第5章 5.1 数列的概念-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

思维导图 5．1　数列的概念 [知识点一]　数列　 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为　{an}_　. [知识点二]　通项公式　 1．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的　通项公式　. 2．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ [知识点三]　数列的分类　 1．按项数分类，项数有限的数列叫作　有穷　数列，项数无限的数列叫作　无穷　数列． 2．按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫作　递增数列　；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫作　递减数列　；各项相等的数列叫作　常数列　； 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫作　摆动数列　. [知识点四]　递推公式　 如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫作这个数列的　递推公式　. 　递推公式　也是数列的一种表示方法． [知识点五]　数列的单调性　 判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，通常转化为判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定． 1．若an＋1－an　>　0恒成立，则数列{an}是递增数列； 2．若an＋1－an　<　0恒成立，则数列{an}是递减数列； 3．若an＋1－an　＝　0恒成立，则数列{an}是常数列． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　) (3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) (5)递推公式也是表示数列的一种方法．(　　) (6)所有数列都有递推公式．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　(6)× 2．下列叙述正确的是(　　) A．所有数列可分为递增数列和递减数列两类 B．数列中的数由它的位置序号唯一确定 C．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} D．同一个数在数列中不可能重复出现 解析：B　[按项的变化趋势，数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列，A错误；数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念，C错误；同一个数在数列中可能重复出现，如2,2,2，…表示由实数2构成的常数列，D错误；对于给定的数列，数列中的数由它的位置序号唯一确定，B正确．] 3．数列{an}的通项公式为an＝(n－1)(n＋1)，则a5＝(　　 ) A．10　　　B．12　　　C．14　　　D．16 解析：B　[由题意，通项公式为an＝(n－1)(n＋1)， 则a5＝×(5－1)×(5＋1)＝12.故选B.] 4．2 026是数列0,2,4,6,8，…的(　　) A．第1 012项 B．第1 013项 C．第1 014项 D．第1 015项 解析：C　[数列0,2,4,6,8，…的通项公式为an＝2(n－1)．设2(n－1)＝2 026，解得n－1＝1 013⇒n＝1 014.] 5．若数列{an}的通项公式是an＝n2－1，则该数列的第10项a10＝　__________　，224是该数列的第　__________　项. 解析：a10＝102－1＝99.令an＝n2－1＝224，解得n＝15，即224是该数列的第15项． 答案：99　15 6．设数列{an}满足a1＝1，an＝1＋(n∈N*，n>1)，则a3＝　__________　. 解析：由已知，得a2＝1＋＝2, a3＝1＋＝. 答案： 由数列的前几项求通项公式 [例1]　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…. [解]　(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)， (1－0.001)，…，∴an＝. 解决由数列的前几项求通项公式此类问题，需抓住下面的特征： (1)各项的符号特征，通过(－1)n或(－1)n＋1来调节正负项． (2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． (3)相邻项(或其绝对值)的变化特征． (4)拆项、添项后的特征． (5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律． 1．根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式． (1)，，，，，…； (2)，，－，，－，，…. 解：(1)这是一个分数数列，分母可分解为1×3，3×5，5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为an＝. (2)数列可以改为－，，－，，－，，…，则分母为2n，分子为2n－3，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n. 由an与Sn的关系求通项公式 [例2]　若数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋10n，求数列{an}的通项公式． [解]　∵Sn＝－2n2＋10n， ∴Sn－1＝－2(n－1)2＋10(n－1)，(n≥2) ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋10n＋2(n－1)2－10(n－1)＝－4n＋12. 当n＝1时，a1＝－2＋10＝8＝－4×1＋12. 此时满足an＝－4n＋12， ∴数列{an}的通项公式为an＝12－4n. 已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子， 那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1； 如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子， 那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝ 2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则a6的值为(　　 ) A．8　　　B．9　　　C．10　　　D．11 解析：D　[S6＝62＋1＝37，S5＝52＋1＝26，故a6＝S6－S5＝37－26＝11.故选D.] 由递推关系求通项公式 [例3]　分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)； (2)a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N*)． [解]　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2， 所以数列的通项公式为an＝(n－1)2. (2)由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1， 将这n－1个等式叠乘， 得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2， 所以数列的通项公式为an＝2. 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 3．在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1，则an＝　________　. 解析：a1＝2，an＋1＝an＋2n－1⇒an＋1－an＝2n－1⇒an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1， 则an＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1 ＝＋2＝2n－1＋1. 答案：2n－1＋1 数列的函数特征 [例4]　已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　) A．(3，＋∞)　　　　　　 B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) [解析]　因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故选D. [答案]　D (1)解决数列单调性问题的三种方法： ①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； ②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断； ③结合相应函数的图象直观判断． (2)求数列最大项或最小项的方法： ①可以利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项； ②利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项． 4．等差数列{an}的公差d＜0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n的值为(　　) A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 解析：C　[由a＝a，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，因为d＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0. 因为d＜0，所以{an}是递减数列， 所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，显然前5项和或前6项和最大，故选C.] [基础题组练] 1．下列各项表示数列的是(　　) A．△，○，☆，□ B．2 011,2 012,2 013，…，2 026 C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D．a＋b，a－b，ab，λa 答案：B 2．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是(　　) A．15　　B．255　　C．16　　D．63 答案：B 3．已知数列{an}，an－1＝man＋1(n>1)，且a2＝3，a3＝5，则实数m等于(　　) A．0 B. C．2 D．5 答案：B 4．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋25n，则数列{an}的各项中最大项是(　　) A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 解析：C　[因为an＝－2n2＋25n＝－22＋，且n∈N*， 所以当n＝6时，an的值最大，即最大项是第6项．] 5．已知an＝，那么数列{an}是(　　 ) A．递减数列 B．递增数列 C．常数列 D．摆动数列 解析：A　[an＝＝＝1＋，因为函数y＝1＋在(0.99，＋∞)上是减函数，所以数列{an}是递减数列．] 6．已知数列，，，，…，则5是该数列的第　________　项. 解析：观察可得数列的一个通项公式是an＝，而5＝＝，所以5是该数列的第19项． 答案：19 7．已知数列{an}的通项公式为an＝log3(2n＋1)，则a3＝　__________　. 解析：∵an＝log3(2n＋1)，∴a3＝log3(23＋1)＝log39＝2. 答案：2 8．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后猜想an＝　______　. 解析：因为an＝an－1＋2n－1，a1＝1，所以a2＝a1＋2×2－1＝4，a3＝a2＋2×3－1＝9，a4＝a3＋2×4－1＝16，所以猜想an＝n2.故答案为n2. 答案：n2 9．若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1>0，且2Sn＝a＋an(n∈N*)．求数列{an}的通项公式． 解：当n＝1时，2S1＝a＋a1，则a1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－， 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0⇒an＝－an－1或an＝an－1＋1， 所以an＝(－1)n－1或an＝n. [综合题组练] 1．已知数列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则an＝(　　 ) A．2n－1　　　　　　B.n－1 C．n D．n2 解析：C　[an＝n(an＋1－an)，而＝，则an＝××…××＝××…××＝n.故选C.] 2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是有3>2λ，λ<.由λ<1可推得λ<，但反过来，由λ<不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件，故选A.] 3．在数列{an}中，已知an＝(－1)n＋n＋a(a为常数)，且a1＋a4＝3a2，则a100＝　________　. 解析：由题意，得a1＝a，a4＝5＋a，a2＝3＋a. 因为a1＋a4＝3a2，所以a＋5＋a＝3(3＋a)， 解得a＝－4，所以an＝(－1)n＋n－4， 所以a100＝(－1)100＋100－4＝97. 答案：97 4．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2， 解得a2＝3a1＝3. 由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 解得a3＝(a1＋a2)＝6. (2)当n>1时，有an＝Sn－Sn－1 ＝an－an－1， 整理得an＝an－1. 又a1＝1， 所以a2＝a1， a3＝a2， … an－1＝an－2，an＝an－1， 将以上n个等式两端分别相乘，整理得 an＝. 当n＝1时，满足上式． 综上，{an}的通项公式an＝. 学科网（北京）股份有限公司 $