专题06 二次函数几何综合（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何图形综合应用，通过8类分层题型构建从基础计算到动态探究的完整训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段周长问题|5题|结合二次函数性质求线段最值、周长最小|从坐标表示到几何变换，渗透转化思想| |面积问题|5题|动态面积计算与最值探究|以铅垂法、割补法为核心，强化模型观念| |角度问题|5题|等角、特殊角存在性判定|融合三角函数与方程思想，提升推理能力| |特殊三角形/四边形|5题+5题|等腰、直角三角形及特殊四边形存在性|从性质判定到动态分类讨论，培养空间观念| |相似三角形|5题|相似判定与比例线段计算|结合图形性质与代数运算，深化数形结合| |其他问题/综合实践|5题+5题|平移、旋转及实际应用|综合多知识点，提升创新意识与应用能力|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次函数几何综合 内容概览 目常考题型精准突破 题型1二次函数几何综合之线段周长问题（重） 题型2二次函数几何综合之面积问题（重） 题型3二次函数几何综合之角度问题（重） 题型4二次函数几何综合之特殊三角形问题（难） 题型5二次函数几何综合之特殊四边形（难） 题型6二次函数几何综合之相似三角形问题（难） 题型7二次函数儿何综合之其他问题（高频） 题型8二次函数几何综合之综合实践（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 1.【详解】(1)解：抛物线y=axr2+bx+c(a≠0)顶点为A(1,-4a), b =1,a+b+c=-4a' .2a ∴b=-2a:c=-3a」 (2)解：①a=1, :.y=ax2+bx+c=ax2-2ax-3a=x2-2x-3, 直线为：y=2ar+2a=2x+2. 11105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P,0), N6,21+2),M,-21-3, .MN=2-21-3-21-2=2-41-5=16, .t2-4t-5=16或t2-4t-5=-16, ∴t2-4t-21=0或t2-4t+11=0, 当t2-4t-21=0时， 解得：t=7或t=-3, 当t2-4t+11=0时， 此时△=(（-4}2-4×1×11=16-44=-28<0，方程无解. 综上：t=7或t=-3, ②由①同理可得： MN=at"-2at-3a-2at-2a=at"-4at-5a, 当MN=0时， ..at2-4at-5a=a(t-5)(t+1)=0, 解得：4=5,13=-1， ∴.函数的对称轴为直线 5-1=2, 2 如图， MN 当-1<t<2或t>5时，MW随t的增大而增大， 当t<-1或2<t<5时，MW随t的增大而减少， 当a>0时，4a>a, ∴.a<t<4a, ∴点P从点B(a,0)运动到点C(4a,0)的过程中，t增大， 21105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 开口向上的抛物线的解析式为：MN=at2-4at-5a, 开口向下的抛物线的解析式为：MN=-at+4at+5a, 令t=2,MN=-4a+8a+5a=9a, 把MW=9a代入MN=at2-4at-5a, .t2-4t-14=0, 解得：t=2士3v2, .a<t<4a,MN的长存在最大值， [-1<a<2 2<4a<2+32' 1 解得：2 as2+32 4 当a<0时， .4a<t<a<0, 当点P从点B(a,0)运动到点C(4a,0)的过程中，t减少， 此时图象不含端点， .MN不存在最大值， 1 2+3V2 综上：2<a≤ 4 2.【详解】(1)解：：抛物线yr2+br-3(a≠0)与x轴交于点A(-3,0)、点B(1,0), 9a-3b-3=0 a+b-3=0 a=1 解得1b=2 ∴，抛物线的表达式为y=x2+2x-3: (2)解：对于y=x2+2x-3,令x=0,则y=-3 .C(0,-3) .A(-3,0) 设直线AC:y=kx+t, 「-3k+1=0 则1t=-3 3/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [k=-1 解得1t=3 直线AC:y=-x-3 设P(m,m2+2m-3) PM∥y轴， .M(m,-m-3), :MN上y轴， .PM+MN=-m-3-(m2+2m-3+(-m) 整理得，PM+MN=-m2-4m=-(m+2)+4 .-1<0,-3<m<0 .当m=-2时，PM+MN取得最大值为4， 此时点P(-2,-3): (3)解：：A(-3,0),C(0,-3) ..OA=OC=3, .∠AOC=90° ∴.∠0AC=∠0CA=45°」 设点A的对应点为点F,作FT⊥x轴于点T,则△AFT为等腰直角三角形，AT=FT, 则由题意得AF=2√2， .AT2+FT2=AF2 AT-FT-2AF=2 2 41105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.点A向右平移2个单位，向下平移2个单位得到点F, 而抛物线y=x2+2x-3=(x+1)2-4, 则向右平移2个单位，向下平移2个单位得到y=(x+1-2-4-2,y=x2-2x-5 .∠ABK+∠BAC=180° .∠ABK=180°-∠BAC=135°， 过点K作KH⊥x轴于点H ∴.∠KBH=180°-∠ABK=45° ∴.KH=BH 设K(k,2-2k-5),则k2-2k-5=k-1 .k2-2k-5=k-1或k2-2k-5=1-K 解k2-2k-5=k-1得，k=4或k=-1(舍去)； 解k2-2k-5=1-k得，k=3或k=-2(舍去) ∴当k=4时，K(4,3):当k=3时，K(3,-2), 综上：符合条件的点K的坐标为(3，-2)或(4,3) 3.【详解】(1)解：当x=0时，y=-3 点C(0,-3) ,将点C向右平移2个单位长度，得到点D, ∴点D(2,-3) 把点A(-1,0),D(2,-3)代入y=ax2+bx-3得： [a-b-3=0 a=1 4a+2b-3=-3,解得：b=-2: ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3, y=x2-2x-3=(x-102-4, ∴.顶点E的坐标为(1,4)： (2)解：①如图，连接OF,BF, 5/105 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A O B M E C(0,-3),D(2,-3), .CDLy轴，OC=3, ..CF=CO=3, 点F(3,-3),0F=V32+3=3√2， .OM+FM ZOF, ∴.当点O,M,F三点共线时，OM+FM取得最小值，最小值为OF的长，即3V2, 对于y=x2-2x-3, 当y=0时，x=-1,x2=3, ∴点B(3,0), .OB=3,BF=3, ..OB=OC=CF=BF ∴四边形BOCF为菱形， ∴.点M为OF的中点， 33 点M的坐标为22： ②如图，在射线CE上取点G,使CG=OC,连接GN,DE,BG, VA N,'D/ E G 61105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(3,0),C(0,-3), .0B=0C=3, .△BOC为等腰直角三角形， .∠0CB=45°， C(0,-3),E(1,-4,D(2,-3), :CE=V(0-1+(-3+4}=2,DE=V(2-1}+(-3+4}=2,CD=2, .CE=DE,CE2+DE2=CD2, ∴.△CDE为等腰直角三角形， .∠DCE=45°， .∠OCM=∠GCN, .CM=CN,CO=CG :.aCOM≌CGN(SAS). .'.OM=NG, .OM+BN=NG+BN≥BG. .C(0,-3),D(2,-3) .CD1y轴，即∠OCD=90°， .∠BCD=∠0CD-∠0CB=90°-45°=45°， :BC=V0B2+0C2=V32+32=3N2,CG=C0=3, 在RtABCG中，BG=VBC2+CG=V32}+32=35, .OM+BN≥BG=3V3, 即OM+BN的最小值为3V3 4.【详解】(1)解：y=2x+2中， 令x=0,则y=2, .C(02). 令y=0,则0=2x+2, x=-1, .A(-1,0), 7/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :揽物线y=ar+x+ea≠0)经过点A,C, 3 a- .+c=0 C=2 c=2 1 Q=- 2 1 3 ∴抛物线的解析式为y=一 x2+x+2 2 2 令y=0,则0= 1x+2x+2, 3 2 2 .x=-1,或x=4, .B(4,0) y=- +2 层) (2)·A(-1,0),B(4,0),C(0,2). .0A=1,0B=4,0C=2. ..AB=5,AC=V042+0C2=5,BC=OB2+0C2=25, :AC2+BC2=5+20=25=AB2, .∠ACB=90°， .AC⊥BC, 延长BC至点B,使B'C=BC=25,连接BD,交直线y=2x+2于点P,如图， B' PID B 则B',B关于直线y=2x+2对称，此时△BDP的周长最小， 81105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点B'作B'E⊥x轴于点E, :BE⊥x轴，OC⊥x轴， ..OCll B'E .B'C=BC. .OC为△BB'E的中位线， .0E=0B=4,B'E=20C=4, .B'(-4,4) 设直线B'D的解析式为y=x+b, -4k+b=4 2k+625 8 44 37’ b= 11 ∴直线D的解析式为少=x+37 11 737 y=- -x+ 4411 y=2x+2 12 X= 19 2 y=19 侣g) (3)在△ABC内部能截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,G,H在△ABC各边上)，此时矩形在AB 边上的顶点的坐标为分0,20)或[30 ①如图，顶点E,F,G,H在△ABC各边上，设EF与OC交于点K, 91105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 K HO G B 设EF=m, ,四边形EFGH为矩形，KO⊥AB, ∴四边形EHOK,FGOK为矩形，EFI‖AB, ..OK=EH, .·EF∥AB, .△CEFACAB EF CK AB OC' m 2-EH .5 2 EH=10-2m 5 ∴矩形EFGH的面积=EF.EH 10-2m =m.- 5 、2 m2+2m 2 525 =一 m-2+2 5\ ,a=- <0 5 5 5 ∴当m=2时，矩形EFGH的面积取得最大值为2· AEH=10-2m-, 0C EH OC,EH -7 H为OA的中点， 10/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理，点G为OB的中点， G(2,0). ②如图，顶点E,F,G,H在△ABC各边上，H与点C重合， H G O F B 设GF=m, :四边形EFGH为矩形， .FGIIAC, .△BFG∽△BAC, FG BG AC-BC m_2√5-GH 5 25, .GH=2V5-2m, ∴矩形EFGH的面积=FG.GH =m(25-2m) 2m5+ 气(2 .m=-2<0, 当m 2时，矩形EFGH的面积取得最大值为2· .GH=25-2m=V5, ∴.点G为BC的中点， .FGIIAC ∴FG为△ABC的中位线， 5 ..OF=OB-FB=3 2 11/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上，在△ABC内部能截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,G,H在△ABC各边上)，此时矩形在AB边 上的顶点的坐标为20，亿0或0】 5.【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+c与×轴交于点A(-1,0)和点B,其顶点坐标为(1,4)， ∴.设抛物线解析式为y=a(x-1)+4, 将点A(-1,0)代入得：0=a(-1-1)+4, 解得a=-l, ∴抛物线的解析式为y=-(x-1)+4=-x2+2x+3: (2)解：.y=-x2+2x+3 当x=0时，y=3, .C(0,3), 当y=0时，0=-x2+2x+3, 解得X=-1,x2=3, .B(3,0), 设直线BC的解析式为y=c+b, 3k+b=0 将B3,0),C(0,3)代入得{2=3， [k=-1 解得16=3 .直线BC的解析式为y=-x+3 设P(x,-x2+2x+3),则M(,-x+3), We+2-+3r- 二次项系数-1<0， 3 当x=2时，PM取得最大值为4 315 此时点P的坐标为24 12/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PN= 4, ∴.MN=PW-PM=15_9_3 4429 (3)解：由(2)得，PM=-2+2x+3-(x+3)=-x+3x,MN=-x+3, S.PMB= PM·BN PM-x2+3x :.S 2 2 MN-BN MN -x+3, ,直线BC把△BPN的面积分成2：3两部分， SB=-+3x_2 当S 一x+33时， 解得5=3《合去)，与子， 2 经检验x=3是原方程的解，且符合题意， (235) ·点P的坐标为39 Sg=-X+3x_3 当S -x+32’ 解得x=3(舍去)，名=2 3 经检验x=2是原方程的解，且符合题意， 315 、点P的坐标为24 235)(315Y 综上所述，点P的坐标为39或24 6.【详解】(1)解：将 0co代入y=+e. [_1×4+4b+c=0 c=1 b、3 解得 4 c=1 揽物线的表达式为=+子+1。 13/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：·B(4,0).C(0,1) 0B=4, 设BC所在直线表达式为y=c+b, 「4k+b=0 b=1 1 k=- 4 b=1 ÷BC所在直线表达式为y=一4x+l, 如图，过点P作PF⊥AB于F,交BC于E, 设点P+子+ E6,-4+D 4 sw+1j小4=-2+2， 当t=2时，△PBC的面积的最大值为2， P2》 (3)解：由题意得A(1,0) 1 3 ,y= 4 4 3 “平移方式为将抛物线y=-4+x+1向左平移1个单位，向下平移1个单位， 14/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(4,0),点B的对应点为F, .F(4-1,0-1),即F(3,-) 设直线BF的解析式为y=mx+n, 0=4m+n m=1 ·-1=3m+n,解得n=-4' ∴直线BF的表达式为y=x-4, :直线y=x在一三象限的角平分线上，与×轴的夹角为45°， ∴.直线BF与直线y=x与x轴所成的夹角相等， ∴∠NBG=45°， .∠HBN=180°-45°=135°， 情况1： 如图，取点H(山，0)，当点N在x轴上方时， A O BG :A(-1,0),C(0,1) ..OA=OC=OH =1, .AH⊥OC, .∠CA0=∠CH0=45, .∠CHB=135°=∠HBN,∠ACH=90°， .∠BCH=LACB-∠ACH=LACB-90°， .∠ANB=∠ACB-90°， .∠BCH=∠ANB ∴∠CBO=∠BAN, ·tan∠CBO=tan∠BAN=OC-=I OB 4' 15/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,点N在直线BF上， 设N(n,n-4), n-41 n-(-1)4 解得0子 得) :A(-1,0), 1.1 “可得直线4N的表达式为y=4x+4 4 =+ 将1 1和 1 11联立得， x2+x+ 、 ，11 y=一x+ 44 4 2 4+4x+2 [x=1 解得 [x=-1(舍去)， y=0 情况2： 如图，当点N在x轴下方时， 过点C作CL⊥BC交直线BF于点L,CL与x轴交点K,过点A作AN∥CL交直线BF于点N, B 设直线AC的解析式为y=sx+t 16/105 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1=t s=1 0=-5+t解得1=1 ∴直线AC的解析式为y=x+1, .kAc=kBF=1, .AC‖BF, ∴.∠ACL=∠CLB,∠ACL=∠ACB-90°， .∠ANB=∠ACB-90°. ∴.∠ANB=∠ACL, 此时直线AN与抛物线y的交点即为所求的M, .∠CKO+∠KCO=∠KCO+LOCB=∠OCB+∠CBO=90°， .∠CBO=∠KCO, 在RtaCBO0中，tan∠CB0=OC={ OB 4 ∴.tan∠KC0=tan∠CBo=} 4 .tan∠Kco= OK 1 OK 1 004,即1=4 0x即40 设直线CL的解析式为y=cx+d, 1=d 将点C,K分别代入得： 0=- 4c+d, 解得： C=4 d=1 ∴.直线CL的解析式为y=4x+1, :AN∥CL, ∴.kMN=kcL=4, 设直线AN的解析式为y=4x+e, 将点A(-1,0)代入，e=4, ∴直线AN的解析式为y=4x+4, y=4x+4 将 ,11联立得， 1 11 4x+4y=-x2+x 4 42 =-4+4x+2 17/105 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=-14 x=-1 解得1y=52’ y=0 (舍去)， .M(-14,-52), 1 综上所述，点M的坐标为2或(-14，-52) 7.【详解】(1)解：抛物线的对称轴是直线x=1, b 2x(可，解得6=2 =1 把B(3,0)代入y=-x2+2x+c, 可得0=-32+2×3+c,解得c=3, ∴.y=-x2+2x+3 (2)解：令0=-x2+2x+3, 解得=-1，x2=3, A(-1,0), 令x=0,可得y=3, C(0,3), 设直线BC的解析式为y=c+b, 把B(3,0),C(0,3)代入y=+b, [0=3k+b 可得{3=b [k=1 解得1b=3’ 所以直线BC的解析式为y=-x+3, 如图，过点P作PO‖y轴，交BC于点Q, B 0(x。-x_2Pe SBCP= 2 18/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当PO最大时，△BCP的面积取得最大值， 设点P(,-+2+3),则2(，-1+3)， 0f23-(t引4-+} 当1=2时，ABCP的面积取得最大值， 此时P得). 5 如图，将DP向下平移2个单位到EH'使点D与点E重合，作H关于对称轴直线x=1的对称点G,连接 EG,GB .DP+BE=EG+BE≥BG 展据平移可得（母）】 银飘对将可得©公) .BG= 5V5 即BE+PD的最小值为4， (3)解：OC=OB=3, ∠CB0=45° 将抛物线沿射线CB的方向平移3√2个单位长度得到抛物线y',即将抛物线向下平移3个单位，向右平移3 个单位， y=-(x-3}+2(x-3)+3-3=-r2+8x-15,M 如图，过点M作MW上y轴，交于点J,设AW与y轴交于点， 19/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则). C=339 Mw=9 44 :tan∠CMW=2, 1 :∠NAB+∠OCM=90°， .∠NAB=∠CMJ 即tan∠NMAB 2, :0g=40= 1 2, 当AN在x轴上方时， 设直线AW的解析式为y=kx+b, 1 把41,0)，02)代入. 0=-k1+b 可得 解得 1 -2 11 所以直线4N的解析式为y=2x+2 11 列方程2x+2-r+8x-15, 20/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得-2x2+15x-31=0, △=152-4×(-2)×(-31)=-23<0，无解： 当AN在，轴下方时， a-2). 设直线AN的解析式为y=k2x+b, 11 同理可得直线4N的解析式为y=一2一2， 11 列方程2x =-x2+8x-15 2 整理得-2x2+17x-29=0, 解得；=17+57 .17-57 4 X2= 4 ..N 4， 8.【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+c过点B(4,0),C(0,4),对称轴是直线x=1, 16a+4b+c=0 了c=4 、b1 2a /、1 2 解得b=1 c=4 1 . x2+x+4: (2)解：设直线BC的解析式为y=x+4,把B(4,0)代入得， 0=4k+4, 解得k=-1」 .y=-x+4 y=4x4=-+ 21/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ) 当x=1时，y=-1+4=3」 .E(1,3) 80e号9 2 .四边形DENP为平行四边形， :.NP-DE-2 :过点M作x轴的垂线交BC于点N,交抛物线于点P, 设P1+4,N-4+4: Pw=+14-(+4=+2 2 解得4=1,4-3 ∴t=1不符合题意，舍去， .t=3: (3)解：由题意，得00=0.5t,则B0=4+0.5t, 由2)得，PN=r+2 2 ∴.S四边形PcOB=ScOB+ScPB B0-0C+)pN.0B 1 40504+5+24 -1<0, 抛物线开口向下， 51 “当=2时，四边形PCQB的面积最大，最大面积为4： 22/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.【详解】(1)解：将A(-2,5)和C(-l,0)代入y=x2+bx+c, [4-2b+c=5 得1-b+c=0, [b=-2 解得1c=-3' 二次函数的表达式为y=x2-2x-3: (2)解：令y=0得，x2-2x-3=0, 解得：=-1，x=3, .B(3,0), 把x=0代入y=x2-2x-3中，得：y=-3, D(0-3), ∴点B向左平移3个单位，向下平移3个单位得到点D, :A(-2,5) 可得直线AB的表达式为y=-x+3, 平移线段BD至EF, 设点E(cx-2x-3列，则点E向左平移3个单位，向下平移3个单位得到点F(-3x-2x-6), 将点F代入y=-x+3,得x2-2x-6=(x-3)+3 整理得，x2-x-12=0. 解得=-3（舍去），x=4, .E(4,5): (3)解：P(m,O),PM⊥x轴，交抛物线于点M, .Mm,m2-2m-3） 23/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :PM=-m2+2m+3=-(m+l)(m-3),BP=3-m,CP=m-(-l)=m+1, :MP∥ON, .△BPM∽ABON .PM_BPa-(m+1)(m-3)3-m ONOB,即 ON 3, 解得ON=3(m+1), ON.Op-3m(+)-CP.PM--(m)(-3) 2 2 .S2=2S, s-（m+1旷(m-3）-2x3mm+ 2 2 整理得，m2+4m-3=0, 解得m=-2-√7（舍去），m,=V7-2, .m的值是v7-2. 10.【详解】(1)解：抛物线y=a2+bx+4经过点A(-1,0),B(4,0), a-b+4=0 ·16a+4b+4=0' a=-1 解得b=3’ .y=-x2+3x+4; (2)解：当x=0时，y=4, .C(0,4), 设直线BC的解析式为y=kx+b, 4k+b=0 则16=4 ∫k=-1 解得6=4’ ∴直线BC的解析式为y=-x+4, ,点P在第一象限，横坐标为m,过点P作x轴的垂线，垂足为N,交BC于点M,点Q的横坐标为 3 m 29 24/105 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.P(m,-m2+3m+4)(0<m<4),N(m,0）,M(m,-m+4),Q的纵坐标为 (m+a}4=m+6则0mm+6m月 M 或 B B -1O N 4 N4主 w=+4PM=m2+洲+4-(m*4到=m+4m:-=n四》 ….S=S+S2 号wv+PM(G-) +纱m+m+加)月 =-m2+5m 4 -3(m-2+5, 4 5 :4 0, .当m=2时，S有最大值， 此时-m2+3m+4=-2+3×2+4=6, P(2,6): 2 (3)解：：抛物线y=-x2+3x+4= 4沿射线BC方向平移，平移后，新抛物线y过点C: ,相当于点C与点B是平移前后的对应点， 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线)， 小新猫物线的对臀纳为宜线=(0 25/105 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :FO平分∠CFE, ∴.∠EFO=∠CFO, EF∥y轴， .∠EFO=∠COF, ∴.∠CFO=LCOF, ..CF=CO, C(0,4),0(0,0) 0a-成-4， 解得n=8±V39 2’ 58+V39 58-39 :.的坐标为22或22 VA 或 F B [_1x4+4b+c=0 11.【详解】(1)解：将 40y'c0代入y=++e得 代入 4 c=1 3 解得 c=1 抛物线的表达式为y=-+x+1. 4 4 (2)解：B(4,0).C(0,1) 设BC所在直线表达式为y=Cx+bB, 26/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「4k+b=0 b=1 b=1 1 ·BC所在直线表达式为y=-4x+l, :P是线段BC上方抛物线上的一动点，PD⊥BC, 设过点P与BC平行的直线的表达式为y=一4x+b, .当直线y= x+b,与抛物线y=一4x X+3x+1只有一个交点时，pD的长度取得最大值， 4 1 12,3 联立直线y=一4x+6与抛物线y=一4X+4x+1, 1 y=- 4+ 得： 1 23 y=- 4 4术+久 1 +子1 3 4 整理得，x2-4x+4b,-4=0 :.△=(-4)2-4×1×(4b2-4)=0 解得b=2, 代入x2-4x+4b2-4=0得，x2-4x+4=0 解得X=2=2, 将x=2代入y= 4+2= 2+2=3 1 4 此时P2： 如图，在x轴下方作射线AG,使∠BAG=45°，过点E作EF⊥AG于点F,连接PF, 27/105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF-E-sin LEAF=E.sin45 AE, 2 :PE+2AE=PE+EF≥Pr, 点P,E,F三点共线，且PFL4C时，PE+E取得最小值，即pF的长度，如图，过点 PI⊥x轴于点， y个 C D A、OE 6 ∠EAF=45°，PF⊥AG, ∴.△AEF是等腰直角三角形，∠PEI=∠AEF=45°， PI⊥x轴， ∴.△PIE是等腰直角三角形， El=PI=3 ’ 0E=01-=2-,E-m+- 2 1,3 ,抛物线y=-x+二x+1, 4 4 “当y=0时，0=- + 2x+1, 41 解得=1，x2=4 .A(-1,0) .AE=AO+OE=1+ 13 22’ 28/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△AEF是等腰直角三角形， .AF =EF,AF2+EF2=AE2, 2EF2= .BF =3 4, PF=PE+EF=32+3295 2 44 9V2 PE+2AE的最小值为4 2 M的坐标为兮)支1452 过程如下： ,y= 日产+子1=一-岛+。将能物线沿别线c(方的平移5个单位K度得到脆物线y 1 4 “平移方武为将能物线=名+子41向正半移1个年，向下平移1个单位。 判治8+好+ :B(4,0),点B的对应点为， .F(4-1,0-1),即F(3,-1), 设直线BF的解析式为y=mr+n, 0=4m+n m=1 ·-1=3m+n’解得n=-4: ∴直线BF的表达式为y=x-4 :直线'=x在一三象限的角平分线上，与×轴的夹角为45°， ,直线BF与直线=与x轴所成的夹角相等， ∠NBG=45°， .∠HBN=180°-45°=135°， 情况1： 如图，取点H(L,O),当点N在x轴上方时， 29/105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N ®G F :A(-1,0),C(0,1) ..OA=OC=OH=1, .AH⊥OC, .∠CAO=∠CH0=45°， ∴.∠CHB=135°=∠HBN,∠ACH=90°， ∴∠BCH=∠ACB-∠ACH=∠ACB-90°， .∠ANB=∠ACB-90°， .∠BCH=∠ANB, .∠CBO=∠BAW. .tan∠CBO=tan∠BAN= OC 1 OB 4' ,点N在直线BF上， 设N(n,n-4). n-41 …n-(-1)4, 17 解得n= 3 侣) A(-1,0), 1,1 ∴可得直线4N的表达式为y=4x+4, 11 y=一x+ 4 4 +少+4联立 将11和， 119 4+4+2 y=-1x2+ x+ 442 x=1 解得 =1,x=-1(舍去)， 2y=0 30/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 情况2： 如图，当点N在x轴下方时， 过点C作CL⊥BC交直线BF于点L,CL与x轴交点K,过点A作AW/CL交直线BF于点N, 设直线AC的解析式为y=sx+t, [1=t s=1 0=-3+t解得=1 ∴.直线AC的解析式为y=x+1, kAc=kBF =1, .AC lI BF, ∴.∠ACL=∠CLB,∠ACL=∠ACB-90°， .∠ANB=∠ACB-90°， .∠ANB=∠ACL, 此时直线AN与抛物线y的交点即为所求的M, ,∠CKO+∠KCO=∠KCO+∠OCB=∠OCB+∠CBO=90°， ∴.∠CBO=∠KCO, 在RtaCBO中，an∠CB0=OC=1 OB 4 ·.tan∠KCO=tan∠CBo= 4 tan∠Kco=OK_1 OK 1 0c4,即1=4 设直线CL的解析式为y=cx+d, 31/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1=d 将点C,K分别代入得： 0=-c+4 解得： c=4 d=1 ∴直线CL的解析式为y=4x+1, AN∥CL, ∴.kw=kc=4, 设直线AW的解析式为y=4r+e, 将点A(-l,0)代入，e=4, ∴直线AW的解析式为y=4x+4, y=4x+4 将 11 ,和y=一x2+1x+1联立得， +4x+2 12+x+ y=- 4 442 x=-14 x=-1 解得y=-52,y=0（舍去)， .M(-14,-52), 综上所述， 点M的坐标为2或(-14，-52) 12.【详解】(1)解：将A(-2,0),B(4,0)代入抛物线的解析式y=a2+bx+4,得 4a-2b+4=0,解得 a=- 2 16a+4b+4=0 b=1 1 .抛物线的解析式为y=-。x2+x+4, 2 1 (2)解：设点PP2D+p+4 当x=0时，y=- 2+x+4=4 2 .C(0,4) 设直线BC的解析式为y=a+4, B(4,0) .4k+4=0,则k=-1, ∴直线BC的解析式为y=-x+4, 32/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PD1x轴，.E(p,-p+4) PE-p4-(-p4-2p =p-2+20<p54. 2c0, ∴当卫=2时，PE的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为(2,4)： (3)解：对于y=+x+4,当x=0时，y=4:则c0,4, 2 :A(-2,0),5=√P+2, :“将抛物线y=-2+x+4沿射线4C方向平移、5个单位长度，相当于将抛物线y=一 x2+x+4先向右 平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线， “新抛物线的解折式为=号-l+(-+42=方+2x+号 29 分两种情况： 当点Q在×轴上方时，如图， 设直线AC的解析式为y=kx+4 将A(-2,0)代入，得0=-2k+4,解得k=2, ∴.直线AC的解析式为y=2x+4, :∠CBQ=∠ACB .BQ∥AC. ∴设直线BQ的解析式为y=2x+b, 将B(4,0)代入，得0=8+6，解得b=-8, 33/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线BO的解析式为y=2x-8, y=2x-8 联立方程组 y=-x+2x+ 9’解得x=5或x=-5(舍去)， 2 2 y=2y=-18 .2(5,2) 当点Q在x轴下方时，如图，过Q作QD1x轴， B 设g,9+24+ 9 则D(g,0) .0B=OC=4,OA=2, ∴.∠OCB=LOBC,又∠CBQ=∠ACB, .∠DBQ=∠ACO ·tan∠DB0=tan∠ACO=OA=！' 0C2 71 六tan∠DBQ= DO 29+2q+21, 整理得 BD 4-q 2-30-13=0 3-V63+√6 解得9= 2或9=」 2 (舍去) 1 3-V61,95+√6i +2× 22 4 g3-65+a 2，- 4 3-V615+V61 综上，满足条件的Q的坐标为(5,2)或2,4厂月 (4)解：如图，作MH1y轴，MG⊥x轴 34/105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(2)知，P(2,4),E(2,2),直线BC的解析式为y=-x+4, .∠MOM'=90° ∴.∠MOH+∠M'OG=90°，且∠MOH+∠OMH=90°， .∠OMH=∠MOG [∠OHM=∠MG0=90° 在 和 中， ∠OMH=∠M'OG △OMH△MOG OM=OM' .△OMH≌aMOG(AAS). ..OH =M'G,MH =OG 设M(m-m+4),则M'(-m+4,-m), N是OM'的中点， ∴.N -m+4-m 2,2 E(2,2),0(0,0), ∴.△ODE为等腰直角三角形， ∴.∠E0D=45°， 设直线OE的解析式为y=kx,代入E(2,2),得k2=1, ∴.直线OE的解析式为y=x, NF⊥OE于F, 设F(,),且NF与x轴所形成的锐角为45°， 如图，分别过点N、点F作x轴、y轴的平行线，设交点为K, 35/105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ND M 则∠FNK=45°，∠NFK=∠45° .△NKF是等腰直角三角形， 之K=FK:即x11,可得3中410 2 .m=2-2t,则N(t+1,t-1), ·AW=V+1+22+(t-1-0=Vt+3+t-1, 如图，设G(-3,1), G .AN=FG AN+PF=FG+PF=Vt+3)}+(t-)2+Vt-2)}+(t-4)2, 问题转化为求直线OE上的点F到点G(-3,)和点P(2,4)的距离和的最小值， 设点G关于直线y=x的对称点为G,则G(1,-3), 则AN+PF的最小值为GP的长度， GP=V(2-1)2+(4+3)}=V50=52, .AN+PF的最小值为5V2 13.【详解】(1)解：：抛物线y=a(x+12)(x-6)(a≠0)与y轴交于B(0,6N3) 36/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .65=a×(0+12)×(0-6), 5 解得a= 12’ c10得r .:y=_V3 2x+65, 12 2x+6V5: (2)解：①：抛物线y=-5,5: 12 之x+6、5与：轴负半鞋交于点A 5 对称轴为直线x=- 2=-3 A(-12,0) ×2 12 :原点O,点B关于抛物线对称轴x=-3对称的点分别记为点C,点D, :C(-6,0,D(6,65), .0C=6,AC=-6-(-12)=6,CD=6N3-0=6W3. tn∠04D=CD-65-5, AC 6 ∴∠OAD=60°， AE平分∠OAD, :∠CAB=号∠0AD=30°， 2 :tan∠C4B=Cg-tan30°= AC 3 .CE 63 解得CE=2V3, :E(6,25): ②如图2，过点H作HM⊥CD于M,则MH∥CG, 37/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D H G 图2 ME=-55+6N5-25=-5.5+45. 12 2 12 2 .MH∥CG, ∴.aDMH∽aDCG, 5 ∴.DM=MH, 即12 2 hh+6 DC CG 63 CG 解翔0c只. ,∠DEH=∠DEF,∠DEF=∠CEG, .∠DEH=∠CEG」 .tan∠DEH=tan∠CEG, 72 h+6 h 六MH_CG,即5r6h+4525, ME CE 12 2 解得h=3W5-3或h=-35-3(不合题意，舍去)， ∴点H的横坐标为3V5-3. 14.【详解】(1)解：：抛物线y=ar2+c(a≠0)经过点A(-2,0)、C(0,-4)两点， ∴.4a+c=0,c=-4, .a=1, y=x2-4, ·抛物线关于y轴对称，A(-2,0) 38/105 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(2,0) (2)解：存在，P(3,5)或PL,-3): 理由：假设存在点P，,设其横坐标为t,连接AP,过P点作PD⊥x轴于点D, .∠PAB=45° .∠DPA=90°-45°=45°， .PD=DA=1+2. 如图，当P点在×轴上方时， .D(t,t+2). 代入y=x2-4中得1+2=2-4， 解得t=3或t=-2(与A点重合，舍去)， t+2=5, .P(3,5)」 如图，当P点在×轴下方时， D D(6,-t-2), 代入y=x2-4中得-t-2=2-4, 解得t=1或t=-2(与A点重合，舍去)， ∴.-t-2=-3, .P(1,-3) (3)解：将抛物线y=x2-4沿×轴向左平移n(n>0)个单位长度，平移后的抛物线解析式为 39/105 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=(x+n)}-4」 令x+2=(x+n}-4, .x2+(2n-1)x+n2-6=0. :平移后的抛物线与直线y=x+2相切， △=(2n-1)-4(n2-6)=4n+25=0, 2 4 15.【详解】(1)解：：抛物线y=a2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(-2,0)、B(,0)两点， 「4a-2b+2=0 a=-1 a+b+2=0,解得：6=-1 ∴.抛物线的表达式为y=-x2-x+2: (2)解：由(1)可知：抛物线的表达式为y=-x2-x+2, ∴令x=0时，则有y=2,即C(0,2), 连接0D,设D(,--1+2),其中-2<1<0， D A B ○ A(-2,0),C(0,2), .OA=0C=2, 5w010c=25m04%=f-1+2,3m0ckw4 .SAc=S.40p+Scon-S40c=-P-1+2-1-2=-2-2t=-(t+1)}2+1, .当t=-1时，△ACD的面积最大，最大值为1： (3)解：存在点Q,使得∠ACQ=2∠OCB, .A(-2,0),C(0,2),B(1,0), .0A=0C=2,0B=1, 40/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC=VOB2+0C2=5,∠AC0=45°， 过点O作OE∥CO,交AC于点E,过点E作EG⊥OC,取OA的中点F,连接CF,过点F作FH⊥BC, 过点O作OP⊥AC,如图所示： D ..OF= 20A=1=OB,∠AC0=∠0BC,OP=0C.sin45°=V2=Cp .OC⊥BF, :.CF=BC=5, ∴.∠BCO=∠FCO :.∠BCF=2∠BCO=∠ACQ=∠OEC. S.BCF= BoC-c-FH .FH=2x2_4V5 √55， ·sin∠FCB=FH_4 FC 5, ·sin∠OEC=OP4 OE5· :0E=52 4 PE=OE2 -Op232 4 7N2 ∴.CE=CP+PE= 4 :EG=CG=CE-sin45°=7 4 0G=0C-cG= 4 41/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 设o加的解析式为y=k,则有4k=4 4 .k=- 1 7 1 ·OE的解析式为y= 7, .OE∥CQ, “设直线CQ的解析式为y=7x+m,把点C(0,2)代入得：m=2: 7 ∴直线CQ的解析式为y=7x+2, ts、6 联立 7+2 y= 7 ,解得： 104或x=0(不符合题意，舍去)， y=-x2-x+2 49 y=2 6104 749广 16. 【详解】(1)解：根据题意得，m+2≠0且m2-2=2, 解得m=2, 所以m的值为2： (2)解：，m的值为2， y=(m+2)x2+m+3=4x2+5, 二次函数的顶点坐标为(0,5)， .4>0, ∴当x=0时，此二次函数有最小值5，当x<0时，y随x的增大而减小： (3)解：：y=4x2+5,顶点坐标为P(0,5), '.将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后新抛物线的顶点坐标为(-3,4)，对称轴为直线x=-3, 设0(-3,9)， 则0P2=52=25,P02=32+(g-5)2,002-32+g2. 42/105 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①当OP=PO时， 32+(g-5)2=25,解得9=1或9， 、.点0的坐标为(-3，)或(-3,9) ②当00=P№时， 3+g=+g-5,解得9= “点0的坐标为3引： ③当OP=O0时， 32+92=25,解得9=4或-4， ∴点9的坐标为(-3,4)或(-3,4)」 综上，点0的坐标为3或393)或34成(3 17.【详解】(1)解：将C(0,2)代入y=a(x+1)x-4)得， 2=-4a 解得：a=-2 y2+-小=+号+2 2 (2)解：y=2 +x+2 3 当x=0时，y=2, .C(0,2),则0C=2, 当y=0时，+100-4)=0 解得：=-1,3=4， .A(-1,0),B(4,0),则OB=4 ,点P的横坐标为t,过点P作x轴的垂线，交BC于点M, 4w=1w=++2=+收-到 21 .∠OCB+∠ABC=90°，∠APM+∠ABC=90° ∴.∠OCB=∠APM 43/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :ian∠4PM=tam∠OCB=OB=t-2 OC 2 t+1 =2 ∴an∠APM=4M=2,即_ PM 2+100-4 20+10-4)=26+106-4)=2 解得：t=3 .P(3,2) (3)解：①略 ②如图，作DH⊥DP,且使DH=BP,连接FH, E :∠BPD+∠BDP=90°∠HDF+∠BDP=90° ∠BPD=∠HDF, .PE=DF,DH=BP, ∴△BPE≌△HDF(SAS) ∴BE=FH,DH=PB .BE+PF=FH+PF≥PH, P,F,H共线时，BE+PF的值最小， 又PD2=50,DH2=PB2=18 .PH=√PD2+DH=V50+18=217. 即BE+PF的最小值为2V17 18.【详解】(1)解：：抛物线y=a(-2)+35的顶点为C, ∴点C的坐标为2,3V3): :直线y=V5x+b经过点C, .33=23+b, .b=3, 44/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·直线AC的解析式为y=3x+V3, 在y=V3x+V5中，当y=0时，x=-1, ∴点A的坐标为(1,0)， 把点A的坐标代入y=a(x-2)+35得0=a(-1-2)}+35, 解得a-V 3 抛物线的解析武为y=-(-2少+3V5, 2)解：在=5 -25+35中.当，=0时.5-2+35-0， 解得x=5或x=-1, .B(5,0) 由(1)得A(-1,0),C(2,3V5), 4AB=5-()=6,4C=-1-2+(0-35=6,BC=V5-2y+0-33=6, .AB=AC=BC, .△ABC是等边三角形， .∠ABC=60°： 如图所示，延长DM,BE交于点G, A G M B :MD⊥x轴，ME⊥BC, ∴.∠BDG=∠MEG=90°， .∠BGD=90°-60°=30°： 45/105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .点M的横坐标为m, 8D5-mDM=-5m-2+3w5 在R△BDG中，DG=日 BD 5-m=55-V3m, tan∠BGD tan30° ∴.MG=DG-MD =5-im9a-2a 3227√3m+10√3 一m+ 3 3 在RtEMG中，ME=MG-sim∠wGE=5m_5n+ m+ 6 6 3 ∴.MD+ME -a-2w59-2e59 6 6m+ 3 等2m245n s、 3m、 5+35+5m75m+56 -m+ 3 6 6 3 m2+3m+105 -m+ 6 6 3 .y=-V3 m+ 6 50. 6 ,27V5 当m=2时，y有最大值，最大值为8： (3)解：设点P的坐标为(0，p), :A(-1,0),C(2,35) .AC2=(-1-2y+(0-35=36,4P2=(-1-0+(0-p2=p2+1, Cp2=(2-0+35-p}=p2-63p+31, 当点A为直角顶点时，则由勾股定理得AP2+AC2=CP2, .p2+1+36=p2-6W3p+31, 46/105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得p=- 5 3， ∴此时点P的坐标为 当点C为直角顶点时，则由勾股定理得AC2+CP=AP2, .36+p2-6N3p+31=p2+1, 115 解得p= 3 此时点P的坐标为 0 11w3 3 当点P为直角顶点时，则由勾股定理得AP+CP=AC, .p2+1+p2-6W3p+31=36」 解得p=3V5+V 或p35,国 2 3W3+√35 ∴此时点P的坐标为 0 033-v35 2 或 2 综上所述，点P的坐标为 0、3 2 2 19.【详解】(1)解：~P(4,-2)是抛物线y=ar2-4x+C的对称轴上一点， ∴抛物线的对称轴为直线x=4, 4=4, 2a 1 解得a=2, :抛物线的解折式为-4+c, 将点(0,2)代入y= -4r, c=2, ,抛物线的解析式为y= -+2 (2)解：设对称轴与x轴的交点为G,如图1，过点E作EH⊥PG交于H点， 47/105 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 ∠FPE=90 .APGFAEHP, PE =2PF, .PH=2GF,HE=2PG, 设-+2F60 解得t=8或t=0(舍)，s=2或S=6(舍)， E8,2).F(2,0) (3)解：实数m,使得Q1PB=BAP总成立，理由如下： 如图2，过点A作AS11交于S点，过点B作BT11交于T点，设对称轴与的交点为H, B A OM S H 图2 OA·PB=OB·AP A0BO ∴，APBP, :AS∥BT∥PH, XA-X0 X8-xo .'Xp-xA XB-Xp 48/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线AB的解析式为y=k(x-4)-2, 当x-4到-2--4+2时。，+=8+2，=+8 2 M(0,m),1∥x轴， 04+m+2） km, 七44、m+2 k x。-4-m+2 k一， .4-x4 X8-4 解得m=-10 3 20筛解①解：已知抛物线y)2+hx2的对称轴为直线2 b3 ·2x2,得6=-3 2 2 心抛物线表达式为：y=)r3 2t-2: pt (2解：令y=0解方程 2-2-2=0,得5=-1,5=4， .A(-1,0,B(4,0) 令x=0,得y=-2,即C(0,-2), AC2=(-1)+22=5,BC2=42+2=20,AB2=52=25, .'AC2+BC2=AB2, .∠ACB=90°： (3)解：如图，设PN交BC于点E,PM交AC于点D,过P点作y轴的平行线交BC于点F,交AC于 点G, 49/105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA ∴.∠DGP=∠ACO,∠PFE=∠BCO, A(-1,0),B(4,0),C(0,-2),∠40C=∠B0C=90°， ∴.sin∠ACO= A0 )1V5 =sin∠DGP,sin∠OCB= OB 425 VC02+A02V55 VC02+0B2V205 =sin∠PFE, 由对称性质可知：点P关于AC的对称点为M,点P关于BC的对称点为N, PM⊥AC,PN⊥BC,PD=MDPM,PE=NE=Pw, 2 21 .∠ACB=∠DCF=90° ∴四边形PECD为矩形， ∴.∠MPN=90°，∠PEC=∠PEF=90°，∠PDC=∠PDG=90°， :aPMN为等腰直角三角形， ∴.PM=PN, .'PD=PE, 设直线AC的解析式为yAc=kAcx+bAc, ,∫k4c×(-l)+bac=0 ∫kAc=-2 “k,cx0+bc=-2,解得1bc=-2” .y4c=-2x-2 设直线BC的解析式为yc=kacx+bac, 1 kc×4+bc=0 解得 2 kaC×0+bac=-2 (bc=-2 1 .y8c=x-2 2 50/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .点P在抛物线上，横坐标为m, 点p半标为mm-m-2.点p坐标为mm-2点G坐标为m2m-2 r-6e--2g-2jm-2,obn-2-(2-25e+ 5“2 2 3 7 整理得， }m2-9m 2m=0,乏m 2m=0 > ·m=9或m=3或m=0(不符合题意，舍去)， 7 ·m的取值为9或3： (4)解：：∠DCE=90°，点P关于AC、BC的对称点M、N, .∠MCN=90°×2=180°，PMI‖BC,PVI‖AC, M、C、N三点共线， ∴.由图可知抛物线在△PMW内部的部分只有在点C到点P的抛物线段， 如图，当P点移动到对称轴右侧，PM经过顶点且向上平移时，抛物线在△PMN内部（不含边界）的部分， y随×增大而减小， 3225 2x-2-8, 51/105 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 “顶点坐标为28 PMIIBC,Ysc=x-2, 2 ∴设直线PM的解析式为pw=2x+bpw, 82×+hu,解得pw-到 2513 89 131 .You=x- 8 123 -2= 131 ∴2x 21 2x-8, 53 x=2,6=2 (舍去)， 5 .m= 2, 点P在第四象限， 5 ·当2≤m<4时，抛物线在APMN内部（不含边界）的部分，V随x增大而减小， 如图，当P点移动到对称轴左侧时，抛物线在△PMN内部（不含边界）的部分，Y随x增大而减小， .3 :抛物线的对称轴为直线x=2,点P在第四象限， 3 :当0<m≤2时，抛物线在aPMN内部（不含边界）的部分，y随x增大而减小， 35 ·m的取值范围为0<m≤3或)≤m<4。 21.【详解】(1)解：由题意，点A(3,1)和(0，-2)在抛物线y=x2+bx+c上， 52/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [9+3b+c=1 b=-2 可得0+0+c=-2:解得1c=-2, .该抛物线对应的函数解析式为y=x2-2x-2」 (2)解：~点P在该抛物线上，其横坐标为m, .P(m,m2-2m-2）, 过点P分别向y轴作垂线，垂足为点Q, 则e(0,m2-2m-2). :Q在抛物线上， ∴.m2-2m-2=02-2.0-2=-2. 可得m2-2m=0,解得m=0或m=2, P不在坐标轴上， .m=2」 (3)解：如图， y个 FO E X B D 抛物线y=x2-2x-2=(x-1)2-3,顶点D(1,-3), 由(2)得B(0,-2),C(2,-2), 令y=(c-)2-3=0,解得x=±3+1， .E(5+1,0,F(-5+1,0, 当1<m<2时，如图： 53/105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 四边形OQPM内部（包括边界）的抛物线上的最高点的纵坐标为-2，最低点的纵坐标为m2-2m-2, √ -2-(m-2m-2)-2解得m= +1或m=-2 2 2 1(舍)， +1 2 当2<m<V5+1时，四边形OQPM内部（包括边界）与抛物线仅有一个交点，不符合题意： 当m>V3+1时，如图： D EM x B D 四边形OQPM内部（包括边界）的抛物线上的最高点的纵坐标为m2-2m-2,最低点的纵坐标为0， m2-2m-2-0= 2,解得m= 2 +1或m= 4+1(含)， 2 m=4 2+1, 综上，m=2 +1或m= 14 2 +1. (4)解：由腮意，O(0,0),P(m,m2-2m-2,M(m,0),(0,m2-2m-2） 抛物线顶点D(1,-3)在对角线OP或QM上. 设对角线OP的函数解析式为y=kx+b, 54/105 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b=0 可得6=0 解得 mk=m2-2m-2 k=m2-2m-2, m %-m-20-2x m 代入0L-可得3--21，化简得+m-2-0 m 解得m=1或m=-2, 如图， P M E 衣 D(P) 当m=1或m=-2时，四边形OOPM内部的抛物线上的点的纵坐标y随×的增大而减小，符合题意： 设对角线MQ的函数解析式为=kx+b, 可得km+b,=0 [b,=m2-2m-2 解得 -m2+2m+2, b2=m2-2m-2 k2= m “为=-m2+2m+2 +m2-2m-2, 入D-》可得-3m+2m+2+m-2m-2,化简得m1m+2二0 m ∴m3-m2-2m2+2m+m-1+3=0 m2(m-1)-2m(m-1)+(m-1)+3=0 (m2-2m+1)(m-1)+3=0 (m-10°=-3， m=1+3=1-5. :5>3 .1-V3<1-3, 55/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，此时点P在F的右边， M Q P B D 此时，四边形OQPM内部没有抛物线上的点，不符合题意； 综上，m=1或m=-2 22.【详解】(1)解：抛物线y=a2+bx+6与x轴相交于A(-2,0),B(6,0), 1 Q=- 4a-2b+6=0,解得2， 36a+6b+6=0b=2 y三-2+2x+6 (2)解：y22+2x+6 .当x=0时，y=6, .C(0,6), B(6,0). .0B=0C=6, ∠0BC=∠0CB=45°， 设直线BC的解析式为y=+6,把B(6,0)代入，得k=-1, .y=-x+6 延长06交，于点p设0n2+2加+0】 DE∥y轴， :.E(m,-m+6),F(m,0),DF⊥x轴， aBF为等要直角三角形，DF=m2+2加+6Er:m6. .'EF =BF,BE=2EF 56/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0E+5E=DE+2Er=0r+Bn=m42m+6-m+6=+m12-m- 2 当m=1时.DE+8E的维最大为空：威时D》) :Po成P@+可威2. 过程如下： 由(2)可知：∠0BC=∠0CB=45°， 将抛物线y=+2x+6=:-2+8沿射线CB方向平移45个单位长度相当于将抛物线先向右移动 4个单位长度，再向下移动4个单位长度， 故平移后的抛物线的解析式为=(x-2-2+8-4=x-4+4, -2+2x+6 y= x=5 ∴.平移后的抛物线的对称轴为直线，联立 x=4 -4矿+4解得2 y= 2 ,点N为新抛物线y对称轴上一点， .设N(4,n), 由(2)知： wD-6-旷g5=32=6-4y-}小-仔小m=0-4+侣小-货+9 当以D、M、N、P为顶点的四边形是以MN为边的菱形，分两种情况： ①MN=MD,此时ND,MP为菱形的对角线， 则任-小1-2，解得一+面或子5瓦， 2 [5+p=4+1 设 p=0 q=4+n' 57/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 r04+35戌PrQ4++5,即P0-5可成r0+5 ②当MN=ND,此时MD,NP为菱形的对角线， 则[好-1-臣+9，解得 [4+p=5+1 设 (p,9) p=2 ∴g=11-n P2n-),2): 综上：P05或P0+威P2 23. 【详解】(1)解：令y=0,则-x2+2x+3=0, 解得x=3,x2=-1, A在B的左侧， A-1,0),B(3,0). 令x=0,则y=3, .C(0,3) .y-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 顶点D1,4): (2)解：设直线BC的表达式为y=a+b, 3k+b=0 代入B(3,0)C(0,3)得，1b=3· 解得k=-1,b=3, ∴直线BC解析式为y=-x+3, :△BCP的面积等于△BCD的面积， ∴，点P到直线BC的距离等于点D到直线BC的距离， 当点P在直线BC上方时，此时点P在过点D且平行于BC的直线上，直线与y轴交于点F,如图， 设直线为y=-x+m, 58/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将D(1,4),代入得4=1+m, 解得m=5, ∴.直线为y=-x+5, y=-x+5 联立直线1与抛物线M得，y=-x2+2x+3' 解得x=1,2=2, 当x=1时，对应的是点D(山，4)，题目要求P不与D重合，舍去； 此时点P的横坐标为2： 当点P在直线BC下方时，设此时点P在直线2上，直线马与y轴交于点E, B .1与2关于直线BC对称， .CF=CE, 直线表达式为y=-x+5, ∴.当x=0时，y=5,即F(0,5), C(0,3), .CE=CF=5-3=2, .OE=1, .可得直线2的解析式为y=-x+1, y=-x+1 联立直线)，与抛物线M得，y=-x+2x+3” 解得5=3+7 .3-V17 2 3+73-7 综上所述，点p的横坐标为2或2或2： (3)解：由(1)可知B(3,0),D(1,4) 59/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :抛物线y=-(x-)?+4向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新抛物线M2, ∴新抛物线M2的解析式为y=-x-1-2)}+4-3=-x2+6x-8, 设Q(0,9),R(xR,-x+6xR-8), 以B、D、R、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴.当BD为对角线时， ,平行四边形对角线中点重合，即BD中点与RQ中点坐标相同， [3+1-x+0 22 0+4-x+6x-8+9 (2 2 xR =4 解得， 9=4, .Q(0,4): 当BQ为对角线时， 3+0_1+xR 22 同理可得； 0+9-4+-发+6xn-8+9' 2 2 xR=2 解得， 9=4 .0(0,4): 当DQ为对角线时， 1+03+xR 2 2 同理可得， 4+9-0+' 2 xR=-2 解得， 9=-28: :.9(0,-28). 综上所述，点9的坐标(0,4)或(0，-28). 24.【详解】(1)解：①：a=1,c=-5,且4a+b=0」 .4×1+b=0,可得b=-4, 60/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴抛物线为y=x2-4x-5, 化为顶点式为y=(x-2)}-9 则该抛物线的顶点P的坐标为(2，-9)： ②由①知，抛物线为y=x2-4x-5, 令y=0,即x2-4x-5=0,解得x=-1或x=5, 点A(-1,0),点B(5,0), 令x=0,可得y=-5, 点C(0,-5), ,过点C作x轴的平行线与抛物线相交于点D. 点D的纵坐标为5， 则x2-4x-5=-5,解得x=0或x=4, ∴点D(4,-5), .CD=4-0=4. 设直线BC的函数表达式为y=c+b(k≠O), 将点B(5,0)与点C(0,-5)代入函数表达式， 0=5k+b 「k=1 则-5=b，可得1b=-5 ∴.直线BC的函数表达式为y=x-5, 以CD为边的CDME如图， 则有EM=CD=4, ,顶点E在直线BC上， 设点E(m,m-5), 点M的横坐标为m+4,纵坐标为m-5, 61/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点M(m+4m-5). ,点M在抛物线上， .(m+4)-4(m+4)-5=m-5, 整理可得m2+3m=0,解得m=0(舍)或m=-3, 点M(1,-8) (2)解：.4a+b=0,则b=-4a. ∴，抛物线为y=ax2-4ax+c, :点A(-1,0) .0=a+4a+c,可得c=-5a, ∴抛物线为y=ar2-4ar-5a(a>0), 物线的对称轴为=-)2，点86.0，点C0,5a 2a 点F在抛物线的对称轴上，以AC为边作口ACFG, 平移BG至FB,使得点G的对应点为点F,点B的对应点为点B', 连接AF,BB,CB',如图， :BGIIB'F,且BG=B'F, ∴四边形GFB'B为平行四边形， BG=B'F, ,点F在抛物线的对称轴上， .BF=AF, .'BF+BG=AF +B'F, 当点A,点F,点B三点共线时，BF+BG取得最小值， 即AB=7√2， :四边形GFBB为平行四边形， 62/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BB'l/GF,BB'=GF, ,四边形ACFG为平行四边形， .GF‖AC,GF=AC, .'BB'llAC,BB'=AC, ∴，四边形ACBB为平行四边形， .CB'∥AB,且CB=AB, AB=5-(-1=6, .CB'=AB=6, 点C(0,-5a), 点B'(6,-5a), .AB'-V-1-6}+(5a}=7N2,即49+25a2=98, 可得a2=4 入 5,解得a=5(负值舍掉) 7 即当BF+BG取得最小值7√时，a的值为5· 25. 【详解】(1)解：：抛物线y=am2+2x+c(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，将点A,点B的 a-2+c=0 坐标分别代入得： 9a+6+c=0' a=-1 解得： c=3 ∴抛物线的解析式为y=-x+2x+3； (2)解：线段P№存在最大值：理由如下： :抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C, 当x=0时，得y=3, C(0,3), .0C=3, B(3,0) .OB=3, ∴OC=OB, 63/105 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠0BC=45°， 设直线BC的解析式为y=:+3,将点B的坐标代入得：3k+3=0, 解得：k=-1, ∴直线BC的解析式为：y=-x+3, 如图1，过点P作PE⊥x轴，交BC于点D,则∠PEB=90°， 设 ,则 B Pm,-m2+2m+3)(0<m<3) D(m,-m+3) PD=-m2+2m+3+m-3=-m2+3m, PQI∥AB ∴.∠QPD=∠PEB=90°.∠DQP=∠OBC=45°， :.△PDQ为等腰直角三角形， 329 ∴P0=PD=-m+3m=-m-24' 3 当m=时，P0有最大值}此时-m2+2m+3=- +2x3+3=15 4 即光时)： (3)解：：y=-x2+2x+3=-(x-12+4, ∴.二次函数的对称轴为直线x=1, 点D、E在抛物线的对称轴上； :DL回，E1-当n=1-A时，A= 当n<2时，点E在点D上方， ∴.DE=1-n-n=1-2n, 64/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由旋转得：DF=DE,∠EDF=90°， .F(2-2n,n).G(2-2n,1-n); 当n 2时，点E在点D下方， 同理可得：DE=n-(1-n)=2n-1, ∴.F(2-2n,n),G(2-2n,1-n), ∴.不论n为何值，F点的坐标为F(2-2n,”),G点坐标为G(2-2n,1-m）: :正方形DEGF的边与二次函数在x≤3范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴边EG与抛物线相交或顶点在抛物线上时，符合题意， ①当n<2时，点E在点D上方， 如图3，边FG在B点右侧，EG与抛物线相交时， 1 则2-2m>3,解得”<-2 如图4，点G在抛物线上时， E G E G & A B 四边形 是正方形， D F 图3 图4 DEGF ..EG=DF, G(2-2n,1-n), :1-n=-(2-2n-1)}+4, 解得n=5V57 (大于2的值舍去)： ②当n>2时，点E在点D下方，如图5，此时点F在抛物线上时符合要求， 65/105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图5 n=-(2-2n-1)2+4 解得n=3+57 P (小于的值舍去)： 综上所述，的取值范围为n<)或5-57 8或n=3+57 8 26. 【详解】(1)解：在y=-x2-(m-l)x+m中，令y=0得-x2-(m-1)x+m=0,即(x-(x+m）=0, 解得x=1,x2=-m, ·点B(1,0),点A(-m,0), 在y=-x2-(m-1)x+m中，令x=0得y=m, 点C(0,m): (2)解：△BCD是等腰直角三角形， 理由：由(1)知点B(1,0),点A(-m,0),点C(0,m), ..OA=-m=m,OC=m, ∴OA=OC=m, 又：∠A0C=90°， .△AOC是等腰直角三角形，且∠BAC=45°， ,点D为△ABC的外心， DA=DC=DB,即△ABC是OD的内接三角形，如图： 66/105 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BDC=2∠BAC=90° :.△BCD是等腰直角三角形： (3)解：由(2)得△AOC△BCD是等腰直角三角形， .△BCDP△ACO S.BCD= BC25 AC AC28, :点B(1,0),点A(-m,0),点C(0,m), .AC2=2m2,BC2=1+m2, ,m2+15 ·.2m8' 解得m=±2， .m>1, .m=2; 二次函数的表达式为y=-x2-x+2 27.【详解】(1)解：把A(-1,0)、B(4,0)代入y=ar2+bx+3得： [a-b+3=0 16a+4b+3=0 ( Q=- 3 4 解得 9 b=- 4 3 9 ∴抛物线解析式为y=-。x2+二x+3」 4 4 设直线BC解析式为y=c+n,把B(4,O),C(0,3)得： 4k+n=0,解得： f、3 4 n=3 n=3 67/105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 直线BC解析式为y= +3 、3 (2)解：存在，G22) 如图， B ·点G在直线y= 4x+3上， 3 可设G+3其中0<1<4则D(.0) 0c的面积5-00-0c-+32+字=0-2+ 0,抛物发5=君-2+号的对称销为直线x=2 3 8 当-2时、5=-2号有技大值，大值为3 此时2别 PF (3) F存在最大值，理由如下： 过A作AK∥y轴交BC延长线于K,过P作PT∥y轴交BC于T,如图： 3 在y= x+3中，令XE-得5 4 4 4 68/105 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AK= 4 设u-子+，则ru子+， 4 4 :P7=-3+9+3-(3+3)= 9 3 44 4 32+3t AK∥y轴，PT∥y轴， ∴.AK∥PT, ∴.∠AKF=∠PTF,∠KAF=∠TPF, .△PTFn△AKF, PF PT 3B+31+41-2少+g =-4 AF AK 15- 5 4 -2y≤0， 1 - PF4 .AF5 PE 4 :AF的最大值为5 28.【详解】(1)解：：抛物线y=m2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-1,0)、C(3,0)两点， a-b+3=0 …19a+3b+3=0 a=-1 解得b=2’ ∴该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3, (2)解：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴.该抛物线的对称轴为直线x=1: (3)解：抛物线y=-x+2x+3与y轴交于点B, ∴.B(0,3) ,点D是抛物线上的一个动点，△ABD与△BCD的面积相等， ∴.当BD∥AC时或当BD经过AC的中点时满足条件， 当BD∥AC时，点B、点D关于直线x=1对称， 69/105 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.D点的横坐标为2，即m=2: 当BD经过AC的中点时，设AC中点为H,则H(L,0), 设直线BH的表达式为y=px+3, 则p+3=0,解得P=-3, ∴直线BH的表达式为y=-3x+3 y=-3x+3 x=5 x=0 联立方程组 =-x2+2x+3解得y=-12 y=3 ∴.点D的横坐标m=5, 综上，m=2或m=5; (4)解：设直线BC的解析式为y=c+b, 「b=3 3k+3=0 「k=-1 解得b=3· ∴.直线BC的解析式为y=-x+3, 由题意，Dm,-m+2m+3),则E(m,0),P(m,-m+3),如图， .OB=OC=3. .△BOC是等腰直角三角形， .∠BC0=45°， :DE⊥AC, .△CPE是等腰直角三角形， :.CP=2CE=2(3-m), .BP=3W2-V2(3-m)=2m, ①当△BPEPACPD时， 70/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PD PC 则PEPB' :-m+2m+3+m-3=2(3-m） -m+3 √2m -1±V13 解得m= 2 .m>0且m≠3， -1+√13 ∴.m= 2 ②当△BPEPADPC时， PD PC 则PBPE' ÷-m+2m+3+m-323-m） √2m -m+3, 解得m=1或m=0(不合题意舍去)， 综上， ms1或m= -1+V13 2 29. 【详解】(1)解：将抛物线向右平移1个单位后的解析式变成：y=(x-1-m)-m, 将点(3,0)代入y=(x-1-m)-m得：0=(3-1-m)2-m, 解得m=1或m=4, 将抛物线向左平移3个单位后的解析式变成：y=(x+3-m)-m, 将点(3,0)代入y=(x+3-m)°-m得：0=(3+3-m)-m, 解得m=4或m=9, ∴.公共解为m=4, 把m=4代入y=(x-m)2-m, 得出抛物线对应的函数表达式为y=(x-4)-4=x2-8x+12: 令y=0, 则0=x2-8x+12, 解得=2，=6， .A(2,0),B(6,0), 71/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令x=0,则y=12, .C(0,12) 设BC的解析式为y=cx+b, [6k+b=0 则1b=12 「k=-2 解得1b=12 ∴.直线BC对应的函数表达式为y=-2x+12 (2)解：如图1，设直线1：y=a, y C 9N1 B OA 图1 x<x3<x3C(0,12) .0<a<12 ,直线I与抛物线和直线BC都相交， x-8x+12=a, .可列方程号-8x2+12=a, -2x3+12=a. 得+x号-8(x+x)+24=2a】 .x+x=2a-24+8(x+x2), ·抛物线的对称轴是x=4, +x2=8, ∴.x+x3=2a+40 又5=6-， 72/105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “4>0, ∴.抛物线开口向上， 又0<a<12, ∴当。=8时，y取得最小值为60，当a=0时，y取得最大值为0-8旷+60=76， 60sa-8y+60<76 即60≤x2+x号+x3<76 (3)解：如图2，连接BD,过点D作DE⊥x轴，垂足为E. D 图2 :抛物线y=(x-4)}2-4, ∴顶点D(4,-4)」 BD=V4-6)}+(-4-02=25, 由(1)可知，0C=12,0B=6:DE=4,BE=2,AB=48C=0-6+(2-0=65, :m48c-号-2，mn85-2 ∴tan∠ABC=tan∠DBE=2, .∠ABC=∠DBE :△PBD与△ABC相似， ∴点P在点B的左侧. .存在△ABC一△PBD或△ABC∽△DBP」 当△ABC一△PBD时， AB PB 则BCBD' 73/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 PB 得6N52W5 点P传 当△ABC∽△DBP时， AB DB 有BCBP, 425 得6N5PB PB=15, ∴点P(-9,0). 14 综上，使APBD与。4BC相似的点P的坐标为3,0或(-9,0)： 30.【详解】(1)解：对y=-x+3,令y=0,得x=3,故B(3,0): 令x=0,得y=3,故C(0,3) 将B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=-x2+br+c, c=3 [b=2 得-9+3b+c=0解得1c=3, ∴.抛物线解析式为y=-x2+2x+3 (2)令抛物线y=-x2+2x+3=0. 解得x=3或x=-1, .A(-1,0). AB=4. 设D(m,-m2+2m+3. 过D作DMIy轴交直线BC于M,过A作AN∥y轴交直线BC于N, 74/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V B AO 则M(m,-m+3), 、.DM=(-m2+2m+3）-(-m+3)=-m2+3m」 对y=-x+3,令x=-1,得y=4, 故N(-1,4), ∴.AN=4, .△CDE和△ACE同高， SDE 故S,AE' 又DM∥AN, ∴.ADMESAANE, DE DM ·AEAN, =-m2+3m_1329 S2 4 4m-2+16: 1 4<0, 3 S .当m= 2时，S取最大值， 此时，的纵坐标为 +2x3+3= 2 4 S ,最大时， 点0坐标为》 (3)设P(p,0),D(,y)0y=-x2+2x+3), P、D、B、C四点构成平行四边形， ∴分三种对角线情况： 情况1：BC与PD为对角线， 75/105 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·对角线中点相同： c中点：s0cag巾A为”0)引 PD中点： p+x 3 22 y_3 22 p+x=3 即y=3 .-x2+2x+3=3, 解得x=0或x=2, 当x=0,p+0=3,p=3,D(0,3)与C重合，舍去： 当x=2,p=3-2=1,B(1,0) 情况2：BP与DC为对角线， B 中点： ,即 p+30+0 D PB (22 DC中点： x+0y+3) x y+3 2,2 即22 p+3 x 22 0s+3, 2 p+3=x 即y+3=0 76/105 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-3, .-x2+2x+3=-3,x2-2x-6=0, 解得x=1±V7, 当x=1+7,p=7-2,B(7-2,0: 当x=1-7,p=-√7-2，B(7-2,0) 情况3：PC与DB为对角线， 中点： ,即 p+00+3 23 2,2 22 DB中点： _x+3 2 2 3- 即p=x+3, 22 y=3 .-x2+2x+3=3, 解得x=0或x=2, 当x=0,p=0+3=3,D(0,3)与C重合，舍去： 当x=2,p=2+3=5,P(5,0)」 故符合条件的P点坐标为：(1,0)、(5,0)、（-2+7,0)、（-2-7,0） 31.【详解】(1)解：抛物线过点M(m,m),N(m,”),且m+n=0,即n=-m. .am2+bm+c=m,am2-bm+c=-m 两式相减得：2bm=2m, .m<n且m+n=0, .m≠0， .b=1. (2)证明：：M(m,m),N(n,n)在抛物线上， .am2+bm+c=m,an2+bn+c=n. 77/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两式相减得：a(m2-n2）+b(m-n)=m-n (m-n)a(m+n)+b-1=0 ,m<n, .a(m+n)+b-1=0,即b=1-a(m+n) 顶点横坐标5=-力。-1上a(m+川）_m+m）1m+n1 2a 2a 2a 22a 1 .n< m+n 1 m+nn m .0= 22a222·得证. 32.【详解】(1)解：当b=2,c=1时，抛物线L的解析式为y=-x+2x+1 配方得y=-(x-1)2+2 因此抛物线L的顶点坐标为(1,2) (2)①因为点M(m,2m),N(n,2n)都在抛物线L上 所以可得2m2=-m2+bm+c,2n2=-n2+bn+c 两式作差得2m2-2n2=-m2+n2+bm-bm 整理得3(m2-n2)-b(m-n)=0 因式分解得(m-n)[3(m+n)-b]=0 m+n=p,m<n ∴.m-n≠0,3p-b=0 .b=3p ②泄物线，恒过定点，完点华标为0引： 证明：，∠MOW=90° ∴.由勾股定理得OM2+OW2=MW2, M(m,2m2),N(n,2n2）, .0M2=m2+(2m22=m2+4m,0N2=n2+(2n2)2=n2+4n, MN2=(m-n）2+(2m2-2n2）2=(m-m)2+4m2-n2）, 78/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =m2-2mn+n2+4m4-8m2n2+4n, 将上述式子代入OM2+ON2=MN2得：m2+4m+n2+4n=m2-2mn+n2+4m4-8m2n2+4n 整理得8m2n2+2mn=0, 提取公因式得2mn(4mn+1)=0, m≠0，且m<n, .mn≠0， 六4mn+1=0,即mn= 4 由①得b=3(m+n）,将b=3(m+n）代入3m2-bm-c=0得：c=3m2-3(m+n)m=-3mn, 将m=代入得e=-3)。 一抛物线的解析式为y=-x2+bx+3 3 当x=0时，y=4,结果与b的取值无关， :题物线，但过定点，定点标为0》】 33.【详解】(1)解：将A(-3,0),B(-l,0)代入y=a2+bx+c得： [9a-3b+c=0 b=4a a-b+c=0 ，解得： c=3a’ b 4a ∴对称轴方程为x=2a-一2 =-2（a+0） 综上：对称轴为x=-2,c=3a (2)解：一次函数y=2x+3a的图象为一条直线， .b=4a,c=3a, .y=ax2+bx+c=a(x2+4x+3), .y=ax"+bx+c=ar2+4ax+3a=a(x2+4x+3), :y=a(x2+4x+3的图象是将二次函数y=a(x2+4x+3列的图象在x轴下方的部分沿x轴上翻折到x轴上 方， .y=a(x2+4x+3)在x轴下方没有图象， 79/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴要使一次函数y=2x+3a与y=r2+bx+有且只有3个公共点，则a>0, .y=a(x2+4x+3=alr2+4x+3, 如图所示，当y=2x+3a经过A(-3,0)时， VA A BO .6+3a=0,解得：a=2: 如图所示，一次函数y=2x+3a与y=ar2+br+c在点A、B之间的图象只有一个交点， B 在点A、B之间的图象解析式为y=-ar2-4ax-3a(-3≤x≤-1)， 令-ar2-4ax-3a=2x+3a,整理得：ar2+(4a+2)x+6a=0, △=(4a+2-4×ax60=2a2-4-1=0,解得：a=2+6 2一或a=2(舍去)， 绿上：g-2或a=2+6 21 (3)解：：P(,0), .E(6,2t+3a）,F(,at+4at+3a）, .EF=(ar2+4at+3a）-(2t+3a=lat2+(4a-2)4, 令y=lat2+(4a-2)川，当t=0时，y=0, ∴y=r+4a-2训经过原点，关于直线=-02--2对春. 2a a 80/105 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .(2a-1) ,-时y=5-气，时y=a-当君2时， a 当-1st≤1时，lar+(4a-2)川<1， :.l5a-2<1且3a-2<1, 1 3 3a<5, 11-2<1, .3a -<-2≤0时，解得：2≤a<亏，如图所示 1 3 当3a .(5a-2)-(2-3a)=8a>0. .5a-2>2-3a, :5a-2-2a=-a+1-20. a (650-22a-y a ∴此时当t=1时，y=lat2+(4a-2)取最大值为y=5a-2=5a-2, 3 “5a-2<1解得：a5 1 3 ≤a< .2 5 当0<2<1时，解得：3a<方，如图所示： a 81/105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -101 (2a-1_(2a-1 ∴.此时3a-2=2-3a'a :(3a-2)}-(5a-2}=-8(2a2-1)>0, :.3a-2>l5a-2, 2-3a>(2a-1)}2 a, “此时当t=-1时，y=lar+(4a-2)4取最大值为y=3a-2=2-3a, 1 ·2-3a<1,解得：a>3, 1 1 <a< .3 2 1 综上：3<a< 5 34.【详解】(1)解：根据二次函数的对称轴公式可得， 2a=1: 抛物线y=r2+2ax+a2+a的对称轴为r三-月 (2)解：由(1)得，对称轴为x=-1, 则点M(-2,y)关于对称轴的对称点为M'(Oyw), 由a<0可得，抛物线开口向下， 根据二次函数的性质可得，离对称轴越远，函数值越小， 由yw>yw可得，V到对称轴的距离大于M点到对称轴的距离， 可得n<-2或n>0; 82/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：y=ax2+2ax+a2+a=a(x+1)}2+a2, 则抛物线y=ax2+2ar+a2+a的顶点坐标为(-L,a2）, 根据翻折规则可得，当x>0时，设原抛物线上一点Q(x,y原)，y原=ar2+2ax+a2+a 则翻折后点的纵坐标为y翻=2(a2+a)y原， 则ym=2(a2+a）-(ar2+2ax+a2+a）-ar2-2ax+a2+a, ax2+2ax+a2+a(x≤0) 则图象G的解析式为y= -ax2-2ax+a2+a(x>0) .a<0 a-2<0,-a>0, 又：点A(a-2,h)和B(-a,)均在图象G上， 片=a(a-2+2a(a-2)+a2+a=a3-a2+a, h=-ax(-a)}-2a×(-a）ta2+a=-a3+3a2+a, .h+y2=a3-a2+a+(-a3+3a2+a）=2a2+2a」 “2>0,开口向上，对称轴为a=-} 2 .当a=- 时男+最小最本虹为2（兮》 1 35.【详解】(1)解：抛物线y=x+mx+n开口向上， m 对称轴为x=一 2 20 由对称轴在y轴右侧得一2 .m<0 :当1≤x≤4时，y的最小值为5，最大值为11 情形一：当对称输在15x≤4时，即-1≤-贺≤4， 2 又m<0 ∴.-8≤m<0 4=-5,即n=m-20 ·最小值为5”即最小值在顶点处，得：机m 4① 83/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 最大值在x=-1或x=4, 当x=-1时，1-m+n=11, 代入①解得：m=-6,n=4或m=10,n=20(舍去) 当x=4时，16+4m+n=11, 代入①解得：m=0(舍去)或m=-16(舍去) 情形二：当对称轴>4时，即>4 .m<-8, ∴.最大值为x=-1时，1-m+n=11 最小值为x=4时，16+4m+n=-5 解得：m=-6.2,不是整数， 综上所述，m=-6,n=4; y=x2-6x+4 (2)解：①联立直线与抛物线y=-2 得x2-(6+k)x+6=0 :直线y=-2与抛物线在-1≤x≤4范围内有两个交点， 设w=x2-(6+k)x+6. [(-1+(6+k)+6≥0 4=6+6-24>0且0-46+)+620，-1<6<4 2 解(6+k)2-24>0 “k>2V6-6或k<-26-6 (-1+(6+)+6≥0 解446+)+6≥0得：-13≤k≤-月 解-1s6生≤4得-8<<2 2 综上所述：26-6<k≤-月 ②设△PM0的面积为S,△OMN的面积为S2,P(x,y),Q(:,) :M在y=a-2上， ∴M(x,k-2),N(x,0),P(,x-6x+4) 84/105 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.MW=|a-2=2-c,PM=-6x+4-+2=-(6+k)x+6, 1 又：65，=18x-2x,则5=-3+3x 5=2%写 82-)=如 s=Pwxs-)小-6++(6-)-6++2写 .S2=2S 小-(6+)x+x2=c@ ,P在Q的左侧 1 小%>：则3+3x> .0<x<6 (①)当2<x<3时， [-6++6小[2-j- 当k=-1时， (G-5x+66-)=3+2 解得：≈6.74（舍去） ()当0<≤2或3≤x<6时， [-6++]小2)1 当k=-1时， (6-5x+6j6-)=3+5 解得：x≈1.35 36.【详解】(1)证明：线段DE绕点E顺时针旋转0°，得到线段EF, ∴.∠DEF=90°， .∠AED+∠GEF=90°， 85/105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD是正方形， ∠A=90°， .∠AED+∠ADE=90°， ∴.∠ADE=∠GEF, 又：FG⊥AB .∠DAE=∠EGF=90°， 在△ADE与△GEF中， 「∠ADE=∠GEF ∠DAE=∠EGF, DE=EF ∴.AADE≌AGEF(AAS) .AE=FG=3,EG=AD=6. .AG=AE+EG=3+6=9」 EF=VEG2+GF2=V6+32=35 (2)解：由(1)可知：∠ADE=∠GEF, 又：∠DAE=∠ABC, .△ADE∽△BEH, AE BH ∴ADBE 设AE=x,CH=y,则BE=6-x,BH=6-y, 整理得：y =-x+6=x-3y+9 6 6 9 “当x=3时，y有最小值，y=2 9 即线段CH的最小值为2： (3)解：如图③，过点F作FK⊥BC,FG⊥AM,垂足分别为K、G, 86/105 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D KH-F E B G M 图③ 设AE=x,则BE=6-x, 由(1)可得：EG=AD=6,FG=AE=x, .BG=EG-EB=6-(6-x)=x. 即BG=FG ,四边形BGFK是矩形， ∴，矩形BGFK是正方形， ..BG=KF=FG=BK=x, .KC=BC-BK=6-x, 在Rt△KFC中，CF2=CK2+KF2, 2+6-x2=(2v6), 解得：x=3+5,=3-√5」 即：AE长为3+V3或3-√ 37.【详解】(1)解：：y=ax2+4ax+c=a(x+2-4a+c, ∴抛物线的对称轴为直线x=一2， :A(-6,0) .B(2,0) .OB=2, .0C=30B=6, .C(0,6), 将B、C两点坐标代入y=axr2+4ar+c, (1 .c=6 a=- ，解得 2 4a+8a+c=0 c=6 ∴抛物线的解析式为y=-弓x2-2x+6, 87/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线AC的解析式为y=a+m, [-6k+m=0 「k=1 .m=6 ,解得m=6’ ∴直线AC的解析式为y=x+6: （2解：y=分r-2x+6=c+2+8, ∴顶点D(-2,8), 连接CD,过D作DM1y轴于M,设直线AE与y轴交点V，,如图2， D AM B E 图2 则M(0,8), .C(0,6), .'DM =CM=2. .∠MCD=45°，CD=22, .0A=0C=6 .∠0CA=45°， .∠ACD=90°，AC=6V2, Ra4CD中，an∠CAD=CD-221 AC 6V23: :直线AE与y轴交点N(0,-2), ON=2, an∠BAE=ON、1 OA3 .∠CAD=∠BAE, .∠CAE-∠CAD=∠CAE-∠BAE=∠OAC=45°： (3)解：如图3，连接OF、QR, 88/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 POLy轴，ER⊥x轴， B RO 图3 .∠OQF=∠ROQ=∠FR0=90° ∴四边形OQFR为矩形， ..OR=OF, ∴当OF⊥AC时，QR=OF最短， OA=OC=6」 ∴.△AOC为等腰直角三角形，此时F为线段AC的中点， 六最短长度0R=0F=号4C=35,F(-33》 P1y轴， .P点纵坐标也为3， x-2x+6=3。 .2 解得x=-2±V10, ∴点P的坐标为(-2+10,3)或(-2-10,3)， ∴.QR的最短长度为3W2。 -16+4b+c=0 38.【详解】(1)解：把点4A(4,0),0(0,0)代入y=-x2+bx+c得：c=0 b=4 解得： c=0 ∴抛物线的解析式为y=-x2+4x, .y=-x2+4x=-(x-2)2+4, ∴抛物线顶点D的坐标为(2,4)」 (2)由题意，画出图形如下： 89/105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线AB的解析式为y=+a(k≠O), 4k+a=0 k=-1 把点A(4,0)B(0,4)代入得：a=4,解得： a=4 ∴.直线AB的解析式为y=-x+4, [y=-x2+4xx=1[x=4 联立=-x+4，解得y=3或y=0 .C1,3), 设点E的坐标为(n,0), MNIy轴， .M(n,-n+4),N(n,-n2+4n）. :MN=n2+4n-(-n+4=n2+5n-4,EN=n2+4n, 当点N在M的上方时，此时1<n<4, -n2+4n=2(-n2+5n-4）, 解得：n=2或n=4(舍去)， 此时点M的坐标为(2,2)： 当点N在M的下方时，此时n<1或n>4, 若点M,N均在x轴上方，此时n<1, -（-n2+5n-4）×2=-n2+4n, 2 解得：n=3或n=4（舍去)， 210 此时点M的坐标为33： 若点M,N均在x轴下方，此时n>4, -（-n2+5n-4)×2=-（-n2+4n）, 90/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：n=2或4，均不符合题意： 210 综上所述，点M的坐标为(2,2)或33 (3)过点P作P№⊥x轴，交AB于点， :点P是直线AC上方抛物线上一点，且A(4,0),C(1,3),点P的横坐标为m, ∴.1<m<4, 由(2)得：直线AC的解析式为y=-x+4, .Q(m,-m+4),P(m,-m2+4m）, :.P9=-m2+4m-(-m+4)=-m2+5m-4. .A(4,0),C(1,3). .aCP2与△APO的PQ边上的高之和为4-1=3， ..S=Sc+S.APO -3(-m+5m-到 =-3m2+15m-6 2 2 89 m2*15 综上，s关于m的函数解析式为S=- m-6<m<4),化为顶点式为 S=3527(1<m<4) 2m-2+8 [-16+4b+c=0 39.【详解】解：(1)把点A(4,0),0(0,0)代入y=-x2+bx+c得：1c=0 b=4 解得：c=0' 91/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抛物线的解析式为y=-x2+4x, y=-x2+4x=-(x-22+4, ∴.抛物线顶点D的坐标为(2,4)」 (2)由题意，画出图形如下： 设直线AB的解析式为y=ar+a(k≠0)， 4k+a=0 k=-1 把点A4,0),B(0,4)代入得：a=4，解得：a=4, ∴直线AB的解析式为y=-x+4, y=-x2+4x x=1「x=4 联立=-x+4,解得=3或y=0: .C1,3), 设点E的坐标为(n,0), MNy轴， .M(n,-n+4),N(n,-n2+4n), :MN=-n2+4n-(-n+4=-n2+5n-4,EN=n2+4n, 当点N在M的上方时，此时l<n<4, -n2+4n=2(-n2+5n-4）, 解得：n=2或4（舍去）， 此时点M的坐标为(2,2)： 当点N在M的下方时，此时n<1或n>4, 若点M,N均在x轴上方，此时n<1, -（-n2+5n-4)×2=-n2+4n, 92/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 解得：n= 3或4（舍去）， 210 此时点M的坐标为33： 若点M,N均在×轴下方，此时n>4, -（-n2+5n-4)×2=-（-n2+4n） 解得：n=2或4，均不符合题意： 综上所述，点y的整标为02)或号胃) (3)过点P作PO1x轴，交AB于点O, :点P是直线AC上方抛物线上一点，且A(4,0),C(L,3),点P的横坐标为m, .1<m<4, 由(2)得：直线AC的解析式为y=-x+4, .Q(m,-m+4),P(m,-m2+4m）. .P9=-m2+4m-（-m+4)=-m2+5m-4, .A(4,0),C(1,3), .aCP2与△AP2的PO边上的高之和为4-1=3， ..S=S.O+SAPQ -3m+5m-4到 =m+ 2m-6 综上，。关于的函数解析武为S三-m+)m-6<m<4),化为顶点式为 2 93/105 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40.【详解】(1)解：：AB=DC=4米，AD=BC=2米，窑洞口的最高点P到地面CD的距离为4米， .A(-2,0),B(2,0),P(0,2), 设抛物线的函数表达式为y=am2+2(a≠0)，把B(2,0)代入，得 0=a22+2, 解得：a=一2 1 教物线的面数表达式y=”+2(2≤≤2)。 (2)解：当FG=2EF时，设EF=2p(p>0)米，则FG=4p米，F(p,4p), 把F(p,4p)代入抛物线y= x2+2(-2≤x≤2)得 2 1 4p=-2p2+2。 解得：p=-4±25， p>0 ∴p=-4+25, EF=2p=(-8+4W5)米，FG=4p=(16+8W5⑤米： (3)解：设EF=2m米，KH=GL=nn>0)米， 则Fmn+2M(m+nn). EH=FG= m+2米. MN=M=K=n=n米， 六师形gFGn所的木质第总长度1=F+G+=2m+2(m+2小-a-+5, -1<0, ∴当m=1时，矩形EFGH所需的木质框架总长度最长为5米， 此时，完M0+列代入y=+2(2s≤2得a=++2 解得：n=-2士V7, .n>0, 94/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .n=-2+√7， “.当矩形EFGH所需的木质框架总长度最长时，装饰窗HmK的面积为(2+V7)矿=(1-4N7)平方米. 综合攻坚知能拔高 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A c A B 二、填空题 9.(-2,4)或(-2,5) 10.42 1. 25 12.y=(x-n+1)(x-n)(n-1≤x≤n) 三、解答题 13. 【详解】(1)解：分别将A(-1,0)、B(4,0)代入y=x2+bx+c中，得： [0=1-b+c 0=16+4b+c b=-3 解得1c=4' ∴.该抛物线的函数表达式为y=x2-3x-4, (2)解：令x=0,则y=-4, 点C的坐标为(0，-4)。 3225 y=2-3x-4=x-2- 95/105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 325 :点p的坐标为24， ①当CP=CQ时，点Q位于点g位置，过点C作CD⊥1于点D,如图， 则点0的丝标为[4小。 ...CP =CO, .Dg=DP=-4- 5 97 :点Q,的纵坐标为4 +2 44 37 :点g的坐标为24)： ②当PC=PQ时，点Q位于点和点Q位置，如图， CD-3,DP=4'∠CDP=g0o .CP=CD2 +DPT=313 4 :点g,的纵坐标为 V13-25 313+25 4 点Q,的纵坐标为 4 33V13-25 3313+25 点 的坐标为 2’4 点g的坐标为239 4 37 33W13-25 33V13+25 综上所述，点o的坐标为24或24 或2 4 14.【详解】(1)解：：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-3,0),B(L,0)两点， b .对称轴x=一 -=-1. 2a 96/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.b=2, 把B(1,0)代入y=x2+2x+c, c=-3, 即抛物线的表达式为y=x2+2x-3: (2)解：存在点，使得以点A,B,C,为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： A(-3,0)、C(0,-3),B(1,0),且点A,B,C,0为顶点的四边形是平行四边形， 当AC,BQ为对角线时， x+xc-xg+xo 22 则 ya+yc_y8+yo (2 2 [-3+01+xg 2 2 10+(-3)_0+2 2 2 解得xg=-4,ye=-3, ∴点2的坐标为(-4，-3)： ∴当AB,C为对角线时， 4+xa=c+2 2 2 则 y4+ya-e+2' 2 2 [-3+1_0+xg 22 0+0-3)+y2' 2 2 解得2=-2，y。=3, ∴点的坐标为(-2,3)： 当BC,A犯为对角线时， Xc+xn+xo 2 2 则 yc+ya=y+yo' 02 2 97/105 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0+1_-3+x2 2 2 -1(-3)+00+e1 2 2 解得x2=4,yo=-3 ∴点Q的坐标为(4，-3)： 综上所述：点Q的坐标为(4，-3)或(-2,3)或(4，-3)」 15.【详解】(1)解：m=1, :.P(In), :点P在抛物线y=x2-x+2上， .n=12-1+2=2 P1,2), :过点P作PB⊥y轴于点B B(0,2): :P(L,2)在抛物线y=(x-m)+n: .y=(x-1)+2: 二次函数图像与y轴交于点A, y=(0-12+2=3, .A(0,3); .AB=1,PB=1, 六aP1B的面积为2AB-BP= 2· (2)解：：点A在抛物线y=(c-m+n上且在y轴上， y4=(0-m)+n=m2+n; :点P(m,n)在抛物线y=x2-x+2上， .n=m2-m+2, .y4=m2+n=m2+m2-m+2=2m2-m+2。 得到关于m的二次函数，其中a=2>0开口向上，对称辅为：m=名一) ->0 2a2×24 98/105 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当m≥1时，y4随m的增大而增大， 当m=1时，y4有最小值，最小值为：y4=2-1+2=3 16.【详解】(1)解：在y=x-2中，令x=-1,得y=-3: A(-1,-3), 将A(-1,-3)代入y=ax2-2a,得-3=a×(-1)°-2a×(-1), 解得a=-1. (2)解：a=-1, 、抛物线G:y=-x2+2x, 当y=x-2=0时，x=2, .B(2,0): 如图， y 由题意得：PQ⊥BO, w0P008=0o-%小k2=(+2(-2)=-（-+是 1 x=2时，四边形OPBQ的面积最大， 1 3 把x=2代入y=x-2得y= 2 13 四边形OPBQ面积最大时p点的坐标为2,2： (3)解：k为定值4.理由如下： 之a0m0, ∴.sm=(s-1)(m-1),即m=1-s, :y=ax2-2ar=a(x-1)-a,且抛物线G的最小值为-2a2+1, 99/105 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .-a=-2a2+1, 1 解得4=1a=2（舍)， y=x2-2x, M(s,)、N(m,n)为该抛物线上不同的两点， .t=s2-2s,n=m2-2m=（1-s)2-2(1-s）=s2-1, ∴t-n+1=(s2-2s)-(s2-1)+1=-2s+2, -n+1(-2s+2_40-9-4. t+1s2-2s+1(s-1)月 即k为定值4. 17.【详解】(1)解：：抛物线y=ar+bx+C与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于 C(0,3), c=3,A(-2,0),B(6,0), 「4a-2b+3=0 36a+6b+3=01 1 解得： 4 b=1 二抛物线表达式为y=4x2+x+3, (2)解：①设直线BC解析式为y=:+b(k≠0)，代入B(6,0),C(0,3), 6k+b=0 则b=3’ k=- 1 解得： 2, b=3 ·直线BC的解析式为y= 2+3 DE⊥AB, a++月 100/105 专题06 二次函数几何综合 常考题型·精准突破 题型1二次函数几何综合之线段周长问题（重） 题型2二次函数几何综合之面积问题（重） 题型3二次函数几何综合之角度问题（重） 题型4二次函数几何综合之特殊三角形问题（难） 题型5二次函数几何综合之特殊四边形（难） 题型6二次函数几何综合之相似三角形问题（难） 题型7二次函数几何综合之其他问题（高频） 题型8二次函数几何综合之综合实践（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1二次函数几何综合之线段周长问题 1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 3．已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过，，三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点，的坐标； (2)点在直线上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上）？若能，请画出图形并直接写出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取得最大值时，求线段的长； (3)若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． ◆题型2二次函数几何综合之面积问题 6．如图，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，连接，求面积的最大值以及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 9．二次函数的图象经过点，与x轴交于点B和点，与y轴交于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，平移线段至，使点B的对应点E落在二次函数在第一象限的图象上，点D的对应点F落在直线上，请求出此时点E的坐标； (3)如图2，在x轴上有一动点（），过点P作直线轴，交抛物线于点M．连接并延长，交y轴于点N，连接，，设的面积为，的面积为，当时，求m的值． 10．综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） ◆题型3二次函数几何综合之角度问题 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E是x轴上一动点，连接．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 12．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最大值及最大时点的坐标； (3)如图2，若将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且，则点的坐标为 ； (4)当最大时，作直线，若点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，过点作，垂足为，连接，，则的最小值为 ． 13．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于． (1)求抛物线的解析式； (2)将原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，连接，，作的平分线交于点． ①求点的坐标； ②如图，点为直线左侧抛物线上一点，连接并延长交轴于点，连接交抛物线于点，连接，当时，求点的横坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（ ）经过点、两点，与轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)在抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出P点坐标：若不存在，说明理由； (3)将抛物线沿x轴向左平移n（）个单位长度，若平移后的抛物线与直线 相切（只有一个交点），求n的值． 15．如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； (3)在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ◆题型4二次函数几何综合之特殊三角形问题 16．已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上第一象限内的一点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交于点，设点的横坐标为，当时，求点的坐标； (3)点是轴负半轴上一点，且，点的坐标为． ①如图，判断的形状，并说明理由； ②如图，点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值． 18．如图1，抛物线的顶点为C，与x轴的两个交点为、．直线经过A、C两点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)如图2，点M在直线上方的抛物线上，轴，，垂足分别为D、E．设点M的横坐标为m（）， ，求y与m的函数解析式，并求y的最大值； (3)点P在y轴上，若为直角三角形，请直接写出点的坐标． 19．如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线的对称轴上一点，且抛物线与轴的交点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点在对称轴右侧的抛物线上，点在轴上，若是以为直角顶点的直角三角形，且，求点和点的坐标； (3)如图2，是抛物线上的两个动点（点在点的左侧），点在同一直线上，过点作轴的垂线，交直线于点．是否存在实数，使得总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴是直线，点P在抛物线上，横坐标为m，分别作点P关于、的对称点M、N，连结得到． (1)求抛物线表达式； (2)________； (3)当是等腰直角三角形时，求m的值； (4)当点P在第四象限时，抛物线在内部（不含边界）的部分，y随x增大而减小时m的取值范围． ◆题型5二次函数几何综合之特殊四边形 21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线（b，c为常数）上，该抛物线与y轴的交点为．点P在该抛物线上，其横坐标为m．当点P不在坐标轴上时，过点P分别向x轴与y轴作垂线，垂足分别为点M和点Q． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)当点Q在抛物线上时，求m的值． (3)当，且四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点与最低点的纵坐标的差为时，求m的值． (4)当四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小，且此抛物线的顶点在四边形的对角线所在的直线上时，直接写出m的值． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； (3)在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 23．如图1，抛物线：的图象与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，其顶点为． (1)直接写出，，，四点的坐标． (2)顺次连接，，三点得．点为抛物线上一点（点不与点重合），若的面积等于的面积，求点的横坐标． (3)将抛物线：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位，得到新抛物线（如图2）．点是轴上的点，点是新抛物线上的点．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点的坐标． 24．已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，且．过点C作x轴的平行线与抛物线相交于点D． (1)若，． ①求该抛物线的顶点P的坐标； ②点M在抛物线上，以为边的的顶点E在直线上，求点M的坐标； (2)若点，点F在抛物线的对称轴上，以为边作，当取得最小值时，求a的值． 25．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是线段上方的抛物线上一动点，过点P作 ，交于Q，请问线段是否存在最大值?若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转 后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在 范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出n的值或取值范围． ◆题型6二次函数几何综合之相似三角形问题 26．如图，二次函数（其中）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 (1)点B的坐标为______，点C的坐标为_______； (2)若点D为的外心，判断的形状并说明理由； (3)若点D为的外心，与的面积之比为，求二次函数的表达式． 27．抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． (2)若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B．点D是抛物线上的一个动点，点D的横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线的对称轴为_____； (3)当与的面积相等时，求m的值； (4)若点D在第一象限内抛物线上，过点D作轴于点E，交于点P，且满足与相似，直接写出m的值． 29．在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）与x轴交于点A，B，点A位于点B的左侧，与y轴交于点C．若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点． (1)直接写出抛物线和直线对应的函数表达式； (2)若平行于x轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，且，求的取值范围； (3)设抛物线的顶点为D，连接，在x轴上找一点P，使以点P，B，D为顶点的与相似，求点P的坐标． 30．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为点A (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当最大值时，求点D的坐标； (3)如图1，点P在x轴上，点D在抛物线上，当P、D、B、C四点能构成平行四边形时，P点坐标是多少，不写过程，直接写出P点坐标 ◆题型7二次函数几何综合之其他问题 31．已知抛物线过点，，且． (1)若，求的值； (2)设点是抛物线的顶点，若，证明：． 32．已知抛物线： (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 33．已知二次函数（）经过两点． (1)对称轴方程为 ，用含a的代数式表示c，则 ； (2)一次函数与有且只有3个公共点时，求a的值； (3)过点作垂直于x轴的直线分别与一次函数，二次函数交于E，F两点，满足当的时候，总有E，F两点之间距离小于，求a的取值范围． 34．已知抛物线C：（）． (1)直接写出抛物线C的对称轴； (2)若点和均在抛物线C上，且，直接写出n的取值范围； (3)将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知点和均在图象G上，求的最小值． 35．已知抛物线的对称轴在轴右侧，当时，的最小值为，最大值为． (1)求整数，的值； (2)在（1）的条件下，直线与抛物线在范围内有两个交点，点，均在抛物线上，在的左侧． ①求的取值范围； ②若，过点作轴，垂足为，交直线于点．设的面积为，的面积为，若，且，求的近似值． ◆题型8二次函数几何综合之综合实践 36．综合实践课上，数学学习小组围绕正方形中的旋转变换开展探究活动，已知正方形中，，点E为边上一动点，点是射线延长线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段（点的对应点是点）． 【问题解决】 (1)如图①，过点F作，垂足为点G，若，则______，______； 【问题探究】 (2)如图②，设与边交于点，求线段的最小值； 【拓展延伸】 (3)如图③，连接，当时，求线段的值． 37．综合实践 问题情境：校园为优化夜间操场照明，在操场上方架设高空射灯投射装置，灯光在地面形成的照明边界轮廓可近似看作抛物线． 建立如图1所示的平面直角坐标系，该抛物线解析式为，灯光与地面（x轴）交于点和点B，灯光发射口在y轴上的点C处，且发射口高度． (1)直接写出抛物线的解析式及直线的解析式； (2)如图2，该抛物线的顶点D为射灯最高照射点位，为监测灯光边界的地下延伸范围，在边界点A处布设地下预埋激光探测线，其解析式为，探测线与抛物线在第四象限交于点E，求的度数． (3)若点P是该抛物线上任意一点，作轴垂足为点Q，直线交直线于F，再过点F作x轴的垂线垂足为R，为安装照明感应监控设备，要求线段最短，求此时点P的坐标及的最短长度． 38．综合与实践 综合实践小组模拟某游乐园“光影塔”夜间灯光秀布局，通过对直线、抛物线的分析，解决与“光影塔”最高点、游客位置、观景平台相关的问题，感受数学在实际场景中的应用． 如图，经过塔基主入口的迎宾步道（把步道抽象成直线）与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，抛物线顶点对应“光影塔”最高一束激光的末端． (1)初步感知：求抛物线顶点的坐标． (2)拓展应用：游客看作迎宾步道上一点，无人机航拍点是抛物线上一点，平行于轴且交轴于点，当时，求游客位置点的坐标． (3)延伸探究：虚拟观景平台是直线上方抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式并化为顶点式． 39．综合与实践 综合实践小组模拟某游乐园“光影塔”夜间灯光秀布局，通过对直线、抛物线的分析，解决与“光影塔”最高点、游客位置、观景平台相关的问题，感受数学在实际场景中的应用． 如图，经过塔基主入口的迎宾步道（把步道抽象成直线）与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，抛物线顶点对应“光影塔”最高一束激光的末端． 初步感知 （1）求抛物线顶点的坐标． 拓展应用 （2）游客看作迎宾步道上一点，无人机航拍点是抛物线上一点，平行于轴且交轴于点，当时，求游客位置点的坐标． 延伸探究 （3）虚拟观景平台是直线上方抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式并化为顶点式． 40．综合实践： 【问题情境】 如图1，窑洞作为黄土高原文化地标，乘乡村旅游东风，正被活化开发为特色民宿集群与文旅综合体，催生非遗工坊、生态农产等衍生业态，成为乡村振兴的“金名片”． 村民小明拟对窑洞门头进行现代化改造：以智能采光模块与立体通风系统提升空间舒适度、同时将镂雕、剪纸等地域符号嵌入其中，打造兼具功能性与视觉张力的“文化入口”，为传统民居升级注入文旅基因． 【方案设计】 小明对窑洞进行了测量并绘制了如图2所示的窑洞口的示意图，窑洞口的轮廓可以看成是由矩形和抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窑洞口的最高点到地面的距离为4米，其中点，在上，点，在抛物线上． 【方案实施】 在图2中，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．请按照以上方法解决下面问题： (1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线对应的函数解析式． (2)矩形为门框上的主窗，当时，求和的长． (3)如图3，矩形两侧正方形和正方形为装饰窗，其中，点，在抛物线上，点，在上，点，分别在和上．若将抛物线和构成的封闭区域内的线段定制为木质框架（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，此时的门头最美观，请直接写出此时其中一个装饰窗的面积． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点是线段上的动点，连接，过点作，交轴于点．则点纵坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点D，以为边向左作菱形，点C恰与原点O重合，抛物线的顶点在直线上移动．若抛物线与菱形的边、都有公共点，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，抛物线交轴分别于点，交轴正半轴于点，抛物线顶点为．下列结论：①；②；③时，；④当是等腰直角三角形时；⑤点是抛物线对称轴上的一点，若，则周长的最小值为．其中，错误的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 5．在平面直角坐标系中，我们定义点的“伴随点”为Q，且规定：当时，Q为；当 时，Q为．下列说法正确的序号是（    ） ① 点的伴随点坐标为； ② 若点的伴随点在函数 的图像上，则 ； ③ 若直线l： 与x轴、y轴交于A、B，将直线l上所有点的伴随点组成一个新的图形记作M，则M是以点为端点的两条射线，其解析式为； ④ 若直线l与坐标轴交于两点．将直线l上所有点的伴随点组成一个新的图形记作M．抛物线 与图形M有两个交点时， A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 6．如图，在第一象限内作射线，与轴的夹角为，在射线上取一点，过点作轴于点，得到．在抛物线上取点，在轴上取点，使得以，O，为顶点的三角形与全等，则不符合条件的的面积是（   ） A． B． C．或 D． 7．如图，抛物线过，，三点，过点的直线（不与x轴重合）交抛物线于点D、点E，交于点Q，连接，当取得最小值时，的值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在轴上，，，抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（）    A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标______． 10．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 11．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为 ___________________． 12．如图，一段抛物线记为，它与x轴的交点为O，，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为，…，如此进行下去，直至得到．当n为偶数时，抛物线的表达式为______． 三、解答题 13．如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 14．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 15．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． (1)当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； (2)当时，求点A的纵坐标的最小值． 16．已知抛物线：与直线：交于，两点，其中点在轴上． (1)若点的横坐标为，直线与轴交于点，求的值； (2)在（1）的条件下，若为线段上一点，过点作轴交抛物线于点，求四边形面积最大时点的坐标； (3)若，为该抛物线上不同的两点，，且满足，已知抛物线存在最小值，设，请判断是否为定值，若为定值，请求出的值；若不是定值，请确定其取值范围． 17．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数几何综合 常考题型·精准突破 题型1二次函数几何综合之线段周长问题（重） 题型2二次函数几何综合之面积问题（重） 题型3二次函数几何综合之角度问题（重） 题型4二次函数几何综合之特殊三角形问题（难） 题型5二次函数几何综合之特殊四边形（难） 题型6二次函数几何综合之相似三角形问题（难） 题型7二次函数几何综合之其他问题（高频） 题型8二次函数几何综合之综合实践（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1二次函数几何综合之线段周长问题 1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①或；② 【分析】（1）由抛物线顶点为，可得，，进一步可得答案； （2）①由，可得抛物线，直线为：，可得，进一步求解即可； ②由①同理可得：，当时，可得，，函数的对称轴为直线，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：抛物线顶点为， ∴，， ∴；． （2）解：①∵， ∴， 直线为：， ∵， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， 当时， 解得：或， 当时， 此时，方程无解． 综上：或． ②由①同理可得： ， 当时， ∴， 解得：，， ∴函数的对称轴为直线， 如图， 当或时，随的增大而增大， 当或时，随的增大而减少， 当时，， ∴， ∴点P从点运动到点的过程中，增大， 开口向上的抛物线的解析式为：， 开口向下的抛物线的解析式为：， 令，， 把代入， ∴， 解得：， ∵，的长存在最大值， ∴， 解得：， 当时， ∴， 当点P从点运动到点的过程中，减少， 此时图象不含端点， ∴不存在最大值， 综上：． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)最大值为4，点的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线，设，然后用的代数式表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线表达式，过点作轴于点，则，那么，设，则，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于，令，则 ∴ ∵ 设直线， 则 解得 ∴直线 设 ∵轴， ∴， ∵轴， ∴ 整理得， ∵， ∴当时，取得最大值为， 此时点； （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， 设点的对应点为点，作轴于点，则为等腰直角三角形，， 则由题意得， ∵ ∴ ∴点向右平移2个单位，向下平移2个单位得到点， 而抛物线， 则向右平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∵ ∴， 过点作轴于点 ∴ ∴ 设，则 ∴或 解得，或（舍去）； 解得，或（舍去） ∴当时，；当时，， 综上：符合条件的点的坐标为或． 3．已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①连接，根据题意可得点，，从而得到当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即，再求出点，可证明四边形为菱形，即可求解； ②在射线上取点G，使，连接，证明为等腰直角三角形，可得，可证明为等腰直角三角形，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， ∵将点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点E的坐标为； （2）解：①如图，连接， ∵，， ∴轴，， ∴， ∴点，， ∵， ∴当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即， 对于， 当时，， ∴点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为； ②如图，在射线上取点G，使，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴轴，即， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 即的最小值为． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过，，三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点，的坐标； (2)点在直线上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上）？若能，请画出图形并直接写出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2) (3)如图， 边上的顶点的坐标为，或 【分析】（1）求得点，坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点在横坐标；利用配方法即可求得点的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接 ，交直线于点，利用轴对称的性质可得，关于直线对称，此时 的周长最小，过点作轴于点，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线 的解析式为，再与直线联立即可求得点坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与 交于点，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点，，，在各边上，与点重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴ ， ∴， ∵抛物线 经过点A，C， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴ ，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴ ， ∴， 延长至点，使，连接 ，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时 的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴ 为的中位线， ∴， ∴， 设直线 的解析式为， ∴， ∴， ∴直线 的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与 交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为 的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵ ， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 5．如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取得最大值时，求线段的长； (3)若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）设抛物线解析式为，利用待定系数法求解； （2）首先求出，，得到直线的解析式为，设，则，表示出，然后利用二次函数的性质得到当时，取得最大值为，然后求解即可； （3）首先表示出，然后根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值为， ∴此时点P的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∵直线把的面积分成两部分， ∴当时， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为； 当， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． ◆题型2二次函数几何综合之面积问题 6．如图，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，连接，求面积的最大值以及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)2； (3)点M的坐标为或， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出所在直线表达式为， 过点P作于F，交于E，设点，则，可得，然后利用三角形的面积公式结合二次函数的最值求解即可； （3）首先求出，然后分当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵， ∴， 设所在直线表达式为， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为， 如图，过点P作于F，交于E， 设点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的面积的最大值为， ∴点； （3）解：由题意得， ∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴平移方式为将抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， ∴， ∵，点B的对应点为F， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线在一三象限的角平分线上，与x轴的夹角为， ∴直线与直线与x轴所成的夹角相等， ∴， ∴， 情况1： 如图，取点，当点N在x轴上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点N在直线上， ∴设， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得，（舍去）， ∴； 情况2： 如图，当点N在x轴下方时， 过点C作交直线于点L，与x轴交点K，过点A作交直线于点N， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 此时直线与抛物线的交点即为所求的M， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点C，K分别代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，， ∴直线的解析式为， 将和联立得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)， 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）利用铅锤高，水平宽，得到当的面积取得最大值时取最大值，即可求得点；利用轴对称的性质求得的最小值； （3）根据平移的性质求得新抛物线的解析式，求得点的坐标，即可求得，再利用求一次函数与抛物线的交点，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 把代入， 可得，解得， ∴ （2）解：令， 解得， ， 令，可得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点， ， 当最大时，的面积取得最大值， 设点，则， ， 当时，的面积取得最大值， 此时， 如图，将向下平移个单位到，使点与点重合，作关于对称轴直线的对称点，连接， ， 根据平移可得， 根据对称可得， ， 即的最小值为； （3）解：， ， 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向下平移3个单位，向右平移3个单位， ，，即， 如图，过点作轴，交于点，设与轴交于点， 则， ，， ， ， ， 即， ， 当在轴上方时，， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 列方程， 整理得， ，无解； 当在轴下方时，， 设直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 列方程， 整理得， 解得，； ，． 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 9．二次函数的图象经过点，与x轴交于点B和点，与y轴交于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，平移线段至，使点B的对应点E落在二次函数在第一象限的图象上，点D的对应点F落在直线上，请求出此时点E的坐标； (3)如图2，在x轴上有一动点（），过点P作直线轴，交抛物线于点M．连接并延长，交y轴于点N，连接，，设的面积为，的面积为，当时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出，，直线的表达式为，设点，根据平移的性质得到，然后代入求解即可； （3）首先表示出，，，，证明，得到，求出，然后表示出，，然后根据列方程求解． 【详解】（1）解：将和代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：令得，， 解得：，， ， 把代入中，得：， ， ∴点B向左平移3个单位，向下平移3个单位得到点D， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∵平移线段至， 设点，则点E向左平移3个单位，向下平移3个单位得到点， 将点F代入，得 整理得，， 解得（舍去），， ∴； （3）解：，轴，交抛物线于点M， ， ∴，，， ， ∴， ，即， 解得， ，， ， ， 整理得，， 解得（舍去），， 的值是． 10．综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式为，结合已知可得，，， ，则，，，则可求出，根据二次函数的性质得出当时，S有最大值，此时，即可求解； （3）根据题意判断出点C与点B是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线，根据平移规律得出，则新抛物线的对称轴为直线，，根据角平分线的定义和平行线的性质可得出，根据等边对等角得出，设，根据两点距离公式得出，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为， ∴，，，Q的纵坐标为，则， 或 ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值， 此时， ∴； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点， ∴相当于点C与点B是平移前后的对应点， 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线， ∴， ∴新抛物线的对称轴为直线，， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴的坐标为或． 或 ◆题型3二次函数几何综合之角度问题 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E是x轴上一动点，连接．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)点M的坐标为或， 过程如下： ∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴平移方式为将抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， ∴， ∵，点B的对应点为F， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线在一三象限的角平分线上，与x轴的夹角为， ∴直线与直线与x轴所成的夹角相等， ∴， ∴， 情况1： 如图，取点，当点N在x轴上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点N在直线上， ∴设， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得，（舍去）， ∴； 情况2： 如图，当点N在x轴下方时， 过点C作交直线于点L，与x轴交点K，过点A作交直线于点N， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 此时直线与抛物线的交点即为所求的M， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点C，K分别代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，， ∴直线的解析式为， 将和联立得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出所在直线表达式为，设过点P与平行的直线的表达式为，当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值，联立后利用判别式求出，得到；在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接，表示出，判断出当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I，然后利用勾股定理求解即可； （3）首先求出，然后分当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵， 设所在直线表达式为， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为， ∵P是线段上方抛物线上的一动点，， 设过点P与平行的直线的表达式为， ∴当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值， 联立直线与抛物线， 得：， ∴ 整理得， ∴ 解得， 代入得， 解得， 将代入 ∴此时； 如图，在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接， ∴， ∴， ∴当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）略 12．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最大值及最大时点的坐标； (3)如图2，若将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且，则点的坐标为 ； (4)当最大时，作直线，若点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，过点作，垂足为，连接，，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2)的最大值为2，此时点的坐标为 (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，求得直线的解析式为，则可得，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得平移后的新抛物线的解析式，分两种情况讨论点位置：当在轴上方时，由得，联立直线与抛物线求交点得；当在轴下方时，由角度关系得，列方程解得； （4）由（2）知，，，直线的解析式为，设，则，求得直线的解析式为，设，易得与x轴所形成的锐角为，进而得到，则，设，，问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值，求出点G关于直线的对称点，则的最小值为的长度，利用两点间距离公式求得即可求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线的解析式，得 ，解得． 抛物线的解析式为； （2）解：设点， 当时，． ． 设直线的解析式为， ， ∴，则， ∴直线的解析式为， 轴，． ， ， ∴当时，的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为； （3）解：对于，当时，，则， ∵，， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 分两种情况： 当点Q在x轴上方时，如图， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得或（舍去）， ∴； 当点Q在x轴下方时，如图，过作轴， 设，则， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得或（舍去） ∴， ∴， 综上，满足条件的Q的坐标为或； （4）解：如图，作轴，轴 由（2）知，，，直线的解析式为， , ，且， 在和中，， ， ， 设，则， 是的中点， ∴ ∵，， 为等腰直角三角形， ， 设直线的解析式为， 代入，得， 直线的解析式为， ∵于F， ∴设，且与x轴所形成的锐角为， 如图，分别过点N、点F作x轴、y轴的平行线，设交点为K， 则， 是等腰直角三角形， ∴，即，可得， ∴，则， ∴， 如图，设， ∴， ∴， 问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值， 设点G关于直线的对称点为，则， 则的最小值为的长度， ∵， ∴的最小值为． 13．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于． (1)求抛物线的解析式； (2)将原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，连接，，作的平分线交于点． ①求点的坐标； ②如图，点为直线左侧抛物线上一点，连接并延长交轴于点，连接交抛物线于点，连接，当时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】直接将代入抛物线解析式，然后化成一般式即可； ①由题意可得，对称轴为，进而得到，即得，再利用角平分线的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形可得，即可确定点的坐标；②过点作于，则，设，得，即得，，，由得到，再利用解答即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于， ∴， 解得， ∴， 即； （2）解：①∵抛物线与轴负半轴交于点， ∴，对称轴为直线， ∵原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图，过点作于，则， 设，则， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点的横坐标为． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（ ）经过点、两点，与轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)在抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出P点坐标：若不存在，说明理由； (3)将抛物线沿x轴向左平移n（）个单位长度，若平移后的抛物线与直线 相切（只有一个交点），求n的值． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解． （2）先假设存在，设出其横坐标，利用等角对等边得出其纵坐标，再代入解析式即可求解． （3）利用只有一个交点，联立解析式，令即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（ ）经过点、两点， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线关于y轴对称， ∴． （2）解：存在，或； 理由：假设存在点，设其横坐标为t，连接，过P点作x轴于点D， ∵， ∴， ∴， 如图，当P点在x轴上方时， ∴， 代入中得， 解得或（与A点重合，舍去）， ∴， ∴． 如图，当P点在x轴下方时， ∴， 代入中得， 解得或（与A点重合，舍去）， ∴， ∴． （3）解：将抛物线沿x轴向左平移n（）个单位长度，平移后的抛物线解析式为， 令， ∴， ∵平移后的抛物线与直线 相切， ∴， ∴． 15．如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； (3)在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，连接，设，其中，然后根据割补法得到的面积，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，由题意易得，，，然后可得，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（）与轴交于、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）可知：抛物线的表达式为， ∴令时，则有，即， 连接，设，其中， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为； （3）解：存在点，使得， ∵，，， ∴， ∴，， 过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，如图所示： ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为，则有， ∴， ∴的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． ◆题型4二次函数几何综合之特殊三角形问题 16．已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值为2 (2)当x为0时，此二次函数有最小值5，当时，y随x的增大而减小 (3)新抛物线的顶点坐标为，存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）由二次函数定义可知，的指数必须等于 2，且二次项系数 ，由此解出 的值． （2）将代入函数解析式得，根据二次函数的顶点坐标公式和开口方向，可确定其顶点坐标、最小值及增减性． （3）由平移规律“左加右减、上加下减”得新抛物线顶点为，设，分别讨论、、三种情况，利用两点间距离公式列方程求解 值，即可得到所有满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意得，且， 解得， 所以的值为 2； （2）解：∵的值为 2， ∴， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴当 时，此二次函数有最小值 5，当时，随的增大而减小； （3）解：∵，顶点坐标为， ∴将此二次函数的图象向左平移 3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后新抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 设， 则 ① 当时， ，解得 或 9， ∴ 点的坐标为或； ②当时， ，解得， ∴点的坐标为； ③ 当时， ，解得或， ∴点的坐标为或． 综上，点的坐标为或或或或． 17．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上第一象限内的一点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交于点，设点的横坐标为，当时，求点的坐标； (3)点是轴负半轴上一点，且，点的坐标为． ①如图，判断的形状，并说明理由； ②如图，点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①是直角三角形，理由如下， ∵ ∴，则 ∵点的坐标为， ∴，， ∴ ∴是直角三角形； ② 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据已知得出，进而根据，结合已知求得，代入求得的值，即可求解； （3）①根据题意求得的坐标，进而根据勾股定理的逆定理，即可求解； ②作，且使，连接，证明得出，，可得，，共线时，的值最小， 进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴ （2）解： 当时，， ∴，则， 当时， 解得：， ∴，，则 ∵点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，即 ∴ 解得： ∴ （3）解：①略 ②如图，作，且使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ，，共线时，的值最小， 又∵， ． 即的最小值为． 18．如图1，抛物线的顶点为C，与x轴的两个交点为、．直线经过A、C两点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)如图2，点M在直线上方的抛物线上，轴，，垂足分别为D、E．设点M的横坐标为m（）， ，求y与m的函数解析式，并求y的最大值； (3)点P在y轴上，若为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为 (2)； (3)或或或 【分析】（1）根据抛物线解析式得到点C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点A的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）可证明是等边三角形，则；延长交于点G，求出；根据题意可得，解直角三角形可得，则可求出；进而得到，则可求出，再利用二次函数的性质求出y的最大值即可； （3）分三种情况：点A为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点，利用两点间的距离公式和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为C， ∴点C的坐标为； ∵直线经过点C， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点A的坐标为， 把点A的坐标代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， 解得或， ∴， 由（1）得，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 如图所示，延长交于点G， ∵轴，， ∴， ∴； ∵点M的横坐标为m， ∴， 在中，， ∴ ； 在中，， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，， ， 当点A为直角顶点时，则由勾股定理得， ∴， 解得， ∴此时点P的坐标为； 当点C为直角顶点时，则由勾股定理得， ∴， 解得， ∴此时点P的坐标为； 当点P为直角顶点时，则由勾股定理得， ∴， 解得或， ∴此时点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 19．如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线的对称轴上一点，且抛物线与轴的交点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点在对称轴右侧的抛物线上，点在轴上，若是以为直角顶点的直角三角形，且，求点和点的坐标； (3)如图2，是抛物线上的两个动点（点在点的左侧），点在同一直线上，过点作轴的垂线，交直线于点．是否存在实数，使得总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在； 【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为直线，可求的值，再将点代入，即可确定函数的解析式； （2）设对称轴与轴的交点为，过点作交于点，则，能得到，，设，，则，，即可求，； （3）过点作交于点，过点作交于点，设对称轴与的交点为，由题意可知，再由，则，设直线的解析式为，当时，，，求出，可得等式，整理后可得． 【详解】（1）解：是抛物线的对称轴上一点， 抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 抛物线的解析式为， 将点代入， ， 抛物线的解析式为； （2）解：设对称轴与轴的交点为，如图1，过点作交于点， ， ， ， ，， 设，， ，， 解得或（舍，或（舍， ，； （3）解：实数，使得总成立，理由如下： 如图2，过点作交于点，过点作交于点，设对称轴与的交点为， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 当时，，， ，轴， ， ， 解得． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴是直线，点P在抛物线上，横坐标为m，分别作点P关于、的对称点M、N，连结得到． (1)求抛物线表达式； (2)________； (3)当是等腰直角三角形时，求m的值； (4)当点P在第四象限时，抛物线在内部（不含边界）的部分，y随x增大而减小时m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的取值为 9 或 (4)或 【分析】（1）直接代入二次函数对称轴公式，求解参数，即可得到抛物线的完整表达式； （2）先求出抛物线与坐标轴的三个交点的坐标，通过计算三边长度的平方，验证勾股定理逆定理，即可得解； （3）利用对称点的连线与对称轴垂直的性质，结合第(2)问得到的直角条件和等腰直角三角形的性质，推导出和，再利用三角函数值和一次函数的性质得出的值； （4）分点点移动到对称轴左侧和点点移动到对称轴右侧两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵已知抛物线的对称轴为直线 ， ∴，得， ∴抛物线表达式为：； （2）解：令，解方程 ，得，， ∴，， 令，得，即， ∴， ，， ∴， ∴； （3）解：如图，设交于点，交于点，过点作轴的平行线交于点，交于点， ∴,， ∵，，，， ∴,，， 由对称性质可知：点关于的对称点为，点 关于的对称点为， ∴， ，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵ 为等腰直角三角形， ∴ ， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵点P在抛物线上，横坐标为m， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴或， 整理得，，， ∴或或（不符合题意，舍去）， ∴的取值为 9 或； （4）解：∵，点P关于、的对称点M、N， ∴，，， ∴三点共线， ∴由图可知抛物线在 内部的部分只有在点到点的抛物线段， 如图，当点移动到对称轴右侧，经过顶点且向上平移时，抛物线在内部（不含边界）的部分，y随x增大而减小， ∵， ∴顶点坐标为， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∵点P在第四象限， ∴当时，抛物线在内部（不含边界）的部分，y随x增大而减小， 如图，当点移动到对称轴左侧时，抛物线在内部（不含边界）的部分，y随x增大而减小， ∵抛物线的对称轴为直线，点P在第四象限， ∴当时，抛物线在内部（不含边界）的部分，y随x增大而减小， ∴的取值范围为或． ◆题型5二次函数几何综合之特殊四边形 21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线（b，c为常数）上，该抛物线与y轴的交点为．点P在该抛物线上，其横坐标为m．当点P不在坐标轴上时，过点P分别向x轴与y轴作垂线，垂足分别为点M和点Q． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)当点Q在抛物线上时，求m的值． (3)当，且四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点与最低点的纵坐标的差为时，求m的值． (4)当四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小，且此抛物线的顶点在四边形的对角线所在的直线上时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）将点和代入解出，进而写出函数解析式； （2）由，向轴作垂线得垂足，因在抛物线上，代入抛物线方程得，即可解得的值； （3）先求出抛物线顶点，令得抛物线与轴交点，由题意，分、、三种情况讨论矩形内抛物线的最值，分别列方程求解的值即可； （4）由题意得矩形四个顶点坐标，抛物线顶点，分两种情况：顶点在对角线上，代入直线解析式；顶点在对角线上，代入直线解析式，分别解出的值，再结合函数图象，检验是否满足四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小． 【详解】（1）解：由题意，点和在抛物线上， 可得，解得， 该抛物线对应的函数解析式为． （2）解：点P在该抛物线上，其横坐标为m， ， 过点P分别向y轴作垂线，垂足为点Q， 则 ， 在抛物线上， ， 可得，解得或， 不在坐标轴上， ． （3）解：如图， 抛物线，顶点， 由（2）得，， 令，解得， ，， 当时，如图： 四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ，解得或（舍）， ， 当时，四边形内部（包括边界）与抛物线仅有一个交点，不符合题意； 当时，如图： 四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ，解得或（舍）， ， 综上， 或． （4）解：由题意，，，，． 抛物线顶点在对角线或 上． 设对角线的函数解析式为， 可得，解得， ， 代入 可得，化简得 解得或， 如图， 当或时，四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小，符合题意； 设对角线的函数解析式为， 可得，解得， ， 代入 可得，化简得， ， ， ， 如图，此时点在的右边， 此时，四边形内部没有抛物线上的点，不符合题意； 综上，或． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； (3)在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 【答案】(1)； (2)的值最大为，； (3)解：或或，过程如下： 由（2）可知：， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于将抛物线先向右移动4个单位长度，再向下移动4个单位长度， 故平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线，联立，解得， ∴， ∵点N为新抛物线对称轴上一点， ∴设， 由（2）知：， ∴ 当以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，分两种情况： ①，此时为菱形的对角线， 则，解得或， 设，则， ∴， ∴或，即或； ②当，此时为菱形的对角线， 则，解得； 设，则， ∴， ∴，即； 综上：或或. 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而得到，延长交轴于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，得到，转化为二次函数求最值即可； （3）先求出平移后的抛物线的解析式，联立两个解析式，求出点坐标，设，分，两种情况，结合菱形的对角线互相平分，进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于，， ∴，解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 延长交轴于点，设， ∵轴， ∴，，轴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴ ∴当时，的值最大为，此时； （3）略 23．如图1，抛物线：的图象与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，其顶点为． (1)直接写出，，，四点的坐标． (2)顺次连接，，三点得．点为抛物线上一点（点不与点重合），若的面积等于的面积，求点的横坐标． (3)将抛物线：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位，得到新抛物线（如图2）．点是轴上的点，点是新抛物线上的点．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)2或或 (3)或 【分析】（1）分别令和即可求出，，，然后配方成顶点式即可求出； （2）首先求出直线解析式为，根据题意得到点到直线的距离等于点到直线的距离，然后分两种情况讨论求解即可； （3）首先求出新抛物线的解析式，设，，然后根据平行四边形的性质分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∵A在B的左侧， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴顶点； （2）解：设直线的表达式为， 代入，得，， 解得，， ∴直线解析式为， ∵的面积等于的面积， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， 当点P在直线上方时，此时点在过点且平行于的直线上，直线与y轴交于点F，如图， 设直线为， 将，代入得， 解得， ∴直线为， 联立直线与抛物线得，， 解得，， 当时，对应的是点，题目要求不与重合，舍去； ∴此时点的横坐标为； 当点P在直线下方时，设此时点在直线上，直线与y轴交于点E， ∴与关于直线对称， ∴， ∵直线表达式为， ∴当时，，即， ∵， ∴， ∴， ∴可得直线的解析式为， 联立直线与抛物线得，， 解得，， 综上所述，点的横坐标为2或或； （3）解：由（1）可知，， ∵抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 设，， ∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， ∵平行四边形对角线中点重合，即中点与中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； 当为对角线时， 同理可得，， 解得，， ∴； 当为对角线时， 同理可得，， 解得，， ∴， 综上所述，点的坐标或． 24．已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，且．过点C作x轴的平行线与抛物线相交于点D． (1)若，． ①求该抛物线的顶点P的坐标； ②点M在抛物线上，以为边的的顶点E在直线上，求点M的坐标； (2)若点，点F在抛物线的对称轴上，以为边作，当取得最小值时，求a的值． 【答案】(1)①；②点； (2) 【分析】（1）①先求解出函数解析式，并化为顶点式求解顶点坐标即可； ②先求解出直线的函数表达式，设出点E的坐标，根据的性质得到点M的坐标，再由点M在抛物线上，列式求解即可； （2）先得到抛物线的解析式和对称轴，再添加辅助线，平移至，使得点G的对应点为点F，点B的对应点为点，根据平移的性质得到四边形为平行四边形，则有当点A，点F，点三点共线时，取得最小值，得到点的坐标，利用，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，，且． ∴，可得， ∴抛物线为， 化为顶点式为， 则该抛物线的顶点P的坐标为； ②由①知，抛物线为， 令，即，解得或， ∴点，点， 令，可得， ∴点， ∵过点C作x轴的平行线与抛物线相交于点D． ∴点D的纵坐标为， 则，解得或， ∴点， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点与点代入函数表达式， 则，可得， ∴直线的函数表达式为， 以为边的如图， 则有， ∵顶点E在直线上， 设点， ∴点M的横坐标为，纵坐标为， ∴点， ∵点M在抛物线上， ∴， 整理可得，解得（舍）或， ∴点； （2）解：∵，则． ∴抛物线为， ∵点， ∴，可得， ∴抛物线为（）， ∴抛物线的对称轴为，点，点， 点F在抛物线的对称轴上，以为边作， 平移至，使得点G的对应点为点F，点B的对应点为点， 连接，，，如图， ∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点F在抛物线的对称轴上， ∴， ∴， 当点A，点F，点三点共线时，取得最小值， 即， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，且， ∵， ∴， ∵点， ∴点， ∴，即， 可得，解得（负值舍掉） 即当取得最小值时，a的值为． 25．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是线段上方的抛物线上一动点，过点P作 ，交于Q，请问线段是否存在最大值?若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转 后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在 范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出n的值或取值范围． 【答案】(1)为； (2)存在，有最大值，此时； (3)或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，得出，求出直线的解析式为，过点作轴，交于点．设，则，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出最大值即可； （3）分两种情况：当时，点在点上方，当时，点在点下方，分别画出图形，求出点G的坐标；然后根据正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，得出边与抛物线相交或顶点在抛物线上时符合题意；从而可知当与抛物线相交时有，再根据点或点在抛物线上，求出n的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：线段存在最大值；理由如下： ∵抛物线与轴交于点， 当时，得， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图1，过点作轴，交于点，则， 设，则， ， ， ，， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，有最大值，此时， 即此时； （3）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴点D、E在抛物线的对称轴上； ∵，当时，， ∴当时，点在点上方， ， 由旋转得：， ，； 当时，点在点下方， 同理可得：， ， ∴不论为何值，点的坐标为，点坐标为； ∵正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴边与抛物线相交或顶点在抛物线上时，符合题意， ①当时，点在点上方， 如图3，边在点右侧，与抛物线相交时， 则，解得； 如图4，点在抛物线上时， ∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， 解得（大于的值舍去）； ②当时，点在点下方，如图5，此时点在抛物线上时符合要求， ， 解得（小于的值舍去）； 综上所述，的取值范围为或或． ◆题型6二次函数几何综合之相似三角形问题 26．如图，二次函数（其中）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 (1)点B的坐标为______，点C的坐标为_______； (2)若点D为的外心，判断的形状并说明理由； (3)若点D为的外心，与的面积之比为，求二次函数的表达式． 【答案】(1)， (2)解：是等腰直角三角形， 理由：由（1）知点，点，点， ∴，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵点D为的外心， ∴，即是的内接三角形，如图： ∴， ∴是等腰直角三角形； (3) 【分析】（1）在中，分别令，，即可求解； （2）由（1）知点，点，点，可得，易证是等腰直角三角形，且，根据点D为的外心，得到是的内接三角形，利用圆周角定理可得即可说明； （3）由（2）得是等腰直角三角形，易证，结合已知可得，求出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得，即， 解得，， ∴点，点， 在中，令得， 点； （2）略 （3）解：由（2）得是等腰直角三角形， ∴， ， ∵点，点，点， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； ∴二次函数的表达式为． 27．抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． (2)若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法，把、代入即可求出抛物线的函数关系式；同法可求直线解析式， （2）设，其中，则，得到的面积，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）过作轴交延长线于，过作轴交于，求出，得，设，则，，证明，有，即得的最大值为． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， 设直线解析式为，把，得： ，解得： 直线解析式为 （2）解：存在， 如图， ∵点G在直线上， ∴可设，其中，则 ∴的面积， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时 （3）存在最大值，理由如下： 过作轴交延长线于，过作轴交于，如图： 在中，令得， ， ， 设，则， ， 轴，轴， ∴， ，， ∴， ， ， ， 的最大值为． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B．点D是抛物线上的一个动点，点D的横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线的对称轴为_____； (3)当与的面积相等时，求m的值； (4)若点D在第一象限内抛物线上，过点D作轴于点E，交于点P，且满足与相似，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组得到该抛物线的解析式为； （2）先化为顶点式，由对称轴公式求解即可； （3）根据点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，于是得到或经过的中点，进而求解即可； （4）设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，由题意，，则，根据已知条件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①当时，②当时，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ 解得， ∴该抛物线的解析式为， （2）解：， ∴该抛物线的对称轴为直线； （3）解：∵抛物线与轴交于点， ∴)， ∵点是抛物线上的一个动点，与的面积相等， ∴当时或当经过的中点时满足条件， 当时，点B、点D关于直线对称， ∴点的横坐标为2，即； 当经过的中点时，设中点为，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，解得，， ∴点D的横坐标， 综上，或； （4）解：设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意，，则，，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ①当时， 则， ∴ 解得 ∵， ∴； ②当时， 则， ∴， 解得或 (不合题意舍去)， 综上，或． 29．在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）与x轴交于点A，B，点A位于点B的左侧，与y轴交于点C．若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点． (1)直接写出抛物线和直线对应的函数表达式； (2)若平行于x轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，且，求的取值范围； (3)设抛物线的顶点为D，连接，在x轴上找一点P，使以点P，B，D为顶点的与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据二次函数平移的性质分别得出两次平移后的解析式，再把点分别代入两次平移后的解析式，解出m的值，取其公共解，最后将公共解代入原二次函数解析式即可得出二次函数解析式，再求出二次函数解析式与坐标轴的交点，最后运用待定系数法求出解析式即可． （2）设直线l：，根据已知条件得出a的取值范围，再联立直线l与抛物线和直线，得出，根据抛物线可知代入，最后得出，最后由二次函数的图象和性质求解即可． （3）连接，过点D作轴，垂足为E．根据正切的定义得出，进而可得出点P在点B的左侧．则存在或．然后根据相似三角形的性质列出比例进一步求解即可得出答案． 【详解】（1）解：将抛物线向右平移1个单位后的解析式变成：， 将点代入得：， 解得或， 将抛物线向左平移3个单位后的解析式变成：， 将点代入得：， 解得或， ∴公共解为， 把代入， 得出抛物线对应的函数表达式为； 令， 则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， 设的解析式为， 则， 解得 ∴直线对应的函数表达式为． （2）解：如图1，设直线l：， ，， ． ∵直线l与抛物线和直线都相交， ∴可列方程 得． ， ∵抛物线的对称轴是， ， ． 又， ． ∵， ∴抛物线开口向上， 又， ∴当时，y取得最小值为60，当时，y取得最大值为， ． 即． （3）解：如图2，连接，过点D作轴，垂足为E． ∵抛物线， ∴顶点． ∴， 由（1）可知，，，，，，， ∵， ， ． 与相似， ∴点P在点B的左侧． ∴存在或． 当时， 则， 得 ． ∴点． 当时， 有， 得 ， ∴点． 综上，使与相似的点P的坐标为或． 30．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为点A (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当最大值时，求点D的坐标； (3)如图1，点P在x轴上，点D在抛物线上，当P、D、B、C四点能构成平行四边形时，P点坐标是多少，不写过程，直接写出P点坐标 【答案】(1) (2)点坐标为 (3)符合条件的点坐标为：、、、． 【分析】（1）先求B、C两点坐标：令直线中得B点坐标，令得C点坐标，再将B、C坐标代入抛物线解析式，解二元一次方程组得b、c，确定抛物线解析式． （2）令抛物线求得A点坐标，过作轴交直线于，过A作轴交直线于N，因为和同高，所以面积比等于底的比，可转化为之比，由，​，设D点坐标为参数，求出线段长的解析式，用参数表示出的表达式，再利用二次函数性质求最大值时的参数值，得到D点坐标． （3）平行四边形存在性：分为对角线三种情况，根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合P在x轴上纵坐标为0、D在抛物线上满足抛物线解析式的条件，分类计算P点坐标． 【详解】（1）解：对，令，得，故； 令，得，故． 将、代入抛物线， 得，解得​， ∴抛物线解析式为． （2）令抛物线， 解得或， ∴， ∴． 设， 过作轴交直线于，过A作轴交直线于N， 则， ∴． 对，令，得， 故， ∴， ∵和同高， 故​， 又， ∴， ∴​， ∴， ， ∴当时，​​取最大值， 此时的纵坐标为， ∴​​最大时，点坐标为 （3）设， ∵P、D、B、C四点构成平行四边形， ∴分三种对角线情况： 情况1：与为对角线， ∵对角线中点相同： 中点：，中点为，即 中点：，即， ∴， 即， ∴， 解得或， 当，，，与C重合，舍去； 当，， 情况2：与为对角线， 中点：，即 中点：，即 ∴， 即， ∴， ∴，， 解得， 当，，； 当，， 情况3：与为对角线， 中点：，即， 中点：，即， ∴，即， ∴， 解得或， 当，，与C重合，舍去； 当，，． 故符合条件的点坐标为：、、、． ◆题型7二次函数几何综合之其他问题 31．已知抛物线过点，，且． (1)若，求的值； (2)设点是抛物线的顶点，若，证明：． 【答案】(1)1 (2)证明：∵，在抛物线上， ∴，． 两式相减得： ∵， ∴ ，即 ． 顶点横坐标． ∵， ∴．得证． 【分析】（1）因为，即，将两点坐标代入抛物线解析式，两式相减得 ，由已知可知，则题目可解； （2）将两点坐标代入抛物线解析式，两式相减整理得，代入顶点横坐标结合条件即可得证． 【详解】（1）解：抛物线过点，，且，即． ∴， ． 两式相减得： ， ∵且， ∴， ∴． （2）证明：略． 32．已知抛物线： (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)①； ②抛物线恒过定点，定点坐标为； 证明：∵， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴，， ， ， 将上述式子代入得： 整理得， 提取公因式得， ∵，且， ∴， ∴，即， 由①得，将代入得：， 将代入得， ∴抛物线的解析式为， 当时，，结果与的取值无关， ∴抛物线恒过定点，定点坐标为． 【分析】（1）将给定的代入抛物线解析式，用配方法即可求出顶点坐标； （2）①将，两点坐标代入抛物线解析式，两式作差后因式分解，结合和即可推导出关于的表达式； ②利用勾股定理结合求出的值，再推导得到为定值，即可证明抛物线恒过定点并求出定点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为 配方得 因此抛物线的顶点坐标为 （2）①因为点，都在抛物线上 所以可得 两式作差得 整理得 因式分解得 ∵， ∴， ∴ ②略 33．已知二次函数（）经过两点． (1)对称轴方程为 ，用含a的代数式表示c，则 ； (2)一次函数与有且只有3个公共点时，求a的值； (3)过点作垂直于x轴的直线分别与一次函数，二次函数交于E，F两点，满足当的时候，总有E，F两点之间距离小于，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入即可求出结果； （2）的图象是将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴上翻折到轴上方，要使一次函数与有且只有3个公共点，当经过时，；当一次函数与在点之间的图象只有一个交点时，； （3）令，经过原点，关于直线对称，由当时，，可得，从而确定；当时，此时当时，取最大值为，得出；当时，此时当时，取最大值为，得出． 【详解】（1）解：将代入得： ，解得：， ∴对称轴方程为（）， 综上：对称轴为，． （2）解：一次函数的图象为一条直线， ∵，， ∴， ∴， ∴的图象是将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴上翻折到轴上方， ∴在轴下方没有图象， ∴要使一次函数与有且只有3个公共点，则， ∴， 如图所示，当经过时， ∴，解得：； 如图所示，一次函数与在点之间的图象只有一个交点， 在点之间的图象解析式为， 令，整理得：， ，解得：或（舍去）， 综上：或． （3）解：∵， ∴，， ∴， 令，当时，， ∴经过原点，关于直线对称， 当时，；当时，；当时，； ∵当时，， ∴且， ∴， ∴， 当时，解得：，如图所示： ∴此时，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时当时，取最大值为， ∴，解得：， ∴， ∴当时，解得：，如图所示： ∴此时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时当时，取最大值为， ∴，解得：， ∴， 综上：． 34．已知抛物线C：（）． (1)直接写出抛物线C的对称轴； (2)若点和均在抛物线C上，且，直接写出n的取值范围； (3)将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知点和均在图象G上，求的最小值． 【答案】(1)直线 (2)或 (3)解：， 则抛物线的顶点坐标为， 根据翻折规则可得，当时，设原抛物线上一点， 则翻折后点的纵坐标为， 则， 则图象G的解析式为， ∵， ∴，， 又∵点和均在图象G上， ∴， ， ∴， ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，最小，最小值为． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）先求得点关于对称轴的对称点，根据可得，开口方向向下，离对称轴越近函数值越大，再根据确定出的取值范围即可； （3）先求抛物线C的顶点坐标，根据翻折规则，求得翻折后的图象解析式，然后根据的横坐标确定出的位置，从而求出，表示出，利用二次函数的性质，求得最小值即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的对称轴公式可得， 抛物线的对称轴为； （2）解：由（1）得，对称轴为， 则点关于对称轴的对称点为， 由可得，抛物线开口向下， 根据二次函数的性质可得，离对称轴越远，函数值越小， 由可得，到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 可得或； （3）略 35．已知抛物线的对称轴在轴右侧，当时，的最小值为，最大值为． (1)求整数，的值； (2)在（1）的条件下，直线与抛物线在范围内有两个交点，点，均在抛物线上，在的左侧． ①求的取值范围； ②若，过点作轴，垂足为，交直线于点．设的面积为，的面积为，若，且，求的近似值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据题意求得抛物线对称轴为，根据对称轴在轴右侧得出，分情况讨论，当对称轴在时，求得最小值和最大值，进而求得的值，当对称轴时，同理求得最值，根据是整数进行取舍，即可求解； （2）①联立直线与抛物线得出，根据题意得出且，，解不等式组，求得的范围，即可求解； ②分别表示出，，，将代入，进而根据建立方程， 解方程，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， 对称轴为， 由对称轴在轴右侧得 ∴ ∵当时，的最小值为，最大值为 情形一：当对称轴在时，即， 又 ∴ ∴最小值为，即最小值在顶点处，得：，即① 最大值在或， 当时，， 代入①解得：，或，（舍去） 当时，， 代入①解得：（舍去）或（舍去） 情形二：当对称轴时，即 ∴， ∴最大值为时， 最小值为时， 解得：，不是整数， 综上所述，，； （2）解：①联立直线与抛物线 得 ∵直线与抛物线在范围内有两个交点， 设， ∴且， 解 ∴或 解得： 解得 综上所述： ②设的面积为，的面积为，， ∵在上， ∴，，， ∴，， 又∵，则 ∴ ∴ ∵ ∴① ∵在的左侧 ∴，则 ∴ （i）当时， ∴ 当时， 解得：（舍去） （ii）当或时， ∴ 当时， 解得： ◆题型8二次函数几何综合之综合实践 36．综合实践课上，数学学习小组围绕正方形中的旋转变换开展探究活动，已知正方形中，，点E为边上一动点，点是射线延长线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段（点的对应点是点）． 【问题解决】 (1)如图①，过点F作，垂足为点G，若，则______，______； 【问题探究】 (2)如图②，设与边交于点，求线段的最小值； 【拓展延伸】 (3)如图③，连接，当时，求线段的值． 【答案】(1)9；； (2) (3)或 【分析】（1）先由旋转可知，，进一步证明，再根据可证明，进而得出，，由勾股定理即可求出， （2）设，，由得到，进而可得，利用二次函数的最值即可解决问题， （3）过点作，，垂足分别为、，设，则，根据（1）可得四边形是正方形，即，再在中，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）证明： 线段绕点E顺时针旋转，得到线段， ∴， ， 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， 在与中， ， ； ∴，， ∴， . （2）解：由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， 整理得：， ∴当时，有最小值，. 即线段的最小值为. （3）解：如图③，过点作，，垂足分别为、，    设，则， 由（1）可得：，， ∴， 即， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， 在中，， ， 解得：，， 即：长为或． 【点睛】这道题是典型的“旋转+最值+方程”综合题. 第一问用一线三垂直模型证明全等； 第二问用相似三角形的性质 + 二次函数求几何最值（函数法）；  第三问构造正方形 + 勾股定理列方程求解.  解题时，务必利用好第一问的全等结论，它是贯穿整道题的“金钥匙”. 37．综合实践 问题情境：校园为优化夜间操场照明，在操场上方架设高空射灯投射装置，灯光在地面形成的照明边界轮廓可近似看作抛物线． 建立如图1所示的平面直角坐标系，该抛物线解析式为，灯光与地面（x轴）交于点和点B，灯光发射口在y轴上的点C处，且发射口高度． (1)直接写出抛物线的解析式及直线的解析式； (2)如图2，该抛物线的顶点D为射灯最高照射点位，为监测灯光边界的地下延伸范围，在边界点A处布设地下预埋激光探测线，其解析式为，探测线与抛物线在第四象限交于点E，求的度数． (3)若点P是该抛物线上任意一点，作轴垂足为点Q，直线交直线于F，再过点F作x轴的垂线垂足为R，为安装照明感应监控设备，要求线段最短，求此时点P的坐标及的最短长度． 【答案】(1)， (2) (3)或， 【分析】（1）利用待定系数法即可求解二次函数与一次函数的解析式； （2）首先求出顶点D的坐标，连接，过D作轴于M，由点D、C、A的坐标易得，求得，的值，从而求得的正切值，同理可求得与的正切值相等，即这两个角相等，由此即可求得的度数； （3）连接，易得四边形为矩形，则有，当时，最短，由为等腰直角三角形可求得最短长度，且点F是的中点，由此得其坐标，由点P与点F的纵坐标相同，代入抛物线解析式中求得点P的横坐标，从而得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将B、C两点坐标代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵， ∴顶点， 连接，过D作轴于M，设直线与y轴交点，如图2， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵直线与y轴交点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当时，最短， ∵， ∴为等腰直角三角形，此时F为线段的中点， ∴最短长度，， ∵轴， ∴P点纵坐标也为3， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或， ∴的最短长度为． 38．综合与实践 综合实践小组模拟某游乐园“光影塔”夜间灯光秀布局，通过对直线、抛物线的分析，解决与“光影塔”最高点、游客位置、观景平台相关的问题，感受数学在实际场景中的应用． 如图，经过塔基主入口的迎宾步道（把步道抽象成直线）与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，抛物线顶点对应“光影塔”最高一束激光的末端． (1)初步感知：求抛物线顶点的坐标． (2)拓展应用：游客看作迎宾步道上一点，无人机航拍点是抛物线上一点，平行于轴且交轴于点，当时，求游客位置点的坐标． (3)延伸探究：虚拟观景平台是直线上方抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式并化为顶点式． 【答案】(1) (2)或 (3)，顶点式为 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解； （2）求出直线的解析式，然后求出点，设点E的坐标为，可得点，，则可得，，再根据建立方程，解方程即可得； （3）过点P作轴，交于点Q，由（2）得：点，，从而得到，再根据，即可列出函数解析式． 【详解】（1）解：把点，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线顶点的坐标为． （2）由题意，画出图形如下： 设直线的解析式为， 把点，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 设点的坐标为， ∵轴， ∴，， ∴，， 当点在的上方时，此时， ， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为； 当点N在M的下方时，此时或， 若点M，N均在x轴上方，此时， ， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为； 若点M，N均在x轴下方，此时， ， 解得：或4，均不符合题意； 综上所述，点的坐标为或． （3）过点作轴，交于点， ∵点是直线上方抛物线上一点，且，点的横坐标为， ∴， 由（2）得：直线的解析式为， ∴，， ∴， ∵， ∴与的边上的高之和为， ∴ ， 综上，关于的函数解析式为，化为顶点式为． 39．综合与实践 综合实践小组模拟某游乐园“光影塔”夜间灯光秀布局，通过对直线、抛物线的分析，解决与“光影塔”最高点、游客位置、观景平台相关的问题，感受数学在实际场景中的应用． 如图，经过塔基主入口的迎宾步道（把步道抽象成直线）与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，抛物线顶点对应“光影塔”最高一束激光的末端． 初步感知 （1）求抛物线顶点的坐标． 拓展应用 （2）游客看作迎宾步道上一点，无人机航拍点是抛物线上一点，平行于轴且交轴于点，当时，求游客位置点的坐标． 延伸探究 （3）虚拟观景平台是直线上方抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式并化为顶点式． 【答案】（1）；（2）或；（3），化为顶点式为 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解； （2）求出直线的解析式，然后求出点，设点E的坐标为，可得点，，则可得，，再根据建立方程，解方程即可得； （3）过点P作轴，交于点Q，由（2）得：点，，从而得到，再根据，即可列出函数解析式． 【详解】解：（1）把点，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线顶点的坐标为． （2）由题意，画出图形如下： 设直线的解析式为， 把点，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 设点的坐标为， ∵轴， ∴，， ∴，， 当点在的上方时，此时， ， 解得：或4（舍去）， 此时点的坐标为； 当点N在M的下方时，此时或， 若点M，N均在x轴上方，此时， ， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为； 若点M，N均在x轴下方，此时， ， 解得：或4，均不符合题意； 综上所述，点的坐标为或． （3）过点作轴，交于点， ∵点是直线上方抛物线上一点，且，点的横坐标为， ∴， 由（2）得：直线的解析式为， ∴，， ∴， ∵， ∴与的边上的高之和为， ∴ ， 综上，关于的函数解析式为，化为顶点式为． 40．综合实践： 【问题情境】 如图1，窑洞作为黄土高原文化地标，乘乡村旅游东风，正被活化开发为特色民宿集群与文旅综合体，催生非遗工坊、生态农产等衍生业态，成为乡村振兴的“金名片”． 村民小明拟对窑洞门头进行现代化改造：以智能采光模块与立体通风系统提升空间舒适度、同时将镂雕、剪纸等地域符号嵌入其中，打造兼具功能性与视觉张力的“文化入口”，为传统民居升级注入文旅基因． 【方案设计】 小明对窑洞进行了测量并绘制了如图2所示的窑洞口的示意图，窑洞口的轮廓可以看成是由矩形和抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窑洞口的最高点到地面的距离为4米，其中点，在上，点，在抛物线上． 【方案实施】 在图2中，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．请按照以上方法解决下面问题： (1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线对应的函数解析式． (2)矩形为门框上的主窗，当时，求和的长． (3)如图3，矩形两侧正方形和正方形为装饰窗，其中，点，在抛物线上，点，在上，点，分别在和上．若将抛物线和构成的封闭区域内的线段定制为木质框架（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，此时的门头最美观，请直接写出此时其中一个装饰窗的面积． 【答案】(1)以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系如下： (2)米，米 (3)平方米 【分析】（1）由已知画出坐标系即可，由已知可知：、、， 设抛物线的函数表达式为，把代入求出，即可得出结论； （2）由已知设米， 则米、，把代入抛物线 求出，即可得出结论； （3）设米，米，由已知可得：米、米，从而可以得到：矩形所需的木质框架总长度，根据二次函数的性质可得：当 时，矩形所需的木质框架总长度最长为米，再把此时代入求出，即可解题． 【详解】（1）解：米， 米， 窑洞口的最高点到地面的距离为米， ∴， ，， 设抛物线的函数表达式为把代入， 得 ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式； （2）解：当时，设米，则米，， 把代入抛物线得 ， 解得：， ， ， 米，米； （3）解：设米，米， 则， ∴米，米， ∴矩形所需的木质框架总长度， ， ∴当时，矩形所需的木质框架总长度最长为米， 此时，把代入得 解得：， ， ， ∴当矩形所需的木质框架总长度最长时，装饰窗的面积为平方米． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点是线段上的动点，连接，过点作，交轴于点．则点纵坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切的定义，二次函数的性质，点的坐标；设，过点作轴，延长交轴于点，设交轴于点，根据得出，进而得出时，，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设，过点作轴，延长交轴于点，设交轴于点 当时，如图， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，如图，同理可得 ∴ ∴ ∴ 当时，，重合，则重合，此时， ∴当时，也成立 ∴， ∵ 当时，取得最小值为 当时，取得最大值为 ∴ 故选：A． 2．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点D，以为边向左作菱形，点C恰与原点O重合，抛物线的顶点在直线上移动．若抛物线与菱形的边、都有公共点，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将与联立可求得点D的坐标，然后由抛物线的顶点在直线可求得k=h，于是可得到抛物线的解析式为y＝（x−h）2+h，由图形可知当抛物线经过点D和点C时抛物线与菱形的边、都有公共点，然后将点C和点D的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围． 【详解】解：∵将与联立得：，解得：， ∴点D的坐标为（2，1）． 由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k）， ∵将x＝h，y＝k，代入得得：h=k，解得：k=h， ∴抛物线的解析式为y＝（x−h）2+h， 当抛物线经过点C时． 将C（0，0）代入y＝（x−h）2+h，得：h2+h=0，解得：h1＝0（舍去），h2=-． 当抛物线经过点D时． 将D（2，1）代入y＝（x−h）2+h，得：（2−h）2+h＝1，整理得：2h2-7h＋6＝0，解得：h1=2，h2=（舍去）． 综上所述，h的范围是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与菱形的边、均有交点时抛物线经过的“临界点”为点D和点C是解题的关键． 3．如图，抛物线交轴分别于点，交轴正半轴于点，抛物线顶点为．下列结论：①；②；③时，；④当是等腰直角三角形时；⑤点是抛物线对称轴上的一点，若，则周长的最小值为．其中，错误的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质，勾股定理，根据对称性先求出抛物线对称轴为直线，再由对称性计算公式得到，由此可判断①；根据当时，即可判断②；当时，有最大值，最大值，则，据此可判断③；当是等腰直角三角形时，则 ，设，则，解方程求出点C坐标，进而利用待定系数法求出a的值即可判断④；如图，连接交抛物线的对称轴于，连接，由对称性可得，则当三点共线时，最小，即此时的周长最小，利用勾股定理求出的长即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线交轴分别于点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故①正确； ∵当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，称轴为直线， ∴时，有最大值，最大值， ∵， ∴， ∴，故③正确， 当是等腰直角三角形时，则 ， 设， ∴， ∴（负值舍去）； ∴， ∴抛物线的解析式为， 把代入得到，故④错误， 如图，连接交抛物线的对称轴于，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∴的周长最小值， ∵，， ∴周长最小值为，故⑤错误． 故选：C． 4．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 5．在平面直角坐标系中，我们定义点的“伴随点”为Q，且规定：当时，Q为；当 时，Q为．下列说法正确的序号是（    ） ① 点的伴随点坐标为； ② 若点的伴随点在函数 的图像上，则 ； ③ 若直线l： 与x轴、y轴交于A、B，将直线l上所有点的伴随点组成一个新的图形记作M，则M是以点为端点的两条射线，其解析式为； ④ 若直线l与坐标轴交于两点．将直线l上所有点的伴随点组成一个新的图形记作M．抛物线 与图形M有两个交点时， A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】①根据新定义求伴随点坐标即可；②利用伴随点在函数的图象上的特征求值即可；③根据题意确定，求出点C的坐标为，点C的伴随点的坐标为，确定点的伴随点的坐标为，点的伴随点的坐标为，利用待定系数法确定函数解析式即可；④同③方法类似得出M的关系式，然后再画出M的大致图象，然后将抛物线与M的函数关系式组成方程组，然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴点的伴随点坐标为，故①正确； ②解：当时，点A的伴随点为，      把代入得：， 解得（不符合题意，舍去）；    当时，A的伴随点为， 把代入得：， 解得； ∴，故②错误； ③， 当时，，当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴点C的坐标为，点C的伴随点的坐标为， 点的伴随点的坐标为，点的伴随点的坐标为， 当时，所有伴随点组成的图形是以为端点，过的一条射线， 设此射线的解析式为， 把代入得：， 解得， 即：，其中， 当时，所有伴随点组成的图形是以为端点，过的一条射线， 设此射线的解析式为， 把代入得：， 解得：， 即：，其中，， ∴M是以点为端点的两条射线，其解析式为，故③正确； ④解：设直线l的解析式为，将点代入得： ，解得， ∴直线l的解析式为， 当时，， 解得， ∴点C的坐标为，点C的伴随点的坐标为， 点的伴随点的坐标为，点的伴随点的坐标为， 当时，所有伴随点组成的图形是以为端点，过的一条射线， 设此射线的解析式为， 把代入得：， 解得， 即：，其中， 当时，所有伴随点组成的图形是以为端点，过的一条射线， 设此射线的解析式为， 把代入得：， 解得：， 即：，其中，， 所以新的图形M是以为端点的两条射线组成的图形，如图所示： 由和得： ①和②， 讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点的位置关系可得： 当方程①无实数根时，，解得， 即：当时，抛物线与图形M没有交点； 当方程①有两个相等实数根时，，解得， 即：当时，抛物线与图形M有一个交点； 当方程②无实数根，且方程①有两个不相等的实数根时，解得， 即：当时，抛物线与图形M有两个交点； 当方程②有两个相等实数根或恰好经过经过点时， 解得：或， 即：当或时，抛物线与图形M有三个交点； 当方程②方程①均有两个不相等的实数根，且两根均小于2时，即：当时，抛物线与图形M有四个交点； 当时，抛物线与图形M有两个交点． 综上分析可知，当或时，抛物线与图形M有2个交点，故④错误； 综上可得：①③正确， 故选：A 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了伴随点的定义，一元二次方程根的判别式，求得M的函数关系式是解题的关键． 6．如图，在第一象限内作射线，与轴的夹角为，在射线上取一点，过点作轴于点，得到．在抛物线上取点，在轴上取点，使得以，O，为顶点的三角形与全等，则不符合条件的的面积是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由于两三角形的对应边不能确定，故应分四种情况进行讨论： ①当A、P重合，∠时，此时，可联立直线和抛物线的解析式，即可得A点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ②，即直线，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出的长，由于，那么、，由此得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ③当时，此时，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ④当，此时，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：①如图1，当A、P重合，∠时，此时， ∵， ∴， 设，则，， ∴． 设直线， ∴， ∴， ∴直线，联立抛物线的解析式， ∴， 解得或 故， ∴； ②作轴于点Q，当∠时，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，解得或， ∴ ∴； ③如图3，当时，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，，解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ④如图4，当，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，解得或， ∴P， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的面积为：． 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法，解题关键是一定要注意进行分类讨论． 7．如图，抛物线过，，三点，过点的直线（不与x轴重合）交抛物线于点D、点E，交于点Q，连接，当取得最小值时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得抛物线，直线的解析式，确定交点Q的坐标，利用两点间距离公式计算，构造二次函数确定最小值，再利用正切函数的定义解答即可． 本题考查了待定系数法，根与系数的关系定理，两点间距离公式，构造二次函数求最值，换元思想，正切函数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，，， 根据题意，得，整理，得， 根据根与系数的关系，得， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得即， 令， ， ， ， ， ， 解得， ， 故， ，， 令，则， ， 根据二次函数的性质，得时，取得最小值， ，，， 根据题意，得 ， 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在轴上，，，抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数几何综合，菱形的性质及勾股定理．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．由在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，，利用勾股定理即可求得的长然后求得点坐标，继而求得直线的解析式，最后由抛物线经过点C，且顶点在直线上，求得答案 【详解】 四边形是菱形， 设直线的解析式为∶， ， 解得：， 直线的解析式为∶， 抛物线经过点， ， 顶点为∶， 顶点在直线上， ． 故选：B． 二、填空题 9．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理的应用；先根据解析式求得，，二次函数图象的对称轴为直线，进而设，根据勾股定理表示出，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：当时，，则 当时，， 解得： ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， 设， ∴，， 当时， ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 当时，，即． 解得，此时（与点重合，舍去） 当时， 解得，此时 综上所述：或． 故答案为：或． 10．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质求出点坐标是解题的关键． 根据题意可得到点为抛物线顶点，根据抛物线解析式得出顶点坐标，再根据菱形的性质，得到点的纵坐标为，求出点的坐标分别为，即可求解． 【详解】解：由题意得，点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式可知，抛物线， 即的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵为菱形的对角线且点在第三象限，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故答案为： ． 11．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为 ___________________． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、求一次函数自变量值，二次函数，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意，可以先求出点的坐标，从而可以得到直线的解析式，再根据，点在抛物线上，可以写出点的坐标和对应的直线的解析式，再根据题意，可以得到点横坐标的最大值，从而可以得到点经过的路程． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴当时，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为，则 解得， ∴直线的函数解析式为， 设点的坐标为， ∵，点在抛物线上且在第一象限， ∴可设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当直线与二次函数只有一个交点时， ∴方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 此时直线的解析式为，当时，， ∴点横坐标最大值是， ∴点经过的路程为：， 故答案为：． 12．如图，一段抛物线记为，它与x轴的交点为O，，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为，…，如此进行下去，直至得到．当n为偶数时，抛物线的表达式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象及其性质，中心对称的性质，先求出抛物线与x轴的交点的坐标及两交点的距离，再根据轴对称和中心对称找顶点坐标的规律，得到抛物线与x轴的交点的坐标及开口方向，即可得到答案； 【详解】解：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向下，且抛物线与x轴两交点的距离为：； ∵将绕点旋转得，将绕点旋转得， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向上； ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向下； 同理：当n为偶数时，抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向上； ∴抛物线的表达式为： 故答案为：． 三、解答题 13．如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—特殊三角形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出点的坐标为，点的坐标为，再分两种情况：当时，点位于点位置，过点作于点；当时，点位于点和点位置；分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：分别将、代入中，得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：令，则， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ①当时，点位于点位置，过点作于点，如图， 则点的坐标为， ， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； ②当时，点位于点和点位置，如图， ，，， ， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 14．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数与平行四边形的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据抛物线与轴交于两点，则，，即可得出； （2）理解题意，结合点为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，运用中点公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； （2）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 15．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． (1)当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； (2)当时，求点A的纵坐标的最小值． 【答案】(1)，，的面积为 (2)3 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标；进而可求出的面积； （2）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴，， ∴的面积为． （2）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：， 当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为：． 16．已知抛物线：与直线：交于，两点，其中点在轴上． (1)若点的横坐标为，直线与轴交于点，求的值； (2)在（1）的条件下，若为线段上一点，过点作轴交抛物线于点，求四边形面积最大时点的坐标； (3)若，为该抛物线上不同的两点，，且满足，已知抛物线存在最小值，设，请判断是否为定值，若为定值，请求出的值；若不是定值，请确定其取值范围． 【答案】(1) (2) (3)为定值4 【分析】（1）把代入得，得出代入得出的值； （2）根据题意，进而根据二次函数的性质，求得最值，即可求解； （3）根据已知得出，根据抛物线存在最小值得出，进而得出，再分别用表示出，代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：在中，令，得； ， 将代入，得， 解得． （2）解：， 抛物线， 当时，， ； 如图， 由题意得：， ∴， 时，四边形的面积最大， 把代入得， 四边形面积最大时点的坐标为； （3）解：为定值．理由如下： ， ，即， ∵，且抛物线的最小值为， ， 解得（舍）， ， 、为该抛物线上不同的两点， ， ， ， 即为定值． 17．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)①（）；②存在，是等腰三角形时，或或 (3)线段长度的最小值 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①用待定系数法求出直线解析式，根据点D的横坐标则可得点D、E的坐标，即可用含有的代数式表示线段的长度； ②由勾股定理表示出，考虑、及三种情况，即可求解； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，则可证明，得 ，从而得点在线段上运动（不包括端点），则当时，最小；再证明，得，即可求得，再利用等面积关系即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于， ，，， ， 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①设直线解析式为，代入，， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ，， ， （）， ②存在： ， 而， 当时，， 解得：或（舍）， ， ； 当时，， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ； 当时，， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ； 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：，， ， ， ， ， ， ， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ，，， ， ， ， ∴当时，， ， ， ∴线段长度的最小值． 18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)点的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过点P作轴于点F，交直线于点E，先求出直线的解析式，设点P的坐标，则可表示点E的坐标，进而表示出线段，利用，最后求出其取最大值时点P的坐标；因，则，当最小时，最小，此时轴，根据点P的坐标求得的最小值； （3）根据A、C两点的坐标得，由条件得，求出平移后的抛物线解析式及此抛物线与x轴的交点坐标，此时有两种情况：或直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过两点， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 即， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：如图，过点P作轴于点F，交直线于点E， 设直线的解析式为， 把A、C两点的坐标分别代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则可表示点E的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵ ， 当取得最大值时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最大值，从而取得最大值， ∴， ∵点Q在y轴上，抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 当最小时，最小，此时轴， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：根据A、C两点的坐标知，， ∴，， ∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，且， ∴那原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位， ∴， 令，解得， ∴，与x轴的另一个交点为点A， 当点N在上方的抛物线上时，则， 设此时的解析式为，把点M坐标代入得， 即的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为； 当直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点时，此时， 设直线与的交点为D点，如图，设， ∵， ∴， 解得， 即， 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或． 2 / 152 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $