第5章 5.2 等差数列-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

5．2　等差数列 [知识点一]　等差数列与等差中项　 1．定义： (1)文字语言：一个数列从　第2项　起，每一项与它的前一项的　差　都等于　同　一个常数； (2)符号语言：　an＋1－an＝d　(n∈N*，d为常数)． 2．等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则　A　叫作a，b的等差中项． [知识点二]　等差数列的通项公式与前n项和公式　 1．通项公式：an＝　a1＋(n－1)d　. 2．前n项和公式：Sn＝　na1＋d＝　. [知识点三]　等差数列的性质　 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． 1．通项公式的推广：an＝am＋　(n－m)d　(n，m∈N*)． 2．若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则　ak＋al＝am＋an　. 3．若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为　2d　. 4．若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是　等差　数列． 5．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成　等差　数列． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．(　　) (2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．(　　) (3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．(　　) (4)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列．(　　) (5)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　) (6)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ 2．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝(　　 ) A．22　　B．24　　C．26　　D．28 解析：D　[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D.] 3．等差数列{an}中，已知a3＝1，a9＝7，则公差d＝(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：A　[因为等差数列{an}中，a3＝1，a9＝7，所以，解得，故选A.] 4．在等差数列{an}中，已知a2＝2，前7项和S7＝56，则公差d＝(　　 ) A．2 B．3 C．－2 D．－3 解析：B　[由题意可得，即，解得.] 5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　________　. 解析：因为an＋1－an＝3，n∈N*，所以数列{an}是公差为3的等差数列，又因为a1＝2，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1. 答案：an＝3n－1 6．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝　________　. 解析：由等差数列的性质可得 a3＋a7＝a4＋a6＝2a5， 又因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 所以5a5＝450，a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180. 答案：180 等差数列的基本运算 [例1]　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1－3＝an，若an＝2 026，则n＝(　　 ) A．673　　B．674　　C．675　　D．676 (2)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n [解析]　(1)∵a1＝1，an＋1－3＝an，∴an＋1－an＝3，∴数列{an}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝2 026，解得n＝676.故选D. (2)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 因为，所以，解得，所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A. 法二：设等差数列{an}的公差为d， 因为，所以，解得. 选项A，a1＝2×1－5＝－3； 选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B； 选项C，S1＝2－8＝－6，排除C； 选项D，S1＝－2＝－，排除D.故选A. [答案]　(1)D　(2)A 等差数列的基本运算的解题策略 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a3＋a4＝15，a7＝13，则S5＝(　　) A．28　　B．25　　C．20　　D．18 解析：B　[法一：设等差数列{an}的公差为d，由已知得解得所以S5＝5a1＋d＝5×1＋×2＝25，故选B. 法二：由{an}是等差数列，可得a2＋a4＝2a3，所以a3＝5，所以S5＝＝＝25，故选B.] 等差数列的判定与证明 [例2]　已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n. (1)求a2，a3； (2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式． [解]　(1)由已知，得a2－2a1＝4， 则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6. 由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15. (2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n， 得＝2，即－＝2， 所以数列是首项为＝1，公差为d＝2的等差数列．则＝1＋2(n－1)＝2n－1， 所以an＝2n2－n. 判定数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数． (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1. (3)通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数． (4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0. 提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断． 2．已知数列{an}满足a1＝，an＝2－(n≥2， n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)， 求证：数列{bn}是等差数列． 证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)， 所以bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－. 所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列． 等差数列的性质 [例3]　已知等差数列{an}满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则2a9－a11的值为(　　 ) A．－3　　　B．3　　　C．－12　　　D．12 [解析]　由等差中项的性质可得，a3＋a6＋a8＋a11＝4a7＝12，解得a7＝3，∵a7＋a11＝2a9，∴2a9－a11＝a7＝3.故选B. [答案]　B 应用等差数列的性质解题的注意点 (1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值． (2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等． 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n>6)，则数列{an}的项数为　________　. 解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，① an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，② ①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216， ∴a1＋an＝36， 又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18. 答案：18 　　等差数列前n项和的最值问题 [例4]　设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝　______________　，Sn的最小值为　________　. [解析]　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S5＝(a1＋a5)＝×2a3＝－10，得a3＝－2，∴d＝a3－a2＝－2－(－3)＝1，∴a1＝－3－1＝－4，∴a5＝a1＋4d＝－4＋4＝0. 解法一：∵a1＝－4，d＝1，∴Sn＝－4n＋×1＝(n2－9n)＝2－. ∵n∈N*，∴当n＝4或5时，Sn取最小值，为S4＝S5＝－10. 解法二：∵a1＝－4，d＝1，∴an＝－4＋(n－1)×1＝n－5.由an≤0得n≤5，且n＝5时，a5＝0，故当n＝4或5时，Sn取最小值，为S4＝S5＝＝－10. [答案]　0　－10 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 (1)函数法：等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn＝a2－，求“二次函数”最值． (2)邻项变号法 ①当a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm； ②当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm. 4．设数列{an}的前n项和为Sn＝3·2n(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，其前n项和为Tn，若b2＝a5，b10＝S3，则Tn取最大值时n＝　________　. 解析：由已知得b2＝a5＝S5－S4＝3×25－3×24＝48，b10＝S3＝3×23＝24. 设等差数列{bn}的公差为d， 则8d＝b10－b2＝－24，d＝－3， 所以bn＝b2＋(n－2)d＝48－3(n－2)＝54－3n， 所以当1≤n≤18时，bn≥0，当n≥19时，bn<0， 所以Tn取最值时n＝17或18. 答案：17或18 [基础题组练] 1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(　　 ) A．是公差为－3的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列 答案：A 2．已知数列{an}为等差数列，若a1＋a2 025＝2 026，则a1 013＝(　　) A．2 026　　B．2 025　　C．1 013　　D．1 012.5 解析：C　[数列{an}为等差数列，若a1＋a2 025＝2 026，则2a1 013＝2 026，解得a1 013＝1 013.] 3．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(　　 ) A．20 B．30 C．40 D．50 答案：C 4．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是(　　 ) A．b－a B. C. D. 解析：C　[由等差数列的通项公式， 得b＝a＋(4－1)d， 所以d＝.] 5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　 ) A．63 B．45 C．36 D．27 解析：B　[由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.] 6．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为　______　. 解析：＝＝＝. 答案： 7．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝(n∈N*)，则＋＝　________　. 解析：设An＝kn(7n＋45)，Bn＝kn(n＋3)，则n＞1，n∈N*时，an＝An－An－1＝k(14n＋38)，bn＝k(2n＋2)，则＝＝，＝＝，所以＋＝＋＝. 答案： 8．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n≥2，n∈N*)，令bn＝. (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明　因为an＝4－(n≥2)， 所以an＋1－2＝2－＝(n≥1)， 所以＝＝＋(n≥1)， 所以－＝(n≥1)， 即bn＋1－bn＝(n≥1)．所以数列{bn}是以为首项，以为公差的等差数列． (2)由(1)知是公差为的等差数列， 所以＝＋(n－1)·＝， 解得an＝2＋. 所以数列{an}的通项公式为an＝2＋. 9．已知{an}满足an＋1＝an＋2，而且a1＝1，求an. 解：∵an＋1－an＝2为常数，∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. [综合题组练] 1．已知等差数列{an}的公差d<0，前n项和为Sn，若S5＝10a6，则当Sn最大时，n＝(　　 ) A．8 B．9 C．7或8 D．8或9 解析：D　[由S5＝10a6，可得＝10(a1＋5d)，解得a1＝－8d，所以Sn＝na1＋n(n－1)d＝.因为d<0，所以当n＝8或9时，Sn最大．故选D. 2．在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则a4＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：C　[通解：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a1＋2d)＋(a1＋10d)－3(a1＋4d)＝10，即2a1＋6d＝10，即a1＋3d＝5，故a4＝5，所以a4＝1，故选C. 优解：设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为an＝am＋(n－m)d，所以由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a4－d)＋(a4＋7d)－3(a4＋d)＝10，整理得a4＝5，所以a4＝1，故选C.] 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 027，则m＝　________　. 解析：设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a2＝3(a1＋d)．又S3＝a5，则3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.所以am＝a1＋(m－1)d＝2m－1＝2 027，解得m＝1 014. 答案：1 014 4．在数列{an}中，an＞0，a1＝1,2an＋1－an＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝log2an，求数列{bn}的前90项和S90. 解：(1)∵2an＋1－an＝0，∴2an＋1＝an，∴＝2，∴＝，即q＝， ∴an＝a1·qn－1＝1×n－1＝2－1(n－1)＝2－n＋1. (2)∵bn＝log2an，∴bn＝log22－n＋1＝－n＋1，当n＝1时，b1＝0，当n＝2时，b2＝－1，当n＝3时，b3＝－2，∴数列为等差数列，∴S90＝90×0＋×(－1)＝－4 005. 学科网（北京）股份有限公司 $