学情分析 学生已在1.1节中学习了集合的概念、常用数集以及列举法和描述法两种表示方法，能够初步运用集合语言表达数学对象。但学生对符号语言的辨析能力尚处于初级阶段，容易将元素与集合之间的“属于”关系（∈）与集合与集合之间的“包含”关系（⊆）混淆。同时，中职学生在抽象思维和逻辑推理方面相对薄弱，对“空集是任何集合的子集”“空集是任何非空集合的真子集”等抽象规定的理解存在一定困难。 六、教学目标 知识层面：理解子集、真子集、集合相等的定义，掌握集合关系符号，熟记子集、真子集与空集的性质。 能力层面：能依据集合元素判断集合间包含、相等、真包含关系，能准确写出有限集合的全部子集与真子集。 核心素养层面：通过集合关系辨析与习题演算，培养逻辑推理能力，提升数形结合、严谨规范的数学核心素养。 七、教学重点 1.子集、真子集、集合相等的定义及其符号表示。 2.有限集合的子集与真子集个数的确定及其公式运用。 八、教学难点 1.元素与集合的“属于”关系（∈）与集合与集合的“包含”关系（⊆）的准确区分与符号规范使用。 2.空集是任何集合的子集、空集是任何非空集合的真子集这一抽象规定的理解与应用。 九、教学方法 1.启发式教学法： 通过复习集合的表示法，从元素与集合的关系（属于）自然引出集合与集合的关系（包含），引导学生主动发现问题、提出问题，激发学习动机。 2.直观演示法： 充分运用Venn图进行直观教学，化抽象为形象，帮助学生理解集合间的包含、相等关系，体现数形结合思想。 3.类比归纳法： 从具体有限集合出发，引导学生观察、归纳子集与真子集的个数规律，培养学生的归纳推理能力。 4.讲练结合法： 精讲概念与例题，辅以针对性练习，在练习中巩固概念、规范符号使用，实现知识的内化与迁移。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 复习回顾 集合的表示法： 列举法：{元素1，元素2，元素3，... }，适用于元素数量较少且容易枚举的集合。 描述法：{代表元素|特征性质}，适用于元素数量较多或不易直接枚举的集合。 二十四节气 播放视频 春、夏、秋、冬。 思考：“春季的节气”集合与“二十四节气”集合之间是什么关系？ 类比引入 元素与集合之间的关系，例如：3 ∈ {1,2,3}，4 ∉ {1,2,3}。 类比到集合与集合之间是否有类似的“属于”或“不属于”关系？ 设 A = {1,2}，B = {1,2,3}，观察 A 与 B 的元素联系。 从已有知识出发，温故知新，为新课学习做铺垫。利用二十四节气的生活情境引入，激发学生兴趣，自然过渡到集合间包含关系的思考。通过元素与集合关系的类比，架起新旧知识的桥梁，降低认知坡度。 新知讲授 集合的包含关系 如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，则称集合 A 是集合 B 的子集。 符号表示：A ⊆ B 或 B ⊇ A， 读作“A 包含于 B”或“B 包含 A”。 若不满足上述条件，则记作 A ⊈ B（或 A ⊉ B）， 读作“A 不包含于 B，或 A 不包含 B”。 包含关系示例 集合 A = {1, 3} 是集合 B = {1, 3, 5} 的子集，记作：A ⊆ B。 集合 C = {2, 3} 不是集合 D = {2, 4, 5} 的子集，记作：C ⊈ D。 符号区别 ∈ 描述元素与集合的关系。 ⊆ 描述集合与集合的关系。 Venn图 用于展示不同集合之间的关系，其最大优点是直观，体现了数形结合思想。帮助推导集合运算的规律，是学习集合的辅助手段。 子集的特殊情况 自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即 A ⊆ A。 空集的性质：规定：空集是任何集合的子集，即 ∅ ⊆ A。 集合的相等关系 如果集合 A 的元素与集合 B 的元素完全相同，则称集合 A 与集合 B 相等。符号表示：A = B。 从子集角度定义，如果集合 A 是集合 B 的子集，且集合 A 也是集合 B 的子集，即 A ⊆ B 且 B ⊆ A 时，有 A = B。 相等关系示例 集合 E = {x | x 是平面内两组对边分别平行的四边形} 与集合 F = {x | x 是平面内两组对边分别相等的四边形}，E = F。 集合 G = {x | x 是三条边都相等的三角形} 与集合 H = {x | x 是三个角都为 60° 的三角形}，G = H。 集合的真包含关系 如果集合 A 是集合 B 的子集，并且集合 A 中至少有一个元素不属于集合 B，则称集合 A 是集合 B 的真子集。 符号表示：A ⫋ B 或 B ⫌ A， 读作“A 真包含于 B”或“B 真包含 A”。 特别规定：空集是任何非空集合的真子集，即对任何非空集合 A，总有 ∅ ⫋ A。 子集与真子集的个数规律 若集合 A = {a, b, c} | n = 3， 子集个数 = 2³ = 8 个。 真子集个数 = 8 − 1 = 7 个。 若集合 A 有 n 个元素，则集合 A 的子集个数是 2ⁿ。若集合 A 有 n 个元素，则集合 A 的真子集个数是 2ⁿ − 1。 新知速记 集合 A 与集合 B 的关系： A 与 B 相等：A = B A 是 B 的子集：A ⊆ B 或 B ⊇ A；子集个数：2ⁿ A 是 B 的真子集：A ⫋ B 或 B ⫌ A；真子集个数：2ⁿ − 1。 符号表示 ∈：属于；∉：不属于；⊆：包含于；⊇：包含；⊈：不包含于；⊉：不包含；⫋：真包含于；⫌：真包含；=：相等。 从基础的包含关系切入，深入探讨子集的特殊情况，再延伸到相等与真子集关系，符合学生认知由浅入深的规律，帮助学生构建严谨、完整的集合关系知识体系。 通过明确区分元素与集合、集合与集合关系的符号（∈与⊆），直击学生初学易混淆的痛点；结合Venn图的直观展示，将抽象概念可视化，有效化解教学难点，培养数形结合思维。 通过对子集、真子集个数规律的推导与验证，引导学生从感性认识上升到理性归纳，不仅加深对集合元素个数与关系数量的理解，更提升了学生的逻辑推理与抽象概括能力。 通过“新知速记”和符号体系梳理，帮助学生将零散的知识点结构化、系统化，便于理解记忆，强化符号化表达的数学素养 案例分析 例1 填空（∈、∉、⊆、⊇、=）： (1) {1,2,3,4} ___ {2,3}（∉） (2) m ___ {m}（∈） (3) N ___ Z（⊆） (4) 0 ___ ∅（∉） (5) {1} ___ {x | x-1=0}（=） (6) {x | -2<x<3} ___ {x | x≥-3}（⊆） 分析：(1)(3)(5)和(6)研究的是集合与集合之间的关系;(2)和(4)研究的是元素与集合之间的关系 例2 写出集合{0,1}的所有子集. 分析：0和1都是集合{0,1}的元素 {0,1}的子集有空集、单元素子集、双元素子集 解： {0,1}的所有子集是：∅, {0}, {1}, {0, 1}. 例3 写出集合{a, b, c}的所有子集. 分析: a和b和c都是集合{a, b, c}的元素 {a, b, c}的子集有空集、单元素子集、双元素子集、三元素子集 解: {a, b, c}的所有子集是: ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}. 例4 写出集合M = {1,2,3}的所有子集, 并指出哪些是它的真子集. 分析: 真子集是指除了集合本身以外的所有子集. {1,2,3}的子集有空集、单元素子集、双元素子集、三元素子集 解: {1,2,3}的所有子集是: ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}. 其中,除{1,2,3}外,都是集合M的真子集. 通过典型例题的详细解析，将抽象的集合关系定义转化为具体的解题实践，让学生在实际应用中深刻理解符号的准确含义，明确元素与集合、集合与集合关系的本质区别。 针对写出子集的题目，引导学生按照分类讨论（按元素个数）的方法有序进行，培养学生全面思考、分类处理的逻辑能力，强化数学解题的严谨性与规范性。 学以致用 1. 用恰当的符号填空： (1) 2 ___ {x | x ≤}; (2) {-1,1} _=__ {x | x² = 1}; (3) {0} ___ N; (4) π ___ R. 2. 集合 A = {0,1,2,3} 的真子集的个数是 (B) A. 16 B. 15 C. 8 D. 7 解：根据真子集性质即可求解. 因为集合A的元素个数为4, 所以集合A的真子集个数为 2⁴ - 1 = 15. 3. 与集合 {x | x ≤ 2, x ∈ N} 相等的集合是 ( D ) A. {0} B. {1} C. {1,2} D. {0,1,2} 解：根据描述法得到集合的元素，进而由列举法表示即可. 集合 {x | x ≤ 2, x ∈ N} = {0,1,2}. 4. 若集合 A = {x ∈ Z | -1 < x ≤ 2}, 写出集合 A 的所有非空真子集. 解: A = {x ∈ Z | -1 < x ≤ 2} = {0, 1, 2} A 的所有子集为: ∅, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2} A 的所有非空子集为: {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2} A 的所有非空真子集为: {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2} 通过符号填空、概念辨析等基础题，及时巩固学生对核心符号（∈、⊆、=等）的记忆与运用，确保基础概念掌握扎实。 通过真子集个数计算和集合化简求非空真子集等综合题，考察学生对集合元素个数与关系规律的掌握程度，以及分类讨论的解题能力，实现从“懂概念”到“会解题”的能力进阶。 特别针对N是否含0、空集与非空真子集的界定等易错点设置题目，引导学生关注细节，规范解题习惯，有效预防常见误区，提升解题的准确性。 课堂练习 1. 已知集合 M = {1}, N = {1, 2, 3}, 则 (D) A. M < N B. M ∈ N C. N ⊆ M D. M⫋N 解：集合M = {1}只包含一个元素1, 而集合N = {1,2,3}包含元素1, 2,3. 说明M是N的子集. 2. 用符号"∈""∉""⊆""⊇"或"="填空： (1) 0 _∈__ {0} (2) ∅ _⊆__ {0} (3) a _∈__ {a, b, c} (4) {a} _⊆__ {a, b, c} (5) {-4, 4} _=__ {x | x² = 16} (6) {x | x > 2} _⊇__ {x | x > 3} 3. 设集合 M = {a, b}, 请写出集合 M 的所有子集, 并指出其中的真子集. 解: {a,b}的所有子集是: ∅, {a}, {b}, {a,b}. 其中, 除{a,b}外, 都是集合M的真子集. 4. 判断下列各组集合之间的关系. (1)集合A = {x ∈ Z | −2 < x < 3}与集合B = {-1,0,1,2}; (2)集合C = {x|x < −1}与集合D = {x|x < 0}. 解: (1) B = A (2) D⫋C 5. 已知下列关系式: ①{0} = ∅; ②∅ ⊆ ∅; ③∅ ∈ 0; ④0 ∈ ∅. 其中正确的个数为( A ). A.1 B.2 C.3 D.4 6. 有下列四个关系式: ①4 ∈ {1,3,4}; ②{a, b} ∈ {a, b, c}; ③{1,2} ⊆ {2,1}; ④2 ⊆ N. 其中, 正确的个数是( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 通过课堂练习的及时反馈，教师能精准掌握学生对本节课重难点的掌握情况，便于及时发现学生存在的问题并进行针对性的辅导，确保课堂教学目标的有效达成。 练习题涵盖判断、填空、列举、辨析等多种题型，通过变式训练，全面考察学生对集合包含、相等、真子集等关系的理解深度和迁移应用能力，有效提升思维的灵活性与深刻性。 课堂小结 ∈：属于；∉：不属于；⊆：包含于；⊇：包含；⊈：不包含于；⊉：不包含；⫋：真包含于；⫌：真包含；=：相等。 帮助学生对本节课零散的知识点进行系统梳理和高度概括，将碎片化知识整合为逻辑清晰的知识结构，促进知识内化。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 ∈：属于；∉：不属于；⊆：包含于；⊇：包含；⊈：不包含于；⊉：不包含；⫋：真包含于；⫌：真包含；=：相等。 整的板书设计为学生课后复习提供了清晰的思路图，有助于学生快速回顾课堂内容，重现思维过程，提高复习效率，同时也潜移默化地培养学生良好的笔记习惯。 11、 教学反思 本节课以生活实例和类比引入，有效激发学生兴趣，借助Venn图直观呈现关系，助力学生理解抽象概念，多数学生能掌握子集、真子集等核心知识。但教学也存在不足，部分学生对空集性质及符号辨析仍存困惑，反映出抽象思维训练不足。后续教学需增加针对性练习，强化符号运用；采用小组讨论，引导学生自主推导规律，深化理解。同时，关注个体差异，对薄弱学生单独辅导，确保教学目标全面落实。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $