专题05 二次函数实际应用（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用7大常考题型，通过分层训练构建从模型建立到性质应用的完整解题逻辑，培养数学建模与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面积问题|5题|结合矩形、抛物线与几何图形，考查最值计算|以图形面积公式为基础，通过变量设定构建二次函数，运用配方法或顶点式求最值| |拱桥/投球/喷水问题|15题|联系生活场景（如桥洞、球类运动、喷泉），涉及抛物线顶点与坐标建立|从实际情境抽象坐标系，依据顶点、交点坐标确定解析式，解决高度、距离问题| |销售/增长率问题|10题|围绕利润、营业额变化，含表格数据与函数关系|利用利润公式（售价-成本×销量）或增长率公式建立二次函数，分析最值与变化规律| |动点问题|5题|动态几何背景，结合三角形、四边形面积与运动时间|通过动点轨迹分析变量关系，构建分段函数，结合二次函数性质判断图象与最值|

专题05二次函数实际应用 常考题型·精准突破 题型1 二次函数实际应用之面积问题（重） 题型2 二次函数实际应用之拱桥问题（重） 题型3 二次函数实际应用之投球问题（高频） 题型4 二次函数实际应用之喷水问题（高频） 题型5 二次函数实际应用之销售问题（高频） 题型6二次函数实际应用之增长率问题（高频） 题型7二次函数实际应用之动点问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 1．【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 2．． 3．【详解】（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为，花园的面积为．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 4． 【详解】（1）解：米，三边栅栏总长为米， 米． ，即． 墙长米， ， 解得． （2）解：令，则， 整理，得， 解得或． ， ， 当时，满足条件的花园面积能达到平方米． （3）解：将化为顶点式为， ， 当时，最大，最大面积是平方米． 5． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 6． 【详解】（1）解：根据得，桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为， 故、、， 设抛物线为      解得， ∴桥洞所对应的抛物线的解析式为； （2）解： ∴当时，， 解得， ∴横幅长为：米； 7．【详解】解：以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示． ， ，， ，． 设该抛物线的表达式为， 将，代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． 当时，． 答：主跨的高度约为． 8．【详解】（1）解：由题意可知，抛物线对称轴为轴，顶点坐标为， 设该抛物线表达式为， ，， 由对称性得点的坐标为， 将代入表达式得：， 解得， 该抛物线的表达式为． （2）解：要求离地高度不低于，即， 令代入抛物线表达式得 ， 整理得， 解得，， 两个交点的水平距离为：， 因此灯带两端水平距离的最大长度为． 9．【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ． （2）解：设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是． 10．【详解】（1）解：方案一，如图， 根据题意可知，抛物线与x轴的交点为，，顶点坐标为， 设解析式为， 将点代入得， 解得：， 则抛物线解析式为； 方案二，如图， 根据题意可知，，，顶点坐标为， 设解析式为， 将点代入得， 解得：， 则抛物线解析式为； （2）解：如图，以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系， 当水面下降时，， 将代入得：， 解得：， ∴水面宽度增加米． 11．【详解】解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 12． 【详解】（1）解：根据题意可得：出手点的坐标为， 最高点距水平距离3米，距地面3.8米，因此坐标为． 设抛物线顶点式为， 将代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵将篮球从点A正上方1米的点B处投出， ∴新抛物线表达式为：， 令，得：， 解得， ∵在正半轴， ∴​， ∴​米． 13．【详解】（1）解：高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 当时，， 可得：， 解得：， 抛物线解析式为， 整理可得：， ，； （2）解：点的纵坐标为， ， 解得：（舍去），， ； （3）解：由（1）得：． 抛物线的对称轴为：， 秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同， ， 解得：， 当时，， 答：或时高尔夫球的高度相同，且此时高度为． 14．【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，， 根据图象，头球点在最高点右侧，即，舍去， ∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米． （3）解：当时，则， 当时，则， ∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离的范围内，能飞入球门． 15．【详解】（1）解：由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得：当时，， 则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，可得： 对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得：当时，， 则实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 抛物线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （3）略； （4）解：由（1）知，抛物线对称轴为直线， ，分别位于对称轴两侧， 解得： ①如图，当时，， 即， 解得：或； 与相矛盾，故舍去， ； ②如右图，当时，， 即， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，m的值为或． 16． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形通道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵通道宽为2米， ∴，即， ∵通道顶部到水柱的竖直距离均不小于2米， ∴，即， 即当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴通道顶端到地面的最大高度为（米）． 17． 【详解】（1）解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：． (2)答：此时喷出的水柱会落到人工湖外． 理由如下： 对于， 令，得， 解得或（舍去）， 对于， 令，得， 解得或（舍去）， ∵， ∴此时喷出的水柱会落到人工湖外； (3)解：对于， 当，即时，， ∵， ∴游船有被水柱喷到的危险 18．【详解】（1）解：当时，， ∴点的坐标为， ∴雕塑的高为． （2）解：当时，， 解得（舍去），， ∴点的坐标为， ∴． ∵从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴， ∴． （3）略 19．【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 20． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 21．【详解】（1）解：设商品售价x元，则由题意可得， 即一天可以卖出件； （2）解：由题意可得， 解得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线，x为正整数， ∴根据抛物线对称性可知，当或时，取得最大值， 此时最大值为, 即当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元． 22．【详解】解∶设每件玩具涨价x元， 则利润， ∵每件销售价不低于57元销售， ∴，解得， ∵，抛物线开口向下，当时，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，为， ∴最大利润w为2210元． 23．【详解】（1）解：设每件应降价x元，由题意得 ， 解得：，， ∵为增大销量，减少库存， ∴每件童装应降价20元， 则售价为（元）； （2）解：设总利润为W元，由题意，得 ， ∴， ∴抛物线的开口向下，W有最大值， ∴当时，，元． 即每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元． 24．． 25．【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， 与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意列方程：， 解得，， 答：当销售单价为15元或21元时，日销售利润为182元． （3）解：设日销售利润为W元， 则由题意知 ， ， 抛物线开口向下 当时，W有最大值200， 答：当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元． 26．． 27．． 28． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 29．【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 30．【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 31．D 32．B 33．D 34．B． 35．【详解】（1）解∶延长交轴于点，如图 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ； （2）解∶①如图 ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 由折叠得 ， ， ， ， 当点与点重合时， ， ， ， 即， 当折叠后四边形与四边形的重叠部分为五边形时，， ②第1种情况：当时，如图 由折叠得，， ， ，， ，则 过点作于点，如图 ， ， ， ，即， ， ， ， ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，S随着t的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，， 第2种情况：当时，如图 由①，可得，，，， ∴， 由第1种情况，可得，， ∴， ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，S取得最大值，为， 当或8时，， ∴当时，； 第3种情况：当时，如图 令与所在的直线的交点为K，由①，可知，当时， ， 解得， ∴当时，点K始终在线段上，点始终在线段上， 由图可知，当时，S随着t的增大而减小， 当时，如图 有，， ∴， ， ∴当时，， 综上所述，当时，． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C D B D C B 二、填空题 9． 10．8 11． 12． 16 三、解答题 13． 【详解】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)² ； (2)当x=20%时，今年的总产值=10(1＋20%)² =14.4万元； (3) 依题意，得前年，去年和今年三年的总产值为：10+10(1+20%)+ 10(1＋x)²=36.4(万元). 14． 【详解】（1）解：当米时， （米）． （2）解：由题意得， 解得 ∵第一次到达， ∴． 答：球的水平距离是30米． 15． 【详解】（1）解：由题意，菱形的另一条对角线的长为， ∴，其中； （2）解：由（1）知，， ∴当时，． 16． 【详解】（1）解：∵第一次试验中， 时的函数值与 时的函数值相同， ∴第一次试验中，对应的抛物线的对称轴为直线 ， ∴第一次试验中，对应的抛物线的顶点坐标为， ∴此次试验中实心球达到的最大高度是 米， 由对称性可得 时的函数值与 时的函数值相同，即 ； （2）解：∵两次试验实心球所达到的最大高度相同， ∴第二次试验的抛物线的顶点坐标为， 设第二次试验的抛物线的解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴第二次试验的抛物线的解析式为 ； （3）解：设第一次试验的抛物线的解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴第一次试验的抛物线的解析式为 ， 在 中，令 ，得 ， 解得 或 （舍去）， 米， 在 中，令 ，得 ， 解得 或 （舍去）， 米， ， ∴第一次试验成绩最好； ， ∴第一次试验成绩为10分， ∴该男生两次投掷试验的最好成绩是10分． 17．【详解】（1）解：把，代入得； 把，代入，得：， 解得：； （2）解：由（1）知，． ． ． 钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式为． （3）解：当钢球恰好落到箱子里，且从箱子左侧进入，此时箱子左侧到点O的水平距离最远． ． 当，即，解得（负值已舍去）． 箱子左侧到点O的水平距离最远是． 18． 【详解】（1）解：∵和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，顶点在轴上， ∴即，即， 设抛物线的解析式为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵和关于原点中心对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， （2）解：设所在抛物线为 和所在抛物线关于点对称， ， 且的顶点和顶点也关于点对称， 即， 恰好经过的顶点， ，即， 解得， 在轴左侧， ， 所在抛物线为； （3）解：观察图3可知， 和直线至少要有一个交点， 直线与最高可交于点， 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消得，即， 当时，， ， 当时，和直线必有交点， 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消得，即， ，解得， 的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二次函数实际应用 常考题型·精准突破 题型1 二次函数实际应用之面积问题（重） 题型2 二次函数实际应用之拱桥问题（重） 题型3 二次函数实际应用之投球问题（高频） 题型4 二次函数实际应用之喷水问题（高频） 题型5 二次函数实际应用之销售问题（高频） 题型6二次函数实际应用之增长率问题（高频） 题型7二次函数实际应用之动点问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二次函数实际应用之面积问题 1．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 2．如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______． 【答案】 【分析】设为，则，根据矩形的面积求得面积与的函数关系，根据二次函数的性质求解即可求得答案． 【详解】解：设为，则， 则窗户的面积 当时，取得最大值为． 3．阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)、小、 (2)、大、5 (3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料即可求解； （3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为，花园的面积为．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 4．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，满足条件的花园面积能达到平方米 (3)当时，最大，最大面积是平方米 【分析】（1）根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围； （2）把代入解方程并检验取值； （3）配方法求二次函数在定义域内的最值． 【详解】（1）解：米，三边栅栏总长为米， 米． ，即． 墙长米， ， 解得． （2）解：令，则， 整理，得， 解得或． ， ， 当时，满足条件的花园面积能达到平方米． （3）解：将化为顶点式为， ， 当时，最大，最大面积是平方米． 5．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． ◆题型2 二次函数实际应用之拱桥问题 6．如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据得，根据桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为，可设抛物线解析式为，求解即可； （2）根据题意，得当时，，求解即可； 【详解】（1）解：根据得，桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为， 故、、， 设抛物线为      解得， ∴桥洞所对应的抛物线的解析式为； （2）解： ∴当时，， 解得， ∴横幅长为：米； 7．如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 【答案】主跨的高度约为． 【分析】以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得，，设该抛物线的表达式为，求出抛物线的解析式即可解答． 【详解】解：以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示． ， ，， ，． 设该抛物线的表达式为， 将，代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． 当时，． 答：主跨的高度约为． 8．西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采用大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分．如图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度为，檐口离地高度为，拱檐拱顶最高处离地高度为． (1)求该抛物线的表达式； (2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于，求灯带两端水平距离的最大长度． 【答案】(1)该抛物线的表达式为 (2)灯带两端水平距离的最大长度为 【分析】（1）设抛物线表达式为：，根据题意可得点坐标为，代入求解即可； （2）要求离地高度不低于，即，将代入抛物线表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线对称轴为轴，顶点坐标为， 设该抛物线表达式为， ，， 由对称性得点的坐标为， 将代入表达式得：， 解得， 该抛物线的表达式为． （2）解：要求离地高度不低于，即， 令代入抛物线表达式得 ， 整理得， 解得，， 两个交点的水平距离为：， 因此灯带两端水平距离的最大长度为． 9．某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【答案】(1)拱桥抛物线表达式为；右边钢缆的抛物线表达式为；左边钢缆的抛物线表达式为 (2)灯带长度的最小值是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设灯带长度为，则，即可得解． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ． （2）解：设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是． 10．图1是抛物线形拱桥平面示意图，当拱顶离水面时，水面宽．此时桥拱与水面的交点分别为点 A 和点 B，拱顶为点 C． (1)请从下列两种方案中任选一种，在图2中画出平面直角坐标系，并求出所选方案中的抛物线解析式． 方案一：以点A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系； 方案二：以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系． (2)当水面下降时，水面宽度增加多少？ 【答案】(1)方案一：,图见解析；方案二：,图见解析 (2) 【分析】（1）方案一，根据顶点坐标为，设解析式为，将点代入求出a值即可得；方案二，根据顶点坐标为，设解析式为，将点代入求出a值即可得； （2）根据当水面下降时，求出y 的值，把y值代入解析式求出x的值，再求出下降前和下降后的差值即可． 【详解】（1）解：方案一，如图， 根据题意可知，抛物线与x轴的交点为，，顶点坐标为， 设解析式为， 将点代入得， 解得：， 则抛物线解析式为； 方案二，如图， 根据题意可知，，，顶点坐标为， 设解析式为， 将点代入得， 解得：， 则抛物线解析式为； （2）解：如图，以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系， 当水面下降时，， 将代入得：， 解得：， ∴水面宽度增加米． ◆题型3 二次函数实际应用之投球问题 11．2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【答案】 【分析】先求出点的横坐标为，设这条抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 12．为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 【答案】(1) (2)​米． 【分析】（1）根据题意可知、，设抛物线顶点式为，将代入计算即可； （2）根据平移的性质得到，令，求解后根据在正半轴取合适的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：出手点的坐标为， 最高点距水平距离3米，距地面3.8米，因此坐标为． 设抛物线顶点式为， 将代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵将篮球从点A正上方1米的点B处投出， ∴新抛物线表达式为：， 令，得：， 解得， ∵在正半轴， ∴​， ∴​米． 13．在高尔夫比赛中，从地面斜向上击出的高尔夫球离地面的高度满足二次函数关系式，其中是高尔夫球运动的时间，在一次训练时，小明如图击出高尔夫球．已知高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为．如图建立平面直角坐标系． (1)求出和的值； (2)求高尔夫球落地点与击出点的距离的长； (3)若该高尔夫球击出秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同，求的值和此时高尔夫球的高度． 【答案】(1)， (2) (3)或时高尔夫球的高度相同，且此时高度为 【分析】（1）高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，因为抛物线过原点，所以当时，，代入求出的值，即可得到抛物线的解析式，根据抛物线的解析式确定和的值； （2）根据点的纵坐标为，可得，解方程求出的值，即可得到的长度； （3）因为高尔夫球击出秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同，根据抛物线的对称性可知，解方程即可求出的值，把的值代入二次函数的解析式即可求出此时高尔夫球的高度． 【详解】（1）解：高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 当时，， 可得：， 解得：， 抛物线解析式为， 整理可得：， ，； （2）解：点的纵坐标为， ， 解得：（舍去），， ； （3）解：由（1）得：． 抛物线的对称轴为：， 秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同， ， 解得：， 当时，， 答：或时高尔夫球的高度相同，且此时高度为． 14．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 【答案】(1) (2)足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是米． (3)能 【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为，代入即可求解； （2）令，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论． （3）分别计算，的函数值，进一步判断即可． 【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，， 根据图象，头球点在最高点右侧，即，舍去， ∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米． （3）解：当时，则， 当时，则， ∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离的范围内，能飞入球门． 15．体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． 【答案】(1)2， (2) (3)邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴邓同学在此次训练中能得到满分； (4)m的值为或 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据题意得到出手时实心球的竖直高度即为时y的值，再通过观察表格数据，利用二次函数的对称性确定对称轴和顶点坐标； （2）由（1）知顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）令得到一元二次方程，解方程与米比较即可； （4）根据，分别位于对称轴两侧求出的取值范围，再分情况讨论：求出当M为最低点，或N为最低点时的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得：当时，， 则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，可得： 对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得：当时，， 则实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 抛物线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （3）略； （4）解：由（1）知，抛物线对称轴为直线， ，分别位于对称轴两侧， 解得： ①如图，当时，， 即， 解得：或； 与相矛盾，故舍去， ； ②如右图，当时，， 即， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，m的值为或． ◆题型4 二次函数实际应用之喷水问题 16．景区喷泉以出水口为原点建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 【答案】米 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形通道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵通道宽为2米， ∴，即， ∵通道顶部到水柱的竖直距离均不小于2米， ∴，即， 即当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴通道顶端到地面的最大高度为（米）． 17．某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【答案】(1) (2)答：此时喷出的水柱会落到人工湖外． 理由如下： 对于， 令，得， 解得或（舍去）， 对于， 令，得， 解得或（舍去）， ∵， ∴此时喷出的水柱会落到人工湖外； (3)解：对于， 当，即时，， ∵， ∴游船有被水柱喷到的危险． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分别求出当时，改变喷头的推力前后的两个抛物线解析式中的，比较后即可得出结论； （3）求出抛物线上时，的值，与船的高度比较后得出结论. 【详解】（1）解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：． （2）略 （3）略 18．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，点A在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑的高； (2)求落水点C、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1)雕塑的高为 (2) (3)当时，， ∴点在抛物线上． 又∵， ∴顶部不会碰到水柱． 【分析】（1）直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴点的坐标为， ∴雕塑的高为． （2）解：当时，， 解得（舍去），， ∴点的坐标为， ∴． ∵从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴， ∴． （3）略 19．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 20．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. ◆题型5 二次函数实际应用之销售问题 21．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： (1)设商品售价x元，则一天可以卖出________件； (2)当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元 【分析】（1）设商品售价x元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件，据此列出代数式即可； （2）先求出，再根据题意列出日利润w的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设商品售价x元，则由题意可得， 即一天可以卖出件； （2）解：由题意可得， 解得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线，x为正整数， ∴根据抛物线对称性可知，当或时，取得最大值， 此时最大值为, 即当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元． 22．某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 【答案】 【分析】根据每件利润乘以总销售量得到利润的二次函数解析式，再结合二次函数的性质和给定的自变量取值范围求解最大利润． 【详解】解∶设每件玩具涨价x元， 则利润， ∵每件销售价不低于57元销售， ∴，解得， ∵，抛物线开口向下，当时，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，为， ∴最大利润w为2210元． 23．某商场销售人员在销售中发现：“南极人”牌童装进价为60元，售价定为100元时平均每天可售出20件．为了迎接六•一儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价5元，那么平均每天可多售出10件． (1)要想平均每天盈利1200元，那么每件童装的售价应定为多少元？ (2)每件童装的售价为多少元时，该商场每天销售此童装的盈利最多？ 【答案】(1)80元 (2)每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元 【分析】（1）设每件应降价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设总利润为W元，建立起关于的函数解析式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件应降价x元，由题意得 ， 解得：，， ∵为增大销量，减少库存， ∴每件童装应降价20元， 则售价为（元）； （2）解：设总利润为W元，由题意，得 ， ∴， ∴抛物线的开口向下，W有最大值， ∴当时，，元． 即每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元． 24．已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价元时，利润最大，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值，涨价元时，利润最大，可设解析式为，其中，故抛物线开口向下，函数图象上的点到对称轴的距离越小函数值越大，据此结合题意列不等式组即可求解. 【详解】设月利润为元，涨价额为元，二次函数为，，其对称轴为． 存在最大值， 抛物线开口向下，，函数图象上的点到对称轴的距离越小函数值越大， 由题意可得：， 当时，不等式组可化为：，不等式组无解， 当时，不等式组可化为：，解得， 当时，不等式组可化为：，该不等式组恒成立， 综上所述：． 25．清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量y（束）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价元 16 18 20 22 日销售量束 24 20 16 12 小宇马上判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题： (1)y与x之间的函数关系式是：________． (2)当销售单价为多少元时，日销售利润为182元？ (3)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价为15元或21元 (3)当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元 【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据单束花的利润与销售量的乘积等于利润列一元二次方程求解即可； （3）设日销售利润为W元，列二次函数解析式，并根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， 与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意列方程：， 解得，， 答：当销售单价为15元或21元时，日销售利润为182元． （3）解：设日销售利润为W元， 则由题意知 ， ， 抛物线开口向下 当时，W有最大值200， 答：当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元． ◆题型6二次函数实际应用之增长率问题 26．某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为_______ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元，依题意得，． 【详解】解：由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元， 依题意得，， 故答案为：． 27．某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______． 【答案】 （或） 【详解】解：由题意可知第一年的利润为万元； 第二年的利润为万元； 第三年的利润为万元， 则（或）； 由于利润呈增长状态，因此增长率为正，即． 28．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 29．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 30．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 【答案】(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2014年这种产品的产量应达到110万件 【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率； （2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决． 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． ◆题型7二次函数实际应用之动点问题 31．如图1，中，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，、两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为（），的面积为（），关于的函数图象由两段组成，如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A． B． C．图象段的函数表达式为 D．面积的最大值为8 【答案】D 【分析】过点作于点，分段求得的解析式，结合函数图象求得根据二次函数的性质求得最值，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：过点作于点， 当点在上运动时， ， 当时，则， 解得：，故A正确； 由图象可知，， 当点在上时，如图 ， 当时，则， 解得：，故B正确； 图象段的函数表达式为，故C正确； 当，，故D错误． 32．如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A点作于H，利用等腰直角三角形的性质得到，，分类讨论：当时，如图1，易得，根据三角形面积公式得到；当时，如图2，易得，根据三角形面积公式得，于是可判断当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A点作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，故B选项符合题意． 33．如图，在中，，，，动点从点出发沿边向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿边向终点匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动．若，两点每秒运动的路程相同，点运动的路程为，的面积为，则下列图象能反映与之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出的长，分三段讨论： 时，在上，在上；时，在上，在上；时，在上，到达点停止．分别求出与的函数关系式，结合图象即可判断． 【详解】解：在 中，，，， ，，． 分三种情况讨论： ①当时，点在上，点在上，，， 过点作于点， 则， ， 此时图象为开口向上的抛物线，当 时，； ②当时，点在上，点在上，过点作于点 ，， ∴， ， 此时图象为开口向下的抛物线，当时，；当时，； ③当时，点在上，点到达点停止运动， 此时（即变为），， 以为底，为高， ， 此时图象为线段， 当时，； 当时，． 综上所述，图象D符合题意． 34．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断． 【详解】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 35．将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，在第一象限，且，． (1)填空：如图1，点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)若为轴的正半轴上一动点，点在第一象限，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点，点的对应点为．设． ①如图2，若折叠后点落在直线上，点落在线段上，直线与，分别相交于点和点，当折叠后四边形与四边形的重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②若设折叠后图形与四边形重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；②当时，． 【分析】解∶延长交轴于点， 推导出， ，求出，，得到，，则，即可解答； （2）①先推导出，得到， ，由折叠得，则，再求出，即可解答； ②分类讨论：第1种情况：当时， 第2种情况：当时， 第3种情况：当时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解∶延长交轴于点，如图 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ； （2）解∶①如图 ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 由折叠得 ， ， ， ， 当点与点重合时， ， ， ， 即， 当折叠后四边形与四边形的重叠部分为五边形时，， ②第1种情况：当时，如图 由折叠得，， ， ，， ，则 过点作于点，如图 ， ， ， ，即， ， ， ， ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，S随着t的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，， 第2种情况：当时，如图 由①，可得，，，， ∴， 由第1种情况，可得，， ∴， ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，S取得最大值，为， 当或8时，， ∴当时，； 第3种情况：当时，如图 令与所在的直线的交点为K，由①，可知，当时， ， 解得， ∴当时，点K始终在线段上，点始终在线段上， 由图可知，当时，S随着t的增大而减小， 当时，如图 有，， ∴， ， ∴当时，， 综上所述，当时，． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】C 【分析】此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米． 2．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价（单位：元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据顶点式得到二次函数的开口方向和对称轴，结合二次函数的增减性即可在给定范围内求出最大值． 【详解】解：∵，且， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最大值， 将代入解析式得 即一周可获得的最大利润是1550元． 3．如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】令，解方程即可求出水面的宽度． 【详解】解：根据题意，令，得： ， 解得：，， 所以水面宽为：米． 4．从地面竖直向上射出一小球，若小球离地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式为，则下列说法中，错误的是（   ） A．小球运动时间为时的高度是 B．小球运动时间为时的高度和时的高度相等 C．小球离地面的最大高度是 D．小球从射出到落地需要s 【答案】D 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，通过代入计算，配方求最值，解方程求落地时间，即可判断各选项的正误． 【详解】解： 选项A，当时，代入得，∴A正确，不符合题意； 选项B，当时，，当时，，两者高度相等，∴B正确，不符合题意； 选项C，∵，二次函数开口向下，当时，取得最大值，即小球离地面最大高度为，∴C正确，不符合题意； 选项D，小球落地时，即，因式分解得，解得（初始射出时刻）或，∴小球从射出到落地需要，不是，∴D错误，符合题意． 5．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：函数， ， 该函数图象开口向下，有最大值， 对称轴为， 将代入得：， 即小球速度的最大值为． 6．电暖气（如图1）可以通过旋钮开关调节电路的总电阻来控制电流的变化，从而实现功率的改变．在额定功率范围内，电暖气电路的电流I（单位：A）与实际功率P（单位：W）的二次函数图象如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．P与I的函数关系式是 C．在额定功率范围内，P随I的增大而增大 D．I每增加，P的增加量相同 【答案】D 【分析】根据图像中提供的信息可以判断A；待定系数法求出函数解析式即可判断B；根据函数性质进行求解，即可判断C；根据函数性质进行求解． 【详解】解：由题图2可知，当时，，故选项A中结论正确，不符合题意； 根据题意，设P与I的函数关系式为（，），把点代入，得， ， ∴P与I的函数关系式是，故选项B中结论正确，不符合题意； 由题图2可知，在额定功率范围内，P随I的增大而增大，故选项C中结论正确，不符合题意； I每增加，P的增加量不相同，故选项D中结论错误，符合题意． 7．函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问题．如某型号飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行的时间t（s）的函数关系式是．请结合函数图象，用数学眼光判断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是（     ） A．飞机着陆后前滑行的距离为 B．飞机着陆后滑行才能停下来 C．飞机滑行过程中，最后滑行了 D．飞机滑行过程中，最后滑行用时 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际应用，先对函数配方得到飞机滑行的总时间和总滑行距离，再逐一计算每个选项判断正误. 【详解】先对函数配方得 ∵二次函数开口向下，顶点坐标为， ∴飞机着陆后滑行停下，总滑行距离为. 对选项A：将代入函数得 ，A描述正确； 对选项B：由顶点可知最大滑行距离为，即飞机滑行才能停下，B描述正确； 对选项C：总滑行时间为，最后对应从到，将代入得，最后滑行距离为，C描述错误； 对选项D：当滑行距离为时，令，整理得，解得（舍去大于总时间的解），因此最后用时，D描述正确. 8．如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点，分四种情况讨论，分别求出重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系表达式，进而得到对应的函数图象，即可得解． 【详解】解：如图，连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点， 边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合， ，，，垂直平分， ， ①当时，叠部分的面积为，此时， ， ， ， ， ； ②当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 即当时，有最大值为2； ③当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ； ④当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 综上可知，当时，图象为开口向上的抛物线；当时，图象为开口向下的抛物线，且有最大值为2；当时，图象为开口向下的抛物线；当时，图象为开口向上的抛物线， 只有B选项符合题意． 二、填空题 9．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 【答案】 【详解】解：根据题意，选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是， 则选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位， ∵原抛物线的顶点为， ∴根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为． 10．中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价________元，才能使每日利润最大． 【答案】8 【分析】设每件模型涨价元，每日利润为元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设每件模型涨价元，每日利润为元， 则， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值， 即每件模型应涨价8元，才能使每日利润最大． 11．如图，在中，是上的高，且，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边和上，如果设为，矩形的面积为，那么关于的函数关系式是_____． 【答案】 【分析】设边的长为，则，进而利用已知得出，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，设边的长为，则， 矩形 ， ， ， ， 解得：， 矩形的面积为， 关于的函数解析式是：． 12．如图①，已知等边三角形，点从点出发沿折线以的速度匀速移动，到达点时停止，而点在边上随点移动，且始终保持．设运动的时间为，，关于的大致函数图象如图②所示，则的长为________，图②顶点的坐标为________． 【答案】 16 【分析】由函数图象，可知当时，点、与点重合，此时为最大值，当点从点出发沿折线以的速度匀速移动到点B时，此时点Q和点C重合，此时，当点从点B向点C移动过程中，点Q从点C向点A移动，此时关于成二次函数，故设，，则，证明，列比例式，将用含的表达式表示出来，化为二次函数顶点式，即可求出m的值以及顶点的坐标． 【详解】解：由函数图象，可知当时，点、与点重合，此时为最大值， 当点从点出发沿折线以的速度匀速移动到点B时，此时点Q和点C重合，此时，当点从点B向点C移动过程中，点Q从点C向点A移动，此时关于成二次函数， ∵是等边三角形， 故设，，则， ∵，， ． 又∵， ∴， ， ∴， ∴二次函数顶点的坐标为 结合图象可， ∴，即的长为16，的坐标为． 三、解答题 13．某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元． （1）求y关于x的函数关系式． （2）当x=20%时，今年的总产值为多少？ （3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？ 【答案】（1）；（2）万元；（3）万元． 【分析】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)= 10(1＋x)² ；(2)把x的值代入(1)求解即可；(3)代入求解即可. 【详解】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)² ； (2)当x=20%时，今年的总产值=10(1＋20%)² =14.4万元； (3) 依题意，得前年，去年和今年三年的总产值为：10+10(1+20%)+ 10(1＋x)²=36.4(万元). 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数求解． 14．一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（米）和经过的水平距离d（米）可用公式来估计． (1)当球的水平距离达到60米时，球上升的高度是多少？ (2)当球的高度第一次达到21米时，球的水平距离是多少？ 【答案】(1)24米 (2)球的水平距离是30米 【分析】（1）把代入求解即可． （2）把代入求解即可． 【详解】（1）解：当米时， （米）． （2）解：由题意得， 解得 ∵第一次到达， ∴． 答：球的水平距离是30米． 15．一个菱形风筝的两条对角线的长之和为．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在这个变化过程中，其中一条对角线的长为． (1)写出菱形的面积y（单位：）关于x（单位：）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)当时，求y的函数值． 【答案】(1)， (2)800 【分析】（1）先求出另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式求出函数解析式即可； （2）把代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，菱形的另一条对角线的长为， ∴，其中； （2）解：由（1）知，， ∴当时，． 16．综合实践 探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响 试验说明 数学兴趣小组为了探究此问题，由一名男生做了两次投掷试验（出手角度不同）．建立如图1所示的平面直角坐标系． 实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，实心球着地点到出手点的水平距离为d米（即掷球成绩）． 男生实心球评分标准如下表所示． d/米 8.4 8.2 7.8 7.6 7.0 6.7 得分 10 9.5 9.0 8.5 7.8 7.6   从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度y与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系，两次试验实心球所达到的最大高度相同． 试验过程 【第一次试验】：实心球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离x/米 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/米 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 n 【第二次试验】：实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图2所示，其中A为第二次试验抛物线的顶点．    解决问题 (1)根据第一次试验数据，直接写出： ________；此次试验中实心球达到的最大高度是________米； (2)求第二次试验的抛物线的解析式； (3)通过计算说明该男生两次投掷试验的最好成绩是多少分？ 【答案】(1)3.2；3.6 (2) (3) 该男生两次投掷试验的最好成绩是10分 【分析】（1）由对称性可得第一次试验中，对应的抛物线的对称轴为直线 ，据此可得对应的顶点坐标，则可得到第二空的答案，再由对称性可得第一空的答案； （2）根据题意可得第二次试验的抛物线的顶点坐标为，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）求出第一次试验的抛物线的解析式，进而求出即可得到答案． 【详解】（1）解：∵第一次试验中， 时的函数值与 时的函数值相同， ∴第一次试验中，对应的抛物线的对称轴为直线 ， ∴第一次试验中，对应的抛物线的顶点坐标为， ∴此次试验中实心球达到的最大高度是 米， 由对称性可得 时的函数值与 时的函数值相同，即 ； （2）解：∵两次试验实心球所达到的最大高度相同， ∴第二次试验的抛物线的顶点坐标为， 设第二次试验的抛物线的解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴第二次试验的抛物线的解析式为 ； （3）解：设第一次试验的抛物线的解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴第一次试验的抛物线的解析式为 ， 在 中，令 ，得 ， 解得 或 （舍去）， 米， 在 中，令 ，得 ， 解得 或 （舍去）， 米， ， ∴第一次试验成绩最好； ， ∴第一次试验成绩为10分， ∴该男生两次投掷试验的最好成绩是10分． 17．如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下： 0.1 0.2 0.3 0.8 1.6 2.4 (1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____ (2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 (3)若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？ 【答案】(1)8，1000 (2) (3) 【分析】（1）取，代入可求；取，代入，可求； （2）由（1）知，求出，消去即可； （3）把代入二次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得； 把，代入，得：， 解得：； （2）解：由（1）知，． ． ． 钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式为． （3）解：当钢球恰好落到箱子里，且从箱子左侧进入，此时箱子左侧到点O的水平距离最远． ． 当，即，解得（负值已舍去）． 箱子左侧到点O的水平距离最远是． 18．综合与实践 【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥． 如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线． 综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转，得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡． 【模型建立】 (1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为，副拱所在抛物线为，以它们的对称中心为原点建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为轴，即和关于原点中心对称．通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，则的顶点的坐标为（____），左交点的坐标为（____），抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________； 【模型应用】 (2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于轴对称的副拱和，如图2，和所在抛物线关于点对称，且恰好经过的顶点，请求出左副拱所在抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索，所在直线为，如图3，要求斜拉索和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线至少要与，和各有一个交点，求出的取值范围． 【答案】(1)16，，， (2) (3) 【分析】（1）由题意和对称性质即可求出顶点坐标和交点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线，的解析式； （2）由和所在抛物线关于点对称可得和，再将代入解析式即可得解； （3）先确定直线与交于最高点时，由此确定此时直线与必有交点，最后再确定和直线有交点时，进而即可得解． 【详解】（1）解：∵和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，顶点在轴上， ∴即，即， 设抛物线的解析式为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵和关于原点中心对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， （2）解：设所在抛物线为 和所在抛物线关于点对称， ， 且的顶点和顶点也关于点对称， 即， 恰好经过的顶点， ，即， 解得， 在轴左侧， ， 所在抛物线为； （3）解：观察图3可知， 和直线至少要有一个交点， 直线与最高可交于点， 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消得，即， 当时，， ， 当时，和直线必有交点， 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消得，即， ，解得， 的取值范围为． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二次函数实际应用 常考题型·精准突破 题型1 二次函数实际应用之面积问题（重） 题型2 二次函数实际应用之拱桥问题（重） 题型3 二次函数实际应用之投球问题（高频） 题型4 二次函数实际应用之喷水问题（高频） 题型5 二次函数实际应用之销售问题（高频） 题型6二次函数实际应用之增长率问题（高频） 题型7二次函数实际应用之动点问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二次函数实际应用之面积问题 1．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 2．如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______． 3．阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 4．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 5．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ ◆题型2 二次函数实际应用之拱桥问题 6．如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 7．如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 8．西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采用大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分．如图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度为，檐口离地高度为，拱檐拱顶最高处离地高度为． (1)求该抛物线的表达式； (2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于，求灯带两端水平距离的最大长度． 9．某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 10．图1是抛物线形拱桥平面示意图，当拱顶离水面时，水面宽．此时桥拱与水面的交点分别为点 A 和点 B，拱顶为点 C． (1)请从下列两种方案中任选一种，在图2中画出平面直角坐标系，并求出所选方案中的抛物线解析式． 方案一：以点A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系； 方案二：以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系． (2)当水面下降时，水面宽度增加多少？ ◆题型3 二次函数实际应用之投球问题 11．2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 12．为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 13．在高尔夫比赛中，从地面斜向上击出的高尔夫球离地面的高度满足二次函数关系式，其中是高尔夫球运动的时间，在一次训练时，小明如图击出高尔夫球．已知高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为．如图建立平面直角坐标系． (1)求出和的值； (2)求高尔夫球落地点与击出点的距离的长； (3)若该高尔夫球击出秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同，求的值和此时高尔夫球的高度． 14．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 15．体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． ◆题型4 二次函数实际应用之喷水问题 16．景区喷泉以出水口为原点建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 17．某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 18．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，点A在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑的高； (2)求落水点C、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 19．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 20．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ ◆题型5 二次函数实际应用之销售问题 21．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： (1)设商品售价x元，则一天可以卖出________件； (2)当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 22．某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 23．某商场销售人员在销售中发现：“南极人”牌童装进价为60元，售价定为100元时平均每天可售出20件．为了迎接六•一儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价5元，那么平均每天可多售出10件． (1)要想平均每天盈利1200元，那么每件童装的售价应定为多少元？ (2)每件童装的售价为多少元时，该商场每天销售此童装的盈利最多？ 24．已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价元时，利润最大，则的取值范围是_____． 25．清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量y（束）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价元 16 18 20 22 日销售量束 24 20 16 12 小宇马上判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题： (1)y与x之间的函数关系式是：________． (2)当销售单价为多少元时，日销售利润为182元？ (3)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？ ◆题型6二次函数实际应用之增长率问题 26．某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为_______ 27．某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______． 28．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 29．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 30．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ ◆题型7二次函数实际应用之动点问题 31．如图1，中，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，、两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为（），的面积为（），关于的函数图象由两段组成，如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A． B． C．图象段的函数表达式为 D．面积的最大值为8 32．如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 33．如图，在中，，，，动点从点出发沿边向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿边向终点匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动．若，两点每秒运动的路程相同，点运动的路程为，的面积为，则下列图象能反映与之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 34．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 35．将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，在第一象限，且，． (1)填空：如图1，点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)若为轴的正半轴上一动点，点在第一象限，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点，点的对应点为．设． ①如图2，若折叠后点落在直线上，点落在线段上，直线与，分别相交于点和点，当折叠后四边形与四边形的重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②若设折叠后图形与四边形重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 2．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价（单位：元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 4．从地面竖直向上射出一小球，若小球离地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式为，则下列说法中，错误的是（   ） A．小球运动时间为时的高度是 B．小球运动时间为时的高度和时的高度相等 C．小球离地面的最大高度是 D．小球从射出到落地需要s 5．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．电暖气（如图1）可以通过旋钮开关调节电路的总电阻来控制电流的变化，从而实现功率的改变．在额定功率范围内，电暖气电路的电流I（单位：A）与实际功率P（单位：W）的二次函数图象如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．P与I的函数关系式是 C．在额定功率范围内，P随I的增大而增大 D．I每增加，P的增加量相同 7．函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问题．如某型号飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行的时间t（s）的函数关系式是．请结合函数图象，用数学眼光判断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是（     ） A．飞机着陆后前滑行的距离为 B．飞机着陆后滑行才能停下来 C．飞机滑行过程中，最后滑行了 D．飞机滑行过程中，最后滑行用时 8．如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 10．中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价________元，才能使每日利润最大． 11．如图，在中，是上的高，且，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边和上，如果设为，矩形的面积为，那么关于的函数关系式是_____． 12．如图①，已知等边三角形，点从点出发沿折线以的速度匀速移动，到达点时停止，而点在边上随点移动，且始终保持．设运动的时间为，，关于的大致函数图象如图②所示，则的长为________，图②顶点的坐标为________． 三、解答题 13．某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元． （1）求y关于x的函数关系式． （2）当x=20%时，今年的总产值为多少？ （3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？ 14．一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（米）和经过的水平距离d（米）可用公式来估计． (1)当球的水平距离达到60米时，球上升的高度是多少？ (2)当球的高度第一次达到21米时，球的水平距离是多少？ 15．一个菱形风筝的两条对角线的长之和为．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在这个变化过程中，其中一条对角线的长为． (1)写出菱形的面积y（单位：）关于x（单位：）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)当时，求y的函数值． 16．综合实践 探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响 试验说明 数学兴趣小组为了探究此问题，由一名男生做了两次投掷试验（出手角度不同）．建立如图1所示的平面直角坐标系． 实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，实心球着地点到出手点的水平距离为d米（即掷球成绩）． 男生实心球评分标准如下表所示． d/米 8.4 8.2 7.8 7.6 7.0 6.7 得分 10 9.5 9.0 8.5 7.8 7.6   从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度y与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系，两次试验实心球所达到的最大高度相同． 试验过程 【第一次试验】：实心球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离x/米 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/米 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 n 【第二次试验】：实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图2所示，其中A为第二次试验抛物线的顶点．    解决问题 (1)根据第一次试验数据，直接写出： ________；此次试验中实心球达到的最大高度是________米； (2)求第二次试验的抛物线的解析式； (3)通过计算说明该男生两次投掷试验的最好成绩是多少分？ 17．如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下： 0.1 0.2 0.3 0.8 1.6 2.4 (1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____ (2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 (3)若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？ 18．综合与实践 【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥． 如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线． 综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转，得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡． 【模型建立】 (1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为，副拱所在抛物线为，以它们的对称中心为原点建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为轴，即和关于原点中心对称．通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，则的顶点的坐标为（____），左交点的坐标为（____），抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________； 【模型应用】 (2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于轴对称的副拱和，如图2，和所在抛物线关于点对称，且恰好经过的顶点，请求出左副拱所在抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索，所在直线为，如图3，要求斜拉索和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线至少要与，和各有一个交点，求出的取值范围． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 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