第5章 5.4 等差和等比数列的应用-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

5．4　等差数列和等比数列的应用 [知识点一]　数列应用题的解题步骤 　 解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目，认真审题，将实际问题转化为　数列模型　；②挖掘题目的条件，分析该数列是　等差　数列，还是　等比　数列，分清所求的是　项　的问题，还是　求和　问题．③检验结果，写出答案． [知识点二]　三种常见的应用模型　 1．①零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部　本利和　，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)． ②定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的　本利和　. ③分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清． 2．常用公式 ①复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝　P(1＋r)n　. ②产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝　N(1＋r)x　. ③单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝　P(1＋nr)　 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“等额本金还款法”中，每一期还款数构成一个等差数列．(　　) (2)“等额本息还款法”中，每一期还款数构成一个等比数列．(　　) (3)如果政府的支出增加，那么经济就会产生“乘数”效应．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．某件产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a，则现在的成本是(　　 ) A．a(1＋q%)3　　　　　　 B．a(1－q%)3 C. D. 解析：C　[设现在的成本为x，则x(1－q%)3＝a， 故x＝.] 3．某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这两年的平均增长率是(　　) A. B．p%·q% C. D.－1 解析：D　[设该工厂最初的产值为1，经过两年的平均增长率为r，则(1＋p%)(1＋q%)＝(1＋r)2. 于是r＝－1.] 4．预测人口的变化趋势有多种方法．直接推算法使用的公式是pn＝p0(1＋k)n(k>－1)，其中pn为预测期人口数，p0为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有－1<k<0，那么在这期间人口数(　　) A．呈上升趋势 B．呈下降趋势 C．摆动变化 D．不变 解析：B　[∵－1<k<0，∴0<k＋1<1，pn>0， 又∵＝＝1＋k<1，∴pn＋1<pn. 即数列{pn}为递减数列．] 5．自主创业的大学生张华向银行贷款200 000元作为创业资金，贷款的年利率为5%，如果他按照“等额本金还款法”分10年进行还款，则其第二年应还　________　元；如果他按照“等额本息还款法”分10年进行还款，则其每年还款约　__________　元．(1.0510≈ 1．628 89) 解析：如果采用“等额本金还款法”，第二年应还20 000＋(200 000－20 000)×5%＝29 000(元)．如果采用“等额本息还款法”每年应还≈25 901(元)． 答案：29 000　25 901 6．某公司投入资金500万元，由于坚持改革，大胆创新，以后每年投入资金比上一年增加30%，那么7年后该公司共投入资金　________　万元． 解析：设第n年投入资金为an万元，由题意可知an＋1＝an(1＋30%)＝1.3an. ∴{an}为首项a1＝500，公比为1.3的等比数列， ∴S7＝＝(1.37－1)． 答案：(1.37－1) 等差、等比数列模型的应用 [例1]　一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度． (1)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？ (2)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由． [解]　(1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成a1＝15，d＝－2的等差数列，则 Sn＝na1＋d＝15n＋×(－2) ＝－n2＋16n. 当n＝8时，(Sn)max＝S8＝64. 即飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米． (2)不能超过． 由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成b1＝15，q＝0.8的等比数列， 则Sn＝＝＝75(1－0.8n)<75. 所以，这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米． 解决数列应用题的思路和方法 (1)认真审题准确理解题意，明确问题是属于等差数列问题还是属于等比数列问题，要确定a1与项数n的实际意义，同时要搞清是求an还是求Sn. (2)抓住题目中的主要数量关系，联想数学知识和方法，恰当引入参数变量，将文字语言转化为数学语言，将数量关系用数学式子表达出来． (3)将已知和所求联系起来，列出满足题意的数学关系式． 1．在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分30斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数依次成等差数列，问每人各分多少斤．”那么，甲所分小米的斤数是(　　) A．6　　　B．7　　　C．8　　　D．9 解析：C　[依题意可解甲分小米斤数为a1，公差为d，则乙、丙、丁、戊依次为a1＋d，a1＋2d，a1＋3d，a1＋4d，则有，解得，故选C.] 单利计算问题 [例2]　有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同的金额，这是零存；到约定日期，可以提出全部本金及利息，这是整取．它的本利和公式如下： 本利和＝每期存入金额× . (1)试解释这个本利和公式； (2)若每月初存入100元，月利率5.1‰，到第12个月底的本利和是多少？ (3)若每月初存入一笔款，月利率是5.1‰，希望到第12个月底取得本利和2 000元，那么每月应存入多少金额？ [思路探究]　存款储蓄是单利计息，若存入金额为A，月利率为P，则n个月后的利息是nAP. [解]　(1)设每期存入金额A，每期利率P，存入期数为n，则各期利息之和为 AP＋2AP＋3AP＋…＋nAP＝n(n＋1)AP. 连同本金，就得： 本利和＝nA＋n(n＋1)AP＝A. (2)当A＝100，P＝5.1‰，n＝12时， 本利和＝100×＝ 1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形得 A＝ ＝≈161.32(元)． 即每月应存入161.32元． 单利的计算问题，是等差数列模型的应用． 2．王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰. (1)欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？ (2)若教育储蓄存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元) 解：(1)设王先生每月存入A元，则有A(1＋2.7‰)＋A(1＋2×2.7‰)＋…＋A(1＋36×2.7‰)＝20 000，利用等差数列前n项和公式，得A＝20 000，解得A≈529元． (2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，所以3年期教育储蓄每月至多存入≈555(元)，这样，3年后的本息和为：555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋36×2.7‰)＝555≈20 978(元)． 关于复利模型问题 [例3]　小张为实现“去沙特阿拉伯，看世博”的梦想，于2025年起，每年2月1日到银行新存入a元(一年定期)，若年利率r保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2030年2月1日，将所有存款及利息全部取回，试求他可以得到的总钱数． [思路探究]　由题意知，本题为定期自动转存问题，应为等比数列前n项和的模型． [解]　依题意每一年的本息和构成数列{an}，则2025年2月1日存入的a元钱到2026年1月31日所得本息和为a1＝a(1＋r)． 同理，到2027年1月31日所得本息和为 a2＝[a(1＋r)＋a](1＋r)＝a(1＋r)2＋a(1＋r)， 到2028年1月31日所得本息和为 [a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a](1＋r) ＝a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)， 到2029年1月31日所得本息和为 [a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a](1＋r) ＝a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)， 到2030年1月31日所得本息和为 [a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a](1＋r)＝a(1＋r)5＋a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)， 所以2030年2月1日他可取回的钱数为 a(1＋r)5＋a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)＝a·＝[(1＋r)6－(1＋r)](元)． 本例主要考查阅读理解能力，这里关键是每年2月1日又新存入a元，因此每年到期时所得钱的本息和组成一个等比数列前n项和模型． 3．某牛奶厂2023年初有资金1 000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后，余下的资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2 000万元的目标？ 解：设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费基金． 2023年底剩余资金是1 000(1＋50%)－x； 2024年底剩余资金是[1 000(1＋50%)－x]·(1＋50%)－x＝1 000(1＋50%)2－(1＋50%)x－x； …… 5年后达到资金 1 000(1＋50%)5－(1＋50%)4x－(1＋50%)3x－(1＋50%)2x－(1＋50%)x＝2 000， 解得x＝459(万元)． 分期付款模型 [例4]　用分期付款的方式购买一件家用电器，其价格为1 150元．购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，分20次付完．若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花了多少钱？ [解]　购买时付款150元，欠1 000元，以后每月付款50元，分20次付清．设每月付款数顺次构成数列{an}，则 a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1， a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2， …… a10＝50＋(1 000－50×9)×1%＝55.5＝60－0.5×9，则an＝60－0.5(n－1)＝－0.5n＋60.5(1≤n≤20)． 所以数列{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列， 所以付款总数为S20＋150＝20×60＋× (－0.5)＋150＝1 255(元)． 所以第10个月需交55.5元，全部付清实际花了1 255元． 解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息，而不是950元的利息，而最后一次付款的利息是50元欠款的利息． 4．某人在2025年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率为3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003 375120≈1.498 28) 解：由题意知借款总额a＝200 000(元)，还款次数n＝12×10＝120， 还款期限m＝10(年)＝120(个月)，月利率 r＝3.375‰. 代入公式得，每月还款数额为： ≈2 029.66. 故如果10年还清，每月应还贷约2 029.66元． 增长率问题 [例5]　某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ [思路探究]　(1)由题设知各年的投入费用及旅游业收入分别构成等比数列，利用等比数列的前n项和公式易得an与bn；(2)建立an与bn的不等关系，解不等式即得． [解]　(1)第一年投入为800万元，第二年投入为800万元，…，第n年投入为800n－1万元，各年投入依次构成以800为首项，1－＝为公比的等比数列，所以n年内的总投入为an＝＝4 000－4 000·n. 第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400万元，…，第n年旅游业收入为400n－1万元，各年旅游业收入依次构成以400为首项，1＋＝为公比的等比数列，所以n年内的旅游业总收入为 bn＝＝1 600n－1 600. (2)设经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，则bn－an>0，即1 600n－1 600－4 000＋ 4 000n>0， 化简得2n＋5n－7>0. 设n＝x，代入上式得5x2－7x＋2>0， 根据二次函数y＝5x2－7x＋2的图象解此不等式， 得x<或x>1(舍去)， 即n<，由此得n≥5. 故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． 当问题中涉及的各量依次以相同的倍数变化时，则考虑构建等比数列模型．其解题步骤为： (1)由题意构建等比数列模型(有时需要从特殊情况入手，归纳总结出一般规律，进而构建等比数列模型)； (2)确定其首项a1与公比q，分清是求第n项an，还是求前n项和Sn； (3)利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解； (4)经过检验得出实际问题的答案． 5．某布商在10月20日购进4 000匹布，10月21日开始销售，他每天都销售前一天库存布匹数目的20%，然后新进1 000匹新布入库．设第n天进货后库存布匹的数目为an. (1)求an； (2)第几天开始当日进货后库存布匹不少于4 900匹？ 解：(1)依题意，a1＝4 000(1－20%)＋1 000＝4 200，an＋1＝an＋1 000，∴an＋1－5 000＝(an－5 000)，又a1－5 000＝4 200－5 000＝－800， ∴{an－5 000}是以－800为首项，为公比的等比数列， ∴an－5 000＝－800×n－1， ∴an＝5 000－800×n－1(n∈N*)． (2)令an≥4 900，即5 000－800×n－1≥4 900，解得n≥10.32.故第11天开始当日进货后库存布匹不少于4 900匹. [基础题组练] 1．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　) A．6秒钟　　　　　　 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 答案：B 2．某林厂年初有森林木材存量S立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末都砍伐固定的木材量x立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 答案：C 3．某工厂2016年年底制订生产计划，要使工厂的年总产值到2026年年底在原有基础上翻两番，则年总产值的平均增长率为(　　) A．4－1 B．5－1 C．3－1 D．4－1 答案：A 4．某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么五年后这个小镇的人口数为(　　 ) A．20×(1.01)5万 B．20×(1.01)4万 C．20×万 D．20×万 答案：A 5．现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是(　　 ) A．10 000×1.0363 B．10 000×1.0364 C．10 000×1.0365 D．10 000×1.0366 答案：C 6．一个工厂的生产总值月平均增长率是p，那么年平均增长率为　________　. 解析：一年12个月，故1月至12月产值构成公比为1＋p的等比数列，设去年年底产值为a， ∴a12＝a(1＋p)12， ∴年平均增长率为＝(1＋p)12－1. 答案：(1＋p)12－1 7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于　________　. 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得≥100，即2n≥51， 而25＝32,26＝64，n∈N＋，所以n≥6. 答案：6 8．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质为原来的，则经过　________　年，剩余的物质是原来的. 解析：经过一年，剩留物质为原来的， 经过二年，剩留物质为原来的2， 经过三年，剩留物质为原来的3＝， 则经过3年，剩余的物质是原来的. 答案：3 9．某男子擅长走路，9天共走了1 260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里，若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里，这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决． 解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，设该数列为{an}，第1天走的路程数为首项a1，公差为d，则S9＝1 260，a1＋a4＋a7＝390.因为Sn＝na1＋d，an＝a1＋(n－1)d，所以， 解得，则a5＝a1＋4d＝100＋4×10＝140.所以该男子第5天走140里． [综合题组练] 1．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，如果对折n次，那么Sk＝(　　) A．240　　B．3＋ C．240 D．240· 解析：D　[由题意得，对折n次有n＋1种类型，Sn＝(n＋1)因此Sn＝240·， Sk＝240·，因此Sk＝240· ＝240，∴Sk＝240·.] 2．朱世杰是中国历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千六百二十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人．”其大意为“官府陆续派遣1 624人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人”，则在该问题中的1 624人全部派遣到位需要的天数为(　　 ) A．12　　　B．14　　　C．16　　　D．18 解析：B　[根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，分析可得数列{an}是首项a1＝64，公差d＝8的等差数列，设1 624人全部派遣到位需要的天数为n，则64n＋×8＝1 624，由n为正整数，解得n＝14.] 3．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费　________　元． 解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)． 答案：23.2 4．某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6 000元的电脑．商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息．已知欠款的月利率为0.5%. (1)到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？ (2)假设货主每月还商店a元，写出在第i(i＝1，2，…，36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式． 解：(1)因为购买电脑时，货主欠商店的货款，即6 000×＝4 000(元)，又按月利率0.5%算， 到第一个月底的欠款数应为4 000(1＋0.5%)＝4 020(元)． (2)设第i个月底还款后的欠款数为yi， 则有y1＝4 000(1＋0.5%)－a y2＝y1(1＋0.5%)－a＝4 000(1＋0.5%)2－a(1＋0.5%)－a， y3＝y2(1＋0.5%)－a＝4 000(1＋0.5%)3－ a(1＋0.5%)2－a(1＋0.5%)－a， … yi＝yi－1(1＋0.5%)－a＝4 000(1＋0.5%)i－ a(1＋0.5%)i－1－a(1＋0.5%)i－2－…－a， 由等比数列的求和公式，得yi＝4000(1＋0.5%)i－a(i＝1,2，…，36)． 学科网（北京）股份有限公司 $