第4章 立体几何（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本试卷为中职数学《拓展模块一上册》第四章立体几何B卷（能力提升卷），聚焦空间观念与推理能力，通过选择、填空、解答题梯度设计，适配单元复习知识整合与能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|15/45|平面性质（如第1题）、线面关系（如第2题）|注重基础概念辨析，结合正方体模型（如第3题）| |填空题|5/15|线面角（如第17题）、平行平面（如第16题）|强化空间几何量计算，设置开放性问题（如第19题）| |解答题|4/40|正方体证明与体积（21题）、四棱锥线面垂直（24题）|突出知识综合应用，要求规范推理表达，培养逻辑思维|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升卷） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 下列命题中正确的是（　　） A. 三点确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面 C. 两条垂直直线确定一个平面 D. 一条直线和一个点确定一个平面 2. 若直线平面，直线，则与（　　） A. 一定平行 B. 一定异面 C. 可能平行或异面 D. 一定相交 3. 已知正方体，与所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 4. 若平面平面，，，，则与的位置关系是（　　） A. B. C. D. 与斜交 5. 空间中到两条异面直线距离相等的点的轨迹是（　　） A. 一条直线 B. 一条抛物线 C. 一个平面 D. 不存在 6. 过平面外一点，作该平面的垂线，可以作（　　） A. 条 B. 条 C. 无数条 D. 条 7. 若直线平面，直线平面，则与（　　） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 垂直 8. 若平面平面，则以下结论正确的是（　　） A. 内任意直线平行于 B. 内任意直线平行于内任意直线 C. 内存在直线不平行于 D. 内任意直线都不平行于 9. 正方体的体对角线与面对角线所成角中，最大角为（　　） A. B. C. D. 10. 已知边长为的正方形，平面，，则到的距离为（　　） A. B. C. D. 11. 若直线平面，，，且，则与（　　） A. 一定垂直 B. 一定平行 C. 可能平行或异面 D. 无法判断 12. 三棱锥的四个面中，直角三角形的个数最多为（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 13. 在正方体中，为中点，则与平面所成角的正切值为（　　） A. B. C. D. 14. 所在平面外一点，，则在平面上的投影是的（　　） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 15. 若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C.若，，，则 D. 若，，则 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。） 16. 若直线平面，平面，且，则平面与的位置关系是______。 17. 正方体中，直线与平面所成的角为______度。 18. 已知矩形所在的平面，若，，，则______。 19. 过直线外一点和这条直线平行的平面有______个。 20.如图，在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正切值为__________.    三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 21. 如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 　 　 　 22. 在三棱锥中，平面，，，求的长。 　 　 　 23. 已知平面，，，求到的距离。 　 　 　 24. 如图，在四棱锥中，底面.在底面中，，，，. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面. 　 　 　 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升卷） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 下列命题中正确的是（　　） A. 三点确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面 C. 两条垂直直线确定一个平面 D. 一条直线和一个点确定一个平面 【答案】B 【解析】A：不在同一直线上的三点确定一个平面。B：两条平行直线确定一个平面，正确。C：两条垂直直线不一定共面（异面垂直）。D：点在直线上时不能确定平面。故选B。 2. 若直线平面，直线，则与（　　） A. 一定平行 B. 一定异面 C. 可能平行或异面 D. 一定相交 【答案】C 【解析】直线平面，则与内直线可能平行（当与方向一致时）或异面（当与方向不一致时），但不平行就一定异面。故选C。 3. 已知正方体，与所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设正方体棱长为。取中点，连接。或在中，，，，为等边三角形，，。但与：，，。 。故选B。 4. 若平面平面，，，，则与的位置关系是（　　） A. B. C. D. 与斜交 【答案】B 【解析】由面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。所以。故选B。 5. 空间中到两条异面直线距离相等的点的轨迹是（　　） A. 一条直线 B. 一条抛物线 C. 一个平面 D. 不存在 【答案】C 【解析】到两条异面直线距离相等的点的轨迹是一个平面（称为等距平面），该平面垂直于两条异面直线的公垂线。故选C。 6. 过平面外一点，作该平面的垂线，可以作（　　） A. 条 B. 条 C. 无数条 D. 条 【答案】A 【解析】过平面外一点有且只有一条直线垂直于该平面。故选A。 7. 若直线平面，直线平面，则与（　　） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 垂直 【答案】B 【解析】垂直于同一平面的两条直线互相平行。故选B。 8. 若平面平面，则以下结论正确的是（　　） A. 内任意直线平行于 B. 内任意直线平行于内任意直线 C. 内存在直线不平行于 D. 内任意直线都不平行于 【答案】A 【解析】若两平面平行，则其中一个平面内的任意直线都与另一个平面平行。故选A。 9. 正方体的体对角线与面对角线所成角中，最大角为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如面对角线与体对角线的关系：（垂直于在底面投影），所成角为。故选C。 10. 已知边长为的正方形，平面，，则到的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接，，，，。，，所以平面，。到的距离即。故选B。 11. 若直线平面，，，且，则与（　　） A. 一定垂直 B. 一定平行 C. 可能平行或异面 D. 无法判断 【答案】A 【解析】平面，，所以。故选A。 12. 三棱锥的四个面中，直角三角形的个数最多为（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】一个三棱锥可以做到四个面都是直角三角形。取两两垂直的三条棱，则、、都是直角三角形。又平面，所以，，通过计算可证也是直角三角形。故选D。 13. 在正方体中，为中点，则与平面所成角的正切值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】连接，在平面上的射影为（在底面的投影为）。为与底面所成角。（正方体棱长设为）。故选A。 14. 所在平面外一点，，则在平面上的投影是的（　　） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】B 【解析】设是在平面上的投影，则平面。，由勾股定理得，所以是的外心（外接圆圆心）。故选B。 15. 若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】A：可能与斜交或平行。B：垂直于同一平面的两条直线互相平行，正确。C：条件不足。D：可能在内或与斜交。故选B。 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。） 16. 若直线平面，平面，且，则平面与的位置关系是______。 【答案】平行 【解析】，，得。又，所以。 17. 正方体中，直线与平面所成的角为______度。 【答案】 【解析】平面，所以所成角为。 18. 已知矩形所在的平面，若，，，则______。 【答案】 【解析】，，。 19. 过直线外一点和这条直线平行的平面有______个。 【答案】无数 【解析】过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行。因为过该点作直线与已知直线平行，则过这条平行线（而不含已知直线）的所有平面都与已知直线平行。 20. 如图，在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正切值为__________.    答案】 【分析】找出直线在平面内的射影，从而确定直线与平面所成的角，再结合正方体的性质进行计算. 【详解】连接，    因为正方体中，平面， 则直线在平面内的射影为， 所以是与平面所成的角， 设正方体的棱长为， 因为，为的中点，则， 所以， 在中，，， 可得：， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 21. 如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）根据直线与平面的关系，再结合正方体的性质以及三角形的相关知识求解. （2）结合正方体的性质及三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）连接交于O，连接，则正方形中，为中点， 因为分别为中点， 所以是的中位线，所以． 又面，面， 所以平面． （2）正方体中，平面， 所以. 22. 在三棱锥中，平面，，，求的长。 【答案】答案： 【解析】解：，为直角三角形，，。 平面，所以。 ，。 23. 已知平面，，，求到的距离。 【答案】答案： 【解析】解：过作于，连接。 在中，，，。 。 平面，平面，所以。 又，，所以平面。 平面，所以。 在中，，，，。 到的距离即。 24. 如图，在四棱锥中，底面.在底面中，，，，. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1). (2)证明见解析. 【分析】（1）利用三棱锥的等体积法，结合三棱锥的体积公式即可求解. （2）利用余弦定理结合勾股定理可证得，推导出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）因为底面.所以底面. 且，， 故. （2）证明：，，则， 且为等腰直角三角形，故， 因为，则， 由余弦定理可得，即 ，， 又平面，平面，， 又，、平面， 平面. 学科网（北京）股份有限公司 $