第5章 5.3 等比数列-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

5．3　等比数列 [知识点一]　等比数列的有关概念　 1．定义： (1)文字语言：一个数列从　第2项　起，每一项与它的前一项的　比　都等于　同　一个常数(非零)． (2)符号语言：　　＝q(n∈N*，q为非零常数)． 2．等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么　G　叫作a与b的等比中项．即G2＝　ab　. [知识点二]　等比数列的有关公式　 1．通项公式：an＝　a1qn－1　. 2．前n项和公式 Sn＝ [知识点三]　等比数列的性质　 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*) 1．若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝　ap·aq　＝　a　； 2．数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列； 3．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)． [知识点四]　常用结论　 1．等比数列的单调性： 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是　递增数列　； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是　递减数列　； 当q＝1时，{an}是常数列． 2．等比数列与指数函数的关系： 当q≠1时，an＝·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上． 3．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　) (2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　) (3)如果数列{an}为等比数列，则数列{lg an}是等差数列．(　　) (4)若数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　) (5)若数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是(　　 ) A.　　B．±2　　C．±　　D．2 解析：B　[设方程的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系，得x1x2＝4，∴两根的等比中项为±＝±2.] 3．在等比数列{an}中，a1＝1，a2＝－2，则a9＝(　　) A．256 B．－256 C．512 D．－512 解析：A　[∵{an}是等比数列，a1＝1，a2＝－2， ∴公比q＝＝－2，∴a9＝a1q8＝1×(－2)8＝256，所以选A.] 4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：C　[由已知条件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，设数列{an}的公比为q，则q2＝9，所以a5＝9＝a1·q4＝81a1，得a1＝.] 5．数列{an}中a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝126，则n＝　________　. 解析：因为a1＝2，an＋1＝2an，所以an≠0，故＝2. 所以数列{an}是公比为2的等比数列，因为Sn＝126，所以＝126，所以2n＝64，故n＝6. 答案：6 6．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为　________　. 解析：设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3. 所以插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 答案：27,81 等比数列基本量的运算 [例1]　设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝，S3＝. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log2，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)①当公比q＝1时， ∵a3＝，S3＝，∴an＝； ②当q≠1时， ∵a3＝，S3＝， ∴a1q2＝，＝， 解得a1＝6，q＝－， 此时an＝6·n－1. 综上所述，数列{an}的通项公式为 an＝或an＝6·n－1. (2)①当an＝时，bn＝log2＝2， 故Tn＝2n； ②当an＝6·n－1时， bn＝log2＝2n， 此时Tn＝2·＝n(n＋1)． 综上所述，Tn＝2n或Tn＝n(n＋1)． 等比数列的基本运算方法 (1)等比数列可以由首项a1和公比q确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和q进行． (2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成a1，n，q，an，Sn的“知三求二”问题． 1．已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1,3,9后成等差数列． (1)求{an}的首项和公比； (2)设Sn＝a＋a＋…＋a，求Sn. 解：(1)根据等比数列的性质，可得a3·a5·a7＝a＝512，解得a5＝8. 设数列{an}的公比为q，则a3＝，a7＝8q2， 由题设可得＋(8q2－9)＝2×(8－3)＝10， 解得q2＝2或. ∵{an}是递增数列，可得q＞1，∴q2＝2，得q＝. 因此a5＝a1q4＝4a1＝8，解得a1＝2. (2)由(1)得{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2×()n－1＝()n＋1，∴a＝[()n＋1]2＝2n＋1， 可得{a}是以4为首项，2为公比的等比数列． 因此Sn＝a＋a＋…＋a＝＝2n＋2－4. 等比数列的判定与证明 [例2]　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． [解]　(1)由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入，得a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入，得a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列． 由题设条件可得＝，即bn＋1＝2bn， 又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 等比数列的判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 2．设数列{an}的前n项和为Sn，满足：Sn＋an＝，n＝1,2，…，n. (1)求证：数列是等比数列； (2)求Sn. 解：(1)证明：由题意，n＝1时，S1＋a1＝0， 即a1＝0，n≥2时，Sn＋Sn－Sn－1＝2Sn－Sn－1＝＝－， 所以Sn－＝，S1－＝－， 所以数列是以－为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)知，Sn－＝n－1＝ －n，所以Sn＝－n. 　　等比数列前n项和及性质的应用 [例3]　已知数列{an}是递增的等比数列，且a4a6－2a＋a2a4＝144，则a5－a3＝(　　 ) A．6　　　B．8　　　C．10　　　D．12 [解析]　∵{an}是递增的等比数列，∴由a4a6－2a＋a2a4＝144，a5－a3>0，可得a－2a3a5＋a＝144，(a5－a3)2＝144，∴a5－a3＝12，故选D. [答案]　D 等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 3．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　 ) A．21 B．42 C．63 D．84 解析：B　[设{an}的公比为q，由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2(负值舍去)．∴a3＋a5＋a7＝a1q2＋a3q2＋a5q2＝(a1＋a3＋a5)q2＝21×2＝42.故选B.] [基础题组练] 1．已知{an}是等比数列，a1＝4，公比q＝，则a5＝(　　 ) A.　　　B.　　　C.　　　D. 答案：A 2．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3·a7＝9，则log3a1＋log3a5＋log3a9＝(　　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：A　[根据等比数列的性质可得a1a9＝a2a8＝a3a7＝a4a6＝a＝9，又an＞0，所以a5＝3，所以log3a1＋log3a5＋log3a9＝log3(a1a5a9)＝log3(a)＝log333＝3.故选A.] 3．若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 4．等比数列{an}中a4－a1＝14，a5－a2＝28，则a2 026＝(　　) A．22 023 B．22 024 C．22 025 D．22 026 解析：D　[依题意，等比数列{an}的公比q＝＝＝2，则a4－a1＝a1(q3－1)＝7a1＝14，解得a1＝2.因此an＝a1qn－1＝2n，所以a2 026＝22 026.] 5．等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，当Sn＝127时，n＝(　　 ) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：B　[由Sn＝，a1＝1，q＝2. 当Sn＝127时，则127＝，解得n＝7.故选B.] 6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为　______　里． 解析：记该人每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q＝的等比数列， 由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，所以a6＝192×＝6. 答案：6 7．等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则q＝　________　. 解析：由等比数列的性质得a＝a3a5，又因为a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)，解得a4＝2.又a1＝，所以q3＝＝8，解得q＝2. 答案：2 8．已知数列{an}满足an＋1－2an＝0，且a3＝－1，则a1＝　________　. 解析：an＋1－2an＝0，∴＝2＝q，∴a3＝a1q2， ∴－1＝a1×22，∴a1＝－.故答案为－. 答案：－或－0.25 9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－27， S10＝－40. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}公差为d，由S9＝－27，S10＝－40得，，解得， ∴an＝5－2(n－1)＝7－2n. (2)由bn＝an＋2n，得bn＝7－2n＋2n，∴Tn＝Sn＋＝n×5＋×(－2)＋2n＋1－2＝－n2＋6n＋2n＋1－2. [综合题组练] 1．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为(　　) A．4　　　B．6　　　C．8　　　D．－9 解析：A　[a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2，因为a4＋a8＝－2，所以a6(a2＋2a6＋a10)＝4.] 2．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝(　　) A．16 B．15 C．8 D．7 解析：B　[设公比为q，由题意得4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，又a1≠0，所以4q＝4＋q2，解得q＝2，所以S4＝＝15，故选B.] 3．(2023·春招，6)若3，x,12，－24成等比数列，则实数x的值是(　　) A．－6 B．－8 C．6或－6 D．8或－8 解析：A　[∵等比数列＝－2，∴q＝－2，x＝3×(－2)＝－6，故选A.] 4．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝　________　. 解析：由a＝a6，得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝＝3. ∴S5＝＝. 答案： 5．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. 解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $